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课时跟踪检测 （十四） 数系的扩充和复数的概念
层级(一)　“四基”落实练
1．以3i－的虚部为实部，以3i2＋i的实部为虚部的复数是 (　　)
A．3－3i　　　　　　　 B．3＋i
C．－＋i D.＋i
解析：选A　3i－的虚部为3,3i2＋i＝－3＋i的实部为－3，故选A.
2．若a，b∈R，i是虚数单位，且b＋(a－2)i＝1＋i，则a＋b的值为 (　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选D　由b＋(a－2)i＝1＋i，得b＝1，a＝3，所以a＋b＝4.
3．设集合A＝{实数}，B＝{纯虚数}，C＝{复数}，若全集S＝C，则下列结论正确的是(　　)
A．A∪B＝C B．A＝B
C．A∩( SB)＝ D．( SA)∪( SB)＝C
解析：选D　集合A，B，C的关系如图所示，可知只有( SA)∪( SB)＝
C正确．故选D.
4．若复数cos θ＋isin θ和sin θ＋icos θ相等，则θ值为 (　　)
A. B．或π
C．2kπ＋(k∈Z) D．kπ＋(k∈Z)
解析：选D　由复数相等定义得
∴tan θ＝1，∴θ＝kπ＋(k∈Z)．
5．若复数(a2－a－2)＋(|a－1|－1)i(a∈R)不是纯虚数，则 (　　)
A．a＝－1 B．a≠－1且a≠2
C．a≠－1 D．a≠2
解析：选C　由题意得a2－a－2≠0或解得a≠－1.
6．如果x－1＋yi与i－3x为相等复数，x，y为实数，则x＝________，y＝________.
解析：由复数相等可知，解得
答案：　1
7．若(m2－1)＋(m2－2m)i＞1，则实数m的值为________．
解析：由题意得解得m＝2.
答案：2
8．设复数z＝lg(m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i(m∈R)，试求 m取何值时？
(1)z是实数；
(2)z是纯虚数．
解：(1)由m2＋3m＋2＝0且m2－2m－2>0，解得m＝－1或m＝－2，故当m＝－1或m＝－2时，复数z是实数．
(2)当实部等于零且虚部不等于零时，复数表示纯虚数．
由lg(m2－2m－2)＝0，且m2＋3m＋2≠0，解得m＝3，故当m＝3时，复数z是纯虚数．
层级(二)　能力提升练
1．“复数4－a2＋(1－a＋a2)i(a∈R)是纯虚数”是“a＝－2”的 (　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选B　因为1－a＋a2＝a－2＋>0，所以若复数4－a2＋(1－a＋a2)i(a∈R)是纯虚数，则4－a2＝0，即a＝±2.所以“复数4－a2＋(1－a＋a2)i(a∈R)是纯虚数”是“a＝－2”的必要不充分条件．
2．已知集合M＝{1,2，m2－3m－1＋(m2－5m－6)i}，N＝{－1,3}，且M∩N＝{3}，则实数m的值为 (　　)
A．4 B．－1
C．－1或4 D．－1或6
解析：选B　由于M∩N＝{3}，故3∈M，必有m2－3m－1＋(m2－5m－6)i＝3，所以m2－3m－1＝3，m2－5m－6＝0，解得m＝－1.
3．已知复数z＝cos α＋icos 2α(0<α<2π)的实部与虚部互为相反数，则α的取值集合为________．
解析：由题意知cos α＋cos 2α＝0，∴2cos2α＋cos α－1＝0，
∴cos α＝－1或cos α＝.∵0<α<2π，∴α＝π，，，
∴α的取值集合为.
答案：
4．已知复数z1＝m＋(4－m2)i(m∈R)，z2＝2cos θ＋(λ＋3sin θ)i(λ，θ∈R)，并且z1＝z2，求λ的取值范围．
解：由z1＝z2得消去m得λ＝4sin2θ－3sin θ＝42－.由于－1≤sin θ≤1，故－≤λ≤7.即λ的取值范围为.
层级(三)　素养培优练
若m为实数，z1＝m2＋1＋(m3＋3m2＋2m)i，z2＝4m＋2＋(m3－5m2＋4m)i，那么使z1>z2的m值的集合是什么？
解：当z1∈R时，m3＋3m2＋2m＝0，m＝0，－1，－2，z1＝1或2或5.当z2∈R时，m3－5m2＋4m＝0，m＝0,1,4，z2＝2或6或18.上面m的公共值为m＝0，此时z1与z2同时为实数，且z1＝1，z2＝2.所以使z1>z2的m值的集合为空集．
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第七章 | 复数
7．1　复数的概念
7．1.1　数系的扩充和复数的概念
明确目标 发展素养
1.在问题情境中了解数系的扩充过程，通过方程的解认识复数．
2.理解复数的代数表示，掌握两个复数相等的充要条件及应用. 1.通过对复数的概念的理解，提高数学抽象素养．
2.通过对复数的认识，提升逻辑推理和数学运算素养.
