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2024-2025学年七年级（下）期末数学模拟试卷（北师大版）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列图形中，为轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.从长度为，，，的四条线段中，任意取出三条线段，能围成三角形的是( )
A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，
3.下列计算，正确的是( )
A. B.
C. D.
4.如图，烧杯内液体表面与烧杯下底部平行，光线从液体中射向空气时发生折射，光线变成，点在射线上．已知，，则的度数为( )
A. B. C. D.
5.在下列图形中，与是同位角的是( )
A. B.
C. D.
6.如图，直线是线段的垂直平分线，为直线上的一点已知线段，则线段的长度为( )
A. B. C. D.
7.如图，转盘中四个扇形的面积都相等．小明随意转动转盘次，指针指向的数字为偶数的概率为( )
A. B. C. D.
8.如图，，且点在上，点，，在同一直线上，若，，则的长为 ．
A. B. C. D.
9.定义，例如则的结果为 ．
A. B. C. D.
10.某校八年级同学到距学校千米的郊外春游，一部分同学步行，另一部分同学骑自行车，如图，，分别表示步行和骑车的同学前往目的地所走的路程千米与所用时间分钟之间的函数图象，则以下判断错误的是 ．
A. 骑车的同学比步行的同学晚出发分钟
B. 步行的速度是千米时
C. 骑车的同学从出发到追上步行的同学用了分钟
D. 骑车的同学和步行的同学同时到达目的地
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.图中是对顶角量角器，用它测量角的原理是 ．
12.如图，某施工队计划在小区处修建一条通向公路的道路，要使路程最短，道路应与公路垂直，依据的数学原理是 ．
13.某林业部门要考查某种幼树在一定条件下的移植成活率，试验结果统计如下表：
移植总数
成活数量
成活频率
由上表可以估计该种幼树移植成活的概率为 结果保留两位小数．
14.已知：，则的值为 ．
15.如图，在中，，，垂足为，若的面积为，则图中阴影部分的面积为 。
16.边长分别为和的两个正方形如图的样式摆放，则图中阴影部分的面积为 ．
17.如图，已知，，则 度．
18.一个装有进水管和出水管的容器，从某时刻起只打开进水管进水，经过一段时间后，再打开出水管放水，至时，关闭进水管．在打开进水管到关闭进水管的这段时间内，容器内的水量单位：与时间单位：之间的关系如图所示．关闭进水管后，经过 ，容器中的水恰好放完．
四、解答题：本题共7小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.计算：本小题分
； ．

20.本小题分
在一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的球．其中红球个，白球个，黑球个．
求任意摸出一个球是黑球的概率；
小明从盒子里取出个白球其他颜色球的数量没有改变，使得从盒子里任意摸出一个球是红球的概率为，请求出的值．
21.本小题分
如图所示，已知，．
求证：；
已知，求的度数．
22.本小题分
制作一个无盖长方形盒子．
用一张正方形的纸片制成一个如图的无盖长方体纸盒如果我们按照如图所示的方式，将边长为的正方形的四个角剪掉四个大小相同的小正方形，然后沿虚线折起来，就可以做成一个无盖的长方体盒子，当小正方形的边长由小到大变化时，图中空白部分的面积也随之发生变化．
【问题分析】在这个问题中自变量是 ，因变量是 ．
【实践探索】
剪去的小正方形的边长按整数值依次变化，即分别取，，，，，时，图中空白部分的面积分别是多少？请你将计算的结果填入下表：
小正方形的边长
图中空白部分的面积
【实践分析】观察绘制的统计表，你发现，随着减去的小正方形的边长的增大，图中空白部分的面积如何变化？________
A. 一直增大 B. 一直减小 C. 先增大后减小 D. 先减小后增大
23.本小题分
如图，中，于点，平分，点在的延长线上，过点作直线，且，求的度数．
24.本小题分
【提出问题】唐代诗人李颀的诗古从军行开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”中隐含着一个有趣的数学问题将军饮马如图，将军从山脚下的点出发，到达河岸点饮马后再回到点宿营，他时常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢？
【分析问题】小亮：作点关于直线的对称点，连接与直线交于点，点就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的如图
小慧：你能详细解释为什么吗？
小亮：如图，在直线上另取任一点，连接，，，我只需要说明．
请你帮助小亮写出说理过程．
【解决问题】如图，将军牵马从军营处出发，到河流饮马，再到草地吃草，最后回到处，试分别在和上各找一点，，使得走过的路程最短保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线
25.本小题分
阅读理解：
若满足，求的值．
解：设，，
则，，
．
【类比探究】若满足求的值；
【联系拓展】若满足，则 ；直接写出结论，不用说明理由．
【解决问题】如图，在长方形中，，，点是上的点，且，分别以为边在长方形外侧作正方形和正方形，若长方形的面积为平方单位，则图中阴影部分的面积和为多少平方单位？
26.本小题分
综合与实践．
【问题背景】如图是我国北部部分地区使用的太阳能烧水器，其原理是凹面镜的聚光技术如图是烧水器的截面示意图，平行的太阳光线和经过凹面镜的反射后，反射光线，交于一点．
【探索发现】如图，利用平行线的性质，把分成两部分进行研究，发现，和之间存在的数量关系是______________________________；
如图，，点，分别在，上，点是在，之间，且位于，右侧的任意一点，连接，，试探究，与之间的数量关系；
【拓展延伸】如图，在的条件下，在，之间，，的左侧再取一点，连接，若使，，求与之间的数量关系．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.对顶角相等
12.垂线段最短
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.解：；
，
；
．
，
；

，
．
，
，
20.
解：因为红球个，白球个，黑球个，所以盒子中球的总数为：个，所以任意摸出一个球是黑球的概率为；
因为任意摸出一个球是红球的概率是， 所以盒子中球的总量为：个， 所以可以将盒子中的白球拿出个， 所以．

21.（1），，．
，，．
（2），，
，．
，
设，，则，，．
22.（1）
（2）
（3）
23.．
24.（1）因为直线是点，的对称轴，点，在上，
所以，，
所以，，
因为，
所以，
所以作点关于直线的对称点，
连接与直线交于点，点就是饮马的地方．
（2）如图，分别作点关于，的对称点，，
连接分别交，于点，，
则路线，，即为所求．
因为，，
所以，
根据“两点之间，线段最短”可得路线，，
即为所求．

25.（1）
解：设，，
则，．
所以．
（2）
（3）由题意，得，，
阴影部分的面积和为．
长方形的面积为，
，
．
设，，
则，，
．
阴影部分的面积和为平方单位．

26.（1）解：
如图，过点作，
因为，，所以，
所以，，
所以，
所以．
（2）由知，．
由知，．
因为，，
所以，
所以，即．
所以与之间的数量关系是．

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