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8.6.2　第二课时　直线与平面垂直的性质
知识点　直线与平面垂直的性质
(一)教材梳理填空
1．直线与平面垂直的性质定理：
平行
a∥b
2．线面距与面面距：
(1)一条直线与一个平面平行时，这条直线上_________到这个平面的距离，叫 做这条直线到这个平面的距离．
(2)如果两个平面平行，那么其中一个平面内的_________到另一个平面的距离_______，我们把它叫做这两个平行平面间的距离．
任意一点
任意一点
都相等
(二)基本知能小试
1．判断正误：
(1)垂直于同一条直线的两个平面平行． ( )
(2)直线上任意一点到这个平面的距离，就是这条直线到这个平面的距离．( )
(3)到已知平面距离相等的两条直线平行． ( )
2．从圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上)，过该点作另一个底面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是 (　　)
A．相交　　　　　　　 B．平行
C．异面 D．相交或平行
答案：B
√
×
×
[方法技巧]
关于线面垂直性质定理的应用
在证明与垂直相关的平行问题时，可以考虑线面垂直的性质定理，利用已知的垂直关系构造线面垂直，关键是确定与要证明的两条直线都垂直的平面．　　
[方法技巧]
(1)从平面外一点作一个平面的垂线，这个点与垂足间的距离就是这个点到这个平面的距离．当该点到已知平面的垂线不易作出时，可利用线面平行、面面平行的性质转化为与已知平面等距离的点作垂线，然后计算．
(2)利用中点转化：如果条件中具有中点条件，将一个点到平面的距离，借助中点(等分点)，转化为另一点到平面的距离．
(3)通过换底转化：一是直接换底，以方便求几何体的高；二是将底面扩展(分割)，以方便求底面积和高．　　
[方法技巧]
综合应用线面垂直的判定、性质证明线线垂直时，一是根据已知的垂直关系，确定需要证明的直线和平面；二是思路调整，比如要证明直线a垂直于平面α内的直线b，往往需要证明直线b垂直于直线a所在的平面β.　　课时跟踪检测 （三十一） 直线与平面垂直的性质
层级(一)　“四基”落实练
1．在正方体ABCD A1B1C1D1中，直线l(与直线BB1不重合)⊥平面A1C1，则 (　　)
A．B1B⊥l
B．B1B∥l
C．B1B与l异面但不垂直
D．B1B与l相交但不垂直
解析：选B　因为B1B⊥平面A1C1，又因为l⊥平面A1C1，所以l∥B1B.故选B.
2．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是 (　　)
A．若m∥α，n∥α，则m∥n
B．若m∥α，m∥β，则α∥β
C．若m∥n，m⊥α，则n⊥α
D．若m∥α，α⊥β，则m⊥β
解析：选C　∵m∥n，m⊥α，则n⊥α，故选C.
3.如图， ADEF的边AF⊥平面ABCD，且AF＝2，CD＝3，则CE＝ (　　)
A．2　　　　　　　　　 B．3
C. D.
解析：选D　因为四边形ADEF为平行四边形，
所以AF∥DE且AF＝DE.
因为AF⊥平面ABCD，所以DE⊥平面ABCD.所以DE⊥DC.因为AF＝2，所以DE＝2.
又CD＝3，所以CE＝＝＝.
4.如图，α∩β＝l，点A，C∈α，点B∈β，且BA⊥α，BC⊥β，那么直线l与直线AC的关系是 (　　)
A．异面 B．平行
C．垂直 D．不确定
解析：选C　∵BA⊥α，α∩β＝l，l α，∴BA⊥l.同理BC⊥l.又BA∩BC＝B，∴l⊥平面ABC.∵AC 平面ABC，∴l⊥AC.故选C.
5．已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，直线l满足l⊥m，l⊥n，l α，l β，则(　　)
A．α∥β且l∥α
B．α∥β且l⊥β
C．α与β相交，且交线与l垂直
D．α与β相交，且交线与l平行
解析：选D　若α∥β，则由m⊥平面α，n⊥平面β，可得m∥n，这与m，n是异面直线矛盾，故α与β相交．
设α∩β＝a，过空间内一点P，作m′∥m，n′∥n，m′与n′相交，m′与n′确定的平面为γ.
因为l⊥m，l⊥n，所以l⊥m′，l⊥n′，所以l⊥γ.
因为m⊥α，n⊥β，所以m′⊥α，n′⊥β，
所以a⊥m′，a⊥n′，所以a⊥γ.
又因为l α，l β，所以l与a不重合．
所以l∥a.综上知，选D.
6．线段AB在平面α的同侧，A，B到α的距离分别为3和5，则AB的中点到α的距离为________．
解析：如图，设AB的中点为M，分别过A，M，B向α作垂线，垂足 分别为A1，M1，B1，则由线面垂直的性质可知，AA1∥MM1∥BB1，四边形AA1B1B为直角梯形，AA1＝3，BB1＝5，MM1为其中位线，∴MM1＝4.
