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2025北师大版数学必修第二册
1.2　复数的几何意义
A级必备知识基础练
1.[探究点二]如图,复平面内点P所表示的复数为(每个小方格的边长为1)(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.2+2i B.3+i
C.3+3i D.3+2i
2.[探究点三]已知复数z=2+i(i是虚数单位),则|z|为(　　)
A. B.1 C.2 D.3
3.[探究点二·2024云南红河高一期末]已知复数z在复平面内对应的点的坐标为(-1,2),则=(　　)
A.-1+2i B.1+2i
C.1-2i D.-1-2i
4.[探究点一]设z=log2(m2-3m-3)+i·log2(m-3)(m∈R),若z对应的点在直线x-2y+1=0上,则m的值是　　　　　.
5.[探究点一]设复数z=a2+a-2+(a2-7a+6)i,其中a∈R.
(1)若z是纯虚数,求a的值;
(2)若z所对应的点在复平面的第四象限内,求实数a的取值范围.
B级关键能力提升练
6.在复平面内,把复数3-i对应的向量按顺时针方向旋转,则所得向量对应的复数是(　　)
A.2 B.-2i
C.-3i D.3+i
7.设复数z=cos+α+(sin α)i(i为虚数单位)且α∈-,0,若|z|=1,则tan 2α=　　　　.
8.定义:复数b+ai是复数a+bi(a,b∈R)的转置复数,已知a,b∈R,i是虚数单位,若a+2i=1-bi,则复数z=a+bi的转置复数是　　　　　.
9.已知m∈R,i是虚数单位,复数z=m2+m-2+(m2-1)i.
(1)若z是纯虚数,求m的值;
(2)若复数z在复平面内对应的点位于第二象限,求m的取值范围.
10.设z=x+yi(x,y∈R),若1≤|z|≤,判断复数w=x+y+(x-y)i的对应点的集合表示什么图形,并求其面积.
C级学科素养创新练
11.(多选)已知复数z=a+bi(a,b∈R,i为虚数单位),且a+b=1,下列说法正确的是(　　)
A.z不可能为纯虚数
B.若z的共轭复数为,且z=,则z是实数
C.若z=|z|,则z是实数
D.|z|可以等于
12.已知复数z1=1+cos θ+isin θ,z2=1-sin θ+icos θ,且两复数的模的平方和不小于2,求θ的取值范围.
1.2　复数的几何意义
1.D　由题意可知,点P的坐标为(3,2),所以复平面内点P所表示的复数为3+2i.故选D.
2.A　|z|=.故选A.
3.D　由题知,z=-1+2i,故=-1-2i,故选D.
4.　由题意知,复数z对应的复平面内的点为(log2(m2-3m-3),log2(m-3)),该点满足方程x-2y+1=0,故log2(m2-3m-3)-2log2(m-3)+1=0,则log2=-1,∴,解得m=±.∵∴m>,∴m=.
5.解(1)若z是纯虚数,则解得a=-2.
(2)由题意知
解得1故若z所对应的点在复平面的第四象限内,实数a的取值范围是(1,6).
6.B　复数3-i对应的点为(3,-),对应的向量按顺时针方向旋转,则对应的点为(0,-2),所得向量对应的复数为-2i.
7.-2　由题可得,|z|==1,
所以sin2α=.
又α∈-,0,则sin α=-,cos α=,
所以tan α=-,则tan 2α==-2.
8.-2+i　由a+2i=1-bi,得a=1,b=-2,所以复数z=a+bi=1-2i,故复数z=1-2i的转置复数是-2+i.
9.解 (1)若z=m2+m-2+(m2-1)i是纯虚数,
则解得m=-2.
(2)若复数z在复平面内对应的点位于第二象限,
则解得-2∴m的取值范围是(-2,-1).
10.解|w|=|z|,
而1≤|z|≤,故≤|w|≤2,
所以w对应点的集合是以原点为圆心,和2为半径的圆所夹圆环(含内外圆周),其面积S=π[22-()2]=2π.
11.BC　当a=0时,b=1,此时z=i为纯虚数,故A错误;若z的共轭复数为,且z=,则a+bi=a-bi,因此b=0,故B正确;由|z|是实数,且z=|z|知,z是实数,故C正确;由|z|=,得a2+b2=.又a+b=1,则整理得8a2-8a+3=0.又Δ=64-4×8×3=-32<0,所以方程无实数解,即|z|不可以等于,故D错误.故选BC.
12.解由已知得,
|z1|2=(1+cos θ)2+sin2θ=2+2cos θ,
|z2|2=(1-sin θ)2+cos2θ=2-2sin θ.
因为|z1|2+|z2|2≥2,
即2+2cos θ+2-2sin θ≥2,cos θ-sin θ≥-1,
所以cosθ+≥-,
所以2kπ-≤θ+≤2kπ+,k∈Z.
所以2kπ-π≤θ≤2kπ+,k∈Z.
所以θ的取值范围是2kπ-π,2kπ+,k∈Z.
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