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2025年苏州中考数学二模模拟卷（三）
一．选择题（共8小题）
1．2025的倒数是（　　）
A．﹣2025 B．2025 C． D．
2．在一次篮球投篮练习中，要求每人投10次，其中20人投中篮的数据如图所示，则这组数据的众数和中位数分别是（　　）
A．7，6.5 B．7，7 C．7，7.5 D．8，6.5
3．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
4．若圆锥的底面半径为3，母线长为5，则这个圆锥的侧面积为（　　）
A．6π B．8π C．15π D．30π
第2题第5题
5．魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积．如图所示的圆的内接正十二边形，若该圆的半径为1，则这个圆的内接正十二边形的面积为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点O作EF⊥AC交AD于点E，交BC于点F．已知AB＝4，△AOE的面积为5，则DE的长为（　　）
A．2 B． C． D．3
7．如图，点D是 OABC内一点，AD与x轴平行，BD与y轴平行，BD，∠BDC＝120°，S△BCD，若反比例函数y（x＜0）的图象经过C，D两点，则k的值是（　　）
A．﹣6 B．﹣6 C．﹣12 D．﹣12
第6题第7题第8题
8．如图所示，抛物线y＝ax2x+4与直线yx+b经过点A（2，0），且相交于另一点B；抛物线与y轴交于点C，与x轴交于另一点E；点N在线段AB上，过点N的直线交抛物线于点M，且MN∥y轴，连接AM、BM、BC、AC；当点N在线段AB上移动时（不与A、B重合），下列结论中正确的是（　　） A．MN+BN＜AB； B．∠BAC＝∠BAE；
C．∠ACB﹣∠ANM∠ABC； D．四边形ACBM的最大面积为13
二．填空题（共8小题）
9．因式分解a3﹣4a2+4a＝　 　．
10．要使式子有意义，则m的取值范围是 　 　．
11．清代 袁枚的一首诗《苔》中的诗句：“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”若苔花的花粉直径约为0.0000084米，则数据0.0000084用科学记数法表示为 　 　．
12．我国南宋数学家杨辉在1275年提出一个问题：“直田积（矩形面积）八百六十四步（平方步），只云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少一十二步），问阔及长各几步．”意思是一块田是矩形，矩形面积为864m2，长比宽多12m，如果设宽为x m，则列出的方程为 　 　．
13．圆锥的底面半径为5cm，侧面展开图的面积是30πcm2，则该圆锥的母线长为　 　cm．
14．已知a、b是一元二次方程x2﹣2x﹣2020＝0的两个根，则2a+2b﹣ab的值为　 　．
15．已知y＝x2﹣6x+m2+2m，当x＝a时，y≤﹣10；则am的值为 　 　．
16．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝a，点E在边AD上，连接BE，将△ABE沿BE折叠，点A的对应点为F．若在AD边上存在两个不同位置的点E，使得点F落在∠C的平分线上，则a的取值范围为　 　．
第16题
三．解答题（共10小题）
17．计算：；
18．化简：．
19．解方程与不等式组：
（1）x2+4x﹣1＝0； （2）．
20．如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD，BE＝CF．
（1）求证：△ADE≌△ADF；
（2）已知AC＝18，AB＝12，求BE的长．
21．第19届亚运会开幕式上，东道主中国以镶嵌着梅、兰、竹、菊图案的花窗，向八方宾朋展现中国五千年的文化．为了让学生深入了解中国文化，老师将以下4张卡片背面朝上放在桌面上，邀请同学上讲台随机抽取一张卡片，并向大家介绍卡片上图案对应的含义．
（1）请问随机抽取一张卡片，抽中“菊”的概率为 　 　；
