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综合素养评价（一）平面向量与正、余弦定理
1．已知向量a＝(1，－2)，b＝(m,4)，且a∥b，那么2a－b等于 (　　)
A．(4,0)　　　　　　　 B．(0,4)
C．(4，－8) D．(－4,8)
解析：选C　由a∥b知4＋2m＝0，所以m＝－2,2a－b＝(2，－4)－(m,4)＝(2－m，－8)＝(4，－8)．
2．已知向量a＝(，1)，b是不平行于x轴的单位向量，且a·b＝，则b等于 (　　)
A. B．
C. D．(1,0)
解析：选B　设b＝(x，y)，其中y≠0，
则a·b＝x＋y＝.由解得即b＝.故选B.
3．在△ABC中，若a＝b，A＝2B，则cos B等于 (　　)
A. B．
C. D.
解析：选B　由正弦定理，得＝，
∴a＝b可化为＝.
又A＝2B，∴＝，∴cos B＝.
4．已知A(－3,0)，B(0,2)，O为坐标原点，点C在∠AOB内，||＝2，且∠AOC＝，设＝ λ＋ (λ∈R)，则λ的值为(　　)
A．1 B．
C. D.
解析：选D　
过C作CE⊥x轴于点E.
由||＝2，且∠AOC＝，得|OE|＝|CE|＝2，所以＝＋ ＝λ＋，即＝λ，
所以(－2,0)＝λ(－3,0)，故λ＝.
5．(2024·全国甲卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B＝，b2＝ac，则sin A＋sin C＝(　　)
A. B.
C. D.
解析：选C　方法一：由正弦定理得sin Asin C＝sin2B，因为B＝，所以sin Asin C＝sin2B＝.由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－ac＝ac，所以a2＋c2＝ac，即sin2A＋sin2C＝sin Asin C，所以(sin A＋sin C)2＝sin2A＋sin2C＋2sin Asin C＝sin Asin C＝.又sin A>0，sin C>0，所以sin A＋sin C＝.
方法二：由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－ac＝(a＋c)2－3ac.又b2＝ac，所以3ac＝b2，所以(a＋c)2＝b2＋3ac＝，a＋c＝b.由正弦定理得sin A＋sin C＝sin B＝.
6．在△ABC中，三个顶点的坐标分别为A(3，t)，B(t，－1)，C(－3，－1)，若△ABC是以B为直角顶点的直角三角形，则t＝________.
解析：由已知，得·＝0，则(3－t，t＋1)·(－3－t,0)＝0，∴(3－t)(－3－t)＝0，解得t＝3或t＝－3，当t＝－3时，点B与点C重合，舍去．故t＝3.
答案：3
7．已知e为一个单位向量，a与e的夹角是120°.若a在e上的投影为－2e，则|a|＝________.
解析：∵|a|·cos 120°＝－2，
∴|a|×＝－2，∴|a|＝4.
答案：4
8．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且B为锐角，若＝，sin B＝，S△ABC＝，则b的值为________．
解析：由＝ ＝ a＝c.①
由S△ABC＝acsin B＝且sin B＝得ac＝5.②
联立①②得a＝5，且c＝2.
由sin B＝且B为锐角知cos B＝，
由余弦定理知b2＝25＋4－2×5×2×＝14，b＝.
答案：
9．(2024·天津高考)在边长为1的正方形ABCD中，E为线段CD的三等分点，CE＝DE，B＝λ＋μ，则λ＋μ＝________；F为线段BE上的动点，G为AF中点，则A·D的最小值为________．
解析：以点A为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0,0)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)，E，所以B＝，B＝(－1,0)，B＝(0,1)．因为B＝λ＋μ，所以＝λ(－1,0)＋μ(0,1)，所以λ＝，μ＝1，即λ＋μ＝.由B(1,0)，E可得直线BE的方程为y＝－3(x－1)，设F(a,3－3a)，则G，所以A＝(a,3－3a)，D＝，所以A·D＝a·＋(3－3a)·＝5a2－6a＋＝52－.所以当a＝时，A·D取得最小值，为－.
答案：　－
10．已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设＝a，＝b，＝c，且＝3c，＝－2b.
(1)求3a＋b－3c；
(2)求满足a＝m b＋n c的实数m，n；
(3)求M，N的坐标及向量的坐标．
解：由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)．
(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)
＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．
(2)因为m b＋n c＝(－6m＋n，－3m＋8n)，
所以解得
(3)设O为坐标原点，因为＝－＝3c，
所以＝3c＋＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)，
所以M(0,20)．又因为＝－＝－2b，
所以＝－2b＋＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，
所以N(9,2)．所以＝(9，－18)．
11．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a2－ab－2b2＝0.
(1)若B＝，求A，C；
(2)若C＝，c＝14，求S△ABC.
解：(1)由已知B＝，a2－ab－2b2＝0结合正弦定理化简整理得2sin2A－sin A－1＝0，于是sin A＝1或sin A＝－(舍去)．因为0所以C＝π－－＝.
(2)由题意及余弦定理可知a2＋b2＋ab＝196.①
由a2－ab－2b2＝0，得(a＋b)(a－2b)＝0.
因为a＋b>0，所以a－2b＝0，即a＝2b.②
联立①②解得b＝2，a＝4.
所以S△ABC＝absin C＝14.
12．(2024·新课标Ⅱ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin A＋cos A＝2.
(1)求A.
(2)若a＝2，bsin C＝csin 2B，求△ABC的周长．
解：(1)法一：由sin A＋cos A＝2，可得sin A＋cos A＝1，即sin＝1，
由于A∈(0，π) A＋∈，故A＋＝，解得A＝.
法二：由sin A＋cos A＝2，又sin2A＋cos2A＝1，消去sin A得到4cos2A－4cos A＋3＝0 (2cos A－)2＝0，解得cos A＝，
又A∈(0，π)，故A＝.
(2)由题设条件和正弦定理得，
bsin C＝csin 2B sin Bsin C
＝2sin Csin Bcos B，
又B，C∈(0，π)，则sin Bsin C≠0，进而cos B＝，得到B＝，
于是C＝π－A－B＝，
sin C＝sin(π－A－B)＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋sin Bcos A＝，
由正弦定理＝＝，
即＝＝，
解得b＝2，c＝＋，故△ABC的周长为2＋＋3.
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