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2025北师大版数学必修第二册
§6　函数y=Asin(ωx+φ)的性质与图象
6.1　探究ω对y=sin ωx的图象的影响
6.2　探究φ对y=sin(x+φ)的图象的影响
6.3　探究A对y=Asin(ωx+φ)的图象的影响
A级必备知识基础练
1.[探究点二]函数y=sinx,x∈[-π,3π]的图象是(　　)
2.[探究点一]函数y=sin 4x的图象是由函数y=sin x的图象伸缩得到,其伸缩的方法是将图象上所有点的(　　)
A.横坐标伸长到原来的4倍,纵坐标不变
B.横坐标缩短到原来的,纵坐标不变
C.纵坐标伸长到原来的4倍,横坐标不变
D.纵坐标缩短到原来的,横坐标不变
3.[探究点一]将函数y=sin 2x的图象沿x轴向右平移个单位长度,得到函数y=f(x)的图象,则(　　)
A.f(x)=sin2x+
B.f(x)=sin2x+
C.f(x)=sin2x-
D.f(x)=sin2x-
4.[探究点一]将函数y=cos2x+的图象上各点向右平移个单位长度,再把横坐标缩短为原来的,纵坐标伸长为原来的4倍,则所得到的图象的函数解析式是(　　)
A.y=4cos4x-
B.y=4cos4x+
C.y=4sin4x+
D.y=-4sin4x+
5.[探究点二]函数f(x)=sin(ωx+φ)(其中ω>0,|φ|<π)的图象如图所示,则(　　)
A.ω=3,φ=
B.ω=3,φ=-
C.ω=6,φ=-
D.ω=6,φ=
6.[探究点三]函数y=sinx+的最小正周期不大于4,则正整数k的最小值为　　　　　.
7.已知函数f(x)=-2asin2x++b的定义域为0,,值域为[-5,4],求常数a,b的值.
B级关键能力提升练
8.将函数f(x)=sin2x-的图象向左平移φ个单位长度,恰与函数g(x)=sin2x+的图象重合,则φ的取值可能是(　　)
A. B. C. D.
9.(多选)已知函数f(x)=cos,则下列说法正确的是(　　)
A.函数f(x)的最小正周期为π
B.当x=kπ-(k∈Z)时,f(x)取得最大值1
C.函数f(x)图象的一个对称中心是
D.将f(x)图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变),再将图象向右平移个单位长度,则所得到的图象的函数解析式为y=cos 4x
10.设函数f(x)=cos(ωx+φ)ω>0,-<φ<0的最小正周期为π,且f=1.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)求函数f(x)的单调递增区间;
(3)将函数y=f(x)的图象向左平移个单位长度,再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图象,求g(x)在-上的值域.
C级学科素养创新练
11.已知函数f(x)=sin,当x∈0,时,关于x的方程f(x)=m恰有两个不同的实数解x1,x2,则x1+x2=　　　　　,f(x1+x2)=　　　　　.
12.已知函数f(x)=2sinωx+φ-+1(0<φ<π,ω>0)为偶函数,且函数f(x)的图象的两相邻对称轴间的距离为.
(1)求f的值;
(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后,再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍,纵坐标不变,得到函数g(x)的图象,求函数g(x)的单调递减区间.
§6　函数y=Asin(ωx+φ)的性质与图象
6.1　探究ω对y=sin ωx的图象的影响
6.2　探究φ对y=sin(x+φ)的图象的影响
6.3　探究A对y=Asin(ωx+φ)的图象的影响
1.A　2.B
3.D　函数y=sin 2x的图象沿x轴向右平移个单位长度,得到y=sin2x-,即y=sin2x-的图象,故选D.
4.A　y=cos2x+的图象上各点向右平移个单位长度得y=cos2x-+=cos2x-的图象,再把横坐标缩短为原来的得y=cos2·2x-=cos4x-的图象,再将纵坐标伸长为原来的4倍得y=4cos4x-的图象.
5.A　由题图可知,T==4×=,
所以ω=3.
由题图知,3×+φ=+2kπ,k∈Z,
∴φ=+2kπ,k∈Z,
又|φ|<π,∴φ=,故选A.
6.4　由题可知0<≤4,
∴k≥π,又k∈N+,∴k的最小值为4.
7.解 ∵x∈0,,∴2x+∈.
∴sin2x+∈-,1.
当a>0时,
∴a=3,b=1;
当a<0时,
∴a=-3,b=-2;
当a=0时,不符合题意.
综上所述,a=3,b=1或a=-3,b=-2.
8.D　将函数f(x)=sin2x-的图象向左平移φ个单位后得y=sin2(x+φ)-,φ>0,与图象g(x)=sin2x+的图象重合,所以2φ-+2kπ,k∈Z,解得φ=+kπ,k∈Z,当k=0时,φ=.故选D.
9.AB　f(x)的最小正周期为T==π,故选项A正确;
当x=kπ-(k∈Z)时,2x+=2kπ(k∈Z),
f(x)=cos=cos 2kπ=1,f(x)取得最大值1,故选项B正确;
当x=时,f(x)=cos 2π=1,故选项C不正确;
将f(x)图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变),可得y=cos,
再将图象向右平移个单位长度可得y=cos=cos,故选项D不正确.
故选AB.
10.解(1)由题意,函数f(x)=cos(ωx+φ)的最小正周期为π,
所以=π,可得ω=2,所以f(x)=cos(2x+φ).
又由f=1,
可得f=cos2×+φ=cos=1,
可得+φ=2kπ,k∈Z,即φ=2kπ-,k∈Z.
因为-<φ<0,所以φ=-,
所以函数f(x)的解析式为f(x)=cos.
(2)由(1)知f(x)=cos,
令2kπ-π≤2x-≤2kπ,k∈Z,
解得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,
所以函数f(x)=cos的单调递增区间为kπ-,kπ+,k∈Z.
(3)将函数y=f(x)的图象向左平移个单位长度,得到函数y=cos2=cos,再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,得到函数y=g(x)=cos,因为x∈-,可得x+∈,π,所以-1≤g(x)≤,
所以函数g(x)的值域为-1,.
11.　∵x∈0,,∴≤2x+,
∴-≤f(x)≤1,
画出f(x)的图象(图略),结合图象知2x1++2x2+=2×=π,则x1+x2=,则f(x1+x2)=f=sin=sin.
12.解(1)因为f(x)为偶函数,所以φ-=kπ+,k∈Z,所以φ=kπ+,k∈Z.又0<φ<π,所以φ=,
所以f(x)=2sinωx++1=2cos ωx+1.
又因为函数f(x)的图象的两相邻对称轴间的距离为,
所以T==2×,所以ω=2,所以f(x)=2cos 2x+1,
所以f=2cos2×+1=+1.
(2)将f(x)的图象向右平移个单位长度后,
得到函数fx-的图象,
再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍,
纵坐标不变,得到f的图象,
所以g(x)=f=2cos2+1=2cos+1.
当2kπ≤≤2kπ+π,k∈Z,
即4kπ+≤x≤4kπ+,k∈Z时,g(x)单调递减.所以函数g(x)的单调递减区间是4kπ+,4kπ+,k∈Z.
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