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8．2.2　离散型随机变量的数字特征——方差与标准差
一、 单项选择题
1 (2024镇江开学考试)已知随机变量X的概率分布如下表所示，若E(X)＝，则D(X)的值为(　　)
　　　　　　　　　　　　
X －2 0 1
P a b
A. B. C. D.
2 (2024曲靖月考)设随机变量X服从两点分布，若P(X＝1)－P(X＝0)＝0.4，则D(X)的值为(　　)
A. 0.21 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.7
3 (2024辽阳期末)小明参加某射击比赛，射中得1分，未射中扣1分，已知他每次能射中的概率为，记小明射击2次的得分为X，则D(X)的值为(　　)
A. B. C. D.
4 (2024菏泽期末)已知甲、乙两种产业收益的概率分布分别如下：
甲产业收益的概率分布
收益X/亿元 －1 0 2
概率 0.1 0.3 0.6
乙产业收益的概率分布
收益Y/亿元 0 1 2
概率 0.3 0.4 0.3
则下列说法中正确的是(　　)
A. 甲产业收益的期望大，风险高
B. 甲产业收益的期望小，风险低
C. 乙产业收益的期望大，风险低
D. 乙产业收益的期望小，风险高
5 一个长方形塑料箱子中装有20个大小相同的乒乓球，其中标有数字0的有 10个，标有数字n的有n个(n＝1，2，3，4). 现从该长方形塑料箱子中任取一球，其中X表示所取球的标号．若η＝aX＋b(a>0)，E(η)＝1，D(η)＝11，则a＋b的值为(　　)
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
6 (2024河南期末)已知离散型随机变量X的概率分布如下，则D(X)的最大值为(　　)
X 0 1 2
P a a＋b a－b
A. B. C. D. 1
二、 多项选择题
7 (2024南阳期末)已知X的概率分布为
X －1 0 1
P m
则下列结论中正确的是(　　)
A. P(X＝1)＝ B. E(X)＝－
C. D(X)＝ D. P(X2＝1)＝
8 (2024江苏期末)已知正四面体骰子的四个面分别标有数字1，2，3，4，正六面体骰子的六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6，抛掷一枚正四面体骰子，记向下的数字为X，抛掷一枚正六面体骰子，记向上的数字为Y，则下列结论中正确的是(　　)
A. P(X＝2)＝ B. P(Y<3)＝
C. E(X)>E(Y) D. D(X)三、 填空题
9 已知离散型随机变量X的取值为0，1，2，且P(X＝0)＝，P(X＝1)＝a，P(X＝2)＝b，若E(X)＝1，则D(X)＝________．
10 已知x，y，z∈N*，且x＋y＋z＝8，记随机变量X为x，y，z中的最小值，则D(X)＝________．
11 (2024辽阳期末)已知某人每次投篮的命中率为p(0四、 解答题
12 甲、乙、丙进行乒乓球比赛，比赛规则如下：赛前抽签决定先比赛的两人，另一人轮空．每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有人累计胜两场，比赛结束．经抽签，甲、乙先比赛，丙轮空．设比赛的场数为X，且每场比赛双方获胜的概率都为.
(1) 求P(X＝2)和P(X＝3)的值；
(2) 求X的标准差．
13 (2024抚顺期末)11月29日，辽宁省政府新闻办召开“山海有情，天辽地宁”冰雪主题系列首场现场新闻发布会，该会重点介绍今年沈阳市深入开展冰雪旅游、冰雪运动、冰雪文化的主要举措、重点活动和亮点特色．某冰雪乐园计划推出冰雪优惠活动，发放冰雪消费券．该冰雪乐园计划通过摸球兑奖的方式对1 000位顾客发放消费券，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸取2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获得的消费券的总额．
(1) 若袋中所装的4个球中1个所标的面值为30元，其余3个均为20元，求顾客所获得的消费券的总额为50元的概率；
(2) 该冰雪乐园对消费券总额的预算是100 000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值40元，60元的2种球组成，或由标有面值30元，50元，70元的3种球组成．为了使顾客得到的消费券总额的期望符合该冰雪乐园的预算且每位顾客所获得的消费券的总额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计方案，并说明理由．
8．2.2　离散型随机变量的数学特征
——方差与标准差
1. B　因为E(X)＝，且各概率之和为1，所以解得所以D(X)＝×(－2－)2＋×(0－)2＋×(1－)2＝.
2. A　因为随机变量X服从两点分布，所以P(X＝1)＋P(X＝0)＝1.又P(X＝1)－P(X＝0)＝0.4，解得P(X＝1)＝0.7，P(X＝0)＝0.3，所以E(X)＝1×0.7＋0×0.3＝0.7，D(X)＝(0－0.7)2×0.3＋(1－0.7)2×0.7＝0.21.
3. B　由题意知，X的取值可能为－2，0，2.因为P(X＝2)＝×＝，P(X＝－2)＝×＝，P(X＝0)＝C××＝，所以E(X)＝×2＋(－2)×＋×0＝，故D(X)＝(2－)2×＋(－2－)2×＋(0－)2×＝.
4. A　由题意，得E(X)＝－1×0.1＋0×0.3＋2×0.6＝1.1，D(X)＝(－1－1.1)2×0.1＋(0－1.1)2×0.3＋(2－1.1)2×0.6＝1.29；E(Y)＝0×0.3＋1×0.4＋2×0.3＝1.0，D(Y)＝(0－1)2×0.3＋(1－1)2×0.4＋(2－1)2×0.3＝0.6，故E(X)>E(Y)，D(X)>D(Y)，即甲产业收益的期望大，风险高．
5. A　由题意，得X的所有可能取值为0，1，2，3，4，则P(X＝0)＝，P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，P(X＝3)＝，P(X＝4)＝，所以X的概率分布为
X 0 1 2 3 4
P
所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝，D(X)＝(0－)2×＋(1－)2×＋(2－)2×＋(3－)2×＋(4－)2×＝.因为η＝aX＋b(a>0)，所以E(η)＝aE(X)＋b＝a＋b＝1，D(η)＝a2D(X)＝a2＝11，联立解得a＝2，b＝－2，所以a＋b＝0.