（2）若老师将“梅、兰、竹、菊”四张卡片单独拿出，邀请小明和小华有放回的抽取．请利用画树状图或列表的方法，求两人抽到的卡片上是相同名称的概率．
22．某校制作了电动车安全充电教育视频课，为了解学生观看视频课的时长，随机抽取了部分学生观看视频课的时长t（单位：h）作为样本，将收集的数据整理后分为A，B，C，D，E五个组别，其中A组的数据分别为：0.5，0.4，0.2，0.2，0.3，绘制成如下不完整的统计图表．
各组观看视频课时长频数分布表 各组观看视频课的时长扇形统计图
组别时间t/h频数A1＜t≤1.5mB0＜t≤0.55C0.5＜t≤112D1.5＜t≤215Et＞28
请根据以上信息解答下列问题．
（1）A组数据的众数是 　 　h，中位数是 　 　h；
（2）本次调查的样本容量是 　 　，C组所在扇形的圆心角的大小是 　 　；
（3）若该校有1200名学生，估计该校学生观看视频课时长超过1.5h的人数．
23．如图，在平面直角坐标系中，过点A（2，0）的直线y＝kx+b与y轴交于点B，tan∠OAB，直线y＝kx+b与双曲线y交于点P，点P位于y轴左侧，且到y轴的距离为4．
（1）分别求出直线与双曲线相应的函数表达式；
（2）求点A到直线OP的距离．
24．现有一架家用可调节式脚踏人字梯，其中踏板、撑杆、地面都是水平的，梯子的简化结构如图所示，左右支撑架AD、AC长度相等，BD＝1m．设梯子一边AD与地面的夹角为α，且α可调节的范围为60°≤α≤75°，当α＝60°时，撑杆BE的长度为1.20m（BE平行于地面，其长短随着角度的变化可调节）．
（1）当α＝60°时，求撑杆BE离地面的高度BH．（结果保留根号）
（2）调节角度，人字梯的顶端A到地面的高度能否达到2.13m，并说明理由．（参考数据：sin75°≈0.966，cos75°≈0.259，tan75°≈3.732）
25．如图，已知Rt△ABC，∠ABC＝90°，AB为⊙O的直径，斜边AC交⊙O于点E，AC平分∠DAB，ED⊥AD于D，DE的延长线与BC交于点F．
（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）求证：CF＝BF；
（3）若AD：AB＝3：4，DE，求EF的长．
26．在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD，AB∥DC∥y轴，B（﹣1，﹣2），D（2，4）．抛物线C：y＝a（x﹣m）2+n（a＞0）的顶点Q在边BC上，与边AB，DC分别相交于点E，F，点H为CD的中点．
（1）若a＝1．
①当抛物线C过点H时，求m的值；
②当点F在点H下方，AE＝HF时，求m的值；
（2）当m＝﹣1时，求a的取值范围；
（3）若点M（，t）在抛物线C上，求证：点M始终位于x轴下方．
参考答案
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C C D C C D C C
1．【解答】解：根据倒数的定义得2025的倒数为，故选：C．
【点评】本题考查了倒数的定义，熟知知识点是解决本题的关键．
2．【解答】解：投中次数7的人数最多，故众数是7，
将个数据从小到大排序，排在第10和11位的数分别是7和8，故中位数为，故选：C．
【点评】本题考查众数、中位数，解题的关键是掌握一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
3．【解答】解：A．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C．该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D．该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意．故选：D．
【点评】本题考查了轴对称图形和中心对称图形，掌握相关定义是解答本题的关键．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
4．【解答】解：圆锥的侧面积＝2π×3×5÷2＝15π．故选：C．
【点评】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是弄清圆锥的侧面积的计算方法，特别是圆锥的底面周长等于圆锥的侧面扇形的弧长．
