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9.3平行四边形
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．在四边形中，的值能判定它是平行四边形的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在四边形中，，添加下列条件后仍不能判定四边形是平行四边形的是（　　）
A． B． C． D．
3．如图，将平行四边形的一边延长至点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．下列命题：（1）一组对边平行，一组邻角互补的四边形是平行四边形；（2）一组对边相等，一组邻角互补的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；（4）一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形，其中错误的有(　　　　 )个．
A．1 B．2 C．3 D．4
5．中，在上，且，连接交于，则、、、的面积比为（ ）

A． B． C． D．
6．在四边形中，对角线相交于点O，且．如果要使四边形是平行四边形，那么可以添加的条件是（ ）．
A． B． C． D．
7．如图，在四边形中，对角线、相交于点，已知，添加一个条件，能判定四边形是平行四边形的是( )
A． B．
C． D．
8．平行四边形一边长为12cm，那么它的两条对角线的长度可以是（　　）
A．8cm和14cm B．10cm 和14cm C．18cm和20cm D．10cm和34cm
9．如图，在平行四边形中，cm，cm，点在边上以的速度从点向点运动，点在边上，以的速度从点出发，在上运动到点后返回点，其中一点到达终点时，两点同时停止运动，在运动过程中，当以，，，四点为顶点的四边形为平行四边形时，点运动的时间为（ ）
A．2s B．s C．4s D．5s
10．下列性质中，平行四边形不一定具有的是（ ）．
A．对边平行且相等 B．对角线互相平分
C．是轴对称图形 D．对角相等
11．如图，在中，，，，则的面积为（ ）
A．30 B．60 C．65 D．
12．在下面四个条件：①；②；③∥；④∥中，任意选出两个，能判断出四边形是平行四边形的概率是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
13．下列结论：①若等腰三角形有一个角为，则其顶角为；②一条直角边和一斜边分别相等的两个直角三角形全等；③三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等；④用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于”，应先假设“这个三角形中每一个内角都小于”；⑤命题“等腰三角形的两底角相等”的逆命题是“两底角相等的三角形是等腰三角形”．其中正确的有 ．（填写出所有正确结论的序号）
14．一个平行四边形两对角之和为116°，则相邻的两内角分别是 和 ．
15．如图，∠ABC＝45°，AB＝2，BC＝2，点P为BC上一动点，AQ∥BC，CQ∥AP，AQ 、CQ交于点Q，则四边形APCQ的形状是 ，连接PQ，当PQ取得最小值时，四边形APCQ的周长为 ．
16．如图所示，在四边形ABCD中，∠1＝∠2，请添加一个条件使四边形ABCD是平行四边形．可添加的条件是 ．（只填一个即可）
17．如图，在四边形中，且，，点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以的速度由A向D运动，点Q以的速度由C向B运动．则 秒后直线将四边形截出一个平行四边形．
三、解答题
18．回答下列问题：
（1）三角形的一个内角一定小于180°吗？一定小于90°吗？
（2）一个三角形中最多有几个直角？最多有几个钝角？
（3）一个三角形的最大角不会小于60°，为什么？最小角不会大于多少度？
19．如图，中，，，点是边上一动点，以的速度由向运动，同时点从点出发，在延长线上，以的速度向左运动，运动时间为秒，当点到达点时，两点停止运动．连接交于点，过点作于，过点作的垂线交延长线于，连接．
（1）用含的代数式表示线段长度：________，________；
（2）当取何值时，四边形是平行四边形？请写出推理过程．
（3）在运动过程中，点是否总是的中点？请说明理由．
（4）是否存在某一时刻，使得是等腰三角形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
20．如图，在中，点G在边上，的延长线与的延长线交于点E，点F在边上，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，求的度数．
21．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．
（1）求证：AF＝DC；
（2）在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中面积为△ABC面积的一半的所有三角形．
