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5月上旬之图形性质与变化—浙江省数学2025年中考模拟精选新题速递
一、选择题
1．（2025·温州模拟）七巧板源于我国宋代，是广受欢迎的智力游戏．如图，用两副七巧板拼出一幅“勾股图”．若一副七巧板的面积为，则的面积为（　　）
A． B． C． D．
2．（2025·萧山模拟）如图，点是线段AB上一点，分别以AC，BC为直角边在AB同侧作等腰Rt和等腰Rt，连结AE，BD．记，，若，则（　　）
A．10 B．15 C．20 D．40
3．（2025·拱墅模拟）如图，矩形ABCD的对角线交于点O，线段EF不经过点O，且EF∥BC，EF分别与边AB，CD交于点G，H，EG=FH，连接AE.若AD=2，EF=4，点O在线段AE的垂直平分线上，则 AG·GB 是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．（2025·宁波模拟） 如图在中，，，点，分别在AB，AC上，，记BD长为，CE长为，.当，的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（　　）
A．xy B． C． D．
5．（2025·宁波模拟） 下图是凸透镜成像的光路示意图，AB、CD、OE分别表示蜡烛、蜡像、凸透镜，它们均与主光轴MN垂直.一束平行于主光轴的光线AE经凸透镜折射后，其折射光线经过焦点F，一束经过光心的光线AO与折射光线EF相交于点C.已知，，则的值为（　　）
A． B． C．2 D．
6．（2025·温州模拟）如图，是正方形的对角线，E为边上的动点（不与端点重合），点F在的延长线上，且，过点F作于点G，连结，．则下列比值为定值的是（　　）
A． B． C． D．
7．（2025九下·丽水模拟） 如图，在四边形ABCD中，AB//CD，∠D=90°，∠B=45°，点E为CD上一点，连结AE，把AE绕点E逆时针旋转90°，点A恰好落在BC的中点F处，则的值为（　　）
A． B． C． D．
8．（2025·宁波模拟） 图1是阿基米德的滑动曲尺模型，图2是其抽象成的几何图形.AB为的直径，其延长线与弦DC的延长线交于点E，.若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2025·宁波模拟） 如图，在 ABCD中，，O为对角线BD的中点，E为BC上一点，将 ABCD沿所在的直线折叠，使点B和点D重合.若，，则AB的长为　 　.
10．（2025·宁波模拟） 如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E为对角线BD上一点.若的外接圆与边CD相切，则的半径长为　 　.
11．（2025九下·丽水模拟） 如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=6，CE平分∠ACB交AB于点E，过点E作FE⊥EC交AC于点F，连结BF并延长交AD于点G，交EC于点H，则△AFG与△BCH的面积比为　 　。
12．（2025·杭州模拟） 如图是一张菱形纸片ABCD，点E在AD边上，，把沿直线CE折叠得到，点D'落在DA的延长线上. 若CD'恰好平分，则　 　°，　 　.
13．（2025·上城模拟）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边AD、DC上，且，点B关于直线EG的对称点B'在线段BC的延长线上，B'E与BF交于点H。
（1）若点A与点H关于直线BE对称，则　 　；
（2）若，则　 　。
三、解答题
14．（2025·萧山模拟）如图，已知点是线段AB的黄金分割点，，以点为圆心，以AP长为半径画弧；再以点为圆心，以一定长为半径画弧，两弧交于点，连结AC，PC，BC．
（1）求证：．
（2）若，求AC的长．
15．（2025·拱墅模拟）如图，直线 ，连接 AB，作 的平分线 BC，交 AM 于点 C.
（1） 求证：.
（2） 圆圆说：“以点 C 为圆心，CA 长为半径作弧，交 BN 于点 D，则四边形 ABCD 为菱形.”圆圆的说法是否正确？若正确，请证明；若不正确，说明作法中存在的问题，并说说使作出的四边形 ABCD 为菱形的点 D 的方法.
16．（2025·定海月考）在学习了矩形与菱形的相关知识后，智慧小组进行了更深入的研究，他们发现，过矩形的一条对角线的中点作这条对角线的垂线，与矩形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形，可利用证明三角形全等得到此结论.根据他们的想法与思路，完成下列题目：
（1）如图，在矩形ABCD中，点O是对角线AC的中点，用尺规过点O作AC的垂线，分别交AB，CD于点E，F，连接AF，CE（不写作法，保留作图痕迹）
（2）求证：四边形AECF是菱形．
（3）进一步思考，如果四边形ABCD是平行四边形呢？请你模仿题中表述，直接写出你猜想的结论.
