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5月上旬之数式与函数—浙江省数学2025年中考模拟精选新题速递
一、数与式
1．（2025九下·丽水模拟） 如图，根据小丽与 DeepSeek的对话，DeepSeek在深度思考后，给出的答案是（　　）
A．1 B． C．-1 D．1或-1
【答案】A
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设这个数为x，由题意得x2-x+1=x，
整理得x2-2x+1=0，
∴(x-1)2=0，
解得x=1，
∴这个数为1.
故答案为：A.
【分析】设这个数为x，根据“这个数的平方减去这个数再加上1，结果等于这个数”列出方程，再利用直接开平方法求解即可.
2．（2025·舟山模拟）已知，，则的值为（　　）．
A． B．5 C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
则 =
将ab=1代入上式得：
原式=====-23；
故答案为：C.
【分析】根据题意判定a，b的符号，再将待求代数式化简，代入计算即可得出答案.
3．（2025·临平模拟）运行程序如图所示，从“输入实数x”到“结果是否>5”为一次程序操作。若输入x后程序操作进行了两次就停止，则x的取值范围是（　　）
A．1【答案】B
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：由题意得，
解不等式①得
解不等式②得，
∴x的取值范围是
故答案为：B.
【分析】依据题意，根据运行程序，第一次运算结果小于等于5，第二次运算结果大于5列出不等式组，然后求解即可.
4．（2025·萧山模拟）命题“若，则关于的一元二次方程必有实数根”是　 　命题（填“真”或“假”）．
【答案】真
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；真命题与假命题
【解析】【解答】解：
∵（a+c）2b2，
∴a2+2ac+c2≤b2，
∴a2-2ac+c2≤b2-4ac，
∵（a-c）2≤b2-4ac，（a-c）2≥0
∴b2-4ac≥0，
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）必有实数根，
∴命题“若（a+c）2≤b2，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）必有实数根”是真命题，
故答案为：真.
【分析】 题目通过条件 ( a+c )2 ≤b2推导出判别式△ ≥ (a c)2≥0，从而得出方程必有实根的结论.
5．（2025九下·丽水模拟）体质指数（BMI）是衡量人体胖瘦程度的标准：BMI=，其中w为体重（单位：kg），h为身高（单位：m），成年人的BMI正常范围是18.5-23.9kg/m2。有一位成年人体重为78kg，根据公式计算得出他的BMI值为26kg/m2，属于超重范围。若想要BMI值不超过22kg/m2，他至少应减重　 　kg。
【答案】12
【知识点】一元一次不等式的应用；待定系数法求反比例函数解析式
【解析】【解答】解：将BMI=26及w=78代入BMI=，得
∴h2=3，
将h2=3及BMI=22代入BMI=，得，
∴w=66，
∴该成年人至少应减重78-66=12kg.
故答案为：12.
【分析】首先将BMI=26及w=78代入BMI=算出h2=3，由于身高不变，故再将h2=3及BMI的最大值22再代入BMI=计算出目标体重的最大值，最后用当前体重减去目标体重即可求出需要减重的量.
6．（2025·舟山模拟）综合与实践有趣的“乘法运算”
小明在学完《整式的乘法》后对一类特殊的乘法运算进行了探究。
【算法界定】这里的“乘法运算”指的是末位数字相同，首位数字和为十的两位数相乘。
【算法介绍】两数首位数字相乘再加上末位的数字作为“前积”，末位数字的平方作为“后积”，前积乘以100加上后积就是得数．
例：，前积是13，后积是16
（1），前积是　 　，后积是　 　；
（2）【初探算法】仿照例题，写出下面两数相乘的运算过程及结果。
　 　=　 　，
（3）【推理算法】记两位数分别是和，且，其中
请写出算法介绍中的运算规律，并加以证明。
【答案】（1）22；36
（2）100×(2×8+5）+52；2125
（3）证明：(10a+c)(10b+c)
=100ab+10ac+10bc+c2
=100ab+10c(a+b)+c2
=100ab+100c+c2
=100(ab+c)+c2.
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：（1）根据 【算法介绍】 可得 前积是22，后积是36，
故答案为：22，36；
（2），
故答案为：100×(2×8+5）+52，2125；
【分析】（1）根据【算法介绍】 解答即可；
（2）根据题目所给方法解答即可；
（3）根据多项式的乘法解答即可.
二、函数
7．（2025九下·丽水模拟） 若点A（m-3，y1），B（m-1，y2），C（m+1，y3）（其中1A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵反比例函数у=-中，-3＜0，
∴图象在第二、四象限，当x>0时，y<0且随x增大而增大；当x<0时，y>0且随x增大而增大，
∵ 1∴m-3＜0，m-1＞0，m+1＞0，
∴m-3＜0＜m-1＜m+1，
∵ A（m-3，y1），B（m-1，y2），C（m+1，y3）都在反比例函数у=-的图象上，
∴y1＞0＞y3＞y2，即y2＜y3＜0＜y1.
故答案为：C.
【分析】反比例函数中，当k＞0时，图象的两支分布在一、三象限，在每一个象限内y随x的增大而减小；当k＜0时，图象的两支分布在二、四象限，在每一个象限内y随x的增大而增大；据此判断出反比例函数у=-的图象所在的象限及增减性，进而结合m的取值范围判断出A、B、C三点横坐标的正负及大小，然后根据函数的增减性即可判断得出答案.
