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课时跟踪检测 （二十五） 空间点、直线、平面之间的位置关系
层级(一)　“四基”落实练
1．圆柱的两个底面的位置关系是 (　　)
A．相交　　　　　　　　 B．平行
C．平行或异面 D．相交或异面
解析：选B　圆柱的两个底面无公共点，则它们平行．故选B.
2．如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的 (　　)
A．一条直线不相交 B．两条直线不相交
C．无数条直线不相交 D．任意一条直线不相交
解析：选D　直线a∥平面α，则a与α无公共点，即与α内的直线均无公共点．故选D.
3．若直线a在平面γ外，则 (　　)
A．a∥γ
B．a与γ至少有一个公共点
C．a∩γ＝A
D．a与γ至多有一个公共点
解析：选D　直线a在平面γ外，其包括直线a与平面γ相交或平行两层含义，故a与γ至多有一个公共点．故选D.
4．若a，b是异面直线，b，c是异面直线，则 (　　)
A．a∥c B．a，c是异面直线
C．a，c相交 D．a，c平行或相交或异面
解析：选D　如图，可借助长方体理解，令a＝CC1，b＝A1B1，则BC，AD，DD1均满足题目条件，故直线a和直线c的位置关系是平行、相交或异面．故选D.
5．若P是两条异面直线l，m外的任意一点，则 (　　)
A．过点P有且仅有一条直线与l，m都平行
B．过点P有且仅有一条直线与l，m都垂直
C．过点P有且仅有一条直线与l，m都相交
D．过点P有且仅有一条直线与l，m都异面
解析：选B　逐个分析，过点P与l，m都平行的直线不存在；过点P与l，m都垂直的直线只有一条；过点P与l，m都相交的直线1条或0条；过点P与l，m都异面的直线有无数条．故选B.
6．在长方体ABCD-A1B1C1D1的六个表面与六个对角面(平面AA1C1C、平面ABC1D1、平面ADC1B1、平面A1BCD1、平面BB1D1D及平面A1B1CD)所在的平面中，与棱AA1平行的平面共有________个．
解析：如图所示，结合图形可知AA1∥平面BC1，AA1∥平面DC1，AA1∥平面BB1D1D.
答案：3
7．若点A∈α，B α，C α，则平面ABC与平面α的位置关系是________．
解析：∵点A∈α，B α，C α，
∴平面ABC与平面α有公共点，且不重合，
∴平面ABC与平面α的位置关系是相交．
答案：相交
8.如图所示，在长方体ABCD A1B1C1D1中，直线B1D1与长方体的六个面之 间的位置关系如何？
解：直线B1D1在平面A1C1内，直线B1D1与平面BC1，AB1，AD1，CD1 都相交，直线B1D1与平面AC平行．
层级(二)　能力提升练
1．与同一个平面α都相交的两条直线的位置关系是 (　　)
A．平行 B．相交
C．异面 D．以上都有可能
解析：选D　如图所示：
故相交、平行、异面都有可能．故选D.
2．l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是 (　　)
A．l1⊥l2，l2⊥l3 l1⊥l3
B．l1⊥l2，l2∥l3 l1⊥l3
C．l1∥l2∥l3 l1，l2，l3共面
D．l1，l2，l3共点 l1，l2，l3共面
解析：选B　选项A，l1⊥l2，l2⊥l3，则l1与l3的位置关系可能是相交、平行或异面；显然选项B正确；选项C，如三棱柱中的三条侧棱平行，但不共面；选项D，如长方体共顶点的三条棱分别为l1，l2，l3，但这三条直线不共面．
3．(多选)如图，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是共面直线的图是 (　　)
解析：选ABD　A、B中直线PQ与RS是平行直线，D中直线PQ与RS是相交直线，而C中直线PQ与RS是异面直线．故选A，B，D.
4．(1)在图中画出一个平面与两个平行平面相交．
(2)在图中分别画出三个两两相交的平面．
解：(1)如图所示．
(2)如图所示．
5.如图，在正方体ABCD A′B′C′D′中，E，F分别为B′C′，A′D′ 的中点．求证：平面ABB′A′与平面CDFE相交．
证明：在正方体ABCD A′B′C′D′中，E为B′C′的中点，所以 EC 与BB′不平行，
则延长CE与BB′必相交于一点H.
所以H∈EC，H∈B′B.
又BB′ 平面ABB′A′，CE 平面CDFE，
所以H∈平面ABB′A′，H∈平面CDFE，
故平面ABB′A′与平面CDFE相交．
层级(三)　素养培优练
1．三个平面分空间有几种情况？试画图说明每种情况可把空间分成几个部分？
解：三个平面分空间共有5种情况．三个平面可把空间分成4(如图①)、6(如图②③)、7(如图④)或8(如图⑤)个部分．
(1)当三个平面互相平行时，将空间分成四部分，如图①；
(2)当两个平面平行，第三个平面与它们相交时，将空间分成六部分，如图②；
(3)当三个平面相交于同一条直线时，将空间分成六部分，如图③；
(4)当三个平面相交于三条直线，且三条交线互相平行时，将空间分成七部分，如图④；
(5)当三个平面相交于三条直线，且三条交线相交于同一点时，将空间分成八部分，如图⑤.
2．如图①②所示，ABCD A1B1C1D1是正方体，在图①中，E，F分别是D1C1，B1B的中点．试分别画出图①②中有阴影的平面与平面ABCD的交线．
解：如图①所示，过点E作EN∥BB1交CD于点N，连接NB并延长交EF的延长线于点M，连接AM，则AM即为有阴影的平面与平面ABCD的交线．
如图②所示，延长DC，过点C1作C1P∥A1B交DC的延长线于点P，连接BP，则BP即为有阴影的平面与平面ABCD的交线．
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8．4　空间点、直线、平面之间的位置关系
8．4.1　平面
明确目标 发展素养
1.借助日常生活中的实物，在直观认识空间点、直线、平面的基础上，抽象出平面概念．
2.了解基本事实1～3和确定平面的推论，掌握平面的画法及表示方法. 在学习平面的概念和基本事实1～3的过程中，把现实生活中的平面形状的物体及其具有的性质抽象出来，培养数学抽象、直观想象素养.
无限延展
(2)平面的画法：
画
法 我们常用矩形的直观图，即___________表示平面
当平面水平放置时，常把平行四边形的一边画成_____ 当平面竖直放置时，常把平行四边形的一边画成______ 在画两个相交平面时，如果其中一个平面的一部分被另一个平面挡住，通常把被挡住的部分画成_____________
图
示
横向
竖向
虚线或不画
平行四边形
(3)平面的表示方法：
①用希腊字母α，β，γ等表示平面，如平面α、平面β、平面γ等．
②用代表平面的平行四边形的四个顶点的大写英文字母表示，如平面ABCD.
③用代表平面的平行四边形的相对的两个顶点的大写英文字母表示，如平面AC或者平面BD.
[微思考]　一个平面能把空间分成几部分？
提示：因为平面是无限延展的，一个平面把空间分成两部分．
2．点、线、面之间的关系及符号表示(其中A是点，l，m是直线，α，β是平面)：
∈

