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阶段验收评价 （二） 立体几何初步
(时间：120分钟　满分：150分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．对于用斜二测画法画水平放置的图形的直观图来说，下列描述不正确的是(　　)
A．三角形的直观图仍然是一个三角形
B．90°角的直观图为45°角
C．与y轴平行的线段长度变为原来的一半
D．原来平行的线段仍然平行
解析：选B　A正确，根据斜二测画法，三角形的直观图仍然是一个三角形；B错误，90°角的直观图可以是45°角，也可以是135°角；由斜二测画法规则知C、D正确．
2．空间中有三条线段AB，BC，CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直线AB与CD的位置关系是
(　　)
A．平行
B．异面
C．相交或平行
D．平行或异面或相交均有可能
解析：选D　如图可知AB，CD有相交，平行，异面三种情况，故选D.
3．直线l1∥l2，在l1上取3个点，在l2上取2个点，由这5个点能确定平面的个数为(　　)
A．5　　　　　　　　　　 B．4
C．9 D．1
解析：选D　由经过两条平行直线有且只有一个平面可知分别在两平行直线上的5个点只能确定一个平面．故选D.
4.在如图所示的长方体ABCD A1B1C1D1中，VA1 BCD的体积是 (　　)
A．60 B．30
C．20 D．10
解析：选D　VA1 BCD＝××3×5×4＝10.故选D.
5．正方体的表面积与其外接球的表面积的比为 (　　)
A．3∶π B．2∶π
C．1∶2π D．1∶3π
解析：选B　设正方体的棱长为a，则球的直径为2R＝a，所以R＝a.正方体的表面积为6a2.球的表面积为4πR2＝4π·2＝3πa2，所以它们的表面积之比为6a2∶3πa2＝2∶π.故选B.
6.如图，在边长为1的正方形ABCD中，点E，F分别为边BC，AD的中点，将△ABF沿BF所在的直线进行翻折，将△CDE沿DE所在的直线进行翻折，在翻折过程中，下列说法错误的是 (　　)
A．无论翻折到什么位置，A，C两点都不可能重合
B．存在某个位置，使得直线AF与直线CE所成的角为60°
C．存在某个位置，使得直线AF与直线CE所成的角为90°
D．存在某个位置，使得直线AB与直线CD所成的角为90°
解析：选D　在A中，点A与点C一定不重合，故A正确；在B中，存在某个位置，使得直线AF与直线CE所成的角为60°，故B正确；在C中，当平面ABF⊥平面BEDF，平面DCE⊥平面BEDF时，直线AF与直线CE垂直，故C正确；在D中，直线AB与直线CD不可能垂直，故D错误．故选D.
7．(2024·北京高考)如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，PA＝PB＝4，PC＝PD＝2，该棱锥的高为(　　)
A．1 B．2
C. D.
解析：选D　由题意知△PAB为正三角形，因为PC2＋PD2＝CD2，所以PC⊥PD.如图，分别取AB，CD的中点E，F，连接PE，EF，PF，则PE＝2，PF＝2，EF＝4，于是PE2＋PF2＝EF2，所以PE⊥PF.过点P作PG⊥EF，垂足为G，易知CD⊥PF，CD⊥EF，EF，PF 平面PEF，且EF∩PF＝F，所以CD⊥平面PEF.又PG 平面PEF，所以CD⊥PG.又PG⊥EF，CD，EF 平面ABCD，CD∩EF＝F，所以PG⊥平面ABCD，所以PG为四棱锥P ABCD的高．由PE·PF＝EF·PG，得PG＝＝＝.故选D.
8.如图，在棱长为a的正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F，G，H，N分别是CC1，C1D1，DD1，CD，BC的中点，M在四边形EFGH边上及其内部运动，若MN∥平面A1BD，则点M轨迹的长度是(　　)
A.a B.a
C.a D.a
解析：选D　因为在棱长为a的正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是CC1，C1D1，DD1，CD的中点，N是BC的中点，则GH∥BA1，HN∥BD.又GH 平面A1BD，BA1 平面A1BD，所以GH∥平面A1BD.同理可得，NH∥平面A1BD.又GH∩HN＝H，所以平面A1BD∥平面GHN.因为点M在四边形EFGH边上及其内部运动，MN∥平面A1BD，所以点M一定在线段GH上运动才可满足条件．易得GH＝a.故点M的轨迹长度是a.故选D.