8．（2025·温州模拟）已知点在反比例函数（k为常数）的图象上，，则下列说法中正确的是（　　）
A．若，则 B．，则
C．若，则 D．若，则
【答案】B
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：反比例函数，
∴，
函数图象在第一、三象限内，且在每个象限内，随的增大而减小，
A、，，
∴或或，
∴当时，；当时，；当时，；
原结论不一定成立，A错误；
B、，，
∴，
∴，
∴原结论成立，B正确；
C、，，
∴或或，
∴当时，；当时，；当时，；
∴原结论不一定成立，C错误；
D、，，
∴，
∴，
原结论不成立，D错误；
故答案为：B．
【分析】当比例系数时，函数图象在第一、三象限内，且在每个象限内，随的增大而减小；当比例系数时，函数图象在第二、四象限内，且在每个象限内，随的增大而增大，由得此函数函数图象在第一、三象限内，且在每个象限内，随的增大而减小，然后逐项进行分析：对于A选项，求出或或，结合反比例函数的增减性得或或，即可判断A错误；对于B选项，求出，同理得，即可判断B正确；对于C选项，求出或或，得或或，即可判断C错误；对于D选项，求出，得，即可判断D错误.
9．（2023·新昌模拟）已知(，)，(，) (，)是反比例函数的图像上的三点，且，则下列命题是真命题的是（　　）
A．若且，则
B．若且，则
C．若且，则
D．若且，则
【答案】C
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：A、且，
，，
则，，
无法确定的正负
故A选项错误；
B、且，又
，，故
但无法确定、的正负
也无法确定的正负
故B选项错误；
C、，且，
且
故C选项正确；
D、
∵，又
，
则，
而无法确定、的正负
无法确定的正负
故D选项错误.
故答案为：C
【分析】根据反比例函数的图象上坐标的特点 以及增减性，由各选项的条件及先判断函数值的正负，再判断即可.
10．（2025·拱墅模拟） 反比例函数的图象上有A(， ， 2m， 3m)三点， (　　)
A．若， 则 B．若， 则
C．若， 则 D．若， 则
【答案】A
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：分别将点A(x1， m)， B(x2， 2m)， C(x3， 3m)坐标代入解析式得：
故选项A正确，符合题意；
故选项B错误，不符合题意；
故选项C错误，不符合题意；
故选项D错误，不符合题意；
故答案为：A .
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征解答即可.
11．（2025·钱塘模拟）已知二次函数的图象上有四个点：，，其中，则下列结论一定不正确的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】D
【知识点】不等式的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：A、∵，
∴对称轴为直线，
当时，则，
∴，
此时对称轴在轴的负半轴，抛物线的开口方向向上，
∴越靠近对称轴的所对应的函数值越小，
∵，，
∴点与点关于对称轴对称，点C与点D关于对称轴对称，
∴，
∴，
即，
∴此选项不符合题意；
B、∵，越靠近对称轴的所对应的函数值越小，
∴或或或，
∴此选项不符合题意；
C、当时，则，
∴，
此时对称轴在轴的负半轴，抛物线的开口方向向下，
∴越靠近对称轴的所对应的函数值越大，
∵，，
∴点与点关于对称轴对称，点C与点D关于对称轴对称，
∴，
∴，
即，
∴此选项不符合题意；
D、∵，越靠近对称轴的所对应的函数值越大，
∴或或或，
∴此选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】A、根据抛物线的对称轴为直线x=可将抛物线的对称轴用含m的代数式表示出来，再根据可得抛物线的对称轴在轴的负半轴，且抛物线的开口方向向上，再结合抛物线上对称的两点表示出对称轴并根据“越靠近对称轴的所对应的函数值越小”即可判断求解；
B、同理可求解；
C、根据可得抛物线的对称轴在轴的负半轴，且抛物线的开口方向向下，再结合抛物线上对称的两点表示出对称轴并根据“越靠近对称轴的所对应的函数值越大”即可判断求解；
D、同理可求解.
12．（2025·舟山模拟）对于二次函数，规定函数是它的相关函数．已知点M，N的坐标分别为连接，若线段与二次函数的相关函数的图象有两个公共点，则n的取值范围为（　　）
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】A
【知识点】二次函数与分段函数的综合应用
【解析】【解答】解：①如图所示：
线段MN与二次函数y=x2+4x+n的相关函数的图象恰有1个公共点，
所以当x=2时，y=1，即-4+8+n=1，解得n=-3；
②如图所示：
线段MN与二次函数y=x2+4x+n相关函数的图象恰有3个公共点，
∵抛物线y=x2-4x-n与y轴交点纵坐标为1，
∴-n=1，解得：n=-1，
∴当-3③如图所示：
线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰有3个公共点，
∵抛物线y=x2-4x-n经过点（0，1），
∴n=1；
④如图所示：
线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点，
∵抛物线y=x2-4x-n经过点（，1），
∴+2-n=1，
解得：n=，
∴时，线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点，
综上所述，n的取值范围是或；
故答案为：A.
【分析】首先确定出二次函数y= -x2+ 4x+n的相关函数与线段MN恰好有1个交点、2个交点、 3个交点时n的值，然后结合函数图象可确定出n的取值范围.
13．（2024·仙居二模）已知点是二次函数函数图象上的两个点，若关于的一元二次方程有两根，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：A、B在二次函数的图像上，故①，②
而m>0，故，由韦达定理知，即
②-①得得|n|>|m|，而m>0>n得-n>m故，由韦达定理得即
综上所述：
故答案为：C.