17．（2025·上城模拟）定义：将一组对角线相同，另一组对角线共线的菱形称为“组合菱形”，内部菱形与外部菱形的共线对角线长之比称为组合比，用k表示。如图，菱形ABCD和菱形EAFC是组合菱形，其中BD与EF共线，且满足BD：EF=
（1）组合比K=　 　.
（2）若BE=2，AB=3，求AC的长；
（3）若∠BAD=∠AEC，求证：∠AEB=30°。
18．（2025·萧山模拟）小区内开车必须遵守限速安全规范．如图，在某小区拐角处的一段道路上，有一儿童在处玩要，一辆汽车从被楼房遮挡的拐角另一侧的处驶来，经过2秒直行到处刚好观察到处的儿童（此时B，O，C三点共线）．已知，试问该汽车是否遵守行车安全规范？
（参考数据：）
19．（2025·拱墅模拟）如图，点O和点O'分别是正方形ABCD和正方形A'B'C'D'对角线的交点，边且过点O，与边BC交于点E，A'D'与边DC交于点F，连接OO'，已知，.
（1） 求证：重叠部分的四边形A'PCE是矩形.
（2） 若，求a的值.
（3） 若正方形ABCD和正方形A'B'C'D'分别绕点O和点O'顺时针旋转相同的角度后，重叠部分的四边形恰好为正方形，且，求重叠部分正方形的边长.
20．（2025·萧山模拟）已知正方形ABCD内接于，边CD以点为中心顺时针旋转到CE，连结BE分别交，边CD于点F，G．
（1）如图1，若CE是的切线，
①求的度数；
②连结DF，求证：．
（2）如图2，连结AF，DE，求证：．
21．（2025·上城模拟）如图1，为的外接圆，且，点D为圆外一动点，且满足，连结AD，交BC于点E，交于点F，连结BF。
（1）若AD经过圆心O，，，求AB的长；
（2）求证：BF平分；
（3）如图2，若，设DF：EF=k，请用含k的代数式表示cosC。
22．（2025·宁波模拟） 如图 1，四边形 ABCD 内接于 ，BD 为直径， 为锐角，过点 B 作 于点 E，过点 A 作 BC 的平行线交 BE 的延长线于点 F.
（1） ，请用含 的代数式表示 ；
（2） 若 ，求证：；
（3） 如图 2，在 (2) 的条件下，BF 与 交于点 G，与 AD 延长线交于点 H，连结 DO.
①若 ，，求 AD 的长.
②若 ，求 的值.
23．（2025·杭州模拟）如图，矩形ABCD内接于，BD是对角线，点在上（不与点，重合），连接EC分别交AD，BD于点，，于点，，连接BE交AD于点.
（1） 如图1，当点为的中点，时，
①求证：.
②求的长.
（2） 如图2，若，求的值.
24．（2025·杭州模拟）综合与实践
在综合与实践课上，数学兴趣小组通过测算某热气球的高度，探索实际生活中测量高度（或距离）的方法.
【实践活动】如图1，小明、小充分别在点B，C处同时测得热气球A的仰角，，，点B，C，D在地面的同一条直线上，于点D.（测角仪的高度忽略不计）
（1）【问题解决】计算热气球离地面的高度AD.(参考数据：，，)
（2）【方法归纳】小亮发现，原来利用解直角三角形的知识可以解决实际生活中的测量问题，其一般过程为：从实际问题抽象出数学问题，再通过解直角三角形得出实际问题的答案.
爱思考的小明类比该方法求得锐角三角形一边上的高. 根据他的想法与思路，完成以下填空：
如图2，在锐角三角形ABC中，设，，，于点D，用含，和m的代数式表示AD.
解：设，因为，
所以.
同理，因为，
所以①.
因为，
解得②.
即可求得AD的长.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】正方形的性质；勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】解：根据题意，得，，
∴，
∴，
∴的面积为：，
故答案为：C．
【分析】结合图形得，，从而求出，进而利用三角形面积公式即可求解.
