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8．3　正 态 分 布
一、 单项选择题
1 设随机变量X～N(1，32)，若P(X≤c)＝P(X>c)，则c等于(　　)
　　　　　　　　　　　　
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
2 (2024宿州月考)设随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，且P(X<4)＝0.9，则P(0A. 0.3 B. 0.4 C. 0.5 D. 0.9
3 在某地区的高三第一次联考中，数学考试成绩近似服从正态分布N(105，σ2)(σ>0)，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩高于120分的人数占总人数的，数学考试成绩在90分到105分(含90分和105分)之间的人数为600，则可以估计参加本次联考的总人数约为(　　)
A．1 200 　　 B. 1 600　　 C. 2 000　　 D. 2 400
4 已知某中学高二年级学生某次考试的数学成绩X(单位：分)近似服从正态分布N(95，σ2)，且P(X<110)＝0.8，从这些学生中任选一位，其数学成绩落在区间(80，95)内的概率为(　　)
A. 0.3　　 B. 0.4　　 C. 0.5　　 D. 0.6
5 (2024长春月考)某校高二年级男生的身高X(单位：cm)近似服从正态分布N(172，)，若X的值在区间(160，176)内的概率约为0.84，则n的值约为(参考数据：P(μ－σA. 3 B. 4 C. 5 D. 6
6 一车间有3台车床加工同一型号的零件，且3台车床加工的零件数X(单位：件)均服从正态分布N(30，σ2).假设3台车床均能正常工作，若P(25A. B. C. D.
二、 多项选择题
7 关于正态密度曲线f(x)＝e－，下列说法中正确的是(　　)
A. 曲线关于直线x＝μ对称
B. 曲线的峰值为f(x)＝
C. σ越大，曲线越“矮胖”
D. 对任意σ>0，曲线与x轴围成的面积总为1
8 (2024聊城一模)在一次数学学业水平测试中，某市高一全体学生的成绩X～N(μ，σ2)，且E(X)＝80，D(X)＝400，规定测试成绩不低于60分者为及格，不低于120分者为优秀，令P(|X－μ|≤σ)＝m，P(|X－μ|≤2σ)＝n，则下列结论中正确的是(　　)
A. μ＝80，σ＝400
B. 从该市高一全体学生中随机抽取一名学生，该生测试成绩及格但不优秀的概率为
C. 从该市高一全体学生中(数量很大)依次抽取两名学生，这两名学生恰好有一名测试成绩优秀的概率为
D. 从该市高一全体学生中随机抽取一名学生，在已知该生测试成绩及格的条件下，该生测试成绩优秀的概率为
三、 填空题
9 (2024潍坊期中)已知随机变量X～N(2，σ2)，且P(X<4)＝0.8，则P(210 某城市每年6月份的平均气温t(单位：℃)近似服从正态分布N(28，σ2)，若P(28≤t≤30)＝0.3，则可估计该城市6月份平均气温低于26 ℃的天数为_________．
11 对一个零件进行n次尺寸测量，以n次测量结果的平均值作为该零件尺寸的最后结果．记零件尺寸的最后结果为随机变量X，若X～N(50，)，为使零件尺寸的最后结果在区间(49.6，50.4)内的概率不小于0.954 5，则至少需要测量________次．(若X～N(μ，σ2)，则P(μ－2σ四、 解答题
12 学校准备筹建数学建模学习中心，为了解学生数学建模能力，专门对高二报名的100名学生进行了数学建模测试，得分在45～95之间，分为[45，55)，[55，65)，[65，75)，[75，85)，[85，95]五组，得到如图所示的频率直方图，其中第三组的频数为40.
(1) 请根据频率直方图估计样本的平均数和方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)；
(2) 根据样本数据，可认为参与建模测试的学生分数X近似服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2.
①求P(47.2②学校为鼓励学生积极参与数学建模活动，决定对本次测试中90.8分以上的同学进行表彰．若某班正好有6人参与了这次测试，求这个班至少有1人获得表彰的概率．
参考数据：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ13 (2024四川模拟)新高考改革后部分省份采用“3＋1＋2”高考模式，“3”指的是语文、数学、外语三门为必选科目，“1”指的是要在物理、历史里选一门，“2”指考生要在生物学、化学、思想政治、地理4门中选择2门．
(1) 若按照“3＋1＋2”模式选科，求甲、乙两名学生恰有四门学科相同的选法种数；
(2) 某教育部门为了调查学生语数外三科成绩，从当地不同的学校中抽取高一学生4 000名参加语数外的网络测试(满分450分)，假设该次网络测试成绩服从正态分布N(245，552).
①估计4 000名学生中成绩介于190分到355分之间的有多少人(结果保留到个位)；
②该地某校对外宣传“我校200人参与此次网络测试，有12名同学获得425分以上的高分”，请结合统计学知识分析上述宣传语是否可信．
附：P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3.