【分析】分别将A、B坐标代入函数得①，②，可得k>1，②-①得-n>m，得，由韦达定理即可得两根之和与积的范围.
14．（2025·绍兴模拟）如图，已知点A在函数是常数，，图象上，点在函数图象上，连结AC交x轴于点B，D是x轴上的点，若，，且的面积为1，则的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应三线；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：∵，，
∴∠AOB=∠ABO=∠CBD=∠CDB，
∴△BCD∽△BAO，
设点A的坐标为，点C的坐标为，
则OB=2m，BD=2(n-2m)，
∵△BCD∽△BAO，
∴，解得或（舍去）
∴，
∴，
故答案为：D .
【分析】根据等边对等角得到∠AOB=∠ABO=∠CBD=∠CDB，即可得到△BCD∽△BAO，设点A的坐标为，点C的坐标为，然后根据相似三角形的对应边上高的比等于相似比求出m的值，然后代入计算解题即可.
15．（2025·临平模拟） 如图，矩形ABCO的两边分别在坐标轴上，OA=a，OC=b，点P在反比例函数y=（k为常数，k>O)的图象上，且在矩形ABCO内部，其横坐标为c. 过点P作 PE//x轴交AC于点E，作PF//y轴交AB于点F，连结EF，FC.记△EFC的面积为S，以下说法正确的是（　　）
A．S的值仅与a，b有关 B．S的值仅与c，k有关
C．S 的值仅与k有关 D．S 的值与a，b，c，k都有关
【答案】C
【知识点】矩形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：由条件可知C(b，0)， B(b，a)， A(0，a)，
∵点P在反比例函数 (k为常数， 的图象上， 且横坐标为c，
设直线AC的解析式为 ， 把A(0，a)，C(b，0)坐标代入得：
解得
∴直线AC的解析式为
当 时，
的面积为S仅与k值有关.
故答案为：C.
【分析】根据题意， 先确定各点的坐标， C(b，0)， B(b，a)， A(0，a)， P(c， c)， F(c，a)， 再利用待定系数法求出直线AC解析式确定点E的坐标，最后利用 解答即可.
16．（2025·拱墅模拟） 在直角坐标系中，设二次函数 (m，n为实数)，若点，点都在函数y的图象上，则，之间满足的等量关系是　 　.
【答案】
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：把 点，点 代入 得到，
∴
故答案为： .
【分析】把两点坐标代入得到用m，n表示k1，k2的代数式，然后求差计算解题即可.
17．（2025九下·宁波模拟）如图所示，已知一次函数与反比例函数交于点为一次函数上一点，作等腰直角三角形与使得在轴正半上，延长交于点，连结，若，为中点，，则　 　
【答案】20
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：过点P作PH⊥x轴于点H，延长HP，过点M作MG⊥PH交PH于点G，
令y=0.则x-1=0，解得x=1，
∴点B的坐标为(1，0)，∴OB=1，
∵BC=6，
∴OC=OB+BC=1+6=7，∴点C的坐标为(7，0)，
把x=7代入得y=7-1=6，∴点A的坐标为(7，6)，
又∵D是AC的中点，∴点D的坐标为(7，3)，
又∵AC=6=BC，∴∠ABC=∠CAB=45°，
∵PH⊥x轴，
∴∠PHB=90°，
∴△PBH为等要直角三角形，
∴BH=PH，
设OH=m，则BH=OH-OB=m-1，
∴PH=BH=m-1，即点P的坐标为(m，m-1)，
∵△PMN是等腰直角三角形，
∴MP=PN，
∵MG⊥PH，PH⊥x轴，
∴∠G=∠MPN=∠PHB=90°，
∴∠GMP+∠GPM=∠NPH=∠GPM=90°，
∴∠GMP=∠NPH，
∴△MPG≌△PNH，
∴MG=PH=m-1，PG=NH=CH=OC-OH=7-m，
∴NH=CH=PG，
∵，，
∴点M的坐标为(1，6)，
设直线MD的解析式为y=kx+b，代入得：
，解得，
∴直线MD的解析式为，
把P(m，m-1)代入得到，解得m=5，
∴点P的坐标为(5，4)，
把点P(5，4)代入得到k=5×4=20，
故答案为，20.
【分析】过点P作PH⊥x轴于点H，延长HP，过点M作MG⊥PH交PH于点G，设OH=m，即可得到△MPG≌△PNH，求出点M的坐标，然后求出直线MD的解析式，再求出点P的坐标，代入反比例函数解析式即可解题.
18．（2025·宁波模拟） 甲、乙、丙三个同学研究了二次函数的图象和性质，并交流了自己的学习成果.
（1） 甲同学的说法：当和时，函数值相等.你认为甲同学的说法正确吗？请说明理由.
（2） 乙同学的发现：a取某个值时，该函数图象上到x轴的距离为1的点有3个，且以这三个点为顶点的三角形的面积为3.根据乙同学的发现，求出此时a的值.
（3） 丙同学的探索：若，当时，y的取值范围中恰有4个不同的整数值.根据丙同学的结论，求出a的取值范围.
