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第十五章 学情评估卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．[［2025重庆长寿区期末］]某学校运动场的围墙上雕刻着一幅幅精美的运动图案，下列四幅图案中，可以看成轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2．[［2025长沙雨花区期末］]已知点与点关于轴对称，则点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
3．如图，，， ，则的度数为（ ）
（第3题）
A. B. C. D.
4．定理“等腰三角形的两个底角相等”的逆定理是（ ）
A. 有两个角不相等的三角形不是等腰三角形
B. 不是等腰三角形的两个角不相等
C. 有两个底角相等的三角形是等腰三角形
D. 有两个角相等的三角形是等腰三角形
5．如图，在中，， ，于点，点为的中点，与交于点，则的度数是（ ）
（第5题）
A. B. C. D.
6．如图，等边三角形纸片的边长为6，点，是边上的三等分点，分别过点，沿着平行于，的方向各剪一刀，则剪下的的周长是（ ）
（第6题）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
7．[［2025唐山路北区期末］]如图，在中，以点为圆心，的长为半径作圆弧，交于点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点和点，作直线交于点.若，，则的周长为（ ）
（第7题）
A. 22 B. 20 C. 18 D. 16
8．如图，小明用一副三角板拼成一幅“帆船图”， ， ，，，连接，则的度数是（ ）
（第8题）
A. B. C. D.
9．如图，已知 ，点在边上，，点，在边上，，若，则的长为（ ）
（第9题）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 5.5
10．如图，射线端点为 线段，垂足为，，垂足为，，，，点为射线上的一个动点，当的周长最小时，（ ）
（第10题）
A. 2.5 B. 3 C. 4 D. 4.5
二、填空题（每题3分，共18分）
11．如图，和关于直线对称，若 ， ，则的度数为_ _ _ _ _ _ _ _ .
（第11题）
12．如图，在中，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作直线交于点.若 ，则的大小为_ _ _ _ _ _ .
（第12题）
13．[［2025郑州月考］]已知实数,满足，则点与点关于_ _ _ _ _ _ 轴对称.
14．如图，，，且，，则的长为.
（第14题）
15．如图，在等边三角形网格中，每个等边三角形的边长都为1，图中已经将3个三角形涂色，从①，②，③号位置选择一个三角形涂色，其中不能与图中涂色部分构成轴对称图形的是_ _ _ _ （填序号）.
（第15题）
16．如图，在边长为4的等边三角形中，是高上的任意一点，连接，以为边作等边三角形，连接，，若，则的长度是_ _ _ _ .
（第16题）
三、解答题（共72分）
17．（6分）如图，飞机从地向正北方向飞行到达地，再从地向南偏东 的方向飞行到达地（即），求，两地的距离.
18．（7分）如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，点为的中点，连接，若 ， .求证：.
19．（7分）如图①是某超市入口的双翼闸门，当它的双翼展开时，如图②，双翼边缘的端点与之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机箱侧立面的夹角 .求当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度.
20．（7分） 已知，两村坐落在两条相交公路，旁（如图所示）.现计划在，两村之间新建一所学校，学校的位置必须满足下列条件：①到两公路，的距离相等；②到，两村的距离也相等.请确定该学校的位置.（要求尺规作图并保留作图痕迹，不要求写出作法）
21．[［2025天津滨海新区期末］]（9分）如图，已知点，，.
（1） 和关于轴成轴对称，点的对称点是，点的对称点是，点的对称点是.在图中画出，并写出，，的坐标；
（2） 请在轴上找一点，使最小.（不写作法，保留作图痕迹）
22．（10分）在中，，点在边上，且.
（1） 如图①，求与的度数；
（2） 若为线段上的点，过作直线,交的延长线于点，直线分别交直线，于点，，如图②，求证：是等腰三角形.
23．（12分）在边长为9的等边三角形中，点是上一点，点是上一动点，以每秒1个单位的速度从点向点移动，设运动时间为秒.
（1） 如图①，若，，则_ _ ；
（2） 如图②，若点开始运动的同时，点以每秒2个单位的速度从点经点向点运动，当为何值时，为等边三角形？
24．（14分）已知与为等腰直角三角形，，连接,.
（1） 如图①，若，，求的度数；
（2） 如图②，若，，三点共线，与交于点，为中边上的高，求的度数，并说明线段，，之间的数量关系.