5．【解答】解：作AB⊥OC于点B，如图，由题意可得，∠AOB＝360°÷12＝30°，OA＝1，
∴AB，∴这个圆的内接正十二边形的面积为：112＝3，故选：C．
【点评】本题考查正多边形和圆，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
第5题第6题
6．【解答】解：如图，连接CE，由题意可得，OE为对角线AC的垂直平分线，
∴AE＝CE，S△AOE＝S△COE＝5，∴S△ACE＝2S△COE＝10．∴AE CD＝10，
∵CD＝4，∴AE＝EC＝5，在Rt△CDE中，由勾股定理得：DE3．故选：D．
【点评】本题考查了矩形的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理以及三角形的面积问题．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
7．【解答】解：过点C作CE⊥y轴，延长BD交CE于点F，
∵四边形OABC为平行四边形，∴AB∥OC，AB＝OC，∴∠COE＝∠1，
∵BD与y轴平行，∴∠1＝∠ABD，∠ADB＝90°，∴∠COE＝∠ABD，
在△COE和△ABD中，，∴△COE≌△ABD（AAS），∴OE＝BD，
∵S△BDCBD CF，∴CF＝9，∵∠BDC＝120°，∴∠CDF＝60°，∴DF＝3，
点D的纵坐标为4，设C（m，），则D（m+9，4），
∵反比例函数y（x＜0）的图象经过C，D两点，∴km＝4（m+9），
∴m＝﹣12，∴k＝﹣12，故选：C．
【点评】主要考查反比例函数，掌握平行四边形的性质和反比例函数图象的坐标特征是解题的关键．
第7题第8题
8．【解答】解：将点A（2，0）代入抛物线y＝ax2x+4与直线yx+b，解得：a，b，
设：M点横坐标为m，则M（m，m2m+4）、N（m，m），
其它点坐标为A（2，0）、B（5，4）、C（0，4），则AB＝BC＝5，则∠CAB＝∠ACB，
∴△ABC是等腰三角形．
A、当MN过对称轴的直线时，此时点M、N的坐标分别为（，）、（，），
由勾股定理得：BN，而MN，BN+MN＝5＝AB，故本选项错误；
B、∵BC∥x轴（B、C两点y坐标相同），
∴∠BAE＝∠CBA，而△ABC是等腰三角形不是等边三角形，∠CBA≠∠BCA，
∴∠BAC＝∠BAE不成立，故本选项错误；
C、如图，过点A作AD⊥BC、BF⊥AC，∵△ABC是等腰三角形，
∴BF是∠ABC的平分线，易证：∠CAD＝∠ABFABC，
而∠ACB﹣∠ANM＝∠CADABC，故本选项正确；
D、S四边形ACBM＝S△ABC+S△ABM，S△ABC＝10，
S△ABMMN （xB﹣xA）＝﹣m2+7m﹣10，其最大值为，
故S四边形ACBM的最大值为1012.25，故本选项错误．故选：C．
【点评】本题考查的是二次函数综合题，涉及到一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与x轴的交点，以及等腰三角形、平行线等几何知识，是一道难度较大的题目．
二．填空题（共8小题）
9．【解答】解：a3﹣4a2+4a＝a（a2﹣4a+4）＝a（a2﹣4a+22）＝a（a﹣2）2，答案为：a（a﹣2）2．
【点评】本题考查了综合提公因式和公式法进行因式分解．熟练掌握综合提公因式和公式法进行因式分解是解题的关键．
10．【解答】解：要使式子有意义，则2﹣m≥0，且m+2≠0，
解得：m≤2且m≠﹣2．故答案为：m≤2且m≠﹣2．
【点评】主要考查分式有意义的条件以及二次根式有意义的条件，正确掌握相关定义是解题关键．
11．【解答】解：0.0000084＝8.4×10﹣6．故答案为：8.4×10﹣6．
【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
12．【解答】解：∵长比宽多12m，宽为x m，∴长为（x+12）m．
又∵矩形田的面积为864m2，∴根据题意可列出的方程为x（x+12）＝864．答案为：x（x+12）＝864．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
13．【解答】解：圆锥的底面周长是：2π×5＝10π（cm），