【答案】（1）解：∵，
∴抛物线的对称轴为直线x=1，
∴当x=0和x-2时，函数值相等，甲同学说法正确
（2）解：∵抛物线顶点坐标为(1，-1)，
∴顶点到x轴的距离为1，由条件可知a>0，三角形的另两个顶点的纵坐标都为1，
∴题设中的三角形是高为2，底边长为3的等腰三角形，
∴底边顶点坐标为(，()，
代入得，
∴
（3）解： ∵，抛物线顶点坐标为(1， -1)，
∴当时，，
∴4个不同的整数值为-1， 0， 1， 2，即，
∴
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【分析】(1)根据对称轴计算公式求出对称轴为直线x=1，据此可得结论；
(2)求出顶点坐标为(1，-1)，则可推出纵坐标为1的有两个点，再根据三角形面积公式可得纵坐标为1的两个点的距离为3，则可推出在二次函数图象上，据此利用待定系数法求解即可；
(3)根据增减性可求出当019．（2025·绍兴模拟） 若对于y关于x的函数在范围内有最大值和最小值，将最大值与最小值的差记为d.
（1）若，求d的值；
（2）若，
①若点，均在函数y的图象上，当的值最大时，求d的值；
②当时，求t的值.
【答案】（1）解：因为，所以y随x的增大而增大，
所以.
（2）解：①，
所以取到最大值时，此时，
所以此范围内最大值为2，最小值为，所以.
②当时，，所以.
当，，
所以（舍去）；
当，，
所以（舍去）；
当，即时，，
所以；
综上，或.
【知识点】二次函数的最值；一次函数的性质；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【分析】（1）根据一次函数的增减性解题即可；
（2）①把点A、B的坐标代入，得到m+n关于t的二次函数，根据二次函数的顶点式得到最值即可；
②分为，，和四种情况，利用函数的增减性得到方程，求出n的值即可.
20．（2025·绍兴模拟）区间测速是指在高速公路某一路段的起点与终点设置监控点，根据车辆通过两监控点的时间，计算车辆在该路段上的平均速度，若平均速度超过该路段限速，则判定为超速.
某地有一段区间测速路段，长为50千米，限速为120千米/小时，甲车以105千米/小时的速度从起点驶入该区间测速路段，匀速行驶；乙车比甲车晚小时，同方向从起点驶入该区间测速路段，以135千米/小时匀速行驶了小时后，降低车速，以a千米/小时匀速行驶完剩余路段(减速时间忽略不计)，当甲车行驶了小时时，行驶路程为m千米，此时乙车在甲车前方4千米处，已知在此区间测速路段，两车行驶的路程s(千米)与甲车在此路段行驶的时间t(小时)之间的函数图象如图所示.
（1）求m的值；
（2）求a的值；
（3）通过计算判断乙车在该区间测速路段是否超速.
【答案】（1）解： 由题意可得，当时，.
（2）解：设直线AC的解析式为：，由题意可得，它经过点代入可得，
所以直线AC的解析式为：，
点C横坐标，
当时，，
所以点C的坐标为.
由（1）可得，，所以直线CD经过点.
设直线CD的解析式为：，
则
解得
所以，所以.
（3）解：当时，，得，
所以乙车在该路段上的总用时为：（小时），
乙车的平均速度为：，
所以乙车在该区间测速路段超速了.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【分析】（1）利用路程=速度×时间解答即可；
（2）先求出直线AC的解析式，即可得到点C的坐标，进而求出直线CD的解析式可得a的值；
计算s=50时的时间t，然后根据速度=路程÷时间求出乙车的速度比较解题即可.
21．（2025·临平模拟）为鼓励节约用水，某市实行了阶梯水价制度.设月用水量为x（吨），每月应交水费y(元），下表为每户的综合用水单价与月用水量的关系表，如图是y关于x的函数图象.
阶梯 月用水量（吨） 用水单价（元/吨）
第一阶梯 x≦10 a
第二阶梯 10＜x≦20 b
第三阶梯 x＞20 5
根据上述信息解决以下问题：
（1）求a，b的值.
（2）当x>10 时，求y关于x的函数表达式.
（3）小红家6月份、7月份的用水量都为整数吨，且都超过了10吨，水费合计为90元，其中6月份用水量低于7月份用水量，求小红家6月份的用水量.
【答案】（1）解：由题意得，
（2）解：由题意， ①当 时，
②当 时，
答： 当 时，y关于x的函数表达式为
（3）解：由题意，如果6月份、7月份的用水量均超过20吨，则总费用比超过100，不合题意，又结合6月份用水量低于7月份用水量，∴6月用水量低于20吨，超过10吨.
设6月份用水量为x吨，
∴6月份的水费为
∴7月份的水费为
若7月份用水量低于20吨，则7月份的用水量为
110
又∵6月份、7月份的用水量都为整数吨，
∴7月份的用水量为 不合题意.
若7月份用水量大于20吨，则7月份的用水量为
又∵6月份、7月份的用水量都为整数吨，∴x为5的整数倍.
又
答：小红家6月份的用水量为15吨.
【知识点】一次函数的其他应用
【解析】【分析】(1)依据题意得列方程组，进而计算可以得解；
(2)依据题意，分当 时和当 时，分别进行判断可以得解；
(3)依据题意，先判断6月用水量低于20吨，超过10吨，然后设6月份用水量为x吨，可得6月份的水费为 故7月份的水费为 再分两种情形分析计算可以得解.
