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8.2.1　随机变量及其分布列(1)
一、 单项选择题
1 袋中有大小相同的红球6个，白球5个，从袋中每次任意取出1个球且不放回，直到取出的球是白球为止，所需要的取球次数为随机变量X，则X的可能取值为(　　)
　　　　　　　　　　　　
A. 1，2，3，…，6 B. 1，2，3，…，7
C. 0，1，2，…，5 D. 1，2，…，5
2 ①某座大桥一天之中经过的轿车的辆数ξ；②某网站中歌曲《爱我中华》一天内被点击的次数为ξ；③一天内的温度ξ；④射手对目标进行射击，击中得1分，未击中得0分，用ξ表示该射手在一次射击中的得分．上述问题中的ξ是离散型随机变量的是(　　)
A. ①②③④ B. ①②④
C. ①③④ D. ②③④
3 袋中有大小相同的5张卡片，分别标有1，2，3，4，5五个号码，在有放回抽样的条件下依次取出2张卡片，设2张卡片上的号码之和为随机变量X，则X所有可能取值的个数是(　　)
A. 10 B. 9 C. 8 D. 7
4 (2024广东月考)设某种疫苗试验的失败率是成功率的5倍，用随机变量X去描述一次试验的成功次数，则P(X＝0)等于(　　)
A. 0 B. C. D. 1
5 (2024张家口期中)下表是离散型随机变量X的概率分布，则常数m的值是(　　)
X 21 22 23 24
P m 2m－
A. B. C. D.
6 (2024德州月考)如图，我国古代珠算算具算盘每个档(挂珠的杆)上有7颗算珠，用梁隔开，梁上面2颗叫上珠，下面5颗叫下珠，若从某一档的7颗算珠中任取3颗，记上珠的个数为X，则P(X≤1)等于　(　　)
A. 　 B. 　　　 C. D.
二、 多项选择题
7 (2024江苏月考)下列随机变量中是离散型随机变量的是(　　)
A. 从10张已编好号码的卡片(1号到10号)中任取一张，被取出的卡片的号数
B. 一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数
C. 某林场树木最高达30 m，则此林场中树木的高度
D. 某加工厂加工的某种铜管的外径与规定的外径尺寸之差
8 (2024湖南月考)一个盒子里放着大小、形状完全相同的1个黑球，2个白球，2个红球．现不放回地随机从盒子中摸球，每次取一个，直到取到黑球为止，记摸到白球的个数为随机变量ξ，则下列说法中正确的是(　　)
A. P(ξ＝0)＝ B. P(ξ＝1)＝
C. P(ξ＝1)＝ D. P(ξ＝2)＝
三、 填空题
9 若随机变量X服从两点分布，且P(X＝0)＝0.8，令Y＝3X－2，则P(Y＝1)＝________．
10 设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝i)＝a·()i(i＝1，2，3)，则a的值为________．
11 一个木箱中装有6个大小相同的篮球，编号为1，2，3，4，5，6，现随机抽取3个篮球，以ξ表示取出的篮球的最大号码．当ξ＝6时，有________种结果，ξ的所有试验结果有________种.
四、 解答题
12 (2024嘉兴期中)为落实“坚持五育并举，全面发展素质教育，强化体育锻炼”的精神，某高中学校鼓励学生自发组织各项体育比赛活动．甲、乙两名同学利用课余时间进行乒乓球比赛．规定：每局比赛中获胜方记1分，失败方记0分，没有平局．首先获得5分者获胜，比赛结束．假设每局比赛甲获胜的概率都是.
