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9.5三角形的中位线
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，为的中点，，则的长为（　　）
A． B． C． D．
2．如图，在平行四边形中，，E为上一动点，M，N分别为，的中点，则的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．不确定
3．顺次连接对角线互相垂直的四边形的各边中点，所得图形一定是（ ）
A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．梯形
4．如果三角形的两边分别为3和5，那么连结这个三角形三边中点所得三角形的周长可能是（ ）
A．5.5 B．5 C．4.5 D．4
5．如图，中，，，，，，则的值为（ ）
A．6 B． C．7 D．8
6．如图，在中，，，直角的顶点是的中点，两边，分别交，于点，．现给出以下四个结论：①；②是等腰直角三角形；③；④．当在内绕顶点旋转时（点不与点，重合），上述结论中始终正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④
7．如图，点A的坐标为（4，3），AB⊥x轴于点B，点C为坐标平面内一点，OC＝2，点D为线段AC的中点，连接BD，则BD的最大值为（ ）
A．3 B． C． D．
8．三角形三条中位线的长为3、4、5，则此三角形的面积为（　　）
A．12 B．24 C．36 D．48
9．如图，在中，，点分别为的中点，则（ ）

A． B．1 C．2 D．4
10．如图，已知矩形ABCD的边长分别为a，b，进行如下操作：第一次，顺次连接矩形ABCD各边的中点，得到四边形；第二次，顺次连接四边形各边的中点，得到四边形；…如此反复操作下去，则第n次操作后，得到四边形的面积是（ ）
A． B． C． D．
11．如图，在中，，，、是的中位线，则四边形的周长是（ ）
A．5 B．7 C．8 D．10
12．若一个三角形的两边长分别为3和5，则该三角形第三边的中线可以取的值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
二、填空题
13．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E，F分别是AC，BD的中点，已知AB＝12，CD＝6，则EF＝ ．
14．如图，在中，D，E分别是，的中点，点F在上，且，若，，则的长为 ．

15．如图，在矩形中，，交于点，、分别为、的中点．若，则的长为 ．
16．如图，A、B两处被池塘隔开，为了测量A、B两处的距离，在AB外选一适当的点C，连接AC、BC，并分别取线段AC、BC的中点E、F，测得EF=22m，则AB= m．
17．如图，△ABC中，AD是中线，AE是角平分线，CF⊥AE于F，AB=5，AC=2，则DF的长为 ．
三、解答题
18．在学习完了《18.1平行四边形的性质》之后，王老师在数学活动课上对下面一个问题让学生展开探究活动．
问题情境：图1，在 ABCD中，CA⊥AB，AB＝6cm，AC＝8cm，点O为AC的中点，动点P在BC边上运动，直线PO交AD于E．
问题发现：数学智慧小组”通过积极的动手操作，观察，猜想，提出了如下问题：
（1）在点P运动的过程中，始终存在PO＝OE，为什么？
（2）在点P运动到PO⊥AC时，四边形ABPE是平行四边形，为什么？此时BP的长度是多少？
（3）在点P运动的过程中，四边形ABPE的周长是否存在最小值？如果存在，则四边形ABPE的周长的最小值是　 　cm；BP的长度为　 　cm．
问题解决：
“数学智慧小组”欢迎您的加入，请开启您的“问题解决之旅”吧！
19．如图，点是ΔABC内一点，连接OB、OC，并将AB、OB、OC、AC的中点、、、依次连接，得到四边形．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若为的中点，OM=5，∠OBC与∠OCB互余，求DG的长度．
20．如图，是的中位线，点为射线上的一个动点（不与点E重合），作交边于点，连结．
(1)如图1，当点M与点D重合时，求证：四边形是平行四边形；
(2)如图，当四边形是菱形时，，求菱形的面积；
(3)如图3，，在延长线上（可以与点D重合），使得四边形为矩形，求的度数范围．
21．（1）探究：如图（1），点P在线段AB上，在AB的同侧作△APC和△BPD，满足PC=PA，PD=PB，∠APC＝∠BPD，连接CD，点E、F、G分别是AC、BD、CD边中点，连接EF、FG、EG．求证：∠EFG＝∠GEF．
（2）应用：如图（2），点P在线段AB上方，∠APC＝∠BPD＝90°，图（1）题中的其他条件不变，若EF＝2，则四边形ABDC的面积为 ．
22．已知：如图，在四边形中，，F，G，E分别是的中点．求证：．
23．如图，在中，，、、分别是、、边上的中点．
．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，求菱形的周长．
24．如图，四边形各边中点及对角线中点共六个点中，任取四个点连成四边形中，最多可以有几个平行四边形，证明你的结论.