设圆锥的母线长是lcm，则10πl＝30π（cm），解得：l＝6；故答案为：6．
【点评】本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
14．【解答】解：根据题意得a+b＝2，ab＝﹣2020，
所以2a+2b﹣ab＝2（a+b）﹣ab＝2×2﹣（﹣2020）＝2024．故答案为：2024．
【点评】此题主要考查了根与系数的关系，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系为：x1+x2，x1 x2．
15．【解答】解：∵y＝x2﹣6x+m2+2m＝（x﹣3）2+m2+2m﹣9，
∴抛物线的顶点为（3，m2+2m﹣9），∵当x＝a时，y≤﹣10，
∴a＝3时，m2+2m﹣9＝﹣10，解得：m1＝m2＝﹣1，∴am＝3﹣1．故答案为：．
【点评】本题主要考查了抛物线的性质，抛物线图象上点的坐标特征等知识，运用抛物线的性质是解决本题的关键．
16．【解答】解：如图，以B为圆心，BA为半径作⊙B，当⊙B与∠BCD的角平分线相切于点F时，
∵四边形ABCD是矩形，∴∠BCD＝90°，∵CF平分∠BCD，∴∠FCB∠BCD＝45°，
∵BA＝BF＝5，BF⊥EC，∴∠FBC＝∠FCB＝45°，∴FB＝FC＝5，∴BCBF＝5，
观察图象可知当5＜BC＜5时，在AD边上存在两个不同位置的点E，使得点F落在∠C的平分线上，即5＜a＜5，故答案为：5＜a＜5．
【点评】本题考查翻折变换，矩形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
三．解答题（共10小题）
17．【解答】解：原式＝﹣11﹣2＝﹣1；
18．【解答】解：原式 ＝a+2．
【点评】此题主要考查了分式的混合运算以及实数的运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
19．【解答】解：（1）移项得，x2+4x＝1，配方得，x2+4x+4＝1+4，
即（x+2）2＝5，解得：，；
（2），
解不等式①得x≤1．解不等式②得x＞﹣2，故不等式组的解集为：﹣2＜x≤1．
【点评】本题考查的是解一元二次方程和解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解题的关键．
20．【解答】（1）证明：∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴∠E＝∠DFC＝∠DFA＝90°，
在Rt△EBD与Rt△FCD中，∴Rt△EBD≌Rt△FCD（HL）；∴DE＝DF，
在Rt△AED与Rt△AFD中，∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL）；
（2）解：∵Rt△AED≌Rt△AFD，∴AE＝AF，∴AF＝12+BE，
∵AC＝AF+FC，∴AC＝AB+BE+FC，∴18＝12+BE+CF，
∵BE＝CF．∴18＝12+2BE，∴BE＝3．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定方法，用（HL）证明全等三角形是解题关键．
21．【解答】解：（1）∵共有四张卡片，且每张卡片被抽到可能性相同，
∴随机抽取一张卡片，抽中“菊”的概率为．故答案为：．
（2）将写有“梅、兰、竹、菊”的四张卡片分别记为A，B，C，D，
画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中两人抽到的卡片上是相同名称的结果有4种，
∴两人抽到的卡片上是相同名称的概率为．
【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
22．【解答】解：（1）A组的数据从小到大排列为：0.2，0.2，0.3，0.4，0.5，
所以众数为0.2，中位数为0.3；故答案为：0.2、0.3；
（2）D组所对的圆心角为90°，占比25%，本次调查的样本容量是15÷25%＝60．
C组所在扇形的圆心角的大小是360°120°；故答案为：60，120°；
（3）1200460（人），
答：估计该校学生观看视频课时长超过1.5h的人数有460人．