二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9．如图，在四面体PABC中，AB＝AC，PB＝PC，D，E，F分别是棱AB，BC，CA的中点，则下列结论中成立的是 (　　)
A．BC∥平面PDF
B．DF⊥平面PAE
C．平面PDF⊥平面PAE
D．平面PDF⊥平面ABC
解析：选ABC　因为D，F分别为AB，AC的中点，则DF为△ABC的中位线，所以BC∥DF，依据线面平行的判定定理，可知BC∥平面PDF，A成立；又E为BC的中点，且PB＝PC，AB＝AC，则BC⊥PE，BC⊥AE，依据线面垂直的判定定理，可知BC⊥平面PAE.因为BC∥DF，所以DF⊥平面PAE，B成立；又DF 平面PDF，则平面PDF⊥平面PAE，C成立；要使平面PDF⊥平面ABC，已知AE⊥DF，则必须有AE⊥PD或AE⊥PF，由条件知此垂直关系不一定成立，D错误．故选A，B，C.
10.某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台O1O2 , 在轴截面ABCD中，AD＝CD＝2AB＝4cm，则下列说法正确的是(　　)
A．该圆台的高为3 cm
B．该圆台的体积为 cm3
C．圆台的轴截面面积为3 cm2
D．一只小虫从点C沿着该圆台的侧面爬行到AD的中点，所经过的最短路程为 cm
解析：选BCD　如图所示圆台的轴截面，过点A作AE⊥CD，因此有O1O2＝AE＝＝＝ cm，
所以A错误．由圆台体积公式求得该圆台的体积为 ×＝ cm3，所以B正确．由梯形面积公式可得圆台的轴截面面积为＝3 cm2，
所以C正确．把圆台补成圆锥，圆锥的顶点为O，设AD的中点为P，连接CP(图略)．因为CD＝2AB＝4 cm，所以OD＝OC＝2AD＝8，
OP＝OA＋AP＝OA＋AD＝6，于是有∠DOF＝＝，因此∠DOC＝.由余弦定理可知PC＝＝ cm，所以D正确．
11.如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD为菱形，∠DAB＝60°，侧面PAD为正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，则下列说法正确的是(　　)
A．在棱AD上存在点M，使AD⊥平面PMB
B．异面直线AD与PB所成的角为90°
C．二面角P BC A的大小为45°
D．BD⊥平面PAC
解析：选ABC　如图，对于A，取AD的中点M，连接PM，BM.
∵侧面PAD为正三角形，
∴PM⊥AD.又底面ABCD是菱形，∠DAB＝60°，∴△ABD是等边三角形，
∴AD⊥BM.又PM∩BM＝M，PM 平面PMB，BM 平面PMB，∴AD⊥平面PBM，故A正确．
对于B，∵AD⊥平面PBM，
∴AD⊥PB，即异面直线AD与PB所成的角为90°，故B正确．
对于C，∵平面PBC∩平面ABCD＝BC，BC∥AD，
∴BC⊥平面PBM.∴BC⊥PB，BC⊥BM.
∴∠PBM是二面角P BC A的平面角．
设AB＝1，则BM＝，PM＝，
在Rt△PBM中，tan∠PBM＝＝1，
即∠PBM＝45°，故二面角P BC A的大小为45°，故C正确．
对于D，因为BD与PA不垂直，
所以BD与平面PAC不垂直，故D错误．
故选A，B，C.
三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中的横线上)
12．如果用半径R＝2的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒，那么这个圆锥筒的高是________．
解析：设圆锥筒的底面半径为r，则2πr＝πR＝2π，则r＝，所以圆锥筒的高h＝＝＝3.
答案：3
13．在三棱锥P ABC中，PA＝PB＝PC＝BC，且∠BAC＝90°，则PA与底面ABC所成的角为________．
解析：PA＝PB＝PC，则P点在底面ABC的射影落在Rt△ABC 的斜边BC上，即为BC的中点．设BC的中点为D，如图，连接PD，AD，所以PA与底面ABC所成的角为∠PAD.在等边三角形PBC中，设PB＝1，则PD＝，在直角三角形ABC中，AD＝BC＝，则有AD2＋PD2＝PA2，所以三角形PAD为直角三角形，又tan∠PAD＝＝，所以∠PAD＝60°，即PA与底面ABC所成的角为60°.