《9.5三角形的中位线》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A B A C B B B D A
题号 11 12
答案 D B
1．B
【分析】因为四边形是平行四边形，所以；再根据点是的中点，得出是的中位线，即可解决问题．
【详解】四边形是平行四边形，
．
又点是的中点，
是的中位线，
根据三角形的中位线定理可得：．
则．
故选：B．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分．还考查了三角形中位线的性质：三角形的中位线平行且等于三角形第三边的一半．本题的关键是熟练掌握三角形中位线的性质．
2．A
【分析】此题考查了三角形中位线的性质，平行四边形的性质，解题的关键是掌握相关基础性质．根据平行四边形的性质可得，再根据三角形中位线的性质，求解即可．
【详解】解：在平行四边形中，，
∴，
∵M，N分别为，的中点，
∴是的中位线，
∴．
故选：A
3．B
【分析】如图，根据三角形中位线定理推出，，则这个四边形是平行四边形，再由对角线垂直，证出，可得这个四边形为矩形．
【详解】解：如图，四边形中，E、F、G、H分别为各边的中点，连接、、、，
∵点E、F、G、H分别为各边的中点，
∴，，，，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴平行四边形是矩形；
故选：B．

【点睛】本题考查了三角形中位线定理、平行四边形的判定以及矩形的判定，正确掌握知识点是解题的关键．
4．A
【分析】依据三角形三边关系，可求第三边大于2小于8，原三角形的周长大于10小于16，连接中点的三角形周长是原三角形周长的一半，那么新三角形的周长应大于5而小于8，看哪个符合就可以了．
【详解】解：设三角形的三边分别是a、b、c，令a=3，b=5，
∵2＜c＜8，
∴a+b+2＜a+b+c＜a+b+8，
即10＜a+b+c＜16，
由三角形中位线的性质可得，中点三角形的三边为、、，
中点三角形的周长为，
∴5＜＜8．
故选：A．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理和三角形三边关系，利用中位线定理求出中点三角形的周长是解题的关键．
5．C
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形中位线定理，延长交于，可证得，得到，可证得是的中位线，从而得出的值，进一步可得出结果．
【详解】解：如图，延长交于，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
∴是的中位线，
，
，
故选：C．
6．B
【分析】根据等腰直角三角形的性质得出∠B=∠C=∠BAP=∠CAP=45°，AP=PC=PB，∠APC=∠EPF=90°，求出∠APE=∠CPF，证△APE≌△CPF，推出AE=CF，EP=PF，推出S△AEP=S△CPF，求出S四边形AEPF=S△APC=S△ABC，EF不是△ABC的中位线，故EF≠AP，即可得出答案．
【详解】解：∵△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，P是BC中点，
∴∠B=∠C=∠BAP=∠CAP=45°，AP=PC=PB，∠APC=∠EPF=90°，
∴∠EPF-∠APF=∠APC-∠APF，
∴∠APE=∠CPF，
在△APE和△CPF中
，
∴△APE≌△CPF（ASA），
∴AE=CF，EP=PF，
∴△EPF是等腰直角三角形，
∴①正确；②正确；
∵△ABC是等腰直角三角形，P是BC的中点，
∴AP=BC，
∵EF不是△ABC的中位线，
∴EF≠AP，故③错误；
∵△APE≌△CPF，
∴S△AEP=S△CPF，
∴S四边形AEPF=S△AEP+S△APF=S△CPF+S△APF=S△APC=S△ABC，
∴④正确；
∴正确的有①②④，
故选：B．
【点睛】本题考查了等腰三角形性质，三角形中位线的性质，三角形三边关系定理，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力．
7．B
【分析】先连接，取其中点，连接、，根据点D、E为线段AC、AO的中点求出DE的长，再根据斜中线定理求出BE的长，当当、、三点在同一条直线上时，BD值最大，求出结果即可．
【详解】解：如下图所示，连接，取其中点，连接、，