2．【答案】C
【知识点】三角形的面积；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：
△ACD和△BCE都是直角三角形，∠ACD=∠BCE=90°
∴设AC=CD=a，BC=CE=b
∴DE=CD-CE=a-b
∴S1=a2，S2=b2，S3=a（a-b）=（a2-ab），S4=b（a-b）=（ab-b2）
∵S1-S2=20
∴a2-b2=20
∴（a2-b2）=20
∴S3+S4=（a2-ab+ab-b2）=（a2-b2）=20．
故答案为：C.
【分析】 依题意设AC=CD=a，BC=CE=b，则DE=CD-CE=a-b ，进而将四个三角形面积用a，b代数式表示，根据 列的a，b的关系式，最后解得.
3．【答案】B
【知识点】矩形的性质；圆内接四边形的性质；四点共圆模型；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：如图， 连接OE、OF、BF， 作直线 垂足为P，
在矩形ABCD中， 直线OP垂直平分BC，
∵EF∥BC，
∴直线OP垂直平分GH，
∵点O在线段AE的垂直平分线上，
∴OA=OE，
∴点A、E、B、C、F、D共圆，
∴△EGA∽△BGF，
∴AG·GB=GF·EG=3×1=3.
故答案为：B .
【分析】连接OE、OF、BF， 作直线 垂足为P， 利用条件证明出点A、E、B、C、F、D共圆，再利用条件判定 根据相似三角形性质得到AG·GB=GF·EG=3×1=3即可.
4．【答案】A
【知识点】等腰三角形的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：过点D作DH⊥BC于点H，过点E作EF⊥BC于点F，如图所示：
∵AB=AC，BC=10，CD=BE=9，BD=x，CE=y，
∴设∠ABC=∠ACN=α，
在Rt△BDH中，，，
∴DH=BD·sin∠ABC=xsinα，
BH=BD·cos∠ABC=xcosα，
∴CH=BC-BH=10-xcosα，
由勾股定理得：DH2+CH2=CD2
∴(xsinα)2+(10-xcosα)2=92，
∴x2sin2α+100-20xcosα-x2cos2α=81，
∴x2(sin2α+cos2α)+19= 20xcosα，
即x2+19=20xcosα①，
在Rt△CEF中，同理得：EF=ysinα，CF=ycosα，
∴BF=BC-CF=10-ycosα，
由勾股定理得：EF2+BF2=BE2
∴(ysinα)2+(10-ycosα)2=92，
∴y2sin2α+100-20ycosα+y2cos2α=81，
∴y2(sin2α+cos2α)+19=20ycosα，
即y2+19=20ycosα②，
由①②得：
∴x2y+19y=xy2+19x，
∴x2y-xy2-19x+19y=0，
∴xy(x-y)-19(x-y)=0，
即(x-y)(xy-19)=0，
∴x>y，
∴x-y> 0，
∴xy-19=0，
∴xy=19，
∴当x，y的值发生变化时，代数式xy的值不变，始终等于19，
故答案为：A.
【分析】过点D作DH⊥BC于点H，过点E作EE⊥BC于点E，设∠ABC=∠ACN=α，利用锐角三角函数的定义得DH=xsinα，BH=xcosα，则CH=10-xcosα，由勾股定理得DH2+CH2=CD2，则(xsinα)2+(10-xcosα)2=92，整理得x2+19=20xcosα①，同理得EF=ysinα，CF=ycosα，BF=10-ycosα，由勾股定理得EF2+BF2=BE2，即(ysinα)2+(10-ycosα)2=92，整理得x2+19y+19=20ycosα②，由①②得，整理得y2+19(x-y)(xy-19)=0，然后根据x>y得xy=19，据此即可得出答案.
5．【答案】C
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：根据题意可得△EOF∽△DCF，△ABO∽△CDO，四边形ABOE是矩形，
∴，，OE=AB，
即，
解得DF=20cm，
∴.
故答案为：C.
【分析】根据题意可得△EOF∽△DCF，△ABO∽△CDO，四边形ABOE是矩形，得，，OE=AB，求出DF=20cm，即可求解.
6．【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理；正方形的性质；直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：如图，过点G作于，
∵四边形为正方形，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，是定值，故A符合题意；
，不是定值，故B不符合题意；
，不是定值，故C不符合题意；
，不是定值，故D不符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据正方形的性质可得，，，结合得，根据等腰三角形的判定可设，，则利用勾股定理求出的值，然后根据等腰三角形”三线合一“性质得，根据直角三角形斜边上的中线性质得的值，于是求出的值，最后逐项代入进行分析即可求解.
