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13.2 与三角形有关的线段
第十三章 三角形
13.2.2 三角形的中线、角平分线、高
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
课时讲解
1
课时流程
2
三角形的中线
三角形的角平分线
三角形的高
1. 定义：连接三角形一个顶点和它所对的边的中点，所得的线段叫做该三角形这条边上的中线.
知识点
三角形的中线
1
知1－讲
几何语言：如图13.2-4，
(1)AD 是△ ABC 中BC 边上的中线；
(2)D 是BC 边的中点；
(3)BD=DC，BD=BC，DC= BC.
知1－讲
特别解读
1. 三角形的中线把三角形分成的两个三角形的面积之间的关系和周长之间的关系：
(1)两个三角形的面积相等；
(2)两个三角形的周长的差等于原三角形另两边的差.
2. 中线是一条线段，一个端点是顶点，另一个端点是中点.
知1－讲
2. 三角形三条中线的位置：任何三角形都有三条中线，三条中线都在三角形的内部，并且三条中线相交于一点，这点在三角形的内部，如图13.2-5所示.
知1－讲
3. 三角形的重心：三角形三条中线的交点叫作三角形的重心(如图13.2-5中的点O)
知1－讲
如图13.2-6，在△ABC中，AD，BE分别是△ABC，△ABD 的中线.
(1)若△ ABD 与△ ADC 的周长
之差为3，AB=8，求AC 的长；
(2)若S △ ABC=8，求S △ ABE.
解题秘方：利用中线将三角形分成的两个三角形的周长之间的关系和面积之间的关系解题.
知1－练
例1
(1)若△ABD与△ADC的周长之差为3，AB=8，求AC的长；
解：∵ AD 为BC 边上的中线，∴ BD=CD.
∴ △ ABD 与△ ADC 的周长之差为
(AB＋AD＋BD)－(AC＋AD＋CD)=AB－AC.
∵△ ABD 与△ ADC 的周长之差为3，AB=8，
∴ 8 －AC=3，解得AC=5 .
知1－练
(2)若S△ ABC=8，求S△ ABE.
解：∵AD 是△ ABC 的中线，S△ ABC=8，
∴ S△ ABD= S△ ABC=4 .
∵ BE 是△ ABD 的中线，
∴ S△ ABE= S△ ABD=2 .
知1－练
1-1.如图，AD 是△ ABC的中线，CE 是△ ACD的中线，DF 是△ CDE的中线，若S △ DEF=2，则S △ ABC 等于( )
A．16
B．14
C．12
D．10
A
知1－练
1-2.如图，AD 是△ ABC的中线，已知△ ABD 的周长为
30 cm，AB 比AC 长4 cm, 则△ ACD的周长为_______ .
26 cm
知1－练
1. 定义：三角形一个内角的平分线与它所对的边相交，顶点和交点之间的线段叫作这个三角形的角平分线.
特别提醒
1. 角的平分线是一条射线，而三角形的角平分线是一条线段.
2. 三角形的角平分线是其内角的平分线的一部分，故角的平分线的性质三角形的角平分线都具有.
知识点
三角形的角平分线
2
知2－讲
几何语言：如图13.2-7，
(1)AD 是△ ABC 的角平分线；
(2)AD 平分∠ BAC 交BC 于点D；
(3)∠ BAD= ∠ CAD= ∠ BAC.
知2－讲
2. 三角形三条角平分线的位置：一个三角形有三条角平分线，它们都在三角形的内部，并且这三条角平分线交于三角形内部一点，如图13.2-8所示.
三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心.
知2－讲
如图13.2-9，D 是△ ABC 的边AC 上一点，DE ∥ BC 交AB 于点E，若∠ EDB= ∠ EBD，求证：BD 是△ ABC 的角平分线.
知2－练
例2
思路导引：
知2－练
证明：∵ DE ∥ BC，∴∠ EDB= ∠ DBC.
又∵∠ EDB= ∠ EBD，∴∠ DBC= ∠ EBD.
∴ BD 是△ ABC 的角平分线.
知2－练
2-1. 如图，在△ MCD中，AB ∥ CD，AE 与DF 分别是△ ABD 和△ ACD 的角平分线，那么AE 与DF 有什么位置关系？并说明理由.