6. C　由题意，得P(X＝0)＋P(X＝1)＋P(X＝2)＝3a＝1，所以a＝，易得0≤＋b≤，0≤－b≤，则－≤b≤，故E(X)＝a＋b＋2a－2b＝1－b，D(X)＝(1－b)2＋(＋b)b2＋(－b)(1＋b)2＝－b－b2＝－(b＋)2＋.又b∈[－，]，所以D(X)∈[，]，即D(X)的最大值为.
7. ABD　对于A，由概率分布的性质可得＋＋m＝1，解得m＝，则P(X＝1)＝，故A正确；对于B，E(X)＝－1×＋0×＋1×＝－，故B正确；对于C，D(X)＝(－1＋)2×＋(0＋)2×＋(1＋)2×＝，故C错误；对于D，当X＝－1或X＝1时，X2＝1，则P(X2＝1)＝P(X＝－1)＋P(X＝1)＝＋＝，故D正确．故选ABD.
8. BD　对于A，当X＝2时，对应的概率为P(X＝2)＝，故A错误；对于B，当Y<3时，即Y＝1或Y＝2，则P(Y<3)＝P(Y＝1)＋P(Y＝2)＝＋＝，故B正确；对于C，D，X的概率分布为
X 1 2 3 4
P
则E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＝，D(X)＝E(X2)－[E(X)]2＝12×＋22×＋32×＋42×－()2＝.Y的概率分布为
Y 1 2 3 4 5 6
P
则E(Y)＝1×＋2×＋3×＋4×＋5×＋6×＝，D(Y)＝E(Y2)－[E(Y)]2＝12×＋22×＋32×＋42×＋52×＋62×－()2＝，所以E(X)9. 　由题意，得解得a＝，b＝，所以D(X)＝×(0－1)2＋×(1－1)2＋×(2－1)2＝＋＝.
10. 　因为x＋y＋z＝8，所以随机变量X的可能取值为1和2，用隔板法可求得事件总情况有C种，当X＝1时，分两种情况：①三个数中只有一个1，有C·C种；②三个数中有两个1，有C种，所以当X＝1时，p1＝＝；当X＝2时，也分两种情况：①三个数中只有一个2，有C种；②三个数中有两个2，有C种，所以当X＝2时，p2＝＝，所以E(X)＝1×＋2×＝，E(X2)＝1×＋4×＝，故D(X)＝E(X2)－[E(X)]2＝.
11. 2－2　由题意，得E(X)＝p，012. (1) X＝2表示甲胜乙，甲胜丙，结果甲胜或乙胜甲，乙胜丙，结果乙胜，
所以P(X＝2)＝×＋×＝.
X＝3表示甲胜乙，丙胜甲，丙胜乙，结果丙胜或乙胜甲，丙胜乙，丙胜甲，结果丙胜，
所以P(X＝3)＝××＋××＝.
(2) 根据题意可得X可能的取值为2，3，4.
X＝4表示甲胜乙，丙胜甲，乙胜丙，甲胜乙，结果甲胜；甲胜乙，丙胜甲，乙胜丙，乙胜甲，结果乙胜；乙胜甲，丙胜乙，甲胜丙，甲胜乙，结果甲胜；乙胜甲，丙胜乙，甲胜丙，乙胜甲，结果乙胜，
所以P(X＝4)＝4××××＝，
所以E(X)＝2×＋3×＋4×＝，
D(X)＝22×＋32×＋42×－()2＝，
所以标准差为＝.
13. (1) 顾客所获得的消费券的总额为50元的概率为＝.
(2) 根据该冰雪乐园的预算，每个顾客的平均奖励额为100元，所以先寻找期望为100元的可能方案．
对于面值由40元，60元组成的情况：
如果选择(40，40，40，60)的方案，因为100元是面值之和的最大值，所以期望不可能为100元；
如果选择(40，60，60，60)的方案，因为100元是面值之和的最小值，所以期望也不可能为100元，
所以可能的方案是(40，40，60，60)，记为方案1.
方案1，设每位顾客所获得的消费券的总额为X1，则X1的可能取值为80，100，120，
P(X1＝80)＝＝，P(X1＝100)＝＝，P(X1＝120)＝＝，
则E(X1)＝80×＋100×＋120×＝100.
对于面值由30元，50元，70元组成的情况：
可能的方案是(30，30，50，70)，(30，50，50，70)，(30，50，70，70)，分别记为方案2，方案3，方案4.
易知方案2，方案3，方案4每位顾客所获得的消费券的总额的期望依次增大，所以先研究方案3.
方案3，设每位顾客所获得的消费券的总额为X3，则X3的可能取值为80，100，120，
P(X3＝80)＝＝，P(X3＝100)＝＝，
P(X3＝120)＝＝，
则E(X3)＝80×＋100×＋120×＝100，
所以在方案2，方案3，方案4中，方案3符合该冰雪乐园的预算．
因为E(X1)＝E(X3)＝100，所以比较方案1，方案3的方差．
D(X1)＝(80－100)2×＋(120－100)2×＝，D(X3)＝(80－100)2×＋(120－100)2×＝.
因为D(X1)所以选择方案1，即这4个球的面值为40元，40元，60元，60元．

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