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13.3 三角形的内角与外角
第十三章 三角形
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
课时讲解
1
课时流程
2
三角形的内角和定理
直角三角形的性质与判定
三角形的外角
1. 三角形的内角和定理
文字语言 几何语言 图形
三角形的内角和等于180° 在△ ABC 中， ∠ A＋∠ B＋ ∠ C=180°
知识点
三角形的内角和定理
1
知1－讲
特别解读
1.三角形的内角和定理揭示了三角形三个内角之间的数量关系.
2.三角形的三个内角中最多只有一个钝角或一个直角，或者说至少有两个锐角.
3. 三角形中最大的内角不小于60° .
知1－讲
2. 三角形内角和定理的操作探究
如图13.3 -1 ① ②，把△ ABC 的三个内角拼在一起，组成一个平角，即△ ABC 三个内角的和等于180 °.
知1－讲
3. 三角形内角和定理的证明思路
证明思路 图形
利用“两直线平行，内错角相等”，将△ ABC 的三个内角转化为一个平角
知1－讲
证明思路 图形
利用“两直线平行，内错角及同位角相等”，将△ ABC 的三个内角转化为一个平角
利用“两直线平行，内错角相等”，将△ ABC 的三个内角转化为两平行线间的一组同旁内角
知1－讲
特别解读
1.三角形内角和定理的证明主要是运用平行线的性质，将三个内角“转移”集中成一个角或两个角，再证明这个角或这两个角的和是180°.
2. 为了帮助解答几何图形问题，在原图基础之上另外所作的具有较大价值的直线或线段被称为辅助线.
知1－讲
如图13.3-2，在△ABC中，∠A＝46°，∠C＝74°，BD平分∠ABC交AC于点D，求∠BDC的度数.
例1
知1－练
解题秘方：先求出∠ABC的度数，再由角平分线的定义求出∠CBD的度数，最后求出∠BDC 的度数.
知1－练
解：∵∠A＝46°，∠C＝74°，
∴∠ABC＝180°－46°－74°＝60°.
∵ BD平分∠ABC交AC于点D，∴∠CBD＝∠ABC＝30°.
∴∠BDC＝180°－30°－74°＝76°.
1-1. 如图，点D，E分别在AB和AC上，DE∥BC， ∠DBE＝30 °，∠EBC＝25°，求∠BDE的度数.
知1－练
知1－练
解：∵DE∥BC，
∴∠DEB＝∠EBC＝25°.
∴∠BDE＝180°－∠DBE－∠DEB＝180°－30°－25°＝125°.
太行山脉上，风力发电机随处可见，风叶转动，风能就能转换成电能，造福千家万户. 如图13.3-3，三片风叶OA，OB，OC两两所成的角均为120°，E为水平地面上一点，当其中一片风叶OB与塔干
OD叠合时，测得∠OED＝45 °，
∠OEA＝30 °. 求∠A 的度数(塔干OD
垂直于地面DE)
知1－练
例2
解题秘方：先在△ODE中求出∠DOE的度数，进而得到∠AOE的度数，最后在△AOE中求出∠A的度数.
知1－练
解：∵ OD⊥DE，∠OED＝45°，
∴∠DOE＝90°－∠OED＝45°.
∴∠AOE＝120°－∠DOE＝120°－45°＝75°.
∵∠OEA＝30°，
∴∠A＝180°－∠AOE－∠AEO＝180°－75°－30°＝75°.
2-1. 如图，从地面AB上点B处射向平面镜AC上点D的光线经过反射后的光线是DE，根据光的反射原理可知，∠ADB＝∠CDE， 若∠A＝70 °， ∠ABD＝40°，则∠BDE的度数是_______．
知1－练
40°
1. 直角三角形的表示：直角三角形可以用符号“Rt △”表示，直角三角形ABC 可以写成Rt △ ABC.
知识点
直角三角形的性质与判定
2
知2－讲
2. 直角三角形的性质与判定
文字语言 几何语言 图形
性质 直角三角形的两个锐角互余 在Rt △ ABC 中， ∵ ∠ C=90°， ∴∠ A＋ ∠ B=90°
判定 有两个角互余的三角形是直角三角形 在△ ABC 中， ∵ ∠ A＋∠ B=90°，∴∠ C=90°，即△ABC是直角三角形
知2－讲
特别解读
在直角三角形中，若已知两个锐角之间的数量关系，可结合两个锐角互余求出每个锐角的大小.