虚数单位
实部
虚部
全体复数
3．复数相等：
在复数集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取两个数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，我们规定：a＋bi与c＋di相等当且仅当_____且______
[微思考]　若a＋bi＝0(a，b∈R)，则a与b的关系是什么？
提示：由复数相等的性质知a＝b＝0.
a＝c
b＝d.
(二)基本知能小试
1．已知复数z＝1＋i，则下列结论中正确的个数是 (　　)
①z的实部为1；②z>0；③z的虚部为i.
A．1　　　　　　　　　　 B．2
C．3 D．0
答案：A
2．若复数z的实部和虚部之和为3，则复数z可以是 (　　)
A．3－i B．3＋i
C．－1＋4i D．1＋3i
答案：C
3．若a－2i＝bi＋1，a，b∈R，则a2＋b2＝________.
答案：5
(2) 集合表示：
[微思考]　虚数为什么不能比较大小？
提示：引入虚数单位i后，规定i2＝－1，但i与0的大小关系不能确定．理由如下：
若i>0，则2i>i，两边同乘i，得2i2>i2，即－2>－1，与实数系中的数的大小规定相矛盾；
若i<0，则－2<－1，得－2i>－i，所以－2i·i<－i·i，即2<1，与实数系中数的大小规定也是矛盾的，故虚数不能比较大小，只有相等与不相等之分．
(二)基本知能小试
1．判断正误：
(1)复数z＝bi是纯虚数． ( )
(2)若a为实数，则z＝a一定不是虚数． ( )
(3)实数集和虚数集的交集不是空集． ( )
2．若复数z＝(x2－1)＋(x－1)i为纯虚数，则x的值为 (　　)
A．－1 B．0
C．1 D．－1或1
答案：A
3．已知复数z＝m＋(m2－1)i(m∈R)满足z<0，则m＝________.
答案：－1
×
√
×
[解析]　复数2＋3i的虚部是3，A正确；形如a＋bi(b∈R)的数不一定是虚数，B错误；只有当a∈R，a＋3≠0时，(a＋3)i是纯虚数，C错误；若两个复数能够比较大小，则它们都是实数，D正确，故选B，C.
[答案]　BC　
[方法技巧]
判断与复数有关的命题是否正确的方法
(1)举反例：判断一个命题为假命题，只要举一个反例即可，所以解答这种类型的题时，可按照“先特殊，后一般；先否定，后肯定”的方法进行解答．
(2)化代数形式：对于复数实部、虚部的确定，不但要把复数化为a＋bi的形式，更要注意这里a，b均为实数时，才能确定复数的实、虚部．
[提醒]　解答复数概念题，一定要紧扣复数的定义，牢记i的性质．　　
【对点练清】
下列说法中正确的是 (　　)
A．复数由实数、虚数、纯虚数构成
B．若复数z＝x＋yi(x，y∈R)是虚数，则必有x≠0
C．在复数z＝x＋yi(x，y∈R)中，若x≠0，则复数z一定不是纯虚数
D．若a，b∈R且a＞b，则a＋i＞b＋i
解析：选项A错误，复数由实数与虚数构成，在虚数中又分为纯虚数和非纯虚数；选项B错误，若复数z＝x＋yi(x，y∈R)是虚数，则必有y≠0，但可以x＝0；选项C正确，若复数z＝x＋yi(x，y∈R)是纯虚数，必有x＝0，y≠0，因此只要x≠0，复数z一定不是纯虚数；选项D错误，当a，b∈R时，a＋i与b＋i都是虚数，不能比较大小．
答案:C　
[方法技巧]
利用复数的分类求参数的方法及注意事项
(1)利用复数的分类求参数时，首先应将复数化为标准的代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)，若不是这种形式，应先化为这种形式，得到实部与虚部，再求解．
(2)要注意确定使实部、虚部的式子有意义的条件，再结合实部与虚部的取值求解．
(3)要特别注意复数z＝a＋bi(a，b∈R)为纯虚数的充要条件是a＝0，且b≠0.　　
【对点练清】
1．[变设问]若本例中条件不变，当m为何值时，z为实数？
(2)若log2(x2－3x－2)＋ilog2(x2＋2x＋1)>1，则实数x的值是________．
[解析]　(1)由z1＝z2，得n2－3m－1＝－3且n2－m－6＝－4，解得m＝2，n＝±2，所以m＋n＝4或0，故选A.
(2)因为log2(x2－3x－2)＋ilog2(x2＋2x＋1)>1，
[答案]　(1)A　(2)－2
答案：－1
二、创新性——强调创新意识和创新思维
2．已知复数z1＝4－m2＋(m－2)i，z2＝λ＋sin θ＋(cos θ－2)i，其中i是虚数单位，m，λ，θ∈R.
(1)若z1为纯虚数，求m的值；
(2)若z1＝z2，求λ的取值范围．

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