∵点D、E为线段AC、AO的中点，
∴,
又∵AB⊥x轴于点B，
∴
∴，
当、、三点在同一条直线上时，BD值最大，
此时；
故选：B．
【点睛】本题主要考查三角形中位线定理、斜中线定理，本题解题的关键是在于找到两点之间线段最短．
8．B
【分析】先根据三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半，即求出原三角形的边长分别为6、8、10，再根据勾股定理的逆定理判断原三角形的形状，即可根据三角形面积公式求得面积．
【详解】解：∵三角形三条中位线的长为3、4、5，
∴原三角形三条边长为，，，
，
∴此三角形为直角三角形，
∴，
故选B．
【点睛】本题考查的是三角形的中位线定理，勾股定理逆定理．熟练掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半，是解题的关键．
9．D
【分析】此题考查了三角形中位线定理的应用，由点分别为的中点得到是的三角形中位线，即可得到答案.
【详解】解：∵点分别为的中点，
∴是的三角形中位线，
∴，
故选：D
10．A
【分析】利用中位线、菱形、矩形的性质可知，每一次操作后得到的四边形面积为原四边形面积的一半，由此可解．
【详解】解：如图，连接AC，BD，，．
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴，，．
∵ ，，，分别是矩形四个边的中点，
∴，
∴，
∴四边形是菱形，
∵ ，，
∴四边形的面积为：．
同理，由中位线的性质可知，
，，
，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴四边形的面积为：．
∴每一次操作后得到的四边形面积为原四边形面积的一半，
∴四边形的面积是．
故选:A．
【点睛】本题考查矩形的性质，菱形的性质以及中位线的性质，证明四边形是菱形，四边形是矩形是解题的关键．
11．D
【分析】本题考查三角形中位线的性质，根据三角形中位线的性质可得四边形的各边长，进而即可求出周长．
【详解】解：∵、是的中位线，
∴，，
，，
∴．
故选：D
12．B
【分析】本题主要考查了三角形的三边关系和全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．根据题意画出图形，设，证明，根据，即可求出答案．
【详解】解：如图所示，取的中点为，连接，，
设，
延长至，使，
在与中，
，
为的中线，
，
，
，
在中，
，
即，
，
故选B．
13．3
【分析】连接CF并延长交AB于G，证明△FDC≌△FBG，根据全等三角形的性质得到BG＝DC＝6，CF＝FG，求出AG，根据三角形中位线定理计算，得到答案．
【详解】解：连接CF并延长交AB于G，
∵AB∥CD，
∴∠FDC＝∠FBG，
在△FDC和△FBG中，
，
∴△FDC≌△FBG(ASA)
∴BG＝DC＝6，CF＝FG，
∴AG＝AB﹣BG＝12﹣6＝6，
∵CE＝EA，CF＝FG，
∴EF＝AG＝3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
14．1
【分析】根据三角形中位线定理求出，根据直角三角形的性质求出，计算即可．
【详解】解：∵D、E分别为、的中点，，
∴，
∵，D为的中点，，
∴，
∴，
故答案为：1．
【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，解题的关键是掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
15．2
【分析】根据矩形的性质求出BO长度，然后根据中位线的性质即可得到答案．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴BD=2BO=8，
∴BO=4，
∵M、N分别为BC、OC的中点，
∴．
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质以及三角形的中位线，解题的关键是找到线段间的倍数关系．
16．44
【详解】∵E、F是AC，CB的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF=AB，
∵EF=22m，
∴AB=44m，
故答案为44．
【点睛】本题考查了三角形的中位线定理在实际生活中的运用，解题的关键是熟知三角形中位线定理的内容.