7．【答案】D
【知识点】矩形的判定与性质；旋转的性质；等腰直角三角形；同侧一线三垂直全等模型；8字型相似模型
【解析】【解答】解：过点F作直线FH⊥AB于点H，交直线DC于点G，则∠FHB=∠FHA=90°，
∵F是BC的中点，
∴BF=CF，
∵AB∥CD，
∴△CGF∽△BHF，
∴，
∴GF=HF，BH=CG，
∴GH=2GF=2HF，
∵∠FHB=90°，∠B=45°，
∴△BHF是等腰直角三角形，
∴BH=FH，
∵AB∥CD，∠BHF=90°，
∴∠CGF=∠BHF=90°，
∴∠D=∠CGF=∠FHA=90°，
∴四边形ADGH是矩形，
∴AD=GH=2GF，AH=DG，
设GF=FH=x=BH，则AD=GH=2x，
由旋转性质得∠AEF=90°，AE=EF，
∴∠AED+∠CEF=90°=∠AED+∠DAE，
∴∠DAE=∠CEF，
∴△ADE≌△EGF（AAS），
∴DE=GF=x，AD=EG=2x，
∴DG=3x=AH，
∴AB=4x，
∵
∴，
∴.
故答案为：D.
【分析】过F作直线FH⊥AB于H，交直线DC于G，则∠FHB=∠FHA=90°，由平行于三角形一边的直线，截其它两边的延长线，所截三角形与原三角形相似得△CGF∽△BHF，由相似三角形对应边成比例及中点定义可得GF=HF，BH=CG，则GH=2GF=2HF，易得△BHF是等腰直角三角形，则BH=FH；由二直线平行，内错角相等得∠CGF=∠BHF=90°，由三个角是直角的四边形是矩形得四边形ADGH是矩形，由矩形对边相等得AD=GH=2GF，AH=DG，设GF=FH=x=BH，则AD=GH=2x；由旋转的性质可得∠AEF=90°，AE=EF，根据平角定义、直角三角形两锐角互余及同角的余角相等得∠DAE=∠CEF，用AAS判断出△ADE≌△EGF，由全等三角形的对应边相等得DE=GF=x，AD=EG=2x，由线段和差可推出AB=4x，在Rt△ADE中，利用勾股定理用含x的式子表示出AE，进而根据等腰直角三角形的性质用含x的式子表示出AF，即可求出两条线段的比值.
8．【答案】B
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质；圆的相关概念
9．【答案】
【知识点】平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；解直角三角形
【解析】【解答】解：过点A作AH⊥BC于点H，过点E作EM⊥AD于点M，则四边形AHEM是矩形，
∴AH=EM，
∵AB=AE，
∴∠ABE=∠AEB=45°，
∴∠BAE=90°，
∵AB=AE，AH⊥BE，
∴BH= EH，
∴，
∵ED=EB，
∴ED=2AH=2EM，
∵EM⊥AD，
∴∠EDM=30°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠CED=∠ADE=30°，
∵EB=ED，
∴∠EBD=∠EDB，
∵∠DEC=∠EBD+∠EDB，
∴∠EBD=∠EDB=15°，
∴∠EFO=∠FEO+∠EBO =60°
∵EO⊥BD，
∴∠FEO=30°，
∴EF=2OF=2，
设AH=HE=EM=AM=a，则BE=2a，，
∵AD//BE，
∴
∴，
∴.
故答案为：.
【分析】过点A作AH⊥BC于点H，过点E作EM⊥AD于点，则四边形AHEM是矩形，证明∠EFO=60°，就直接求出EF，再利用平行线分线段成比例定理求解AF即可.
10．【答案】
【知识点】正方形的性质；切线的性质
【解析】【解答】解：设CD与⊙O相切于点F，连接FO，并延长交AB于N，连接OA，
∵△ABE的外接圆⊙O与边CD相切，
∴OF⊥CD，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ADC=∠BAD=90°
∴四边形ANFD为矩形，
∴NF=AD=4，
∴NF//AD，
∴NF⊥AB，
∴AN=NB=2，
在Rt△OAN中，OA2=AN2+ON2，
即OA2=22+(4-OA)2，
解得：
故答案为：.
