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2025北师大版数学必修第二册
4.2　平面与平面平行
A级必备知识基础练
1.[探究点一](多选)下列说法正确的是(　　)
A.平行于同一条直线的两个平面平行
B.平行于同一平面的两个平面平行
C.平行于同一平面的两直线关系不确定
D.两平面平行,一平面内的直线必平行于另一平面
2.[探究点一]已知三个平面α,β,γ和一条直线l,要得到α∥β,必须满足下列条件中的(　　)
A.l∥α,l∥β且l∥γ B.l γ,且l∥α,l∥β
C.α∥γ,且β∥γ D.以上都不正确
3.[探究点二]如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3,点E在棱A1B1上,且B1E=1,平面α∥平面BC1E,若平面α∩平面AA1B1B=A1F,则AF的长为(　　)
A.1 B.1.5 C.2 D.3
4.[探究点二]如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,过BB1的中点E作一个与平面ACB1平行的平面交AB于点M,交BC于点N,则=　　　　　.
5.[探究点三]如图,在正四面体S-ABC中,AB=4,E,F,R分别是SB,SC,SA的中点,取SE,SF的中点M,N.求证:平面MNR∥平面AEF.
6.[探究点四]如图所示,B为△ACD所在平面外一点,M,N,G分别为△ABC,△ABD,△BCD的重心.
(1)求证:平面MNG∥平面ACD;
(2)求S△MNG∶S△ADC.
B级关键能力提升练
7.如图是四棱锥的平面展开图,其中四边形ABCD为正方形,E,F,G,H分别为PA,PD,PC,PB的中点,在此几何体中,给出下面四个结论:
①平面EFGH∥平面ABCD;②BC∥平面PAD;③AB∥平面PCD;④平面PAD∥平面PAB.
其中正确的有(　　)
A.①③ B.①④ C.①②③ D.②③
8.如图,四棱锥P-ABCD的底面是平行四边形,PA=PB=AB=2,E,F分别是AB,CD的中点,平面AGF∥平面PEC,PD∩平面AGF=G,ED与AF相交于点H,则PE=　　　　　,GH=　　　　　.
9.在底面是平行四边形的四棱锥P-ABCD中,点E在PD上,且PE∶ED=2∶1,M为PE的中点,在棱PC上是否存在一点F,使平面BFM∥平面AEC 证明你的结论.
C级学科素养创新练
10.如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=4,BB1=2,点E,F,M分别为C1D1,A1D1,B1C1的中点,过点M的平面α与平面DEF平行,且与长方体的面相交,交线围成一个平面图形.在图中,画出这个平面图形,并求这个平面图形的面积(不必说明画法与理由).
4.2　平面与平面平行
1.BCD　对于A,如图,平行于同一条直线的两个平面相交,故A错误;对于B,平行于同一平面的两个平面平行,故B正确;对于C,平行于同一平面的两直线关系不确定,可以平行、相交,也可以异面,故C正确;对于D,根据两个平面平行的性质定理,两平面平行,一平面内的直线必平行于另一平面,故D正确.故选BCD.
2.C
3.A　∵平面α∥平面BC1E,平面α∩平面ABB1A1=A1F,平面BC1E∩平面ABB1A1=BE,∴A1F∥BE.又A1E∥FB,∴四边形A1FBE为平行四边形,∴FB=A1E=3-1=2,∴AF=1.
4.　∵平面MNE∥平面ACB1,∴EN∥B1C,EM∥B1A.
∵E为BB1的中点,∴M,N分别为BA,BC的中点,
∴MN=AC,即.
5.证明∵M,N分别为SE,SF的中点,∴MN∥EF.
又MN 平面AEF,EF 平面AEF,∴MN∥平面AEF.
∵R,M分别为SA,SE的中点,∴RM∥AE.
又RM 平面AEF,AE 平面AEF,∴RM∥平面AEF.
∵MN∩RM=M,MN 平面MNR,RM 平面MNR,
∴平面MNR∥平面AEF.
6.(1)证明如图,连接BM,BN,BG并分别延长交AC,AD,CD于点P,F,H.
∵M,N,G分别为△ABC,△ABD,△BCD的重心,则=2.
连接PF,FH,PH,则MN∥PF.
又PF 平面ACD,MN 平面ACD,∴MN∥平面ACD.
同理,MG∥平面ACD.
又MG∩MN=M,∴平面MNG∥平面ACD.
(2)解由(1)可知,,∴MG=PH.
又PH=AD,∴MG=AD.
同理NG=AC,MN=CD,
∴△MNG∽△DCA,且相似比为1∶3,
∴S△MNG∶S△ADC=1∶9.
7.C　把平面展开图还原为四棱锥如图所示,则EH∥AB,所以EH∥平面ABCD.同理可证EF∥平面ABCD,所以平面EFGH∥平面ABCD,故①正确;平面PAD,平面PBC,平面PAB,平面PDC是四棱锥的四个侧面,且两两相交,故④错误;因为AB∥CD,所以AB∥平面PCD.同理BC∥平面PAD,故②③正确.
8.　因为ABCD是平行四边形,所以AB∥CD,AB=CD.因为E,F分别是AB,CD的中点,所以AE=FD.
又∠EAH=∠DFH,∠AEH=∠FDH,
所以△AEH≌△FDH,所以EH=DH.
因为平面AGF∥平面PEC,平面PED∩平面AGF=GH,平面PED∩平面PEC=PE,所以GH∥PE,所以G是PD的中点.
因为PA=PB=AB=2,所以PE=2×sin 60°=,
所以GH=PE=.
9.解当F是棱PC的中点时,平面BFM∥平面AEC.
因为M是PE的中点,所以FM∥CE.
因为FM 平面AEC,CE 平面AEC,
所以FM∥平面AEC.由EM=PE=ED,
得E为MD的中点,连接BM,BD,如图所示,
设BD∩AC=O,则O为BD的中点.
连接OE,则BM∥OE.
因为BM 平面AEC,OE 平面AEC,所以BM∥平面AEC.
因为FM 平面BFM,BM 平面BFM,且FM∩BM=M,
所以平面BFM∥平面AEC.
10.解如图,设N为A1B1的中点,连接MN,AN,AC,CM,则四边形MNAC为所求的平面图形.
因为M,N,E,F均为中点,
所以MN∥EF.
又EF 平面DEF,MN 平面DEF,
所以MN∥平面DEF.
易得AN∥DE,且AN 平面DEF,DE 平面DEF,
所以AN∥平面DEF.
因为MN∩AN=N,MN,AN 平面MNAC,
所以平面MNAC∥平面DEF.
因为MN∥AC,MN≠AC,则四边形MNAC为梯形,
且MN=AC=2.
过点M作MP⊥AC于点P,由题可得,MC==2,PC=,
所以MP=,
所以S梯形MNAC=×(2+4)×=6.
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