1 / 15月上旬之数式与函数—浙江省数学2025年中考模拟精选新题速递
一、数与式
1．（2025九下·丽水模拟） 如图，根据小丽与 DeepSeek的对话，DeepSeek在深度思考后，给出的答案是（　　）
A．1 B． C．-1 D．1或-1
2．（2025·舟山模拟）已知，，则的值为（　　）．
A． B．5 C． D．
3．（2025·临平模拟）运行程序如图所示，从“输入实数x”到“结果是否>5”为一次程序操作。若输入x后程序操作进行了两次就停止，则x的取值范围是（　　）
A．14．（2025·萧山模拟）命题“若，则关于的一元二次方程必有实数根”是　 　命题（填“真”或“假”）．
5．（2025九下·丽水模拟）体质指数（BMI）是衡量人体胖瘦程度的标准：BMI=，其中w为体重（单位：kg），h为身高（单位：m），成年人的BMI正常范围是18.5-23.9kg/m2。有一位成年人体重为78kg，根据公式计算得出他的BMI值为26kg/m2，属于超重范围。若想要BMI值不超过22kg/m2，他至少应减重　 　kg。
6．（2025·舟山模拟）综合与实践有趣的“乘法运算”
小明在学完《整式的乘法》后对一类特殊的乘法运算进行了探究。
【算法界定】这里的“乘法运算”指的是末位数字相同，首位数字和为十的两位数相乘。
【算法介绍】两数首位数字相乘再加上末位的数字作为“前积”，末位数字的平方作为“后积”，前积乘以100加上后积就是得数．
例：，前积是13，后积是16
（1），前积是　 　，后积是　 　；
（2）【初探算法】仿照例题，写出下面两数相乘的运算过程及结果。
　 　=　 　，
（3）【推理算法】记两位数分别是和，且，其中
请写出算法介绍中的运算规律，并加以证明。
二、函数
7．（2025九下·丽水模拟） 若点A（m-3，y1），B（m-1，y2），C（m+1，y3）（其中1A． B． C． D．
8．（2025·温州模拟）已知点在反比例函数（k为常数）的图象上，，则下列说法中正确的是（　　）
A．若，则 B．，则
C．若，则 D．若，则
9．（2023·新昌模拟）已知(，)，(，) (，)是反比例函数的图像上的三点，且，则下列命题是真命题的是（　　）
A．若且，则
B．若且，则
C．若且，则
D．若且，则
10．（2025·拱墅模拟） 反比例函数的图象上有A(， ， 2m， 3m)三点， (　　)
A．若， 则 B．若， 则
C．若， 则 D．若， 则
11．（2025·钱塘模拟）已知二次函数的图象上有四个点：，，其中，则下列结论一定不正确的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
12．（2025·舟山模拟）对于二次函数，规定函数是它的相关函数．已知点M，N的坐标分别为连接，若线段与二次函数的相关函数的图象有两个公共点，则n的取值范围为（　　）
A．或 B．或
C．或 D．或
13．（2024·仙居二模）已知点是二次函数函数图象上的两个点，若关于的一元二次方程有两根，则（　　）
A． B．
C． D．
14．（2025·绍兴模拟）如图，已知点A在函数是常数，，图象上，点在函数图象上，连结AC交x轴于点B，D是x轴上的点，若，，且的面积为1，则的面积为（　　）
A． B． C． D．
15．（2025·临平模拟） 如图，矩形ABCO的两边分别在坐标轴上，OA=a，OC=b，点P在反比例函数y=（k为常数，k>O)的图象上，且在矩形ABCO内部，其横坐标为c. 过点P作 PE//x轴交AC于点E，作PF//y轴交AB于点F，连结EF，FC.记△EFC的面积为S，以下说法正确的是（　　）
A．S的值仅与a，b有关 B．S的值仅与c，k有关
C．S 的值仅与k有关 D．S 的值与a，b，c，k都有关
16．（2025·拱墅模拟） 在直角坐标系中，设二次函数 (m，n为实数)，若点，点都在函数y的图象上，则，之间满足的等量关系是　 　.
17．（2025九下·宁波模拟）如图所示，已知一次函数与反比例函数交于点为一次函数上一点，作等腰直角三角形与使得在轴正半上，延长交于点，连结，若，为中点，，则　 　
18．（2025·宁波模拟） 甲、乙、丙三个同学研究了二次函数的图象和性质，并交流了自己的学习成果.
（1） 甲同学的说法：当和时，函数值相等.你认为甲同学的说法正确吗？请说明理由.
（2） 乙同学的发现：a取某个值时，该函数图象上到x轴的距离为1的点有3个，且以这三个点为顶点的三角形的面积为3.根据乙同学的发现，求出此时a的值.
（3） 丙同学的探索：若，当时，y的取值范围中恰有4个不同的整数值.根据丙同学的结论，求出a的取值范围.
19．（2025·绍兴模拟） 若对于y关于x的函数在范围内有最大值和最小值，将最大值与最小值的差记为d.
（1）若，求d的值；
（2）若，
①若点，均在函数y的图象上，当的值最大时，求d的值；
②当时，求t的值.
20．（2025·绍兴模拟）区间测速是指在高速公路某一路段的起点与终点设置监控点，根据车辆通过两监控点的时间，计算车辆在该路段上的平均速度，若平均速度超过该路段限速，则判定为超速.