第十五章 学情评估卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．[［2025重庆长寿区期末］]某学校运动场的围墙上雕刻着一幅幅精美的运动图案，下列四幅图案中，可以看成轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
2．[［2025长沙雨花区期末］]已知点与点关于轴对称，则点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
3．如图，，， ，则的度数为（ ）
（第3题）
A. B. C. D.
【答案】A
4．定理“等腰三角形的两个底角相等”的逆定理是（ ）
A. 有两个角不相等的三角形不是等腰三角形
B. 不是等腰三角形的两个角不相等
C. 有两个底角相等的三角形是等腰三角形
D. 有两个角相等的三角形是等腰三角形
【答案】D
5．如图，在中，， ，于点，点为的中点，与交于点，则的度数是（ ）
（第5题）
A. B. C. D.
【答案】C
6．如图，等边三角形纸片的边长为6，点，是边上的三等分点，分别过点，沿着平行于，的方向各剪一刀，则剪下的的周长是（ ）
（第6题）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
【答案】C
7．[［2025唐山路北区期末］]如图，在中，以点为圆心，的长为半径作圆弧，交于点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点和点，作直线交于点.若，，则的周长为（ ）
（第7题）
A. 22 B. 20 C. 18 D. 16
【答案】D
8．如图，小明用一副三角板拼成一幅“帆船图”， ， ，，，连接，则的度数是（ ）
（第8题）
A. B. C. D.
【答案】A
9．如图，已知 ，点在边上，，点，在边上，，若，则的长为（ ）
（第9题）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 5.5
【答案】D
10．如图，射线端点为 线段，垂足为，，垂足为，，，，点为射线上的一个动点，当的周长最小时，（ ）
（第10题）
A. 2.5 B. 3 C. 4 D. 4.5
【答案】B
二、填空题（每题3分，共18分）
11．如图，和关于直线对称，若 ， ，则的度数为_ _ _ _ _ _ _ _ .
（第11题）
【答案】
12．如图，在中，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作直线交于点.若 ，则的大小为_ _ _ _ _ _ .
（第12题）
【答案】
13．[［2025郑州月考］]已知实数,满足，则点与点关于_ _ _ _ _ _ 轴对称.
【答案】
14．如图，，，且，，则的长为.
（第14题）
【答案】10
15．如图，在等边三角形网格中，每个等边三角形的边长都为1，图中已经将3个三角形涂色，从①，②，③号位置选择一个三角形涂色，其中不能与图中涂色部分构成轴对称图形的是_ _ _ _ （填序号）.
（第15题）
【答案】①
16．如图，在边长为4的等边三角形中，是高上的任意一点，连接，以为边作等边三角形，连接，，若，则的长度是_ _ _ _ .
（第16题）
【答案】1
三、解答题（共72分）
17．（6分）如图，飞机从地向正北方向飞行到达地，再从地向南偏东 的方向飞行到达地（即），求，两地的距离.
解： ，
,,
是等边三角形，
.
,两地的距离是.
18．（7分）如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，点为的中点，连接，若 ， .求证：.
证明：连接，
， ，
，.
点为的中点，，
垂直平分，.
垂直平分，
，.
19．（7分）如图①是某超市入口的双翼闸门，当它的双翼展开时，如图②，双翼边缘的端点与之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机箱侧立面的夹角 .求当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度.
解：过点作于点，过点作于点，
在中， ，
，
同理可得.
又 双翼边缘的端点与之间的距离为，
当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为.
20．（7分） 已知，两村坐落在两条相交公路，旁（如图所示）.现计划在，两村之间新建一所学校，学校的位置必须满足下列条件：①到两公路，的距离相等；②到，两村的距离也相等.请确定该学校的位置.（要求尺规作图并保留作图痕迹，不要求写出作法）
解：如图，点即为所求.
21．[［2025天津滨海新区期末］]（9分）如图，已知点，，.
（1） 和关于轴成轴对称，点的对称点是，点的对称点是，点的对称点是.在图中画出，并写出，，的坐标；
（2） 请在轴上找一点，使最小.（不写作法，保留作图痕迹）
【答案】
（1） 解：如图，即为所作.，，.
（2） 如图，点即为所作.
22．（10分）在中，，点在边上，且.
（1） 如图①，求与的度数；
（2） 若为线段上的点，过作直线,交的延长线于点，直线分别交直线，于点，，如图②，求证：是等腰三角形.
【答案】
（1） 解：，.
，.
，
，
.
，
，
， .
（2） 证明：由（1）可知,,
.
， ，,
是等腰三角形.
23．（12分）在边长为9的等边三角形中，点是上一点，点是上一动点，以每秒1个单位的速度从点向点移动，设运动时间为秒.
（1） 如图①，若，，则_ _ ；
（2） 如图②，若点开始运动的同时，点以每秒2个单位的速度从点经点向点运动，当为何值时，为等边三角形？
【答案】（1） 3
（2） 解：①当点在边上时，如图①，
此时不可能为等边三角形.
②当点在边上时，如图②.
若为等边三角形，则，由题意可知，，，，
，解得，
当时，为等边三角形.
24．（14分）已知与为等腰直角三角形，，连接,.
（1） 如图①，若，，求的度数；
（2） 如图②，若，，三点共线，与交于点，为中边上的高，求的度数，并说明线段，，之间的数量关系.
【答案】
（1） 解：，都是等腰直角三角形， ，
，， ，
易得.
在和中，
，
.
， ，
，
.
（2） 是等腰直角三角形， ， ， .
由（1）得，
，，
.
是等腰直角三角形，为上的高，
， ，，
，即.
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