答案：60°
14.现有一副斜边长为10的直角三角板，将它们斜边AB重合，若将其中一 个三角板沿斜边折起形成三棱锥A BCD，如图所示，已知∠DAB＝，∠BAC＝，则三棱锥A BCD的外接球的表面积为________；该三棱锥体积的最大值为________．
解析：由题意，∠ADB＝∠ACB＝，
又∠DAB＝，∠BAC＝，AB＝10，
∴AD＝5，BD＝5，AC＝BC＝5.
∵∠ADB＝∠ACB＝，
∴三棱锥A BCD的外接球的直径为AB，则球的半径为5，故球的表面积为S＝4π×52＝100π；
当点C到平面ABD的距离最大时，三棱锥A BCD的体积最大，此时平面ABC⊥平面ABD，且点C到平面ABD的距离d＝5，
∴VA BCD＝VC ABD＝S△ABD·d＝××5×5×5＝.
答案：100π　
四、解答题(本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD是菱形，且PB＝PD.
(1)求证：BD⊥PC；
(2)若平面PBC与平面PAD的交线为l，求证：BC∥l.
证明：(1)连接AC交BD于点O，连接PO.
因为四边形ABCD为菱形，所以BD⊥AC.
又因为PB＝PD，O为BD的中点，
所以BD⊥PO.
因为PO∩AC＝O，所以BD⊥平面PAC.
因为PC 平面PAC，所以BD⊥PC.
(2)因为四边形ABCD为菱形，所以BC∥AD.
因为BC 平面PAD，AD 平面PAD，
所以BC∥平面PAD.
又因为BC 平面PBC，平面PBC与平面PAD的交线为l，所以BC∥ l.
16.(15分)如图，在四棱锥P ABCD 中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB＝BC＝AD，∠BAD＝∠ABC＝90°.
(1)求证：直线BC∥平面PAD；
(2)若△PCD面积为2，求四棱锥P ABCD的体积．
解：(1)证明：∵底面ABCD中，∠BAD＝∠ABC＝90°，
∴BC∥AD.
又AD 平面PAD，BC 平面PAD，
∴BC∥平面PAD.
(2)取AD的中点M，连接PM，CM.由AB＝BC＝AD及BC∥AD，∠ABC＝90°得四边形ABCM为正方形，则CM⊥AD.
因为侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PM 平面PAD，所以PM⊥AD，PM⊥底面ABCD.
因为CM 底面ABCD，所以PM⊥CM.
设BC＝x，则CM＝x，CD＝x，PM＝x，PC＝PD＝2x.取CD的中点N，连接PN，则PN⊥CD，
所以PN＝x.
因为△PCD的面积为2，所以×x×x＝2，
解得x＝－2(舍去)，x＝2.
于是AB＝BC＝2，AD＝4，PM＝2.
所以四棱锥P ABCD的体积V＝××2＝4.
17．(15分)如图，在直三棱柱ABC A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的
中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1.　
求证：(1)直线DE∥平面A1C1F；
(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.
证明：(1)在直三棱柱ABC A1B1C1中，AC∥A1C1，
在△ABC中，因为D，E分别为AB，BC的中点，
所以DE∥AC，于是DE∥A1C1，
又因为DE 平面A1C1F，A1C1 平面A1C1F，
所以直线DE∥平面A1C1F.
(2)在直三棱柱ABC A1B1C1中，AA1⊥平面A1B1C1，
因为A1C1 平面A1B1C1，所以AA1⊥A1C1，
又因为A1C1⊥A1B1，A1B1∩AA1＝A1，AA1 平面ABB1A1，A1B1 平面ABB1A1，
所以A1C1⊥平面ABB1A1，
因为B1D 平面ABB1A1，
所以A1C1⊥B1D.
又因为B1D⊥A1F，A1C1∩A1F＝A1，A1C1 平面A1C1F，A1F 平面A1C1F，
所以B1D⊥平面A1C1F，
因为直线B1D 平面B1DE，
所以平面B1DE⊥平面A1C1F.