某地有一段区间测速路段，长为50千米，限速为120千米/小时，甲车以105千米/小时的速度从起点驶入该区间测速路段，匀速行驶；乙车比甲车晚小时，同方向从起点驶入该区间测速路段，以135千米/小时匀速行驶了小时后，降低车速，以a千米/小时匀速行驶完剩余路段(减速时间忽略不计)，当甲车行驶了小时时，行驶路程为m千米，此时乙车在甲车前方4千米处，已知在此区间测速路段，两车行驶的路程s(千米)与甲车在此路段行驶的时间t(小时)之间的函数图象如图所示.
（1）求m的值；
（2）求a的值；
（3）通过计算判断乙车在该区间测速路段是否超速.
21．（2025·临平模拟）为鼓励节约用水，某市实行了阶梯水价制度.设月用水量为x（吨），每月应交水费y(元），下表为每户的综合用水单价与月用水量的关系表，如图是y关于x的函数图象.
阶梯 月用水量（吨） 用水单价（元/吨）
第一阶梯 x≦10 a
第二阶梯 10＜x≦20 b
第三阶梯 x＞20 5
根据上述信息解决以下问题：
（1）求a，b的值.
（2）当x>10 时，求y关于x的函数表达式.
（3）小红家6月份、7月份的用水量都为整数吨，且都超过了10吨，水费合计为90元，其中6月份用水量低于7月份用水量，求小红家6月份的用水量.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设这个数为x，由题意得x2-x+1=x，
整理得x2-2x+1=0，
∴(x-1)2=0，
解得x=1，
∴这个数为1.
故答案为：A.
【分析】设这个数为x，根据“这个数的平方减去这个数再加上1，结果等于这个数”列出方程，再利用直接开平方法求解即可.
2．【答案】C
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
则 =
将ab=1代入上式得：
原式=====-23；
故答案为：C.
【分析】根据题意判定a，b的符号，再将待求代数式化简，代入计算即可得出答案.
3．【答案】B
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：由题意得，
解不等式①得
解不等式②得，
∴x的取值范围是
故答案为：B.
【分析】依据题意，根据运行程序，第一次运算结果小于等于5，第二次运算结果大于5列出不等式组，然后求解即可.
4．【答案】真
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；真命题与假命题
【解析】【解答】解：
∵（a+c）2b2，
∴a2+2ac+c2≤b2，
∴a2-2ac+c2≤b2-4ac，
∵（a-c）2≤b2-4ac，（a-c）2≥0
∴b2-4ac≥0，
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）必有实数根，
∴命题“若（a+c）2≤b2，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）必有实数根”是真命题，
故答案为：真.
【分析】 题目通过条件 ( a+c )2 ≤b2推导出判别式△ ≥ (a c)2≥0，从而得出方程必有实根的结论.
5．【答案】12
【知识点】一元一次不等式的应用；待定系数法求反比例函数解析式
【解析】【解答】解：将BMI=26及w=78代入BMI=，得
∴h2=3，
将h2=3及BMI=22代入BMI=，得，
∴w=66，
∴该成年人至少应减重78-66=12kg.
故答案为：12.
【分析】首先将BMI=26及w=78代入BMI=算出h2=3，由于身高不变，故再将h2=3及BMI的最大值22再代入BMI=计算出目标体重的最大值，最后用当前体重减去目标体重即可求出需要减重的量.
6．【答案】（1）22；36
（2）100×(2×8+5）+52；2125
（3）证明：(10a+c)(10b+c)
=100ab+10ac+10bc+c2
=100ab+10c(a+b)+c2
=100ab+100c+c2
=100(ab+c)+c2.
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：（1）根据 【算法介绍】 可得 前积是22，后积是36，
故答案为：22，36；
（2），
故答案为：100×(2×8+5）+52，2125；
【分析】（1）根据【算法介绍】 解答即可；
（2）根据题目所给方法解答即可；
（3）根据多项式的乘法解答即可.
7．【答案】C
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵反比例函数у=-中，-3＜0，
∴图象在第二、四象限，当x>0时，y<0且随x增大而增大；当x<0时，y>0且随x增大而增大，
∵ 1∴m-3＜0，m-1＞0，m+1＞0，
∴m-3＜0＜m-1＜m+1，
∵ A（m-3，y1），B（m-1，y2），C（m+1，y3）都在反比例函数у=-的图象上，
∴y1＞0＞y3＞y2，即y2＜y3＜0＜y1.
故答案为：C.
【分析】反比例函数中，当k＞0时，图象的两支分布在一、三象限，在每一个象限内y随x的增大而减小；当k＜0时，图象的两支分布在二、四象限，在每一个象限内y随x的增大而增大；据此判断出反比例函数у=-的图象所在的象限及增减性，进而结合m的取值范围判断出A、B、C三点横坐标的正负及大小，然后根据函数的增减性即可判断得出答案.
8．【答案】B
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：反比例函数，
∴，
函数图象在第一、三象限内，且在每个象限内，随的增大而减小，
A、，，
∴或或，
∴当时，；当时，；当时，；
原结论不一定成立，A错误；
B、，，
∴，
∴，
∴原结论成立，B正确；
C、，，
∴或或，
∴当时，；当时，；当时，；
∴原结论不一定成立，C错误；
D、，，
∴，
∴，
原结论不成立，D错误；
故答案为：B．
【分析】当比例系数时，函数图象在第一、三象限内，且在每个象限内，随的增大而减小；当比例系数时，函数图象在第二、四象限内，且在每个象限内，随的增大而增大，由得此函数函数图象在第一、三象限内，且在每个象限内，随的增大而减小，然后逐项进行分析：对于A选项，求出或或，结合反比例函数的增减性得或或，即可判断A错误；对于B选项，求出，同理得，即可判断B正确；对于C选项，求出或或，得或或，即可判断C错误；对于D选项，求出，得，即可判断D错误.
