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2025北师大版数学必修第二册
1.3　简单旋转体——球、圆柱、圆锥和圆台
A级必备知识基础练
1.[探究点一](多选)下列说法中正确的是(　　)
A.过球心的截面所截得的圆面的半径等于球的半径
B.母线长相等的不同圆锥的轴截面的面积相等
C.圆台中所有平行于底面的截面都是圆面
D.圆锥所有的轴截面都是全等的等腰三角形
2.[探究点一]下列说法正确的是(　　)
A.圆锥的母线长等于底面圆直径
B.圆柱的母线与轴垂直
C.圆台的母线与轴平行
D.球的直径必过球心
3.[探究点三]已知圆锥的母线长为20 cm,母线与轴的夹角为30°,则圆锥的高为(　　)
A.10 cm B.20 cm
C.20 cm D.10 cm
4.[探究点二]在半径为13的球面上有A,B,C三点,其中AC=6,BC=8,AB=10,则球心到经过这三个点的截面的距离为　　　　　.
5.[探究点三]已知一个圆柱的轴截面是一个正方形,且其面积是Q,则此圆柱的底面半径为　　　　　.(用Q表示)
6.[探究点四·2024浙江杭州高一期中]已知圆柱的轴截面面积为1,则该圆柱侧面展开图的周长的最小值为　　　　.
B级关键能力提升练
7.如图,用一边长为2的正方形硬纸,按各边中点垂直折起四个小三角形,做成一个蛋巢,将体积为的鸡蛋(视为球体)放入其中,蛋巢形状保持不变,则鸡蛋中心(球心)与蛋巢底面的距离为(　　)
A. B. C. D.
8.已知圆锥的底面半径为r,高为h,正方体ABCD-A1B1C1D1内接于圆锥,则这个正方体的棱长为　　　　　.
9.如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面,下底面圆心为顶点的圆锥而成的.现用一个竖直的平面去截这个几何体,则所截得的图形可能是　　　　　.(填序号)
C级学科素养创新练
10.如图所示,已知圆锥SO中,底面半径r=1,母线长l=4,M为母线SA上的一个点,且SM=x,从点M拉一根绳子,围绕圆锥侧面转到点A.求:
(1)绳子的最短长度的平方f(x);
(2)绳子最短时,顶点到绳子的最短距离;
(3)f(x)的最大值.
1.3　简单旋转体——
球、圆柱、圆锥和圆台
1.ACD
2.D　圆锥的母线长与底面圆的直径不一定相等,故A错误;圆柱的母线与轴平行,故B错误;圆台的母线与轴不平行,故C错误;球的直径必过球心,故D正确.故选D.
3.A　圆锥的高即为经过轴的截面截得的等腰三角形的高,设为h cm.
这个等腰三角形的腰长为20 cm,顶角的一半为30°.
故h=20cos 30°=10(cm).
4.12　由题知,△ABC是以AB为斜边的直角三角形,所以其外接圆的半径r==5,所以d==12.
5.　设圆柱的底面半径为r,则母线长为2r,∴轴截面的面积为4r2=Q,解得r=,∴此圆柱的底面半径为.
6.4　设圆柱的底面半径为r,高为h,
则2rh=1,所以h=,
所以该圆柱侧面展开图的周长l=2(h+2πr)=2h+4πr=+4πr≥2=4,
当且仅当=4πr,即r=时,等号成立,
所以该圆柱侧面展开图的周长的最小值为4.
7.B　折起后的蛋巢四个小三角形顶点构成边长为1的正方形,其外接圆半径r=,球半径R=1,由球面的截面小圆性质知,球心到截面距离d=,
蛋巢四个小三角形顶点到蛋巢底的距离为边长是1的小等腰三角形的高,等于,
所以鸡蛋中心(球心)与蛋巢底面的距离为.
8.　过内接正方体上、下底面的一组对角线作圆锥的轴截面,如图所示.设圆锥内接正方体的棱长为x,则在轴截面中,正方体的对角面A1ACC1的一组邻边的长分别为x和x.
因为△VA1C1∽△VMN,所以,即,
所以hx=2rh-2rx,即x=.
故这个正方体的棱长为.
9.①⑤　由于截面平行于圆锥的轴或过圆锥的轴,故只能是①⑤.
10.
解将圆锥的侧面沿SA展开在平面上,如图所示,则该图为扇形,且弧AA'的长度L就是圆O的周长,
∴L=2πr=2π,
∴∠ASM=.
(1)由题意知绳子长度的最小值为展开图中的AM,
其值为AM=(0≤x≤4),
∴f(x)=AM2=x2+16(0≤x≤4).
(2)绳子最短时,在展开图中作SR⊥AM,垂足为R,
则SR的长度为顶点S到绳子的最短距离,
在△SAM中,
∵S△SAM=SA×SM=AM×SR,
∴SR=(0≤x≤4),
即绳子最短时,顶点到绳子的最短距离为(0≤x≤4).
(3)∵f(x)=x2+16(0≤x≤4)是增函数,
∴f(x)的最大值为f(4)=32.
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