【分析】设CD与⊙O相切于点F，连接FO，并延长交AB于N，连接OA，根据切线的性质得到OF⊥CD，根据矩形的性质切线NF，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案.
11．【答案】
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质；8字型相似模型
【解析】【解答】解：延长CE交DA延长线于N，作EM⊥AC于M，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，AD∥BC
又∵AB=8，BC=6，
∴，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE=∠BCE，
∵AD∥BC，
∴∠N=∠BCE，
∴∠N=∠ACE，
∴AC=AN=10，
∵AN∥BC，
∴△ANE∽△BCE，
∴，
∴，，
∵AE+BE=AB=8，
∴AE=5，BE=3，
在△EBC于△EMC中，
∵∠EBC=∠EMC，∠ECB=∠ECM，EC=EC，
∴△EBC≌△EMC，
∴EB=EM=3，BC=CM=6，
∵∠ECF=∠ECM，∠FEC=∠EMC=90°，
∴△FEC∽△MEC，
∴，
∴，
∵CE2=BC2+BE2=45，
∴，
∴AF=AC-CF=；
∵AG∥BC，
∴△AGF∽△CBF，
∴，
∴，，
∴，
∴S△AGF=S△ABG=，
∵GN∥BC，
∴△NGH∽△CBH，
∴，
∴，，
∴，
∴S△BCH=S△BCE=，
∴.
故答案为：.
【分析】延长CE交DA延长线于N，作EM⊥AC于M，由矩形的性质得∠ABC=90°，AD∥BC，由是勾股定理算出AC的长，由角平分定义及平行线性质可推出∠N=∠ACE，由等角对等边得AC=AN=10，由平行于三角形一边的直线截其它两边的延长线，所截三角形与原三角形相似得△ANE∽△BCE，由相似三角形对应边成比例求出，，进而即可算出AE=5，BE=3；然后根据AAS判断出△EBC≌△EMC，得EB=EM=3，BC=CM=6；由有两组角对应相等的两个三角形相似得△FEC∽△MEC，由相似三角形对应边成比例并结合勾股定理可求出；由平行于三角形一边的直线截其它两边的延长线，所截三角形与原三角形相似得△AGF∽△CBF，由相似三角形对应边成比例求出，，由同高三角形面积之比等于对应底之比得，从而可求出△AGF的面积为2；由平行于三角形一边的直线截其它两边的延长线，所截三角形与原三角形相似得△NGH∽△CBH，由相似三角形对应边成比例求出，，由同高三角形面积之比等于对应底之比得，据此可算出△BCH的面积为8，从而即可求出两个三角形的面积之比.
12．【答案】36；
【知识点】菱形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：设AB， 交于点J.设∠B=x.
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠B=∠D =x，AD∥CB，
∴∠BCD'=∠D'，
∵CD'平分∠ACB，
∴∠ACD'=∠BCD'，
由翻折变换的性质可知，∠D =∠D'，
∴∠BCD'=∠ACD'=x，
∵BA=BC，
∴∠BCA=∠BAC=2x，
∵∠B+∠ACB+∠BAC=180°，
∴5x=180°，
设 ， 则.
故答案为：36，
【分析】设AB， 交于点J.设. .利用三角形内角和定理构建方程求出x即可，证明设，则 利用相似三角形的性质构建一元二次方程求解.
13．【答案】（1）
（2）
【知识点】等边三角形的判定与性质；轴对称的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（1）∵ 点B关于直线EG的对称点B'在线段BC的延长线上，
∴EB=EB'，
∴∠EBB'=∠EB'B，
又∵ABCD是正方形，
∴AD∥BC，∠ABC=90°，
∴∠AEB=∠EBC，
由折叠可得∠AEB=∠B'EB，
∴∠EBB'=∠EB'B=∠BEB'=60°，
∴∠ABE=30°，
∴；
（2）如图，过点B'作B'N∥CD，过点F作FM∥BC交B'E、B'N于点M、N两点，设FM=a，DE=DF=x，则四边形CB'NF为矩形，
∴FN=CB'，B'N=CF，
∵B'N∥CD，
∴△HFM∽△HBB'，
∴，即，
∵点B关于直线EG的对称点B'在线段BC的延长线上，
∴BG=B'G=6a，EG⊥BC，
∴CD=BC=EG=AB=AD=AE+ED=BG+DE=6a+x，
又∵DF=DE=x，
∴B'N=CF=6a，
又又问我FN=CB'=GB'-CB'=6a-x，
∴MN=FM+FN=a+6a-x=7a-x，
又∵FM∥BC，
∴∠NMB'=∠MB'G，
又∵∠N=∠EGB'=90°，
∴△B'NM∽△EGB'，
∴，即，
解得x=3a或x=-2a，
∴；
故答案为：；.