答案：4
7.如图，∠BCA＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC，△PAC的边所在的直线中：
(1)与PC垂直的直线有________；
(2)与AP垂直的直线有________．
解析：(1)因为PC⊥平面ABC，AB，AC，BC 平面ABC，
所以PC⊥AB，PC⊥AC，PC⊥BC.
(2)∠BCA＝90°即BC⊥AC，又BC⊥PC，AC∩PC＝C，
所以BC⊥平面PAC.
因为AP 平面PAC，所以BC⊥AP.
答案：(1)AB，AC，BC　(2)BC
8.如图，已知平面α∩平面β＝l，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，直线a β，a ⊥AB.求证：a∥l.
证明：因为EA⊥α，α∩β＝l，即l α，所以l⊥EA.
同理l⊥EB.又EA∩EB＝E，所以l⊥平面EAB.
因为EB⊥β，a β，所以EB⊥a.
又a⊥AB，EB∩AB＝B，所以a⊥平面EAB.
由线面垂直的性质定理，得a∥l.
层级(二)　能力提升练
1.已知PA垂直于以AB为直径的圆所在平面，C为圆上异于A，B的任一 点，则下列关系不正确的是 (　　)
A．PA⊥BC
B．BC⊥平面PAC
C．AC⊥PB
D．PC⊥BC
解析：选C　PA⊥平面ABC，得PA⊥BC，A正确；又BC⊥AC，所以BC⊥平面PAC，所以BC⊥PC，B、D均正确．故选C.
2．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不重合的平面，给定下列四个命题，其中真命题的是 (　　)
①若m⊥n，n α，则m⊥α；
②若m⊥α，n α，则m⊥n；
③若m⊥α，n⊥α，则m∥n；
④若m α，n β，α∥β，则m∥n.
A．①② B．②③
C．③④ D．①④
解析：选B　①中，直线m垂直于平面α内的一条直线n，则直线m与平面α不一定垂直，所以①不是真命题；
②是直线与平面垂直的定义的应用，所以②是真命题；
③是直线与平面垂直的性质定理，所以③是真命题；
④中，分别在两个平行平面α，β内的直线m，n平行或异面，所以④不是真命题．故选B.
3．已知∠ACB＝90°，P为平面ABC外一点，PC＝2，点P到∠ACB两边AC，BC的距离均为，那么P到平面ABC的距离为________．
解析：如图所示，设PO⊥平面ABC于O，PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，连接OE，OF，OC.
∵PO⊥平面ABC，AC 平面ABC，
∴PO⊥AC.
又PO∩PE＝P，∴AC⊥平面POE.
又OE 平面POE，∴AC⊥OE.
同理有BC⊥OF.∴四边形OECF为矩形．
∵PC＝PC且PE＝PF，∴Rt△PEC≌Rt△PFC.
∴EC＝FC＝＝1.
∴四边形OECF是边长为1的正方形．
∴OC＝.
在Rt△POC中，PO＝＝.
答案：
4.
如图，在直三棱柱ABC A1B1C1中，AB⊥AC，D，E分别为AA1，B1C的中点，DE⊥平面BCC1B1.
求证：AB＝AC.
证明：取BC的中点F，连接EF，AF.
则EF∥B1B且EF＝B1B.
从而EF∥DA且EF＝DA，
所以四边形ADEF为平行四边形，
所以AF∥DE.
因为DE⊥平面BCC1B1，所以AF⊥平面BCC1B1.
所以AF⊥BC，即AF为BC的垂直平分线，故AB＝AC.
5.如图，在四棱锥P ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，AE⊥PD于点E，l⊥平面PCD.
求证：l∥AE.
证明：因为PA⊥平面ABCD，CD 平面ABCD，
所以PA⊥CD.
又四边形ABCD是矩形，所以CD⊥AD.
因为PA∩AD＝A，PA 平面PAD，AD 平面PAD，
所以CD⊥平面PAD.
又AE 平面PAD，所以AE⊥CD.
因为AE⊥PD，PD∩CD＝D，PD 平面PCD，CD 平面PCD，所以AE⊥平面PCD.
因为l⊥平面PCD，所以l∥AE.
层级(三)　素养培优练
1．在直四棱柱ABCD A1B1C1D1中，当底面四边形ABCD满足条件___________时，有A1C⊥B1D1(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况)．
解析：当BD⊥AC时，又BD⊥AA1，
所以BD⊥平面AA1C，从而BD⊥A1C.
又B1D1∥BD，所以A1C⊥B1D1.
答案：BD⊥AC（答案不唯一）
2.如图，直升机上一点P在地面α上的正射影是点A(即PA⊥α)，从点P看地平面上一物体B(不同于A)，直线PB垂直于飞机玻璃窗所在的平面β.求证：平面β必与平面α相交．
证明：假设平面α与平面β平行．
因为PA⊥平面α，所以PA⊥平面β.
因为PB⊥平面β，由线面垂直的性质定理，可得PA∥PB，
与已知PA∩PB＝P矛盾，所以平面β必与平面α相交．
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