8．3　正 态 分 布
1. B　由P(X≤c)＝P(X>c)，得正态密度曲线关于直线x＝c对称．因为随机变量X～N(1，32)，所以c＝1.
2. B　由题意，得P(X≥4)＝0.1，则P(03. C　设X表示数学考试成绩，则P(X>120)＝P(X<90)＝.又P(X≤105)＝，所以P(90≤X≤105)＝－＝，故参加本次联考的总人数约为600÷＝2 000.
4. A　因为X～N(95，σ2)，所以P(X<95)＝0.5.又P(X<110)＝0.8，所以P(955. D　因为X～N(172，)，所以μ＝172，σ＝.因为P(1606. C　设加工的零件数超过35件的台数为ξ，每台加工的零件数超过35件的概率P＝＝.由题意，得ξ～B(3，)，则这3台车床每天加工的零件数至少有一台超过35件的概率P＝1－P(ξ＝0)＝1－(1－)3＝.
7. ACD　对于A，根据正态密度曲线f(x)＝可知，f(μ＋x)＝，f(μ－x)＝e，故f(μ－x)＝f(μ＋x)，所以曲线关于直线x＝μ对称，故A正确；对于B，当x＝μ时，f(x)的峰值为，故B不正确；对于C，当σ越大时，f(x)的峰值越小，所以曲线形状越“矮胖”，故C正确；对于D，由正态密度曲线的特点知，曲线与x轴围成的面积总为1，故D正确．故选ACD.
8. BCD　对于A，由E(X)＝80，D(X)＝400，得μ＝80，σ2＝400，故A错误；对于B，由μ＝80，σ2＝400，得X～N(80，202)，则μ－σ＝80－20＝60，μ＋2σ＝80＋2×20＝120，故P(60≤X≤100)＝m，P(40≤X≤120)＝n，则P(100≤X≤120)＝，则P(60≤X<120)＝＋m＝，即从该市高一全体学生中随机抽取一名学生，该生测试成绩及格但不优秀的概率为，故B正确；对于C，P(X≥120)＝，则从该市高一全体学生中(数量很大)依次抽取两名学生，这两名学生恰好有一名测试成绩优秀的概率为P＝2××(1－)＝，故C正确；对于D，P(X≥60)＝＋，又P(X≥120)＝，故从该市高一全体学生中随机抽取一名学生，在已知该生测试成绩及格的条件下，该生测试成绩优秀的概率为＝，故D正确．故选BCD.
9. 0.3　因为X～N(2，σ2)，且P(X<4)＝0.8，所以P(X≤2)＝0.5，则P(210. 6　因为每年6月份的平均气温t近似服从正态分布N(28，σ2)，所以μ＝28.因为P(28≤t≤30)＝0.3，所以P(26≤t≤28)＝0.3，所以P(t<26)＝0.5－0.3＝0.2，所以估计该城市6月份平均气温低于26 ℃的天数为0.2×30＝6.
11. 25　由正态曲线的对称性知，要使零件尺寸的最后结果在区间(49.6，50.4)内的概率不小于0.954 5，则(μ－2σ，μ＋2σ) (49.6，50.4).又μ＝50，σ＝，所以2σ≤0.4，即2≤，解得n≥25，所以为使零件尺寸的最后结果在区间(49.6，50.4)内的概率不小于0.954 5，则至少需要测量25次．
12. (1) 由频率直方图可知组距为10，第三组的频数为40，总共有100人，
则第三组的频率为＝0.4.
根据频率之和为1，可知第4组的频率为1－0.1－0.25－0.4－0.1＝0.15，
所以＝50×0.1＋60×0.25＋70×0.4＋80×0.15＋90×0.1＝69，
s2＝(50－69)2×0.1＋(60－69)2×0.25＋(70－69)2×0.4＋(80－69)2×0.15＋(90－69)2×0.1＝119.
(2) ①因为μ＝＝69，σ2＝s2＝119，所以σ＝≈10.9，
P(47.2≈＝0.818 6.
②记“6人中至少1人获得表彰”为事件A.
因为P(X>90.8)＝P(X>μ＋2σ)＝≈＝0.022 75，
所以P(A)＝1－P()＝1－(1－0.022 75)6≈1－0.87＝0.13.
13. (1) 甲、乙两名学生必选语文、数学、外语．
若另一门相同的为物理、历史中的一门，有C种，
在生物学、化学、思想政治、地理4门中，甲、乙选择不同的2门，则有CC＝6(种)，共2×6＝12(种)；
若另一门相同的为生物学、化学、思想政治、地理4门中的一门，则有ACA＝48(种)，
所以甲、乙两个学生恰有四门学科相同的选法种数为12＋48＝60.
(2) ①设此次网络测试的成绩为X，
则X～N(245，552).
由题意知，μ＝245，σ＝55，μ＋2σ＝245＋110＝355，μ－σ＝245－55＝190，
则P(190≤X≤355)≈0.682 7＋＝0.818 6，
所以4 000×0.818 6＝3 274.4≈3 274，
故估计4 000名学生中成绩介于190分到355分之间的约有3 274人．
②不可信．
μ＋3σ＝245＋3×55＝410<425，
则P(X>μ＋3σ)＝≈＝0.001 35，
所以4 000名学生中成绩大于410分的人数约为4 000×0.001 35＝5.4≈5，
这说明4 000名考生中，只有约5人的成绩高于410分，
所以说“我校200人参与此次网络测试，有12名同学获得425分以上的高分”的宣传语不可信．

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