【分析】（1）根据正方形的性质和轴对称可得∠EBB'=∠EB'B=∠BEB'=60°，即可求出∠ABE=30°，进而计算正切即可；
（2）过点B'作B'N∥CD，过点F作FM∥BC交B'E、B'N于点M、N两点，设FM=a，DE=DF=x，则四边形CB'NF为矩形，先根据△HFM∽△HBB'，求出BB'的长，然后证明△B'NM∽△EGB'，利用对应边成比例求出x=3a，然后代入计算比值即可.
14．【答案】（1）证明：点是线段AB的黄金分割点，
由作图可知，
即
又
（2）解：
【解析】【分析】(1)根据黄金分割点的性质，AP与PB的比例为黄金比，即AP/AB =。结合BC=AP，可推导出对应边成比例；
(2)已知PC=2，利用(1)中的相似三角形，根据对应边成比例列式，即可求出AC.
15．【答案】（1）证明：∵AC∥BN，
∵BC平分
（2）解：圆圆的说法错误.如图，点D的位置不唯一， 四边形ABDC不一定是菱形.
正确方法是：以B为圆心，BA为半径作弧交BN于点D，连接CD，四边形ABDC即为所求.
【知识点】菱形的性质；角平分线的概念
【解析】【分析】(1)欲证明 只要证明 即可；
(2)点D不唯一，圆圆的说法错误.正确方法是：以B为圆心，BA为半径作弧交BN于点D，连接CD，四边形ABDC即为所求.
16．【答案】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠AEO=∠CFO，
∵O为AC中点，
∴AO=CO，
在和中，
，
∴，
∴AE=CF，
∵AE∥CF，
∴四边形AECF为平行四边形，
∵EF⊥AC，
∴四边形AECF是菱形
（3）解：猜想结论：过平行四边形的一条对角线的中点作这条对角线的垂线，与平行四边形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形 ，证明如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠AEO=∠CFO，
∵O为AC中点，
∴AO=CO，
在和中，
，
∴，
∴AE=CF，
∵AE∥CF，
∴四边形AECF为平行四边形，
∵EF⊥AC，
∴四边形AECF是菱形.
【知识点】菱形的判定；矩形的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）先根据垂直平分线的尺规作图法得过点O且与AC垂直的直线EF，然后连接AF，CE即可；
（2）根据矩形的性质得AB∥CD，从而得∠AEO=∠CFO，同时求出AO=CO，进而证出，得AE=CF，于是证出四边形AECF为平行四边形，结合EF⊥AC，即可得证结论；
（3） 若四边形ABCD是平行四边形，则仍可证出，则过平行四边形的一条对角线的中点作这条对角线的垂线，与平行四边形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形.
17．【答案】（1）
（2）解：连结 AC 交 BD 于点
∵四边形AECF为菱形，四边形ABCD为菱形
又 即
即
又
在 中：
（3）解： 四边形AECF为菱形，四边形ABCD为菱形
又
∴在△AEO和△BAO中
或者证
可得
不妨设 ，则 ，，可得
法二： 证 ∠EAD=90°
∴EB=BD=2x
∴EB=BD=AB
∴△ABD为等边三角形
∴∠AEB=30°
【知识点】勾股定理；菱形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】（1）解：∵ 菱形ABCD和菱形EAFC是组合菱形， BD与EF共线，BD：EF=，
∴k=，
故答案为：；
【分析】（1）根据“组合菱形”的组合比定义解题即可；
（2）连结 AC 交 BD 于点 ，根据菱形的性质得到对角线互相垂直平分，然后根据勾股定理求出AO长即可解题；
（3）根据菱形的性质，利用两角对应相等得到，即可得到，进而根据正切的定义解答即可.