知2－练
知2－练
1. 三角形的高的定义和性质
定义 从△ ABC 的顶点A 向它所对的边BC 所在直线画垂线，垂足为D，所得线段AD 叫做△ ABC 的边BC 上的高
图形
知识点
三角形的高
3
知3－讲
三角形的高线简称三角形的高
性质 ∵ AD是△ABC的边BC上的高(已知)，
∴ AD⊥BC于点D(或∠ADB=∠ADC= 90 °)
图形 ∵AD⊥BC 于点D(或∠ADB=∠ADC=90 °)(已知)，
∴线段AD是△ABC的边BC上的高(三角形的高的定义)
知3－讲
续表
特别提醒
1. 三角形的高是一条垂线段，一个端点是顶点，另一个端点是垂足.
2. 画三角形高的关键：找准顶点和对边；步骤：过直线外一点作该直线的垂线段.
知3－讲
2. 三角形高的画法：用三角板过三角形的某一顶点向其对边或对边所在直线画垂线，交对边或对边延长线于一点，所得的垂线段就是这条边上的高.
拓宽视野
三角形的三条高所在直线交于一点，这一点称为这个三角形的垂心.
知3－讲
3. 三角形三条高的位置
锐角三角形 直角三角形 钝角三角形
图形
知3－讲
锐角三角形 直角三角形 钝角三角形
三条高的位置 三条高都在三角形内部 有两条高恰好是它的两条直角边，还有一条高在三角形内部 钝角两边上的高在三角形的外部，两个垂足落在边的延长线上，最长边上的高在三角形内部
三条高的交点 三条高交于三角形内 一点 三条高交于三角形的直角顶点 三条高没有交点，但三条高所在的直线交于三角形外一点
知3－讲
续表
3. 三角形三种重要线段的区别与联系
三角形的中线 三角形的角平分线 三角形的高
用途举例 (1)证线段相等； (2)证面积相等 证角相等 (1)证线段垂直；
(2)证角相等
知3－讲
三角形的中线 三角形的角平分线 三角形的高 在图中 的位置 三条中线全在三角形内 三条角平分线全在三角形内 锐角三角形 三条高全在三角形内
直角三角形 一条高位于三角形内，另两条高与两直角边 重合
钝角三角形 一条高位于三角形内，另两条高位于三角形外
知3－讲
三角形的中线 三角形的 角平分线 三角形的高 条数 三条 三条 三条 交点 位置 在三角形内 在三角形内 锐角三角形 在三角形内
直角三角形 在直角顶点处
钝角三角形 没有交点
知3－讲
正确画出△ ABC 的边AC 上的高的是图13.2-10中的( )
例3
知3－练
解题秘方：紧扣“三角形高的定义”进行判断.
解：A . 图中AD 不是△ ABC 边AC 上的高，不合题意；
B. 图中BD 不是△ ABC 边AC 上的高，不合题意；
C. 图中AD 是△ ABC 边BC 上的高，不合题意；
D. 图中BD 是△ ABC 边AC 上的高，符合题意.
答案：D
知3－练
3-1.如图，在△ABC中，线段BE表示△ABC的边AC上的高的图是( 　 )
D
知3－练
如图13.2-11，已知△ABC.
(1)画角平分线BD；
(2)画中线CE；
(3)画高AF.
知3－练
例4
解题秘方：分别根据三角形的角平分线、中线、高的定义画图，注意本题中所画高在三角形的外部.
知3－练
解：(1)如图13.2-12 ①，线段BD即为所求.
(2)如图13.2-12 ②，线段CE即为所求.
(3)如图13.2-12 ③，线段AF即为所求.
知3－练
4-1. 如图，已知△ABC，按下列要求画图：
(1)画出∠ABC的平分线，并指出相等的角；
(2)画出BC边上的中线，并指出相等的线段；
(3)画出BC边上的高， 并指出图中所有的直
角三角形.
解：如图所示．
知3－练
(1)BD是∠ABC的平分线．∠ABD＝∠CBD.
(2)AE是BC边上的中线．BE＝CE.
(3)AF是BC边上的高．
∵AF⊥BC，∴∠AFC＝90°.
∴图中的直角三角形有△AFB，△AFE，△AFC.
知3－练
三角形的重要线段
高
中线
角平分线
都是线段
都有三条
所在直线都相交于一点
三角形的中线、角平分线、高

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