知2－讲
如图13.3-4，AB，CD 相交于点O，AC⊥CD 于点C，
若∠ BOD＝35°，则∠ A＝______ .
55°
知2－练
例3
解题秘方：根据直角三角形中两锐角互余求角的度数.
解：∵∠ BOD＝35°，∴∠ AOC＝35°.
∵ AC ⊥ CD，∴∠ ACD＝90°.
∴ ∠ A＝90°－∠ AOC＝90°－35°＝55°.
知2－练
3-1.[中考·德阳]如图是某机械加工厂加工的一种零件的示意图，其中AB∥CD，DE⊥BC，∠ABC＝70°，则∠EDC等于(　　)
A．10° B．20°
C．30° D．40°
B
知2－练
如图13.3-5，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P. 求证：△EFP是直角三角形.
知2－练
例4
解题秘方：如果三角形中有两个角的和等于90 ° (互余)，那么可证明该三角形为直角三角形.
知2－练
证明：∵ AB∥CD，∴∠BEF＋∠DFE＝180 °.
∵ EP平分∠BEF，FP平分∠DFE，
∴∠PEF＝∠BEF，∠PFE＝∠DFE.
∴∠PEF＋∠PFE＝ (∠BEF＋∠DFE)＝ ×180°＝90°.
∴△ EFP是直角三角形.
知2－练
4-1.在△ABC中，下列条件：
①∠ A＋∠ B=∠ C；②∠ A∶∠ B∶∠C=1∶1∶2；
③∠ A=∠ B=∠ C；④∠ A=90°－∠ B.
能确定△ ABC 是直角三角形的有( )
A．①②③ B．①②④ C．②④ D．①②③④
B
知2－练
如图13.3-6，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ACD＝∠B. 求证：CD⊥ AB.
证明：∵∠ACB＝90°，∴∠A＋∠B＝90°.
∵∠ACD＝∠ B，∴∠A＋∠ACD＝90°.
∴∠CDA＝90°，即CD⊥AB.
解题秘方：利用直角三角形的性质求出CD与AB的夹角为直角.
知2－练
例5
5-1.已知：如图，CE⊥AD，垂足为E，∠A＝∠C，求证：AB⊥CD.
证明：∵CE⊥AD，∴∠CED＝90°.
∴∠C＋∠D＝90°.
∵∠A＝∠C，∴∠A＋∠D＝90°.
∴∠ABD＝90°.∴AB⊥CD.
知2－练
1. 三角形的外角：如图13.3 -7 ①，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫作三角形的外角.
知识点
三角形的外角
3
知3－讲
特别提醒：如图13.3 -7 ②，三角形每一个顶点处都有两个外角，它们是对顶角，因此三角形共有六个外角，通常每一个顶点处取一个外角.
知3－讲
2. 外角性质(三角形内角和定理的推论)
三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.
符号语言：如图13.3 -7 ①，∵∠ACD是△ABC的一个外角，∴∠ACD＝∠A＋∠B.
知3－讲
3. 三角形的外角和定理
在三角形的每个顶点处取一个外角，三个不同顶点处的外角的和叫作三角形的外角和.
三角形的外角和为360 °.
如图13.3 -8，∠1＋∠2＋
∠3＝360 °.
知3－讲
特别提醒
1.三角形的外角和它相邻的内角互为邻补角.
2.三角形的外角在三角形的外部，但是不能错误地理解为三角形外部的角就是三角形的外角.
知3－讲
拓宽视野
1. 性质推论：三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角.
2. 当三角形的一个外角等于与它相邻的内角时，这个三角形是直角三角形；当三角形的每个外角都大于与它相邻的内角时，这个三角形是锐角三角形；当三角形的一个外角小于与它相邻的内角时，这个三角形是钝角三角形.
知3－讲
如图13.3-9，△ABC的外角∠CAE的平分线AD交BC的延长线于点D，∠B＝35 °，∠DAE＝60°，求∠ACD 的度数.