∈


续表
l∩m＝A
α∩β＝l

(二)基本知能小试
1．判断正误：
(1)我们常用平行四边形表示平面，所以平行四边形就是一个平面． ( )
(2)直线l与平面α有且只有两个公共点． ( )
(3)10个平面重叠起来要比6个平面重叠起来厚一些． ( )
(4)一个平面的面积是8 cm2. ( )
×
×
×
×
答案：A
答案：C
知识点二　平面的基本事实
(一)教材梳理填空
1．平面的基本事实：
基本事实 内容 图形 符号 作用
基本
事实
1 过_______________的三个点，有且只有一个平面 A，B，C三点不共线 存在唯一的α使A，B，C∈α 用来确定一个平面
基本
事实
2 如果一条直线上的______在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 ___________，且______，
______ l α 用来证明直线在平面内　
不在一条直线上
两个点
A∈l，B∈l
A∈α
B∈α
过该点的公共直线
P∈α
P∈β
2．平面的基本事实的三个推论：
推论 内容 图形 作用
推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面 确定
平面
的依据
推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面
推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面
答案：D
答案：α与β的交线上
×
×
√
[解]　(1)符号表示：α∩β∩γ＝P，α∩β＝PA，α∩γ＝PB，β∩γ＝PC，图形表示：如图①.
【对点练清】
用符号语言表示下列语句，并画出图形．
(1)点A，B在平面α内，直线a与平面α交于点C，点C不在直线AB上；
(2)直线AB，AC分别在平面α，β内，且点A在平面α与平面β的交线l上．
[深化探究]
如何确定一个平面，确定平面的理论依据是什么？如何判断一条直线在平面内，理论依据是什么？
提示：确定平面，可以根据基本事实1或三个推论，确定平面的依据是推论2；判断一条直线在平面内，关键是找到这条直线上的两个点在这个平面内，理论依据是基本事实2.　　　
【对点练清】
1.如图，已知△ABC在平面α外，AB∩α＝P，AC∩α＝R，BC∩α＝Q，求证：P，Q，R三点共线．

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