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8．2.2　离散型随机变量的数字特征——均值
一、 单项选择题
1 (2024济宁期中)若随机变量X的概率分布为
　　　　　　　　　　　　
X 0 1 2
P a b
且E(X)＝1，则b的值为(　　)
A. B. 0 C. D.
2 (2024衡阳期中)一袋中装有编号分别为1，2，3，4的4个球，现从中随机取出2个球，用X表示取出球的最大编号，则E(X)的值为(　　)
A. 2 B. 3 C. D.
3 已知实数a，b，c成等差数列，随机变量X的概率分布为
X 0 1 2
P a b c
当a增大时，E(X)的变化是(　　)
A. 增大 B. 减小
C. 先增大后减小 D. 先减小后增大
4 已知随机变量X的概率分布为P(X＝n)＝(n＝1，2，3)，其中a是常数，则E(aX)的值是(　　)
A. B. C. D.
5 (2024辽宁月考)某次国际象棋比赛规定，胜一局得3分，平一局得1分，负一局得0分，某参赛队员比赛一局胜的概率为a，平局的概率为b，负的概率为c，a，b，c∈[0，1)，已知他比赛两局得分的数学期望为2，则ab的最大值为(　　)
A. B. C. D.
6 (2024吉安月考)将字母a，a，b，b，c，c放入3×2的表格中，每个格子各放一个字母，若共有k行字母相同，则得k分，则所得分数ξ的均值为(　　)
A. B. C. D.
二、 多项选择题
7 (2024河源期中)袋中有3个红球，m个白球，n个黄球．现从中任取两个球，记取出的红球数为ξ，若取出的两个球都是红球的概率为，一红一白的概率也为，则下列结论中正确的是(　　)
A. m＝n－1 B. m＋n＝4
C. E(ξ)＝1 D. P(ξ＝0)＝
8 (2024江苏月考)袋中有3个大小、形状完全相同的小球，其中1个黑球，2个白球．从袋中不放回取球2次，每次取1个球，记取得黑球的次数为X；从袋中有放回取球2次，每次取1个球，记取得黑球的次数为Y，则下列结论中正确的是(　　)
A. 随机变量X的可能取值为0或1
B. 随机变量Y的可能取值为0或1
C. 随机事件{X＝1}的概率与随机事件{Y＝1}的概率相等
D. 随机变量X的数学期望与随机变量Y的数学期望相等
三、 填空题
9 有一种彩票，每注的售价为2元，中奖的概率为1%.如果每注奖的奖金为50元，那么购买一注彩票的期望收益为________元．
10 设X是一个离散型随机变量，其概率分布为
X 1 2 3
P 1－q q－q2
则X的数学期望为________．
11 (2024烟台月考)某种资格证考试，每位考生一年内最多有3次考试机会．一旦某次考试通过，便可领取资格证书，不再参加以后的考试；否则就继续参加考试，直到用完3次机会．小王决定参加考试，若他每次参加考试通过的概率依次为0.6，0.7，0.8，且每次考试是否通过相互独立，则小王在一年内领到资格证书的概率为________；他在一年内参加考试次数的数学期望为________．
四、 解答题
12 (2024郑州期中)一只不透明的布袋子中有标记数字1，2，3，4的小球各3个，随机一次取出2个小球．
(1) 求取出的2个小球上的数字不同的概率；
(2) 记取出的2个小球上的最小数字为X，求X的概率分布及数学期望E(X).
13 (2024浙江期中)每年的3月14日是“国际圆周率日”，这是为纪念中国古代数学家祖冲之发现圆周率而设立的.2024年3月14日，某班级为纪念这个日子，特举办数学题答题比赛. 已知赛题共 6道(各不相同)，其中3道为高考题，另3道为竞赛题，参赛者依次不放回地从6道赛题中随机抽取一题进行作答，答对则继续，答错(或不答) 或者6道题都答对即停止并记录答对题数．
(1) 举办方进行模拟抽题，设第X次为首次抽到竞赛题，求X的概率分布；
(2) A同学数学成绩优异，但没有参加过竞赛培训，高考题答对的概率为100%，竞赛题答对的概率为20%.
①求A同学停止答题时答对题数为1的概率；
②已知A同学停止答题时答对题数为2，求这两题抽到竞赛题题数Y的均值．
8．2.2　离散型随机变量的数字特征——均值
1. A　由题意，得＋a＋b＝1，所以a＋b＝①.由E(X)＝1，得E(X)＝0×＋1×a＋2×b＝1，所以a＋2b＝1②，联立①②，解得a＝b＝.
2. C　由题意，得随机变量X的所有可能取值为2，3，4，且P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝，所以X的概率分布为
X 2 3 4
P
则E(X)＝2×＋3×＋4×＝.