22．如图，平行四边形ABCD中，试用三种方法将平行四边形分成面积相等的四部分.（要求用文字简述你所设计的三种方法，并在所给的三个平行四边形中正确画图）
23．小明在解答“已知中，，求证”这道题时，写出了下面用反证法证明这个命题过程中的四个推理步骤：
（1）所以，这与三角形内角和定理相矛盾．
（2）所以．
（3）假设．
（4）那么，由，得，即，即．
请你写出这四个步骤正确的顺序 ．
24．如图，的对角线，相交于点，过点的直线分别交、的延长线于点，．求证：．
《9.3平行四边形》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D A C B C A C B C
题号 11 12
答案 B D
1．D
【分析】平行四边形两组对角分别相等，由此判断即可．
【详解】解：的值为时，，，不能判定是平行四边形，故A选项不合题意；
的值为时，，，不能判定是平行四边形，故B选项不合题意；
的值为时，，，不能判定是平行四边形，故C选项不合题意；
的值为时，，，能够判定是平行四边形，故D选项符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查平行四边形的判定，解题的关键是掌握平行四边形两组对角分别相等．
2．D
【分析】本题考查了平行四边形的判定、平行线的判定与性质等知识；熟记平行四边形的判定方法是解题的关键．由平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可．
【详解】解：A．∵，，
∴四边形是平行四边形，故选项不符合题意；
B．∵，，
∴四边形是平行四边形，故选项不符合题意；
C．∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，故选项不符合题意；
D．∵，，
∴四边形可能是平行四边形，也可能是等腰梯形，故选项符合题意；
故选：D．
3．A
【分析】本题考查了平行四边形的对角相等的性质，熟记平行四边形的性质是解题的关键．
根据根据平角等于列式计算求出的度数，再平行四边形的对角相等，即可得解．
【详解】解：∵，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴．
故选：A．
4．C
【分析】平行四边形的判定方法有：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边相等的四边形是平行四边形；③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形.将题中的每一个命题与判定定理仔细对比即可得出结论．
【详解】对于选项（1），因为一组对边平行，一组邻角互补的四边形可能是等腰梯形，所以（1）错误；对于选项（2），一组对边相等，一组邻角互补有可能是等腰梯形，所以（2）错误；对于选项（3），由于一组对边平行，一组对角相等可知两组对角相等，两组对角分别相等的四边形是平行四边形，所以（3）正确；对于选项（4），一组对边平行，一组对边相等的四边菜可能是等腰梯形，所以（4）错误．
故选：C
【点睛】本题考查的是平行四边形的判定定理的理解及辨析，正确把握每一条判定定理的准确内容是解题的关键．
5．B
【分析】本题考查了平行四边形的性质，不等底但等高三角形面积的关系等知识．熟练掌握平行四边形的性质，不等底但等高三角形面积的关系是解题的关键．
设，，，，如图，则，，得，，则，，由，可得，由，，可得，即，，可求，则，，然后求面积比即可．
【详解】解：设，，，，
如图，
∵，
∴，，
得，，
∴，，
由题意知，，即，
∴，
∵，，
∴，即，
∴，整理得，，
解得，，（舍去），
∴，，
∴、、、的面积比为，
故选：B．
6．C
【分析】本题主要考查了平行四边形的判定定理，根据选项，结合对角线互相平分的四边形是平行四边形即可得到答案．
【详解】解：根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可知添加的条件为，
故选：C．
7．A
【分析】由平行四边形的判定定理即可得出结论．
【详解】解：添加一个条件，能判定四边形ABCD是平行四边形的是BO＝DO，
理由：∵AO＝CO，BO＝DO，
∴四边形ABCD是平行四边形；
而添加或或均不能判定四边形是平行四边形，
故选：A．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定，熟记“对角线互相平分的四边形为平行四边形”是解题的关键．
8．C
【分析】根据平行四边形的性质得出AO=CO=AC，BO=DO=BD，在每个选项中，求出AO、BO的值，再看看是否符合三角形三边关系定理即可．
【详解】解：如图，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO=AC，BO=DO=BD，
A、AO=4cm，BO=7cm，
∵AB=12cm，
∴在△AOB中，AO+BO＜AB，不符合三角形三边关系定理，故本选项错误；
B、AO=5cm，BO=7cm，
∵AB=12cm，
∴在△AOB中，AO+BO=AB，不符合三角形三边关系定理，故本选项错误；