【点评】本题考查频数（率）分布表、扇形统计图、总体、个体、样本、样本容量、众数、用样本估计总体，能够读懂统计图表，掌握样本容量、众数的定义、用样本估计总体是解答本题的关键．
23．【解答】解：（1）∵点A（2，0），∴OA＝2，
∵tan∠OAB，∴，∴OB＝1，∴B（0，1），把A（2，0），B（0，1）代入y＝kx+b，
得，解得，∴直线的解析式为1，
∵点P位于y轴左侧，且到y轴的距离为4．∴P的横坐标为﹣4，
把x＝﹣4代入1，得y1＝3，∴P（﹣4，3），
∵双曲线y经过点P，∴m＝﹣4×3＝﹣12，∴双曲线为；
（2）∵P（﹣4，3），∴OP5，设点A到直线OP的距离为h，
∵OA yPOP h，即h，解得h，∴点A到直线OP的距离为．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数、反比例函数的解析式，三角形的面积，求得直线与双曲线的交点坐标是解题的关键．
24．【解答】解：（1）∵BH⊥CD，∴∠BHD＝90°，
∵∠BDH＝α＝60°，∴sin60°，即，∴BHm；
（2）人字梯的顶端A到地面的高度不能达到2.13m，
理由：当α＝60°时，BE＝1.2m，∵AD＝AC，∴AD＝AC＝DC，∴∠C＝60°
∵DE∥DC，∴∠ABE＝∠α＝60°，∠AEB＝60°，∴△ABE是等边三角形，
∴AB＝AE＝BE＝1.2，∴AD＝AB+BD＝1.2+1＝2.2，∴DC＝2.2，
当α＝75°时，A到地面的高度最大，过A作AF⊥DC于F，
AF＝AD sin75°≈2.2×0.966＝2.1252＜2.13（m），
故人字梯的顶端A到地面的高度不能达到2.13m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数定义是解题的关键．
25．【解答】解：（1）DE是⊙O的切线，理由如下：
连接OE，∵DE⊥AD，∴∠D＝90°，∴∠DAE+∠DEA＝90°，
∵AC平分∠DAB，∠DAE＝∠BAE，又∵OA＝OE，∴∠BAE＝∠OEA，
∴∠OEA+∠DEA＝90°即OE⊥DE，∴DE是⊙O的切线；
（2）∵Rt△ABC，∠ABC＝90°，AB为⊙O的直径，∴BC是⊙O的切线，
∵∠C+∠BAC＝90°，∠DAE+∠DEA＝90°，∠DEA＝∠CEF，∴∠C＝∠CEF，∴FC＝FE，
又∵DE是⊙O的切线，BC是⊙O的切线，∴FB＝FE，∴FB＝FC；
（3）∵∠D＝∠ABC＝90°，∠DEA＝∠C，
∴△ADE∽△ABC，∴，
又∵AD：AB＝3：4，DE，∴，∴BC，
∴EF＝FB＝FCBC，答：EF的长为．
【点评】本题考查切线的判断，直角三角形的边角关系，等腰三角形的性质和判断，以及相似三角形，掌握切线的判断方法和相似三角形的判断和性质是解决问题的关键．
26．【解答】解：抛物线的顶点Q的坐标为（m，n），其中n＝﹣2，
故抛物线的表达式为y＝a（x﹣m）2﹣2，
由点B、D的坐标知，点C的坐标为（2，﹣2），由中点公式得：点H（2，1）．
（1）当a＝1时，y＝（x﹣m）2﹣2，
①将点H的坐标代入上式得：1＝（2﹣m）2﹣2，解得：m＝2（舍去）或2，
故m＝2；
②当x＝﹣1时，y＝（x﹣m）2﹣2＝m2+2m﹣1，即点E的坐标为（﹣1，m2+2m﹣1），
同理可得，点F的坐标为（2，m2﹣4m+2），
∵AE＝HF，∴4﹣（m2+2m﹣1）＝1﹣（m2﹣4m+2），解得m＝1；
（2）当m＝﹣1时，则点Q与点B重合，
∵抛物线DC分别相交于点E，F，则yC＜yF≤yD，即﹣2＜a（2+1）2﹣2≤4，解得0＜a；
（3）将点M的坐标代入抛物线表达式得：t＝a（1）2﹣2a﹣2，
由题意知，t的最小值为﹣2（顶点的纵坐标），
∵﹣1≤m≤2，∴当m＝﹣1时，t才能取得最大值，
由（2）知，m＝﹣1时，0＜a，
ta﹣2随a的增大而增大，故当a时，t取得最大值为t2，
故﹣2≤t，∴点M始终位于x轴下方．
【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、矩形的性质、解不等式等，数形结合是本题解题的关键．
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