9．【答案】C
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：A、且，
，，
则，，
无法确定的正负
故A选项错误；
B、且，又
，，故
但无法确定、的正负
也无法确定的正负
故B选项错误；
C、，且，
且
故C选项正确；
D、
∵，又
，
则，
而无法确定、的正负
无法确定的正负
故D选项错误.
故答案为：C
【分析】根据反比例函数的图象上坐标的特点 以及增减性，由各选项的条件及先判断函数值的正负，再判断即可.
10．【答案】A
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：分别将点A(x1， m)， B(x2， 2m)， C(x3， 3m)坐标代入解析式得：
故选项A正确，符合题意；
故选项B错误，不符合题意；
故选项C错误，不符合题意；
故选项D错误，不符合题意；
故答案为：A .
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征解答即可.
11．【答案】D
【知识点】不等式的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：A、∵，
∴对称轴为直线，
当时，则，
∴，
此时对称轴在轴的负半轴，抛物线的开口方向向上，
∴越靠近对称轴的所对应的函数值越小，
∵，，
∴点与点关于对称轴对称，点C与点D关于对称轴对称，
∴，
∴，
即，
∴此选项不符合题意；
B、∵，越靠近对称轴的所对应的函数值越小，
∴或或或，
∴此选项不符合题意；
C、当时，则，
∴，
此时对称轴在轴的负半轴，抛物线的开口方向向下，
∴越靠近对称轴的所对应的函数值越大，
∵，，
∴点与点关于对称轴对称，点C与点D关于对称轴对称，
∴，
∴，
即，
∴此选项不符合题意；
D、∵，越靠近对称轴的所对应的函数值越大，
∴或或或，
∴此选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】A、根据抛物线的对称轴为直线x=可将抛物线的对称轴用含m的代数式表示出来，再根据可得抛物线的对称轴在轴的负半轴，且抛物线的开口方向向上，再结合抛物线上对称的两点表示出对称轴并根据“越靠近对称轴的所对应的函数值越小”即可判断求解；
B、同理可求解；
C、根据可得抛物线的对称轴在轴的负半轴，且抛物线的开口方向向下，再结合抛物线上对称的两点表示出对称轴并根据“越靠近对称轴的所对应的函数值越大”即可判断求解；
D、同理可求解.
12．【答案】A
【知识点】二次函数与分段函数的综合应用
【解析】【解答】解：①如图所示：
线段MN与二次函数y=x2+4x+n的相关函数的图象恰有1个公共点，
所以当x=2时，y=1，即-4+8+n=1，解得n=-3；
②如图所示：
线段MN与二次函数y=x2+4x+n相关函数的图象恰有3个公共点，
∵抛物线y=x2-4x-n与y轴交点纵坐标为1，
∴-n=1，解得：n=-1，
∴当-3③如图所示：
线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰有3个公共点，
∵抛物线y=x2-4x-n经过点（0，1），
∴n=1；
④如图所示：
线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点，
∵抛物线y=x2-4x-n经过点（，1），
∴+2-n=1，
解得：n=，
∴时，线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点，
综上所述，n的取值范围是或；
故答案为：A.
【分析】首先确定出二次函数y= -x2+ 4x+n的相关函数与线段MN恰好有1个交点、2个交点、 3个交点时n的值，然后结合函数图象可确定出n的取值范围.
13．【答案】C
【知识点】二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：A、B在二次函数的图像上，故①，②
而m>0，故，由韦达定理知，即
②-①得得|n|>|m|，而m>0>n得-n>m故，由韦达定理得即
综上所述：
故答案为：C.
【分析】分别将A、B坐标代入函数得①，②，可得k>1，②-①得-n>m，得，由韦达定理即可得两根之和与积的范围.
14．【答案】D
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应三线；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：∵，，
∴∠AOB=∠ABO=∠CBD=∠CDB，
∴△BCD∽△BAO，
设点A的坐标为，点C的坐标为，
则OB=2m，BD=2(n-2m)，
∵△BCD∽△BAO，
∴，解得或（舍去）
∴，
∴，
故答案为：D .
【分析】根据等边对等角得到∠AOB=∠ABO=∠CBD=∠CDB，即可得到△BCD∽△BAO，设点A的坐标为，点C的坐标为，然后根据相似三角形的对应边上高的比等于相似比求出m的值，然后代入计算解题即可.
15．【答案】C
【知识点】矩形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：由条件可知C(b，0)， B(b，a)， A(0，a)，
∵点P在反比例函数 (k为常数， 的图象上， 且横坐标为c，
设直线AC的解析式为 ， 把A(0，a)，C(b，0)坐标代入得：
解得
∴直线AC的解析式为
当 时，
的面积为S仅与k值有关.
故答案为：C.
【分析】根据题意， 先确定各点的坐标， C(b，0)， B(b，a)， A(0，a)， P(c， c)， F(c，a)， 再利用待定系数法求出直线AC解析式确定点E的坐标，最后利用 解答即可.
16．【答案】
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：把 点，点 代入 得到，
∴
故答案为： .
【分析】把两点坐标代入得到用m，n表示k1，k2的代数式，然后求差计算解题即可.