C、AO=9cm，BO=10cm，
∵AB=12cm，
∴在△AOB中，AO+BO＞AB，AB+AO＞BO，OB+AB＞AO，符合三角形三边关系定理，故本选项正确；
D、AO=5cm，BO=17cm，
∵AB=12cm，
∴在△AOB中，AO+AB=BO，不符合三角形三边关系定理，故本选项错误；
故选C．
9．B
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，进行分类讨论是解题的关键．
根据平行四边形的性质得出，分情况讨论，再列出方程，求出方程的解即可．
【详解】解：设经过t秒，以点，，，为顶点组成平行四边形，
∵在边上运动，
∴，
∵以点，，，为顶点组成平行四边形，
∴，
分以下情况：①点Q的运动路线是
由题意得：，
解得：，不符合题意．
②点Q的运动路线是
由题意得：，
解得：；符合题意．
点Q的运动路线是
由题意得：，
解得：；不合题意．
点Q的运动路线是
由题意得：，
解得：，不合题意．
故选：B．
10．C
【分析】此题考查了平行四边形的性质．直接利用平行四边形的性质：对角相等，对边平行且相等，对角线互相平分，求解即可求得答案．
【详解】解：平行四边形具有的性质：对角相等，对边相等，对角线互相平分．不是轴对称图形，
故选：C．
11．B
【分析】先根据平行四边形的性质可得，再利用勾股定理可得，然后利用平行四边形的面积公式即可得．
【详解】解：四边形是平行四边形，，
，
，
，
则的面积为，
故选：B．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质与面积公式、勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键．
12．D
【详解】四个条件的两两组合有：①和②，①和③，①和④，②和③，②和④，③和④六种组合，其中①和②，①和③，②和④，③和④都能判断出四边形是平行四边形，所以能判断出四边形是平行四边形的概率是．
13．②③④
【分析】根据等腰三角形的性质，全等三角形的判定，角平分线的性质，反证法的应用分别判断即可．
【详解】解：①若等腰三角形有一个角为，则其顶角为，故错误；
②一条直角边和一斜边分别相等的两个直角三角形全等，故正确；
③三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等，故正确；
④用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于”，应先假设“这个三角形中每一个内角都小于” ，故正确；
⑤命题“等腰三角形的两底角相等”的逆命题是“有两个角相等的三角形是等腰三角形” ，故错误；
故答案为：②③④．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定，角平分线的性质，反证法，属于基础知识．
14． 58° 122°
【详解】如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
故答案为58°；122°．
15． 平行四边形 /
【分析】根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可求解；当PQ是AQ和BC间距离时PQ取得最小值，计算四边形APCQ的周长即可．
【详解】解：如图，∵AQBC，CQAP，
∴四边形APCQ是平行四边形．
当PQ⊥BC时，PQ取得最小值，
∵四边形APCQ是平行四边形，
∴AH=HC=AC，QH=PH=PQ，
∵∠ABC=45°，AB=2，BC=，
∴AC=2，∠ACB=45°，
∵QP⊥BC，
∴∠PHC=45°，
∴PH=PC=，
∴PQ=，
∴QC=，
∴四边形APCQ的周长为：2PC+2QC=2×+2×=，
故答案为：平行四边形；．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定，垂线段最短的性质，综合性较强．
16．AB=CD
【分析】根据平行四边形的判定定理进行解答．
【详解】解：添加AB=CD，
∵∠1=∠2，
∴AB∥CD，
又∵AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
故答案为：AB=CD（答案不唯一）．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
17．2或3
【分析】分别利用①当时以及②当时，列方程得出答案．
【详解】解：设点P，Q运动的时间为．依题意得：，
．
∵，
①当时，四边形是平行四边形．
即，
解得．
②当时，
四边形是平行四边形，即，
解得：．
所以经过2秒或3秒后，直线将四边形截出一个平行四边形．
故答案为：2或3．
【点睛】此题主要考查的是平行四边形的判定，关键是掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
18．（1）三角形的一个内角一定小于180°，不一定小于90°；（2）一个三角形中最多有一个直角，最多有一个钝角；（3）三角形中的最大角不会小于60°，见解析；三角形中最小角不会大于60°