(1) 求比赛结束时恰好打了6局的概率；
(2) 若甲以3∶1的比分领先，记X表示到结束比赛时还需要比赛的局数，求X的概率分布．
13 某商店试销某种商品20天，获得如下数据：
日销售量/件 0 1 2 3
频数 1 5 9 5
试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变)，设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率．
(1) 求当天商店不进货的概率；
(2) 记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的概率分布．
8．2.1　随机变量及其分布列(2)
一、 单项选择题
1 (2024蚌埠期中)若随机变量X的概率分布如表所示，则a2＋b2的最小值为(　　)
　　　　　　　　　　　　
X 0 1 3
P a b
A. B. C. D.
2 (2024德州期末)若离散型随机变量X的概率分布表中部分数据丢失，丢失数据以x，y(x，y∈N)代替，概率分布如下：
X＝i 1 2 3 4 5 6
P(X＝i) 0.21 0.20 0.5 0.10 0.1 0.10
则P(A. 0.35 B. 0.45 C. 0.55 D. 0.65
3 已知离散型随机变量X的分布列为P(X＝n)＝(n＝1，2，…，15)，其中a为常数，则P(X≤8)的值为(　　)
A. B. 　 C. D.
4 袋中共有5个除了颜色外完全相同的球，其中有3个白球，2个红球．从袋中不放回地逐个取球，取完所有的红球就停止，记停止时取球的数量为随机变量X，则P(X＝4)等于(　　)
A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.
5 (2024滁州月考)若随机变量X的概率分布如下：
X －2 －1 0 1 2 3
P 0.1 0.2 0.1 0.3 0.1 0.2
则当P(XA. (－∞，2] B. [1，2]
C. (1，2] D. (1，2)
6 (2024上海徐汇开学考试)某银行有一自动取款机，在某时刻恰有k(k∈N)个人正在使用或等待使用该取款机的概率为p(k)，根据统计得到p(k)＝则在该时刻没有人正在使用或等待使用该取款机的概率为(　　)
A. B. C. D.
二、 多项选择题
7 (2024浙江期中)随机变量X的概率分布如下：
X －1 0 1
P a b c
其中a，b，c成等差数列，则P(X＝1)可以为(　　)
A. B. C. D.
8 已知随机变量X的概率分布如下(其中a为常数)：
X 0 1 2 3 4
P 0.1 0.2 0.4 0.2 a
则下列结论中正确的是(　　)
A. a＝0.1
B. P(X≥2)＝0.7
C. P(X≥3)＝0.4
D. P(X≤1)＝0.3
三、 填空题
9 一批产品分为一、二、三级，其中一级品是二级品的2倍，三级品为二级品的一半，从这批产品中随机抽取一个检验，其级别为随机变量ξ，则P(≤ξ≤)＝________．
10 一袋中装有10个大小相同的黑球和白球，已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是.从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X，则P(X＝2)＝________．
11 (2023德州一中期末)设X是一个离散型随机变量，其概率分布为
X －1 0 1
P 1－q q－q2
则实数q的值为________．
四、 解答题
12 从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个自然数中，任取3个不同的数．
(1) 这3个数组成一个三位数，求这个三位数能够被5整除的概率；
(2) 设X为所取的3个数中奇数的个数，求随机变量X的概率分布．
13 (2024盐城期中)从甲、乙、丙、丁4人中随机抽取3个人去做传球训练．训练规则是确定一人第一次将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，每次必须将球传出．
(1) 记甲、乙、丙三人中被抽到的人数为随机变量X，求X的概率分布；
(2) 若刚好抽到甲、乙、丙三个人相互做传球训练，且第1次由甲将球传出，记n次传球后球在甲手中的概率为pn，n＝1，2，3，….
①直接写出p1，p2，p3的值；
②求pn＋1与pn的关系式(n∈N*)，并求pn(n∈N*).
