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课时跟踪检测 （三十二） 平面与平面垂直的判定
层级(一)　“四基”落实练
1．经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有 (　　)
A．0个　　　　　　　　　 B．1个
C．无数个 D．1个或无数个
解析：选D　当两点连线与平面α垂直时，可作无数个垂面，否则，只有1个．故选D.
2．从空间一点P向二面角α l β的两个面α，β分别作垂线PE，PF，E，F为垂足，若∠EPF ＝60°，则二面角α l β的平面角的大小是 (　　)
A．60° B．120°
C．60°或120° D．不确定
解析：选C　 若点P在二面角内，则二面角的平面角为120°；若点P在二面角外，则二面角的平面角为60°.故选C.
3．已知直线a，b与平面α，β，γ，下列能使α⊥β成立的条件是 (　　)
A．α⊥γ，β⊥γ B．α∩β＝a，b⊥a，b β
C．a∥β，a∥α D．a∥α，a⊥β
解析：选D　 由a∥α，知α内必有直线l与a平行．而a⊥β，所以l⊥β，所以α⊥β.故选D.
4．在正三角形 ABC 中，AD⊥BC 于点 D，沿 AD 折成二面角B AD C后，BC＝AB，这时二面角B AD C的大小为 (　　)
A．60° B．90°
C．45° D．120°
解析：选A　 ∠BDC为二面角B AD C的平面角，设正三角形ABC的边长为m，则折叠后，BC＝m，BD＝DC＝m，所以∠BDC＝60°.故选A.
5.(多选)如图，在四棱锥P ABCD中，已知PA⊥底面ABCD，且底面ABCD为矩形，则下列结论中正确的是 (　　)
A．平面PAB⊥平面PAD
B．平面PAB⊥平面PBC
C．平面PBC⊥平面PCD
D．平面PCD⊥平面PAD
解析：选ABD　由面面垂直的判定定理知，平面PAB⊥平面PAD，故平面PAB⊥平面PBC，平面PCD⊥平面PAD，故A，B，D正确．
6．在四棱锥P ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.
解析：∵△PAB≌△PAD，∴PB＝PD，
∴△PDC≌△PBC，当BM⊥PC时，有DM⊥PC，此时PC⊥平面MBD，∴平面MBD⊥平面PCD.故填BM⊥PC(或DM⊥PC)．
答案：BM⊥PC(或DM⊥PC)
7.如图，空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，∠BAD＝90°，且AB＝AD，则AD与平面BCD所成的角是________．
解析：过A作AO⊥BD于O点，
∵平面ABD⊥平面BCD，
∴AO⊥平面BCD，则∠ADO即为AD与平面BCD所成的角．
∵∠BAD＝90°，AB＝AD，
∴∠ADO＝45°.
答案：45°
8.如图所示，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝PD.求证：平面PQC⊥平面DCQ.
证明：由四边形ABCD为正方形，可得CD⊥AD.
又∵PD⊥平面ABCD，
∴PD⊥CD，PD⊥AD.
又∵PD∩AD＝D，
∴CD⊥平面AQPD.
∴CD⊥PQ.
如图，取PD的中点E，连接QE.
∵PD∥QA，且QA＝PD，
∴DE∥AQ，且DE＝AQ.
∴四边形AQED是平行四边形．
∴QE∥AD.∴QE⊥PD.∴DQ＝QP.
设QA＝1，则在△DQP中，DQ＝QP＝，PD＝2.
∴DQ2＋QP2＝PD2.
∴∠PQD＝90°，即DQ⊥PQ.
又∵CD∩DQ＝D，∴PQ⊥平面DCQ.
∵PQ 平面PQC，∴平面PQC⊥平面DCQ.
层级(二)　能力提升练
1．在四面体ABCD中，AB＝BC＝CD＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，A BD C为直二面角，E是CD的中点，则∠AED等于 (　　)
A．90° B．45°
C．60° D．30°
解析：选A　
如图，设AB＝BC＝CD＝AD＝a，取BD中点F，连接AF，CF.由题意 可得AF＝CF＝a，∠AFC＝90°.在Rt△AFC中，可得AC＝a，∴△ACD为正三角形．∵E是CD的中点，
∴AE⊥CD，∴∠AED＝90°.故选A.
2．(2023·全国乙卷)已知△ABC为等腰直角三角形，AB为斜边，△ABD为等边三角形，若二面角C-AB-D为150°，则直线CD与平面ABC所成角的正切值为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选C　取AB的中点E，连接CE，DE，因为△ABC是等腰直角三角形，且AB为斜边，所以CE⊥AB.又△ABD是等边三角形，所以DE⊥AB.从而∠CED为二面角C-AB-D的平面角，即∠CED＝150°.
显然CE∩DE＝E，CE，DE 平面CDE，于是AB⊥平面CDE，又AB 平面ABC，
因此平面CDE⊥平面ABC，显然平面CDE∩平面ABC＝CE，
直线CD 平面CDE，则直线CD在平面ABC内的射影为直线CE，
从而∠DCE为直线CD与平面ABC所成的角，令AB＝2，则CE＝1，DE＝，在△CDE中，由余弦定理得CD＝
＝＝，
由正弦定理得＝，即sin∠DCE＝＝，
显然∠DCE是锐角，cos∠DCE＝＝＝，
所以tan∠DCE＝＝.
所以直线CD与平面ABC所成角的正切值为.