【分析】（1）运用反证法假设三角形的一个内角一定不小于180°与一定不小于90°进行解答即可；
（2）根据三角形内角和定理解答即可；
（3）运用反证法结合三角形内角和定理解答即可．
【详解】解：（1）假设三角形的一个内角一定不小于180°，则三角形内角和大于180°与三角形内角和为180°矛盾，
∴三角形的一个内角一定小于180°；
对于一个三角形来说，它的一个内角不一定小于90°；
（2）因为三角形的内角和为180°
所以，一个三角形中最多有一个直角，最多有一个钝角；
（3）三角形中的最大角不会小于60°．因为，若最大角小于60°，那么三角形的三个内角和就小于180°．这与三角形的内角和等于180°矛盾．类似地，三角形中最小角不会大于60°．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理的应用，其中，第（3）题关于三角形最大角和最小角的问题，涉及对变动中边界的认识，在解决某些数学问题时经常会用到．
19．（1），；（2），见解析；（3）是，见解析；（4）存在，
【分析】（1）由即可求得，在等腰中，勾股定理即可求得；
（2）已知,根据，即可证明四边形平行四边形，列出方程，求解即可；
（3）过作，证明四边形是平行四边形即可
（4）由（3）的结论，，根据，列出方程，求解即可
【详解】（1），，
，
，
是等腰
是等腰
．
（2）,
当时，四边形是平行四边形
是等腰
，
解得：．
当时，四边形是平行四边形
（3）如图：过作，连接,
又
是等腰
，
．
四边形是平行四边形
点为对角线的交点
即总是的中点．
（4）由（3）四边形是平行四边形
是等腰三角形
所以为顶角
，
．
，
解得：．
当，使得是等腰三角形．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质，平行四边形的性质与判定，勾股定理，动点问题，熟悉以上知识是解题的关键．
20．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查平行四边形的判定及性质，掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
（1）根据平行四边形的性质可知，再由可知，进而可证四边形是平行四边形；
（2）利用平行四边形的性质推出，，进而有．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
又∵，
∴．
∴四边形是平行四边形．
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴．
21．（1）见解析；（2）△FAC，△ACD，△ABD,△FAB．
【分析】（1）先证△AEF≌△DEB可得AF=DB，再结合AD是BC边上的中线即可证明；
（2）由D是BC的中点可得S△ABD=S△ADC=S△ABC，再证四边形ADCF是平行四边形可得S△ACE=S△ACD，即可得到结论．
【详解】（1）证明：∵FA//BC
∴∠AFE=∠DBE
在△AEF和△DEB中
∠AFE=∠DBE，∠FEA=∠BED（对顶角相等），AE=DE（中点的定义）
∴△AEF≌△DEB（AAS）
∴AF=BD
∵AD是BC边上的中线
∴CD=DB
∴AF＝DC；
（2）∵D是BC的中点
∴S△ABD=S△ADC=S△ABC
∵CD//AF，CD=AF
∴四边形ADCF是平行四边形
∴S△ACF=S△ACD
∵△AEF≌△DEB
∴S△AEF=S△DEB
∴S△AEF+ S△AEB =S△DEB+ S△AEB，即S△FAB=S△ABD
∴面积为△ABC面积的一半的三角形有：△FAC，△ACD，△ABD,△FAB．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质和判定、平行四边形判定、三角形的面积等知识点，熟练掌握全等三角形的性质和判定是解答本题的关键．
22．见解析.
【分析】根据平行四边形的性质即可求出本题答案.
【详解】方法①:连接平行四边形的对角线.
方法②：画AD边的四等分点，过四等分点作AB的平行线.
方法③：横向和纵向的画两条平行于边的线段.
分法如下：
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是本题解题的关键.
23．（3）（4）（1）（2）
【分析】本题考查的是反证法，解题的关键是掌握反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．根据反证法的一般步骤解答即可．
【详解】证明：假设，
那么，由，得，即，
所以，这与三角形内角和定理相矛盾，
所以，
所以这四个步骤正确的顺序是（3）（4）（1）（2），
故答案为：（3）（4）（1）（2）．
24．证明见解析
【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键．
根据平行四边形的性质证明即可．
【详解】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
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