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2025北师大版数学必修第二册
§5　垂直关系
5.1　直线与平面垂直
A级必备知识基础练
1.[探究点一]如图,α∩β=l,A,C∈α,B∈β,且AB⊥α,BC⊥β,那么直线l与直线AC的位置关系是(　　)
A.异面 B.平行
C.垂直 D.不确定
2.[探究点二]如图,三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长均相等,且侧棱垂直于底面,点D是侧面BB1C1C的中心,则直线AD与平面ABC所成的角为(　　)
A.30° B.45° C.60° D.90°
3.[探究点一]平行四边形ABCD的对角线交点为O,点P在平行四边形ABCD所在平面外,且PA=PC,PD=PB,则直线PO与平面ABCD的位置关系是　　　　　.
4.[探究点四·2024北京石景山高一期中]在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,PA⊥平面ABC,PA=8,则点P到BC的距离为　　　　.
5.[探究点二]在矩形ABCD中,AB=1,BC=,PA⊥平面ABCD,PA=1,则PC与平面ABCD所成的角是　　　　　.
6.[探究点一、二]如图所示,四边形ABCD是正方形,DE⊥平面ABCD,DE=DA=2.
(1)求证:AC⊥平面BDE;
(2)求AE与平面BDE所成的角的大小.
7.[探究点三]如图,直线EA,DC垂直于平面ABC,且EA=2DC,F是EB的中点.求证:DF∥平面ABC.
B级关键能力提升练
8.如图,在正方形ABCD中,E,F分别是BC,CD的中点,G是EF的中点,现在沿AE,AF及EF把这个正方形折成一个空间图形,使B,C,D三点重合,重合后的点记为H,那么,在这个空间图形中必有 (　　)
A.AG⊥△EFH所在平面
B.AH⊥△EFH所在平面
C.HF⊥△AEF所在平面
D.HG⊥△AEF所在平面
9.在四面体PABC中,若PA=PB=PC,则点P在平面ABC内的投影一定是△ABC的(　　)
A.外心 B.内心 C.垂心 D.重心
10.如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=BC=AC,若AB∶BB1=∶1,则AB1与平面BB1C1C所成的角的大小为　　　　　.
11.如图,PA⊥矩形ABCD所在的平面,M,N分别是AB,PC的中点.
(1)求证:MN∥平面PAD.
(2)若PD与平面ABCD的夹角为α,当α为多少度时,MN⊥平面PCD
C级学科素养创新练
12.如图所示,直升机上一点P在地面α上的射影是点A(即PA⊥α),从点P看地面上一物体B(不同于A),直线PB垂直于直升机玻璃窗所在的平面β.试探讨平面β与平面α的位置关系.
§5　垂直关系
5.1　直线与平面垂直
1.C　∵AB⊥α,l α,∴AB⊥l.∵BC⊥β,l β,∴BC⊥l.又AB∩BC=B,AB,BC 平面ABC,∴l⊥平面ABC.又AC 平面ABC,∴l⊥AC.
2.A　取BC的中点E,连接AE,DE(图略).易知,DE⊥平面ABC,即∠DAE为直线AD与平面ABC所成的角.设三棱柱ABC-A1B1C1的棱长为2,则DE=1,AE=,tan∠DAE=,所以∠DAE=30°.
3.垂直　在△PAC中,PA=PC,O为AC的中点,
∴PO⊥AC.
同理,PO⊥BD.
又AC∩BD=O,AC,BD 平面ABCD,
∴PO⊥平面ABCD.
4.4　如图所示,作PD⊥BC于点D,连接AD.
因为PA⊥平面ABC,BC 平面ABC,
所以PA⊥BC.
又PD∩PA=P,所以BC⊥平面PAD.
又AD 平面PAD,BC 平面PAD,
所以AD⊥BC.
在△ACD中,AC=5,CD=3,所以AD=4.
在Rt△PAD中,PA=8,AD=4,
所以PD==4.
5.30°　由题意知,∠PCA为直线PC与平面ABCD所成的角.
在Rt△PAC中,tan∠PCA=,
∴∠PCA=30°.
6.(1)证明∵四边形ABCD是正方形,∴AC⊥BD.
∵DE⊥平面ABCD,AC 平面ABCD,∴AC⊥DE.
∵BD∩DE=D,BD,DE 平面BDE,
∴AC⊥平面BDE.
(2)解如图所示,设AC∩BD=O,连接EO,
∵AC⊥平面BDE,∴EO是直线AE在平面BDE上的射影,
∴∠AEO即为直线AE与平面BDE所成的角.
在Rt△EAD中,EA==2,AO=.
∴在Rt△EOA中,sin∠AEO=,
∴∠AEO=30°,即直线AE与平面BDE所成的角为30°.
7.证明取AB的中点M,连接CM,FM.
在△ABE中,F,M分别为EB,AB的中点,则FM∥EA,且EA=2FM.
∵EA⊥平面ABC,DC⊥平面ABC,
∴DC∥EA,且EA=2DC,
∴DC∥FM,且DC=FM,
故四边形DCMF为平行四边形,则DF∥CM.
又CM 平面ABC,DF 平面ABC,
∴DF∥平面ABC.
8.B
9.A　如图,设点P在平面ABC内的投影为点O,连接OP,则PO⊥平面ABC,
连接OA,OB,OC,则PO⊥OA,PO⊥OB,PO⊥OC.
又PA=PB=PC,
∴Rt△POA≌Rt△POB≌Rt△POC,
∴OA=OB=OC,
∴O为△ABC的外心.
10.45°　如图,取BC的中点D,连接AD,B1D.
由题可得,AD⊥BC,且AD⊥BB1.
∵BC∩BB1=B,BC,BB1 平面BCC1B1,
∴AD⊥平面BCC1B1,
则∠AB1D即为直线AB1与平面BB1C1C所成的角.
设AB=,则AA1=1,AD=,AB1=,
∴sin∠AB1D=,
∴∠AB1D=45°,即直线AB1与平面BB1C1C所成的角为45°.
11.(1)证明取PD的中点E,连接NE,AE,如图.
∵N是PC的中点,
∴NE∥DC且NE=DC.
又DC∥AB且DC=AB,AM=AB,
∴AM∥CD,且AM=CD,
∴NE∥AM,且NE=AM,
∴四边形AMNE是平行四边形,∴MN∥AE.
∵AE 平面PAD,MN 平面PAD,∴MN∥平面PAD.
(2)解当α=45°时,MN⊥平面PCD,证明如下:
∵PA⊥平面ABCD,
∴∠PDA即为PD与平面ABCD的夹角,∴∠PDA=45°,
∴AP=AD,∴AE⊥PD.
又MN∥AE,∴MN⊥PD.
∵PA⊥平面ABCD,CD 平面ABCD,∴PA⊥CD.
又CD⊥AD,PA∩AD=A,PA,AD 平面PAD,
∴CD⊥平面PAD.∵AE 平面PAD,
∴CD⊥AE,∴CD⊥MN.
又CD∩PD=D,CD,PD 平面PCD,
∴MN⊥平面PCD.
12.解平面β与平面α必相交.
假设平面α与平面β平行.
因为PA⊥平面α,所以PA⊥平面β.
因为PB⊥平面β,由线面垂直的性质定理,可得PA∥PB,
与已知PA∩PB=P矛盾,
所以平面β与平面α必相交.
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