17．【答案】20
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：过点P作PH⊥x轴于点H，延长HP，过点M作MG⊥PH交PH于点G，
令y=0.则x-1=0，解得x=1，
∴点B的坐标为(1，0)，∴OB=1，
∵BC=6，
∴OC=OB+BC=1+6=7，∴点C的坐标为(7，0)，
把x=7代入得y=7-1=6，∴点A的坐标为(7，6)，
又∵D是AC的中点，∴点D的坐标为(7，3)，
又∵AC=6=BC，∴∠ABC=∠CAB=45°，
∵PH⊥x轴，
∴∠PHB=90°，
∴△PBH为等要直角三角形，
∴BH=PH，
设OH=m，则BH=OH-OB=m-1，
∴PH=BH=m-1，即点P的坐标为(m，m-1)，
∵△PMN是等腰直角三角形，
∴MP=PN，
∵MG⊥PH，PH⊥x轴，
∴∠G=∠MPN=∠PHB=90°，
∴∠GMP+∠GPM=∠NPH=∠GPM=90°，
∴∠GMP=∠NPH，
∴△MPG≌△PNH，
∴MG=PH=m-1，PG=NH=CH=OC-OH=7-m，
∴NH=CH=PG，
∵，，
∴点M的坐标为(1，6)，
设直线MD的解析式为y=kx+b，代入得：
，解得，
∴直线MD的解析式为，
把P(m，m-1)代入得到，解得m=5，
∴点P的坐标为(5，4)，
把点P(5，4)代入得到k=5×4=20，
故答案为，20.
【分析】过点P作PH⊥x轴于点H，延长HP，过点M作MG⊥PH交PH于点G，设OH=m，即可得到△MPG≌△PNH，求出点M的坐标，然后求出直线MD的解析式，再求出点P的坐标，代入反比例函数解析式即可解题.
18．【答案】（1）解：∵，
∴抛物线的对称轴为直线x=1，
∴当x=0和x-2时，函数值相等，甲同学说法正确
（2）解：∵抛物线顶点坐标为(1，-1)，
∴顶点到x轴的距离为1，由条件可知a>0，三角形的另两个顶点的纵坐标都为1，
∴题设中的三角形是高为2，底边长为3的等腰三角形，
∴底边顶点坐标为(，()，
代入得，
∴
（3）解： ∵，抛物线顶点坐标为(1， -1)，
∴当时，，
∴4个不同的整数值为-1， 0， 1， 2，即，
∴
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【分析】(1)根据对称轴计算公式求出对称轴为直线x=1，据此可得结论；
(2)求出顶点坐标为(1，-1)，则可推出纵坐标为1的有两个点，再根据三角形面积公式可得纵坐标为1的两个点的距离为3，则可推出在二次函数图象上，据此利用待定系数法求解即可；
(3)根据增减性可求出当019．【答案】（1）解：因为，所以y随x的增大而增大，
所以.
（2）解：①，
所以取到最大值时，此时，
所以此范围内最大值为2，最小值为，所以.
②当时，，所以.
当，，
所以（舍去）；
当，，
所以（舍去）；
当，即时，，
所以；
综上，或.
【知识点】二次函数的最值；一次函数的性质；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【分析】（1）根据一次函数的增减性解题即可；
（2）①把点A、B的坐标代入，得到m+n关于t的二次函数，根据二次函数的顶点式得到最值即可；
②分为，，和四种情况，利用函数的增减性得到方程，求出n的值即可.
20．【答案】（1）解： 由题意可得，当时，.
（2）解：设直线AC的解析式为：，由题意可得，它经过点代入可得，
所以直线AC的解析式为：，
点C横坐标，
当时，，
所以点C的坐标为.
由（1）可得，，所以直线CD经过点.
设直线CD的解析式为：，
则
解得
所以，所以.
（3）解：当时，，得，
所以乙车在该路段上的总用时为：（小时），
乙车的平均速度为：，
所以乙车在该区间测速路段超速了.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【分析】（1）利用路程=速度×时间解答即可；
（2）先求出直线AC的解析式，即可得到点C的坐标，进而求出直线CD的解析式可得a的值；
计算s=50时的时间t，然后根据速度=路程÷时间求出乙车的速度比较解题即可.
21．【答案】（1）解：由题意得，
（2）解：由题意， ①当 时，
②当 时，
答： 当 时，y关于x的函数表达式为
（3）解：由题意，如果6月份、7月份的用水量均超过20吨，则总费用比超过100，不合题意，又结合6月份用水量低于7月份用水量，∴6月用水量低于20吨，超过10吨.
设6月份用水量为x吨，
∴6月份的水费为
∴7月份的水费为
若7月份用水量低于20吨，则7月份的用水量为
110
又∵6月份、7月份的用水量都为整数吨，
∴7月份的用水量为 不合题意.
若7月份用水量大于20吨，则7月份的用水量为
又∵6月份、7月份的用水量都为整数吨，∴x为5的整数倍.
又
答：小红家6月份的用水量为15吨.
【知识点】一次函数的其他应用
【解析】【分析】(1)依据题意得列方程组，进而计算可以得解；
(2)依据题意，分当 时和当 时，分别进行判断可以得解；
(3)依据题意，先判断6月用水量低于20吨，超过10吨，然后设6月份用水量为x吨，可得6月份的水费为 故7月份的水费为 再分两种情形分析计算可以得解.
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