8.2.1　随机变量及其分布列(1)
1. B　因为取到白球时停止，所以最少取球次数为1，即第一次就取到了白球；最多取球次数为7，即把所有的红球取完之后才取到白球，所以取球次数可以是1，2，3，…，7.
2. B　①②④中的变量ξ的值均可一一列出，而③中一天内的温度ξ，其值不能一一列出，是连续型随机变量，故选B.
3. B　由题意，得随机变量X的所有可能取值为2，3，4，5，6，7，8，9，10，共9个.
4. C　由题意，得“X＝0”表示试验失败，“X＝1”表示试验成功，设成功率为p，则失败率为5p，故X的概率分布为
X 0 1
P 5p p
所以5p＋p＝1，解得p＝，所以失败率为，即P(X＝0)＝.
5. B　由题意，得m＋＋2m－＋＝1，解得m＝.
6. A　方法一：由题意可知，X的所有可能取值为0，1，2，则P(X≤1)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝＋＝.
方法二：由题意可知，X的所有可能取值为0，1，2，则P(X≤1)＝1－P(X＝2)＝1－＝.
7. AB　对于A，只要取出一张，便有一个号码，因此被取出的卡片的号数可以一一列出，符合离散型随机变量的定义，故A正确；对于B，从10个球中取3个球，所得的结果有：3个白球、2个白球和1个黑球、1个白球和2个黑球、3个黑球，即所含白球的个数可以一一列出，符合离散型随机变量的定义，故B正确；对于C，林场树木的高度是一个随机变量，它可以取(0，30]内的一切值，无法一一列举，不是离散型随机变量，故C错误；对于D，实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出，不是离散型随机变量，故D错误．故选AB.
8. CD　对于A，ξ＝0，即第一次取到黑球，或第一次摸到红球，第二次摸到黑球，或前两次均摸到红球，第三次摸到黑球，故P(ξ＝0)＝＋×＋××＝，故A错误；对于B，C，ξ＝1，即第一次摸到白球，第二次摸到黑球，或前两次一次摸到红球，一次摸到白球，第三次摸到黑球，或前三次有两次摸到红球，一次摸到白球，第四次摸到黑球，故P(ξ＝1)＝×＋2×××＋3××××＝，故B错误，C正确；对于D，ξ的所有可能取值为0，1，2，所以P(ξ＝2)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝1)＝，故D正确．故选CD.
9. 0.2　因为Y＝1，且Y＝3X－2，所以X＝1，所以P(Y＝1)＝P(X＝1)＝1－P(X＝0)＝0.2.
10. 　依题意，得＋＋＝＝1，解得a＝.
11. 10　20　当ξ＝3时，有1种抽法；当ξ＝4时，有C＝3(种)抽法；当ξ＝5时，有C＝6(种)抽法；当ξ＝6时，有C＝10(种)抽法，所以ξ的试验结果共有1＋3＋6＋10＝20(种).　
12. (1) 比赛结束时，恰好打了6局，甲获胜的概率为P1＝C×()4×()×＝，
恰好打了6局，乙获胜的概率为P2＝C×()1×()4×＝，
所以比赛结束时恰好打了6局的概率为P＝P1＋P2＝＋＝.
(2) X的可能取值为2，3，4，5，
P(X＝2)＝()2＝，
P(X＝3)＝C×××＝，
P(X＝4)＝C××()2×＋()4＝，
P(X＝5)＝C××()3×＋C×()3××＝，
所以X的概率分布为
X 2 3 4 5
P
13. (1) 记“当天商品销售量为0件”为事件A，“当天商品销售量为1件”为事件B，“当天商店不进货”为事件C，
则P(C)＝P(A)＋P(B)＝＋＝.
(2) 由题意知，X的可能取值为2，3.
