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2025北师大版数学必修第二册
6.2　柱、锥、台的体积
A级必备知识基础练
1.[探究点二]将半径为1,圆心角为的扇形围成一个圆锥,则该圆锥的体积为(　　)
A.2π B.
C. D.
2.[探究点三]体积为52的圆台,下底面面积是上底面面积的9倍,那么截得这个圆台的圆锥的体积是(　　)
A.54 B.54π C.58 D.58π
3.[探究点二]如图所示,E,F分别是边长为1的正方形ABCD的边BC,CD的中点,将其沿AE,AF,EF折起使得B,D,C三点重合,则所围成的三棱锥的体积为　　　　　.
4.[探究点一、二]如图所示,在多面体FE-ABCD中,已知ABCD是边长为1的正方形,且△ADE,△BCF均为正三角形,EF∥AB,EF=2,求该多面体的体积V.
5.[探究点一]已知圆锥的底面半径为2,高为4.一个圆柱的下底面在圆锥的底面上,上底面的圆周在圆锥的侧面上,当圆柱侧面积为4π时,求该圆柱的体积.
B级关键能力提升练
6.如图扇形ABC,圆心角A=90°,D为半径AB中点,CB,CD把扇形分成三部分,这三部分绕AC旋转一周,所得三部分旋转体的体积V1,V2,V3之比是(　　)
A.1∶2∶2 B.1∶2∶3
C.1∶3∶3 D.1∶3∶4
7.(多选)正三棱锥底面边长为3,侧棱长为2,则下列叙述正确的是(　　)
A.正三棱锥高为3
B.正三棱锥的斜高为
C.正三棱锥的体积为
D.正三棱锥侧面积为
8.现有某几何体和一个圆锥满足祖暅原理的条件,若该圆锥的侧面展开图是半径为3的圆的三分之一,则该几何体的体积为　　　　　.
9.如图①,一个正三棱柱容器,底面边长为a,高为2a,内装水若干,将容器放倒,把一个侧面作为底面,如图②,这时水面恰好为中截面,则图①中容器内水面的高度是　　　　　.
图①
图②
10.在四棱锥E-ABCD中,底面四边形ABCD为梯形,AB∥CD,2AB=3CD,M为AE的中点,设四棱锥E-ABCD的体积为V,那么三棱锥M-EBC的体积为多少
C级学科素养创新练
11.从①=2,②G是PB的中点,③G是△PBC的内心,三个条件中任选一个条件,补充在下面问题中,并完成解答.
在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PD⊥底面ABCD,且PD=1,AB=,AD=2,E,F分别为PC,BD的中点.
(1)判断EF与平面PAD的位置关系,并证明你的结论;
(2)若G是侧面PBC上的一点,且　　　　,求三棱锥G-DCE的体积.
6.2　柱、锥、台的体积
1.B　设圆锥底面半径为r,扇形弧长为l,则l=2πr=π×1,解得r=,∴圆锥的高为,∴圆锥的体积为V=×π×.
2.A　设上底面半径为r,圆台高为h1,则下底面半径为3r,故52=πh1(r2+9r2+3r·r),∴πr2h1=12.设截得这个圆台的圆锥的高为h,则,∴h=h1,∴V圆锥=π(3r)2×h=3πr2×h1=×12=54.
3.　设点B,D,C重合于点P,如图所示.
∵AB⊥BE,AD⊥DF,
∴AP⊥PE,AP⊥PF.
又PE,PF 平面PEF,PE∩PF=P,
∴AP⊥平面PEF,即AP为三棱锥A-PEF的高,
∴VA-PEF=S△PEF·AP=S△CEF·AB=×1=.
4.解如图所示,分别过点A,B作EF的垂线AG,BH,垂足分别为G,H.连接DG,CH,则EG=HF=,
所以AG=GD=BH=HC=,
则△AGD,△BHC的高为,
所以S△AGD=S△BHC=×1=,故V=VE-ADG+VF-BHC+VAGD-BHC=×2+×1=.
5.解圆锥的轴截面如图所示,设圆柱底面半径为r,其中0由题意可知,△AO1D∽△AO2C,则=2,
所以AO1=2r,则圆柱的高h=4-2r,
故圆柱的侧面积S=2πr(4-2r)=4π(-r2+2r)=4π,
整理得r2-2r+1=0,解得r=1.
当r=1时,h=2,该圆柱的体积V=πr2h=2π.
6.D　由题意,不妨设扇形ABC的半径为2,
则V1=π×12×2=,V2=π×22×2-π×12×2=2π,V3=×23-π×22×2=,
故V1∶V2∶V3=∶2π∶=1∶3∶4.
故选D.
7.AB　取△ABC的中心为O,连接PO.
由题意得PO⊥平面ABC.
因为△ABC为等边三角形,所以AO=,所以正三棱锥的高为PO==3,
所以S△ABC=×3×3sin 60°=,所以正三棱锥的体积为VP-ABC=S△ABCPO=.
作PD⊥AB交AB于D,因为PA=PB=2,AD=AB=,所以正三棱锥的斜高为PD=,所以正三棱锥的侧面积为3S△PAB=3××PD×AB=3××3=.故选AB.
8.π　由题意可知,该几何体的体积等于圆锥的体积,∵圆锥的侧面展开图恰为一个半径为3的圆的三分之一,∴圆锥的底面周长为=2π,∴该圆锥的底面半径为1,母线长为3,故圆锥的高为=2,∴V圆锥=×π×12×2π.故所求几何体的体积为V=π.
9.a　设题图①中容器内水面的高度为h,水的体积为V,则V=S△ABCh.又题图②中水组成了一个直四棱柱,其底面积为S△ABC,高度为2a,则V=S△ABC·2a,
所以h=a.
10.解设点B到平面EMC的距离为h1,点D到平面EMC的距离为h2,连接MD.因为M是AE的中点,
所以VM-ABCD=V,
所以VE-MBC=V-VE-MDC.
而VE-MBC=VB-EMC,VE-MDC=VD-EMC,
所以.
因为点B,D到平面EMC的距离即为点B,D到平面EAC的距离,而AB∥CD,且2AB=3CD,所以,
所以VE-MBC=VM-EBC=V.
11.解(1)EF∥平面PAD,理由如下:
如图所示,连接AC.
∵四边形ABCD为矩形,且点F为BD的中点,∴点F为AC的中点.
又E为PC的中点,∴EF∥PA.
∵EF 平面PAD,PA 平面PAD,∴EF∥平面PAD.
(2)∵四边形ABCD为矩形,∴BC⊥CD.
∵PD⊥平面ABCD,BC 平面ABCD,∴BC⊥PD.
∵CD∩PD=D,∴BC⊥平面PCD.
∵E为PC的中点,则S△DEC=S△PCD=CD×PD=×1=.
选①:=2,则G∈BC,
∴GC⊥平面PCD,
且GC=BC=,
∴VG-DEC=S△DEC×GC=.
选②:∵G,E分别为PB,PC的中点,∴GE∥BC,且GE=BC=1.
∵BC⊥平面PCD,
∴GE⊥平面PCD,
∴VG-DEC=S△DEC×GE=×1=.
选③:设△PBC的内切圆切PC于点H,连接GH,则GH⊥PC.
∵BC⊥平面PCD,PC 平面PCD,
∴BC⊥PC.
在平面PBC内,BC⊥PC,GH⊥PC,则GH∥BC,∴GH⊥平面PCD,PC==2,PB==2.
由等面积法可得S△PBC=BC×PC=(PC+BC+PB)×GH,
∴GH==2-,∴VG-DEC=S△DEC×GH=×(2-)=.
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