3. B　因为实数a，b，c成等差数列，所以a＋c＝2b.由概率分布的性质，得a＋b＋c＝1，所以a＋c＝，b＝，所以0≤a≤，所以E(X)＝0·a＋1×＋2c＝＋2(－a)＝－2a＋，所以当a增大时，E(X)减小．
4. D　P(X＝n)＝＝－.因为P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝1，所以a－＋－＋－＝1，解得a＝，则P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，所以E(X)＝1×＋2×＋3×＝，所以E(aX)＝aE(X)＝×＝.
5. B　比赛两局的得分X的可能取值为0，1，2，3，4，6，P(X＝0)＝c2，P(X＝1)＝2bc，P(X＝2)＝b2，P(X＝3)＝2ac，P(X＝4)＝2ab，P(X＝6)＝a2，则E(X)＝2bc＋2b2＋6ac＋8ab＋6a2＝2b(1－a－b)＋2b2＋6a(1－a－b)＋8ab＋6a2＝6a＋2b＝2，则有3a＋b＝1≥2，得ab≤，当且仅当3a＝b，即a＝，b＝时，等号成立，所以ab的最大值为.
6. B　字母a，a，b，b，c，c放入3×2的表格中的不同结果有CCC＝90(种).随机变量ξ的可能取值为0，1，3，则P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝3)＝＝，P(ξ＝0)＝1－P(ξ＝1)－P(ξ＝3)＝1－－＝，所以随机变量ξ的均值为E(ξ)＝0×＋1×＋3×＝.
7. ACD　取出的两个球都是红球的概率为＝，即(m＋n＋3)(m＋n＋2)＝5×6，解得m＋n＝3，故B错误；取出的两个球是一红一白的概率为＝，化简，得15m＝15，解得m＝1，所以n＝2，所以m＝n－1，故A正确；ξ的所有可能取值为0，1，2，则P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝，故D正确；E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝1，故C正确．故选ACD.
8. AD　对于A，由题意，得随机变量X的可能取值为0或1，故A正确；对于B，由题意，得随机变量Y的可能取值为0或1或2，故B错误；对于C，由题意可知P(X＝1)＝×＋×＝，P(Y＝1)＝×＋×＝，则P(X＝1)≠P(Y＝1)，故C错误；对于D，P(X＝0)＝×＝，P(Y＝0)＝×＝，P(Y＝2)＝×＝，故E(X)＝0×＋1×＝，E(Y)＝0×＋1×＋2×＝，所以E(X)＝E(Y)，故D正确．故选AD.
9. －1.5　由题意，得E(X)＝48×＋(－2)×＝－＝－1.5.
10. ＋　由＋1－q＋q－q2＝1，得q2＝，解得q＝(负值舍去)，所以E(X)＝＋2－2q＋3q－3q2＝＋q－3q2＝＋－1＝＋.
11. 0.976　1.52　小王在一年内领到资格证书的概率为P＝1－(1－0.6)×(1－0.7)×(1－0.8)＝0.976.设X为小王一年内参加考试的次数，则X的可能取值为1，2，3，P(X＝1)＝0.6，P(X＝2)＝(1－0.6)×0.7＝0.28，P(X＝3)＝(1－0.6)×(1－0.7)＝0.12，故E(X)＝1×0.6＋2×0.28＋3×0.12＝1.52.
12. (1) 记“取出的2个小球上的数字不同”为事件M，
则P(M)＝＝.
(2) 由题意知，X的可能取值为1，2，3，4，
则P(X＝1)＝＝；
P(X＝2)＝＝；
P(X＝3)＝＝；
P(X＝4)＝＝，
所以X的概率分布为
X 1 2 3 4
P
所以E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＝.
13. (1) 由题意知，X的可能取值为1，2，3，4，
则P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝×＝，
P(X＝3)＝××＝，
P(X＝4)＝××＝，
所以X的概率分布为
X 1 2 3 4
P
(2) ①记“A同学停止答题时答对题数为1”为事件D，“A同学第一次抽中高考题，第二次抽中竞赛题并答错”为事件D1，“A同学第一次抽中竞赛题并答对，第二次还抽中竞赛题并答错”为事件D2，
则P(D1)＝×1××＝，
P(D2)＝×××＝，
所以P(D)＝P(D1)＋P(D2)＝＋＝.
②由A同学停止答题时答对题数为2，设事件Ai表示“第i次选中竞赛题没答对”，Bi表示“第i次选中竞赛题并答对”，Ci表示“第i次选中高考题”．
答题结束时答对 2 题的概率为
P(A3)＝P(C1C2)P(A3|C1C2)＋P(B1C2)P(A3|B1C2)＋P(C1B2)P(A3|C1B2)＋P(B1B2)P(A3|B1B2)＝×××＋××××＋××××＋×××××＝.
易知Y可能取0，1，2，
P(Y＝0)＝P(C1C2|A3)＝＝，
P(Y＝1)＝P(B1C2|A3＋C1B2|A3)＝＝，
P(Y＝2)＝P(B1B2|A3)＝＝，
所以Y的概率分布为
Y 0 1 2
P
所以E(Y)＝0×＋1×＋2×＝.

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