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2025北师大版数学必修第二册
*§3　复数的三角表示
3.1　复数的三角表示式
3.2　复数乘除运算的几何意义
A级必备知识基础练
1.[探究点一]将复数1-i化成三角形式为(　　)
A.2cos+isin
B.2cos+isin
C.2cos+isin
D.2cos+isin
2.[探究点四]把复数3-i对应的向量按顺时针方向旋转,所得向量对应的复数为(　　)
A.2 B.-2i
C.-3i D.3+i
3.[探究点四]如果向量对应复数4i,绕原点O逆时针旋转45°后再把模变为原来的倍,得到向量,那么与对应的复数是　　　　　.
4.[探究点三、四]计算:(1)i10÷3i;
(2)[2(cos 50°+isin 50°)]-4.
5.[探究点四]在复平面内,一个正方形的四个顶点按照逆时针方向依次为Z1,Z2,Z3,O(其中O为原点).已知点Z2对应的复数z2=1+i,求点Z1和Z3分别对应的复数z1,z3.
B级关键能力提升练
6.设z1=1-2i,z2=1+i,z3=-1+3i,则arg z1+arg z2+arg z3=(　　)
A. B. C. D.
7.(多选)设z1,z2是复数,arg z1=α,arg z2=β,则arg(z1·z2)有可能是下列情况中的哪些(　　)
A.α+β B.α+β-2π
C.2π-(α+β) D.π+α+β
8.设z=(-3+3i)n,n∈N+.当z∈R时,n的最小值为　　　　　.
9.若分别对应复数z1=1+2i,z2=7+i,求∠Z2OZ1,并判断△OZ1Z2的形状.
C级学科素养创新练
10.[人教B版教材例题]如图,已知平面内并列的三个相等的正方形,利用复数证明α+β+γ=.
*§3　复数的三角表示
3.1　复数的三角表示式
3.2　复数乘除运算的几何意义
1.C　由题得,|1-i|=2.又(1,-)在第四象限且tan θ=-,故arg(1-i)=,所以化成三角形式为2cos+isin.
2.B　由题得,3-i=2cos-+isin-.将复数对应的向量顺时针方向旋转,得z=2cos-+isin-÷cos+isin=2cos-+isin-=-2i.
3.-4+4i　z1=4i·(cos 45°+isin 45°)=4[cos(90°+45°)+isin(90°+45°)]=-4+4i.
4.解(1)原式=cos-+isin-10÷3cos+isin=cos-+isin-÷3cos+isin=cos+isin÷3cos+isin=cos+isin=cos+isin=i.
(2)原式=4
=4[cos(-50°)+isin(-50°)]4
=[cos(-200°)+isin(-200°)]
=(cos 160°+isin 160°).
5.解根据题意画出草图,如图所示.
由复数运算的几何意义知,z1=·z2·cos-+isin-=(1+i)i=i,
z3=·z2·cos+isin=(1+i)i=i.
6.C　arg z1+arg z2+arg z3=arg(z1z2z3)+2kπ,k∈Z.
∵z1z2z3=(1-2i)(1+i)(-1+3i)=10i,∴arg(z1z2z3)=.又7.AB　设z1=r1(cos α+isin α),z2=r2(cos β+isin β),则z1z2=r1r2[cos(α+β)+isin(α+β)],
∴arg(z1z2)=α+β+2kπ(k∈Z)且arg(z1z2)∈[0,2π).
8.4　由题得,z=(-3+3i)n=6cos+isinn=6ncos+isin.
∵z∈R,∴sin=0,
∴=kπ(k∈Z),
∴n=k(k∈Z).
又n∈N+,∴n的最小值为4.
9.解∵cos+isin,
∴∠Z2OZ1=.
又Z1(1,2),Z2(7,),
∴=(6,-),∴=(1,2)·(6,-)=1×6+2×(-)=0,
∴,
即∠OZ1Z2=,
∴△OZ1Z2是∠OZ1Z2=90°的直角三角形.
10.证明假设每个正方形的边长为1,建立如图所示平面直角坐标系,确定复平面.
由平行线的内错角相等可知,α,β,γ分别等于复数3+i,2+i,1+i的辐角主值,
因此α+β+γ应该是(3+i)(2+i)(1+i)的一个辐角.
又因为(3+i)(2+i)(1+i)=(5+5i)(1+i)=10i,而arg(10i)=,
所以存在整数k,使得α+β+γ=+2kπ.
注意到α,β,γ都是锐角,于是k=0,从而α+β+γ=.
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