解题秘方：利用三角形外角的性质，将∠ACD 转化为∠B＋∠BAC 进行求解.
知3－练
例6
解：∵ AD 是∠CAE 的平分线，∠DAE＝60°，
∴∠CAE＝2∠DAE＝2×60°＝120°.
∴∠BAC＝180°－∠CAE＝180°－120°＝60°.
∵∠ACD 是△ABC的一个外角，
∴∠ACD＝∠BAC＋∠B＝60°＋35°＝95°.
知3－练
另解一：∵∠DAE＝60°，∠B＝35°，
∴∠D＝∠DAE－∠B＝60°－35°＝25°.
∵ AD 是∠CAE 的平分线，
∴∠CAD＝∠DAE＝60°.
∴∠ACD＝180°－ (∠CAD＋∠D)＝180°－(60°＋25°)＝95°.
知3－练
另解二：∵ AD 是∠CAE的平分线，∠DAE＝60°，
∴∠EAC＝2∠DAE＝2×60°＝120°.
∵∠EAC是△ABC的一个外角，
∴∠EAC＝∠B＋∠BCA.
∴∠BCA＝120°－35°＝85°.
∴∠ACD＝180°－85°＝95°.
知3－练
6-1.[期中·福州仓山区]如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，CE交BA的延长线于点E，∠B＝35°，∠E＝20°，则∠ACD的度数为________°．
知3－练
110
[情境题·生活应用]一个零件的形状如图13.3-10所示，按规定∠A应等于90 °，∠B，∠D
应分别是20°和30°. 李叔叔量得
∠BCD＝142°，就断定这个零件不
合格，你能说出其中的道理吗？
知3－练
例7
思路导引：
知3－练
解：如图13.3 -11，延长DC 交AB 于点M.
∵∠BCD 是△BCM的一个外角，
∴∠BCD＝∠B＋∠BMD.
∵∠BMD是△ADM的一个外角，
∴∠BMD＝∠A＋∠D.
∴∠BCD＝∠B＋∠A＋∠D＝
20°＋90°＋30°＝140°≠142°.∴这个零件不合格．
知3－练
另解一：如图13.3 -12，连接AC 并延长.
∵∠1是△ACD的一个外角，
∠2是△ACB的一个外角，
∴∠1＝∠D＋∠DAC，∠2＝∠B＋∠BAC.
∴ ∠BCD＝∠1＋∠2＝∠D＋∠B＋∠BAC＋
∠DAC＝∠D＋∠B＋∠BAD＝30°＋20°＋90°＝140 °≠ 142°. ∴这个零件不合格．
知3－练
另解二：如图11.2-11，连接BD.
∵∠A＝90°，∴∠ADB＋∠ABD＝90°.
∵∠ADC＝30°，∠ABC＝20°，
∴∠CDB＋∠CBD＝90°－30°－20°＝40 °.
∴∠DCB＝180°－40°＝140°≠ 142°.
∴这个零件不合格．
知3－练
7-1. 下图是可调躺椅示意图(数据如图)，AE与BD的交点为C，且∠A，∠B，∠E保持不变．为了舒适，需调整∠D的大小，使∠EFD＝110 °，
则图中∠D应_______ (填“增加”
或“减少”)______°.
知3－练
减少
10
7-2. 如图，有一艘渔船上午九点在A处沿正东方向航行，在A处测得灯塔C在北偏东60°方向上，行驶2小时到达B 处，测得灯塔C在北偏东15°
方向上，求∠C的度数及
∠ DBC的度数.
知3－练
解：∵在A处测得灯塔C在北偏东60°方向上，
∴∠MAC＝60°. ∴易知∠CAB＝30°.
∵在B处测得灯塔C在北偏东15°方向上，
∴∠NBC＝15°.∴易知∠ABC＝105°.
∴∠C＝180°－∠CAB－∠ABC＝180°－30°－105°＝45°. ∴∠DBC＝∠CAB＋∠C＝30°＋45°＝75°.
知3－练
三角形的内角与外角
三角
形的
内角
与外
角
内角和定理
直角三角形的性质与判定
外角等于与它不相邻的两个内角的和
外角大于与它不相邻的任何一个内角
内角
外角

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