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2025北师大版数学必修第二册
§4　平行关系
4.1　直线与平面平行
A级必备知识基础练
1.[探究点一]下列条件中能得出直线m与平面α平行的是(　　)
A.直线m与平面α内所有直线平行
B.直线m与平面α内无数条直线平行
C.直线m与平面α没有公共点
D.直线m与平面α内的一条直线平行
2.[探究点二]如图所示,已知S为四边形ABCD所在平面外一点,G,H分别为SB,BD上的点,若GH∥平面SCD,则(　　)
A.GH∥SA
B.GH∥SD
C.GH∥SC
D.以上均有可能
3.[探究点一]若直线a∥平面α,a β,α∩β=b,b∥平面γ,γ∩α=c,则a与c的位置关系是　　　　　.
4.[探究点三]在三棱锥S-ABC中,G为△ABC的重心,E在棱SA上,且AE=2ES,则直线EG与平面SBC的位置关系为　　　　　.
5.[探究点四]如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为a,M,N分别是下底面的棱A1B1,B1C1的中点,P是上底面的棱AD上的一点,AP=,过点P,M,N的平面交上底面于PQ,点Q在棱CD上,则PQ=　　　　　.
6.[探究点三]如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是棱BC,C1D1的中点.求证:EF∥平面BDD1B1.
B级关键能力提升练
7.已知直线a∥平面α,直线a∥平面β,α∩β=b,直线a与直线b(　　)
A.相交 B.平行
C.异面 D.不确定
8.如图,已知A,B,C,D四点不共面,且AB∥α,CD∥α,AC∩α=E,AD∩α=F,BD∩α=H,BC∩α=G,则四边形EFHG的形状是　　　　　　　　.
9.如图,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD为等腰梯形,AB∥CD,AB=4,BC=CD=2,AA1=2,E,E1,F分别是棱AD,AA1,AB的中点.证明:直线EE1∥平面FCC1.
C级学科素养创新练
10.如图是一个以△A1B1C1为底面的直三棱柱被一平面所截得的几何体,截面为△ABC.已知AA1=4,BB1=2,CC1=3.在边AB上是否存在一点O,使得OC∥平面A1B1C1
§4　平行关系
4.1　直线与平面平行
1.C
2.B　∵GH∥平面SCD,GH 平面SBD,平面SBD∩平面SCD=SD,∴GH∥SD.
3.a∥c　∵a∥α,a β,α∩β=b,∴a∥b.同理,∵b∥γ,b α,γ∩α=c,∴c∥b,∴a∥c.
4.平行　如图,延长AG交BC于点F,连接SF.由G为△ABC的重心得,AG=2GF.
又AE=2ES,∴EG∥SF.
∵SF 平面SBC,EG 平面SBC,
∴EG∥平面SBC.
5.a　由题可得MN∥平面ABCD,平面PMNQ∩平面ABCD=PQ,MN 平面PMNQ,
∴MN∥PQ,则DP=DQ=,
故PQ=a.
6.证明取D1B1的中点O,连接OF,OB.
∵F为C1D1的中点,
∴OF∥B1C1,且OF=B1C1.
又BE∥B1C1,BE=B1C1,
∴OF∥BE,且OF=BE,
∴四边形OFEB是平行四边形,
∴EF∥BO.
∵EF 平面BDD1B1,BO 平面BDD1B1,
∴EF∥平面BDD1B1.
7.B　因为直线a∥平面α,直线a∥平面β,所以在α,β中均可找到一条直线与直线a平行.设直线m在平面α内,直线n在平面β内,且m∥a,n∥a,所以m∥n.又因为m不在平面β内,n在平面β内,所以m∥β.又因为α∩β=b,m α,所以m∥b.又因为m∥a,所以a∥b,故选B.
8.平行四边形　∵AB∥α,平面ABC∩α=EG,AB 平面ABC,∴EG∥AB.
同理,FH∥AB,∴EG∥FH.
又CD∥α,平面BCD∩α=GH,CD 平面BCD,
∴GH∥CD.
同理,EF∥CD,∴GH∥EF,
∴四边形EFHG是平行四边形.
9.证明如图,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,取A1B1的中点F1,连接A1D,C1F1,CF1,FF1.
因为FF1∥BB1∥CC1,
所以F1F 平面FCC1,
所以平面FCC1即为平面C1CFF1.
因为AB=4,CD=2,且AB∥CD,
所以CD∥A1F1,且CD=A1F1,
所以A1F1CD为平行四边形,所以CF1∥A1D.
又E,E1分别是棱AD,AA1的中点,
所以EE1∥A1D,所以CF1∥EE1,
又EE1 平面FCC1,CF1 平面FCC1,
所以直线EE1∥平面FCC1.
10.解存在.取AB的中点O,连接OC.
作OD∥AA1交A1B1于点D,连接C1D,
则OD∥BB1∥CC1.
因为O是AB的中点,
所以OD=(AA1+BB1)=3=CC1,
则四边形ODC1C是平行四边形,所以OC∥C1D.
又C1D 平面C1B1A1,且OC 平面C1B1A1,
所以OC∥平面A1B1C1.
即在边AB上存在一点O,使得OC∥平面A1B1C1.
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