3.如图所示，在长方体ABCD A1B1C1D1中，BC＝2，AA1＝1，E，F分别在 AD和BC上，且EF∥AB，若二面角C1 EF C等于45°，则BF＝________.
解析：由题意知EF⊥BC.
∵CC1⊥平面ABCD，∴CC1⊥EF.
又BC∩CC1＝C，∴EF⊥平面CC1F.∴EF⊥C1F.
故∠C1FC为二面角C1 EF C的平面角，即∠C1FC＝45°.
∵CC1＝AA1＝1，∴CF＝1.又BC＝2，∴BF＝1.
答案：1
4．如图所示，在矩形ABCD中，已知AB＝AD，E是AD的中点，沿BE将△ABE折起至△A′BE的位置，使A′C＝A′D.求证：平面A′BE⊥平面BCDE.
证明：如图所示，取CD的中点M，BE的中点N，
连接A′M，A′N，MN，则MN∥BC.
∵AB＝AD，E是AD的中点，
∴AB＝AE，即A′B＝A′E.
∴A′N⊥BE.∵A′C＝A′D，∴A′M⊥CD.
在四边形BCDE中，CD⊥MN，
又∵MN∩A′M＝M，MN 平面A′MN，
A′M 平面A′MN，∴CD⊥平面A′MN.
∵A′N 平面A′MN，∴CD⊥A′N.
∵DE∥BC且DE＝BC，∴BE必与CD相交．
又∵A′N⊥BE，A′N⊥CD，∴A′N⊥平面BCDE.
又∵A′N 平面A′BE，∴平面A′BE⊥平面BCDE.
5.如图所示，平面角为锐角的二面角α EF β，A∈EF，AG α，∠GAE ＝ 45°.若AG与β所成角为30°，求二面角α EF β的大小．
解：作GH⊥β于H，作HB⊥EF于B，连接GB，
则GB⊥EF，∠GBH是二面角α EF β的平面角．
又∠GAH是AG与β所成的角，
设AG＝a，则GB＝a，GH＝a，
sin∠GBH＝＝.
所以∠GBH ＝ 45°，二面角α EF β的大小为45°.
层级(三)　素养培优练
1．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，将△ABC沿斜边BC上的高AD折叠，使平面ABD⊥平面ACD，则折叠后BC＝________.
解析：由题意知，BD⊥AD，CD⊥AD，
所以∠BDC为二面角B AD C的平面角．
因为平面ABD⊥平面ACD，所以∠BDC＝90°.
连接BC(图略)，则BC＝
＝ ＝1.
答案：1
2.如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠BAD＝90°，AD∥BC，AB＝BC＝1，AD＝2，PA⊥底面ABCD，PD与底面成45°角，点E是PD的中点．
(1)求证：BE⊥PD；
(2)求二面角P CD A的余弦值．
解：(1)证明：连接AE.
因为PA⊥底面ABCD，所以∠PDA是PD与底面ABCD 所成的角，所以∠PDA＝45°.所以PA＝DA.
又因为点E是PD的中点，所以AE⊥PD.
因为PA⊥底面ABCD，AB 底面ABCD，
所以PA⊥AB.因为∠BAD＝90°，
所以BA⊥AD.
又因为PA∩AD＝A，所以BA⊥平面PDA.
又因为PD 平面PDA，所以BA⊥PD.
因为BA∩AE＝A，所以PD⊥平面ABE.
因为BE 平面ABE，所以BE⊥PD.
(2)连接AC.在直角梯形ABCD中，
因为AB＝BC＝1，AD＝2，所以AC＝CD＝.
因为AC2＋CD2＝AD2，所以AC⊥CD.
又因为PA⊥底面ABCD，CD 底面ABCD，所以PA⊥CD.
因为AC∩PA＝A，所以CD⊥平面PAC.
又因为PC 平面PAC，所以PC⊥CD.
所以∠PCA为二面角P CD A的平面角．
在Rt△PCA中，PC＝＝＝.
所以cos∠PCA＝＝＝.
所以所求二面角P CD A的余弦值为.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共34张PPT)
8.6.3　平面与平面垂直
明确目标 发展素养
1.借助长方体，通过直观感知，了解平面与平面的垂直关系．
2.归纳出平面与平面垂直的判定定理、性质定理，并加以证明．
3.能用已获得的结论证明空间基本图形位置关系的简单命题. 在发现、推导和应用平面与平面垂直的判定定理、性质定理的过程中，培养数学抽象、逻辑推理和直观想象素养.
第一课时　平面与平面垂直的判定
两个半平面
棱
面
α l β
2．二面角的平面角：
任取
垂直于
平面角
0°
180°
平面角
直二面角
[微思考]　平时，我们常说“把门开大一点”，在这里指的是哪个角大一点？
提示：门面与墙面所成的二面角的平面角．
答案：B
答案：D
答案：45°
知识点二　平面与平面垂直
(一)教材梳理填空
1．面面垂直的定义：
直二面角
2．平面与平面垂直的判定定理：
垂线
×
√
2．已知直线l⊥平面α，则经过l且和α垂直的平面 (　　)
A．有一个　　　　　　　　 B．有两个
C．有无数个 D．不存在
答案：C
答案：D
答案：D　
【对点练清】
1．[变条件]在本例中增加条件“SA＝SB＝SC＝2”，其他条件不变，求三棱锥S -ABC的体积．
题型三　面面垂直判定定理的综合应用——鳖臑模型

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