17．
【详解】解：如图，延长CF交AB于点G，
∵在△AFG和△AFC中，∠GAF=∠CAF，AF=AF，∠AFG=∠AFC，
∴△AFG≌△AFC（ASA）．∴AC=AG，GF=CF．
又∵点D是BC中点，∴DF是△CBG的中位线．
∴DF=BG=（AB﹣AG）=（AB﹣AC）=．
故答案为：．
18．（1）见解析；（2）四边形ABPE是平行四边形，理由见解析，BP =5cm；（3），
【分析】（1）证明△AEO△CPO即可说明PO=OE；
（2）证明EP∥AB，即可证明四边形ABPE是平行四边形，利用三角形中位线定理即可求解；
（3）求得四边形ABPE的周长为：6+10+PE=16+PE，得到当PE⊥BC时，PE最小，利用平行四边形的面积公式求得PE，即可求得四边形ABPE的周长最小值，根据△AEO△CPO以及勾股定理即可求得BP的长度．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，点O为AC的中点，
∴AE∥PC，AO=OC，
∴∠EAO=∠PCO，∠AOE=∠COP，
∴△AEO△CPO，
∴PO=OE；
（2）∵CA⊥AB，且PO⊥AC，
∴PO∥AB，即EP∥AB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AE∥BP，
∵CA⊥AB，且AB=6cm，AC=8cm，
∴BC=(cm)，
∴四边形ABPE是平行四边形，
∵点O为AC的中点，且PO∥AB，
∴BP=PC=BC=5(cm)；
（3）四边形ABPE的周长为：AB+BP+PE+AE，
由（1）知△AEO△CPO，则AE=CP，
∴BP+AE=BP+CP=BC=10，
∴四边形ABPE的周长为：6+10+PE=16+PE，
则PE最小时，四边形ABPE的周长最小，
∴当PE⊥BC时，PE最小(垂线段最短)，
∵BCPE=ABAC，
∴PE=(cm)，
∴四边形ABPE的周长最小值为16+=(cm)，
∵△AEO△CPO，
∴PO=EO=PE=(cm)，OC=AC=(cm)，
∴PC=(cm)，
∴BP=BC-PC=(cm)，
故答案为：，．
．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
19．（1）见解析；（2）10．
【分析】（1）根据三角形的中位线性质求出DG∥BC，EF∥BC，DG=BC，EF=BC，求出DG∥EF，DG=EF，根据平行四边形的判定得出即可；
（2）求出∠BOC=90°，根据直角三角形的斜边上中线性质得出EF=2OM，即可求出答案．
【详解】（1）证明： ∵点D、E、F、G分别是AB、OB、OC、AC的中点，
∴DG∥BC，EF∥BC，DG=BC，EF=BC，
∴DG∥EF，DG=EF，
∴四边形DEFG是平行四边形；
（2）解：由 （1）知：四边形DEFG是平行四边形，
∴DG=EF．
∵ ∠OBC与∠OCB互余，
∴∠OBC+∠OCB=90°，
∴∠BOC=90°．
∵M为EF的中点，OM=5，
∴OM=EF，即EF=2OM=2×5=10，
∴DG=10．
【点睛】本题考查三角形的中位线性质，平行四边形的判定和性质，直角三角形斜边上中线性质等知识点，能熟练地运用定理进行推理是解题的关键．
20．(1)见解析
(2)2
(3)
【分析】本题考查菱形的性质，平行四边形的判定和性质，中位线的性质等综合题型，解题的关键对菱形性质和图形变化极值情况的熟练掌握．
（1）根据平行四边形判定及性质进行证明即可；
（2）如图，连接，由菱形知，可证，四边形是平行四边形，于是，由勾股定理中，，所以菱形的面积即可求得；
（3）如图，点在延长线上(可以与点重合)，得；随着的减小，点逐渐向点接近，当点与点重合时，最小，由矩形性质得，进一步证得，由三角形内角和定理，得，于是．
【详解】（1）证明：∵是的中位线，
∴是中点，
又，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，且，