18.(17分)如图，在四棱柱ABCD A1B1C1D1中，AB∥CD，AB＝BC＝CC1＝2CD，E为线段AB的中点，F是线段DD1上的动点．
(1)求证：EF∥平面BCC1B1；
(2)若∠BCD＝∠C1CD＝60°，且平面D1C1CD⊥平面ABCD，求平面BCC1B1与平面DC1B1所成角(锐角)的余弦值．
解：(1)证明：如图，连接DE，D1E.
∵AB∥CD，AB＝2CD，E是AB的中点，
∴BE∥CD，BE＝CD.
∴四边形BCDE是平行四边形．
∴DE∥BC.
又DE 平面BCC1B1，BC 平面BCC1B1，
∴DE∥平面BCC1B1.
∵DD1∥CC1，DD1 平面BCC1B1，CC1 平面BCC1B1，
∴D1D∥平面BCC1B1.
又D1D∩DE＝D，DE 平面DED1，
D1D 平面DED1，
∴平面DED1∥平面BCC1B1.
∵EF 平面DED1，
∴EF∥平面BCC1B1.
(2)如图，连接BD.
设CD＝1，则AB＝BC＝CC1＝2.
∵∠BCD＝60°，
∴BD＝ ＝.
∴CD2＋BD2＝BC2，∴BD⊥CD.
同理可得C1D⊥CD.
∵平面D1C1CD⊥平面ABCD，平面D1C1CD∩平面ABCD＝CD，C1D 平面D1C1CD，
∴C1D⊥平面ABCD.
∵BC 平面ABCD，∴C1D⊥BC.
∴C1D⊥B1C1.
在平面ABCD中，过点D作DH⊥BC，垂足为H，连接C1H，如图．
∵C1D∩DH＝D，∴BC⊥平面C1DH.
∵C1H 平面C1DH，∴BC⊥C1H.
∴B1C1⊥C1H.
∴∠DC1H为平面BCC1B1与平面DC1B1所成的角．
∵在Rt△C1CD中，C1D＝，
在Rt△BCD中，DH＝CD·sin 60°＝，
∴在Rt△C1DH中，C1H＝＝.
∴cos∠DC1H＝＝.
∴平面BCC1B1与平面DC1B1所成的角(锐角)的余弦值为.
19.(17分)如图，在三棱柱ABC A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，M为棱AC的中点，AB＝BC，AC＝2，AA1＝.
(1)求证：B1C∥平面A1BM.
(2)求证：AC1⊥平面A1BM.
(3)在棱BB1上是否存在点N，使得平面AC1N⊥平面AA1C1C？如果存在，求此时的值；如果不存在，请说明理由．
解：(1)证明：
连接AB1交A1B于O，连接OM，如图所示．
在△B1AC中，因为M，O分别为AC，AB1的中点，
所以OM∥B1C.
又OM 平面A1BM，B1C 平面A1BM，
所以B1C∥平面A1BM.
(2)证明：因为侧棱AA1⊥底面ABC，BM 平面ABC，
所以AA1⊥BM.
因为M为棱AC的中点，AB＝BC，
所以BM⊥AC.
又AA1∩AC＝A，
所以BM⊥平面ACC1A1.
所以BM⊥AC1.
因为M为棱AC的中点，AC＝2，
所以AM＝1.
又AA1＝，
所以在Rt△ACC1和Rt△A1AM中，
tan∠AC1C＝tan∠A1MA＝.
所以∠AC1C＝∠A1MA.
所以∠AC1C＋∠C1AC＝∠A1MA＋∠C1AC＝90°.
所以A1M⊥AC1.
因为BM∩A1M＝M，
所以AC1⊥平面A1BM.
(3)存在点N，且当点N为BB1的中点，即＝时，平面AC1N⊥平面AA1C1C.
设AC1的中点为D，连接DM，DN，如图所示．
因为D，M分别为AC1，AC的中点，
所以DM∥CC1，且DM＝CC1.
又N为BB1的中点，
所以DM∥BN，且DM＝BN.
所以四边形DMBN是平行四边形．
所以BM∥DN.
因为BM⊥平面ACC1A1，
所以DN⊥平面ACC1A1.
又DN 平面AC1N，
所以平面AC1N⊥平面ACC1A1.
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