P(X＝2) ＝P(当天商品销售量为1件)＝＝，
P(X＝3)＝P(当天商品销售量为0件)＋P(当天商品销售量为2件)＋P(当天商品销售量为3件)＝＋＋＝，
故X的概率分布为
X 2 3
P
8．2.1　随机变量及其分布列(2)
1. B　由随机变量X的概率分布知， 所以a2＋b2≥＝，当且仅当a＝b＝时，取等号，所以a2＋b2的最小值为.
2. B　由题意，得0.21＋0.20＋0.05＋＋0.10＋0.10＋＋0.10＝1，化简，得10x＋y＝24.又x，y∈N且x，y∈[0，9]，所以x＝2，y＝4，所以P(3. B　因为P(X＝n)＝＝a(－)，所以P(X＝1)＋P(X＝2)＋…＋P(X＝15)＝1，即a(－1)＝1，解得a＝，故P(X≤8)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋…＋P(X＝8)＝×(－1)＝.
4. D　由题意，得最后一次取到的一定是红球，前三次取出1个红球，2个白球，则P(X＝4)＝＝.
5. C　由题意，得P(X<－1)＝0.1，P(X<0)＝0.3，P(X<1)＝0.4，P(X<2)＝0.7，则当P(X6. B　由题意知，p(0)＋p(1)＋p(2)＋p(3)＋p(4)＝1，即p(0)[1＋＋()2＋()3＋()4]＝p(0)＝1，解得p(0)＝，所以该时刻没有人正在使用或等待使用该取款机的概率为.
7. ABC　由题意，得a＋b＋c＝1，且a，b，c∈[0，1]①.因为a，b，c成等差数列，所以2b＝a＋c②，联立①②，得b＝，a＋c＝，所以0≤c≤.又因为P(X＝1)＝c，所以P(X＝1)可以为，，.故选ABC.
8. ABD　因为0.1＋0.2＋0.4＋0.2＋a＝1，所以a＝0.1，故A正确；由概率分布知P(X≥2)＝0.4＋0.2＋0.1＝0.7，P(X≥3)＝0.2＋0.1＝0.3，P(X≤1)＝0.1＋0.2＝0.3，故B，D正确，C错误．故选ABD.
9. 　设二级品有k个，则一级品有2k个，三级品有个，这批产品共有个，所以概率分布为
ξ 1 2 3
P
故P(≤ξ≤)＝P(ξ＝1)＝.
10. 　设10个球中有白球m(m<10)个，则＝1－，解得m＝5，所以P(X＝2)＝＝.
11. 　由题意，得＋1－q＋q－q2＝1，即q2＝.因为0≤1－q<1，0≤q－q2<1，所以q＝.
12. (1) 10个自然数中选3个组成的三位数的总数为AAA＝648.
能被5整除的三位数个位数字必定为0或5，
所以能被5整除的三位数的个数为A＋A＋A＝136.
设事件A为“这个三位数能被5整除”，
则P(A)＝＝.
(2) 由题意，得X的所有可能取值为0，1，2，3，
则P(X＝0)＝＝＝，
P(X＝1)＝＝＝，
P(X＝2)＝＝＝，
P(X＝3)＝＝＝，
所以X的概率分布为
X 0 1 2 3
P
13. (1) X的可能取值为2和3，
则P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，
所以随机变量X的概率分布为
X 2 3
P
(2) ①若刚好抽到甲、乙、丙三个人相互做传球训练，且第1次由甲将球传出，n次传球后球在甲手中的概率为pn，n＝1，2，3，…，
则p1＝0，p2＝2××＝＝，p3＝2×××＝＝.
②记An表示事件“经过n次传球后，球在甲手中”，
则An＋1＝·An＋1＋An·An＋1，
所以pn＋1＝P(·An＋1＋An·An＋1)＝P(·An＋1)＋P(An·An＋1)
＝P()·P(An＋1|)＋P(An)·P(An＋1|An)＝(1－pn)·＋pn·0＝(1－pn)，
即pn＋1＝－pn＋，n＝1，2，3，
所以pn＋1－＝－(pn－)，且p1－＝－≠0，
所以数列是以－为首项，－为公比的等比数列，
所以pn－＝－×(－)n-1，所以pn＝－×(－)n-1＋＝[1－(－)n-1]，
即n次传球后球在甲手中的概率是[1＋].

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