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2025北师大版数学必修第二册
§2　复数的四则运算
2.1　复数的加法与减法
A级必备知识基础练
1.[探究点一]复数z1=2-i,z2=-2i,则z1+z2=(　　)
A.0 B.i
C.i D.i
2.[探究点二·2024上海静安高一月考]若向量分别表示复数z1=2-i,z2=3+i,则||= (　　)
A.5 B. C.2 D.2
3.[探究点二]在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,若向量对应的复数分别是3+i,-1+3i,则对应的复数是(　　)
A.2+4i B.-2+4i
C.-4+2i D.4-2i
4.[探究点一]已知x∈R,y∈R,(xi+x)+(yi+4)=(y-i)-(1-3xi),则x=　　　　 ,y=　　　　 .
5.[探究点三]已知复数z满足|z|+z=1+3i,则z=　　　　　.
6.[探究点三]已知z1=(3x-4y)+(y-2x)i,z2=(-2x+y)+(x-3y)i,x,y为实数,若z1-z2=5-3i,求|z1+z2|.
B级关键能力提升练
7.已知复数z1=1+icos θ,z2=sin θ-i(θ∈R),则|z1-z2|的最大值为(　　)
A.3-2 B.-1
C.3+2 D.+1
8.(多选)已知z1,z2∈C且|z1|=1,若z1+z2=2i,则|z1-z2|可以取到的值有(　　)
A.6 B.5 C.4 D.3
9.如图所示,在复平面内的四个点O,A,B,C恰好构成平行四边形,其中O为原点,A,B,C所对应的复数分别是zA=4+ai,zB=6+8i,zC=a+bi(a,b∈R),则zA-zC=　　　　　.
10.设实数x,y,θ满足以下关系:x+yi=3+5cos θ+i(-4+5sin θ),则x2+y2的最大值是　.
C级学科素养创新练
11.设z=a+bi(a,b∈R),且4(a+bi)+2(a-bi)=3+i,又ω=sin θ-icos θ,求z的值和|z-ω|的取值范围.
§2　复数的四则运算
2.1　复数的加法与减法
1.C　z1+z2=2+-+2i=i.故选C.
2.B　因为,所以向量表示的复数为z2-z1=1+2i,所以||=|1+2i|=.故选B.
3.D　由题意得,,而(3+i)-(-1+3i)=4-2i,故向量对应的复数为4-2i.故选D.
4.6　11　由题得,x+4+(x+y)i=(y-1)+(3x-1)i,
∴解得
5.-4+3i　设z=x+yi(x,y∈R),|z|=,
∴|z|+z=(+x)+yi=1+3i,
∴解得∴z=-4+3i.
6.解z1-z2=[(3x-4y)+(y-2x)i]-[(-2x+y)+(x-3y)i]=[(3x-4y)-(-2x+y)]+[(y-2x)-(x-3y)]i=(5x-5y)+(-3x+4y)i=5-3i,
∴解得
则z1=3-2i,z2=-2+i,
∴z1+z2=(3-2i)+(-2+i)=1-i,
∴|z1+z2|=|1-i|=.
7.D　|z1-z2|=|(1-sin θ)+(cos θ+1)i|=
=.
∵-1≤cosθ+≤1,
∴|z1-z2|max=+1.
8.CD　设z1=a+bi(a,b∈R,a2+b2=1),z2=c+di(c,d∈R),因为z1+z2=2i,所以(a+c)+(b+d)i=2i,
所以所以
所以|z1-z2|=|(a-c)+(b-d)i|=|2a+(2b-2)i|==2=2=2.因为a2+b2=1,所以-1≤b≤1,所以0≤2-2b≤4,所以0≤|z1-z2|≤4.故选CD.
9.2-4i　根据平面向量的定义可得,
所以4+ai+(a+bi)=6+8i.
因为a,b∈R,所以所以
所以zA=4+2i,zC=2+6i,
所以zA-zC=(4+2i)-(2+6i)=2-4i.
10.100　因为x+yi=(3+5cos θ)+i(-4+5sin θ),所以x2+y2=(3+5cos θ)2+(-4+5sin θ)2=50+30cos θ-40sin θ=50+50cos(θ+φ),其中sin φ=,cos φ=.
又-1≤cos(θ+φ)≤1,
所以(x2+y2)max=50+50=100.
11.解因为4(a+bi)+2(a-bi)=3+i,
所以6a+2bi=3+i,
所以所以
所以z=i,所以z-ω=i-(sin θ-icos θ)=-sin θ++cos θi.
所以|z-ω|=
=
=,
因为-1≤sinθ-≤1,所以0≤2-2sinθ-≤4,
所以0≤|z-ω|≤2,
故求得z=i,|z-ω|的取值范围是[0,2].
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