∴四边形是平行四边形，即四边形是平行四边形；
（2）解：如图2，连接，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴菱形的面积为2；
（3）解：如图，点在延长线上（可以与点重合），
∴，
随着的减小，点逐渐向点接近，当点与点重合时，最小，如图，四边形是矩形，
，
而，
，
，
，
．
21．（1）见解析；（2）4
【分析】（1）连接AD，BC，可证得△APD≌△CPB，从而得到AD=CB．再由三角形中位线定理，可得EG=GF，即可求证；
（2）连接AD、BC交于点M，BC、PD交于点N，可证得△APD≌△CPB，从而得到AD=CB．∠ADP=∠CBP，再由∠CND=∠PNB，AD⊥BC，再由三角形中位线定理，可得△GEF为等腰直角三角形，从而得到，再由，即可求解．
【详解】证明：（1） 如图，连接AD，BC，
∵∠APC=∠BPD，
∴∠APD=∠CPB．
∵PA=PC，PD=PB，
∴△APD≌△CPB，
∴AD=CB．
∵E、G、F分别为AC、CD、DB的中点，
∴EG=AD，GF=BC，
∴EG=GF，
∴∠GEF=∠GFE．
（2）如图，连接AD、BC交于点M，BC、PD交于点N，
∵∠APC=∠BPD=90°，
∴∠APC+∠CPD=∠BPD+∠CPD，即∠APD=∠CPB，
∵PA=PC，PD=PB，
∴△APD≌△CPB（SAS），
∴AD=CB，∠ADP=∠CBP，
∵∠CND=∠PNB，
∴∠DMN=∠BPD=90°，
∴AD⊥BC，
∵E、G、F分别为AC、CD、DB的中点，
∴EG是△ACD的中位线，GF是△DCB的中位线，
∴EG=AD，GF=BC， EGAD，GFBC，
∴GE=GF，GE⊥GF，
∴△GEF为等腰直角三角形，
∴，
∵EF=2，
∴，
∴．
故答案为：4
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法、等腰直角三角形的性质及三角形中位线的性质是解题的关键．
22．见解析
【分析】本题考查了三角形中位线定理、等腰三角形的判定与性质．三角形中位线的性质，即三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．根据三角形中位线定理证得是等腰三角形，然后由等腰三角形的性质证得结论．
【详解】证明：∵在四边形中，F、G分别是的中点．
∴是的中位线，
∴．
同理推知，是的中位线，
则．
又∵，
∴，
∴．
23．(1)见解析
(2)
【分析】
本题考查菱形的判定和性质、三角形的中位线定理，平行线的性质，相似三角形的判定和性质等知识
（1）可根据菱形的定义“一组邻边相等的平行四边形是菱形”，先证明四边形是平行四边形，然后再证明四边形的邻边相等即可；
（2）是的中点，有了的长也就求出了菱形的边长的长，那么菱形的周长也就能求出了；
【详解】（1）
证明：、、分别是、、的中点，，，
四边形是平行四边形，
又，，且，
，
四边形是菱形；
（2）
解：，为中点，
，
菱形的周长为．
24．3个，证明见解析.
【详解】试题分析：最多可以有3个平行四边形，是四边形FMHN、四边形EMGN、四边形EFGH，利用三角形中位线定理分别进行证明即可得.
试题解析：最多可以有3个平行四边形，是四边形FMHN、四边形EMGN、四边形EFGH，证明如下：
在四边形ABCD中F，G，H，E，M，N分别是AB，BC，CD，DA，BD，AC的中点，
∴FG∥AC，EH∥AC；FG＝AC，EH＝AC，
∴FG∥EH，FG＝EH，
∴四边形FGHE是平行四边形，
MG∥CD，EN∥CD；MG＝CD，EN＝CD，
∴MG∥EN，MG＝EN ，
∴四边形MGNE是平行四边形，
FM∥AD，NH∥AD；FM＝AD，NH＝AD，
∴FM∥NH；FM＝NH，
∴四边形FMHN是平行四边形，
∴最多可以有3个平行四边形.
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