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第8章　概　　率
一、 单项选择题
1 若随机变量Z的概率分布为
　　　　　　　　　　　　
Z 1 2 3
P x y
且E(Z)＝，则xy等于(　　)
A. B. C. D.
2 (2024江西期末)已知事件A与事件B相互独立，P()＝，则P(B|A)的值为(　　)
A. B. C. D.
3 (2024岳阳开学考试)已知袋中有2个白球，3个红球，1个蓝球，采取有放回的方式从袋中依次摸出3个球，则至少有1个白球被摸出的概率为(　　)
A. B. C. D.
4 已知箱中装有2个白球和3个黑球，现从该箱中任取2个球，规定：①取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，两球所得分数之和记为随机变量ξ1；②取出一个白球得1分，取出一个黑球得2分，两球所得分数之和记为随机变量ξ2，则下列结论中正确的是(　　)
A. E(ξ1)B. E(ξ1)D(ξ2)
C. E(ξ1)>E(ξ2)，D(ξ1)>D(ξ2)　
D. E(ξ1)>E(ξ2)，D(ξ1)＝D(ξ2)
5 (2024温州期中)一个袋子中装有大小相同的5个小球，其中有3个白球，2个黑球，从中无放回地取出3个小球，摸到一个白球记2分，摸到一个黑球记1分，则总得分ξ的数学期望等于(　　)
A. 5 B. 4.8 C. 4.6 D. 4.4
6 我们将服从二项分布的随机变量称为二项随机变量，服从正态分布的随机变量称为正态随机变量．概率论中有一个重要的结论：若随机变量Y～B(n，p)，当n充分大时，二项随机变量Y可以由正态随机变量X来近似地替代，且正态随机变量X的期望和方差与二项随机变量Y的期望和方差相同．法国数学家棣莫弗在1733年证明了当p＝时这个结论是成立的，法国数学家、物理学家拉普拉斯在1812年证明了这个结论对任意的实数p∈(0，1]都成立，因此，人们把这个结论称为棣莫弗—拉普拉斯极限定理．现抛掷一枚质地均匀的硬币900次，利用正态分布估算硬币正面向上的次数不少于420次的概率为(参考数据：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3)(　　)
A. 0.977 25 B. 0.841 35　　
C. 0.658 65 D. 0.022 75
二、 多项选择题
7 (2024辽宁开学考试)已知随机变量X～N(2，σ2)，且P(0≤X≤2)＋P(X≥t)＝0.5，随机变量Y～B(t，p)，0A. t＝4 B. P(2≤Y≤3)＝
C. p＝ D. D(4Y)＝4
8 (2024南通二模)已知P(A)＝，P(B|A)＝.若随机事件A，B相互独立，则下列结论中正确的是(　　)
A. P(B)＝ B. P(AB)＝
C. P(|B)＝ D. P(A＋)＝
三、 填空题
9 设随机变量X的分布列为P(X＝i)＝(i＝1，2，3，4)，则P(10 已知随机变量X～N(3，4)，且P(X>3c－2)＝P(X<2c＋1)，则c的值为________．
11 (2024宁河期末)甲和乙两个箱子中各装有大小质地完全相同的10个球，其中甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球．若从甲箱中不放回地依次随机取出2个球，则两次都取到红球的概率为________；若先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，再从乙箱中随机取出一球，则从乙箱中取出的球是红球的概率为________．
四、 解答题
12 (2024浙江期中)某校团委组织学生开展“全民迎亚运，学习当达人”知识竞赛活动，现从参加该活动的学生中随机抽取了100名，竞赛成绩(单位：分)分布如下：
成绩/分 [50，60) [60，70) [70，80) [80，90) [90，100]
人数 6 28 30 32 4
(1) 求抽取的100名学生竞赛成绩的平均分(同一组中数据用该组区间的中点值代替)；
(2) 在参加该活动的学生中随机选取5名学生，求选取的5名学生中恰有3名学生竞赛成绩在区间[60，70)∪[80，90)内的概率；
(3) 以频率估计概率，发现参赛学生的竞赛成绩X近似地服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均分，σ2近似为样本方差s2，按比例前16%的参赛学生可获得“学习达人”称号，已知甲同学竞赛成绩为86分，试问他能否获得“学习达人”称号．
参考数据：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3.
13 (2024宿州期中)某校高二年级数学竞赛选拔赛分为初赛和决赛两阶段进行．初赛采用“两轮制”方式进行，要求每个班级派出两名同学，且每名同学都要参加两轮比赛，两轮比赛都通过的同学才具备参与决赛的资格．高二某班派出甲和乙参赛，在初赛中，若甲通过第一轮与第二轮比赛的概率分别是，，乙通过第一轮与第二轮比赛的概率分别是，，且每名同学所有轮次比赛的结果互不影响．
(1) 若该班获得决赛资格的同学个数为X，求X的概率分布和数学期望；
(2) 已知甲和乙都获得了决赛资格，决赛的规则如下：将问题放入A，B两个纸箱中，A箱中有3道选择题和3道填空题，B箱中有4道选择题和4道填空题. 决赛中要求每位参赛同学在A，B两个纸箱中随机抽取两题作答. 甲先从A箱中依次抽取2道题目，答题结束后将题目一起放入B箱中，然后乙再从B箱中抽取题目．
①求乙从B箱中抽取的第一题是选择题的概率；
②已知乙从B箱中抽取的第一题是选择题，求甲从A箱中抽出的是2道选择题的概率．
第8章　概　　率
1. C　根据题意，得解得x＝，y＝，则xy＝.
2. A　因为事件A与事件B相互独立，所以P(AB)＝P(A)P(B).又P()＝，所以P(B|A)＝＝P(B)＝1－P()＝.
3. D　由题意，得摸球一次摸出白球的概率p＝，有放回地摸出3个球，没有摸到白球的概率为(1－p)3＝，所以至少有1个白球被摸出的概率为1－＝.
4. A　由题意，得随机变量ξ1的所有可能取值为2，3，4，则P(ξ1＝2)＝＝，P(ξ1＝3)＝＝，P(ξ1＝4)＝＝，所以E(ξ1)＝2×＋3×＋4×＝，则D(ξ1)＝(2－)2×＋(3－)2×＋(4－)2×＝.随机变量ξ2的所有可能取值为2，3，4，则P(ξ2＝2)＝＝，P(ξ2＝3)＝＝，P(ξ2＝4)＝＝，所以E(ξ2)＝2×＋3×＋4×＝，则D(ξ2)＝(2－)2×＋(3－)2×＋(4－)2×＝，所以E(ξ1)5. B　设三个白球编号为1，2，3，两个黑球编号为4，5，Ai表示取到i个白球，则i＝1，2，3，总取法有A＝60(种)，则P(A1)＝＝，P(A2)＝＝，P(A3)＝＝，ξ的可能取值为4，5，6，所以E(ξ)＝4×＋5×＋6×＝4.8，即总得分ξ的数学期望等于4.8.
6. A　抛掷一枚质地均匀的硬币900次，设硬币正面向上的次数为X，则X～B(900，)，E(X)＝np＝900×＝450，D(X)＝np(1－p)＝900××(1－)＝225.由题意，得X～N(μ，σ2)，且μ＝E(X)＝450，σ2＝D(X)＝225＝152.因为P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，即P(450－2×15≤X≤450＋2×15)≈0.954 5，所以利用正态分布估算硬币正面向上的次数不少于420次的概率为P(X≥420)＝P(X≥450－2×15)≈＋0.5＝0.977 25.
7. ABC　对于A，因为X～N(2，σ2)，且P(0≤X≤2)＋P(X≥t)＝P(2≤X≤4)＋P(X≥t)＝0.5，所以t＝4，故A正确；对于C，因为E(X)＝2，所以E(Y)＝E(X)＝2.因为Y～B(4，p)，所以E(Y)＝4p＝2，解得p＝，故C正确；对于B，因为Y～B(4，)，所以P(2≤Y≤3)＝C()4＋C·()4＝，故B正确；对于D，因为D(Y)＝4××(1－)＝1，所以D(4Y)＝16D(Y)＝16，故D错误．故选ABC.
8. BCD　对于A，P(B|A)＝＝＝P(B)，所以P(B)＝，故A错误；对于B，P(AB)＝P(A)P(B)＝×＝，故B正确；对于C，P(B)＝P()P(B)＝×＝，P(|B)＝＝＝，故C正确；对于D，P(A＋)＝P(A)＋P()－P(A)＝P(A)＋P()－P(A)P()＝＋－×＝，故D正确．故选BCD.
9. 　由题意，得P(X＝i)＝(i＝1，2，3，4)，所以P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4)＝＋＋＋＝1，得a＝10，所以P(10. 　因为随机变量X～N(3，4)，所以直线x＝3为正态密度曲线的对称轴．由P(X>3c－2)＝P(X<2c＋1)，结合正态分布的对称性可知，＝3，解得c＝.
11. 　　因为从甲箱中不放回地依次随机取出2个球，所以共有A＝90(种)取法．又两次都取到红球，共有A＝20(种)取法，所以两次都取到红球的概率为P＝＝.记事件A1表示“从甲箱中随机取出一球是红球”，A2表示“从甲箱中随机取出一球是白球”，A3表示“从甲箱中随机取出一球是黑球”，B表示“从乙箱中取出的球是红球”，则P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝，且P(B|A1)＝，P(B|A2)＝，P(B|A3)＝，所以P(B)＝P(B|A1)P(A1)＋P(B|A2)P(A2)＋P(B|A3)P(A3)＝×＋×＋×＝.
12. (1) ＝55×0.06＋65×0.28＋75×0.3＋85×0.32＋95×0.04＝75.
(2) 因为100名学生竞赛成绩在区间[60，70)∪[80，90)内的共有60名，
所以从100名学生中抽取一名学生，成绩在区间[60，70)∪[80，90)内的概率为＝0.6，
设事件A为从参加该活动的学生中任选5名，恰有3名学生的竞赛成绩在区间[60，70)∪[80，90)内，
则P(A)＝C×0.63×0.42＝0.345 6.
(3) σ2＝(55－75)2×0.06＋(65－75)2×0.28＋(75－75)2×0.3＋(85－75)2×0.32＋(95－75)2×0.04＝100.
因为P(X≥75＋10)＝[1－P(75－10≤X≤75＋10)]≈0.158 65，即P(X≥85)≈0.158 65，
所以甲同学能获得“学习达人”称号．
13. (1) 甲获得决赛资格的概率P1＝×＝，
乙获得决赛资格的概率P2＝×＝.
由题意，得X的所有可能取值为0，1，2，
P(X＝0)＝(1－)×(1－)＝，
P(X＝1)＝(1－)×＋×(1－)＝，
P(X＝2)＝×＝，
所以X的概率分布为
X 0 1 2
P
故数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＝.
(2) 设事件Ai为“甲取到i道选择题”，i＝0，1，2，事件B为“乙取到第一题是选择题”，
则P(A0)＝＝，P(A1)＝＝，P(A2)＝＝，P(B|A0)＝＝，P(B|A1)＝＝，P(B|A2)＝＝.
①由全概率公式，得P(B)＝P(A0)P(B|A0)＋P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＝.
②由条件概率公式和乘法公式，得P(A2|B)＝＝＝.

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