18．【答案】解：Rt中，
由勾股定理得
又易知RtRt
Rt中，
小车行驶的速度为
即小车行驶符合安全规范
【解析】【分析】 题目要求判断汽车是否遵守限速5m/s的安全规范，已知汽车从A点出发，经过2秒到达B点，并在B点首次观察到C处的儿童，结合几何关系，计算汽车的平均速度，并与限速进行比较.
19．【答案】（1）证明：∵正方形ABCD和正方形
∴四边形是矩形
（2）解：连接 作 于点H，
∵点O是正方形ABCD对角线的交点，且，
∵点 是正方形对角线的交点，
（3）解：作 于点H，
由 (2) 知(
∵点 是正方形 对角线的交点，
∴正方形 的边长为6，
∵重叠部分的四边形恰好为正方形，
∴正方形ABCD和正方形 的对角线重合，
∴点A、A'、O、O'、C、C'共线，
如图，重叠部分的四边形 的对角线为
∴重叠部分的四边形 的L边长
【知识点】矩形的判定与性质；正方形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—边角关系
20．【答案】（1）如图1，①连结AC
正方形ABCD内接于
由对称性可知，AC，BD经过圆心
而CE是切线
②证明：连结BD，延长DF、BC相交于点
由题可知，
又是直径，
而
（2）证明：方法1 ∵AB是内接于的正方形ABCD的边长
又
点B，D，E在以点为圆心，BC为半径的上
方法2 连结CF易知
而
【知识点】圆的综合题
【解析】【分析】(1)①根据切线的性质，连接OC得∠OCE=90°，而∠BOC=45°，结合BC=CE，即可求解；
②延长BC，DF交于点M，通过求证△BCG≌△DCM即可；
(2)由同弧所对圆周角相等，得∠AFB=45°，由BC=CD=CE知，B，D，E在以C为圆心，BC为半径的圆上，则在圆C中，∠BCD为弧BD所对圆心角，∠DEF为弧BD所对圆心角，故∠DEB=45°，由此得平行.
21．【答案】（1）解：∵AF是直径，
∴∠ABF=90°
在RTAABF中， AF=5， BF=3， 由勾股定理得： AB2+BF2=AF2
∴AB=4
（2）证明：证法1：导角
设∠BAD=x，∠DAC=y，
∵AB=BD
∴∠D=∠BAD=x，
∵AB=BC
∴∠BCA=∠BAC=x+y，
∴∠BEA=∠BCA+∠DAC=x+2y
同时∠BEA=∠D+∠DBE
∴∠DEB=2y
又∵∠FBC=∠FAC=y
∴∠DEB=2∠FBC
∴BF是∠DBC 的平分线.
证法2： 隐圆
∵AB=BC=BD
∴A、C、D是以B为圆心， AB为半径的圆上，
其中∠DBC是圆心角，∠DAC是同弧所对的圆周角
∴∠DEB=2∠DAC
而在圆 O中， ∠FBC=∠DAC
∴∠DEB=2∠FBC
∴BF是∠DBC 的平分线。
（3）解： 法一：
∵BD// AC
∴∠D=∠FAC
又∵BD=BA
∴∠D=∠FAB
由(2)得∠FBD=∠FBE=∠FAC
∴∠D=∠FBE= ∠FBD
∴FB=FD
∴△BEF∽△DEB
即 BE2=EF×DE =EF×(EF+DF)= EF×(EF +kEF)
∴
且
过B作BG⊥AC于点 G，
∵AB=BC
∴AG=GC
在 Rt中，
法二；
平分
∵AB=AC=BC
∴设 BE=1， 则 BD=K， EC=k-1
∵过点B作BG⊥AC
∴AG=GC
∴=cosC
∴CG=kcosC
∵BD//AC
∴△BED∽△CEA
【知识点】圆周角定理；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；等腰三角形的性质-等边对等角；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角得到∠ABF=90°，然后根据勾股定理解题即可；
（2）设∠BAD=x，∠DAC=y，根据等边对等角得到∠D=∠BAD=x，∠BCA=∠BAC=x+y，即可得到∠DEB=2y，即可得到∠DEB=2∠FBC解题即可.
（3）方法一：先根据两角对应相等得到△BEF∽△DEB，即可根据对应边成比例求出，进而得到CE长，过B作BG⊥AC于点 G，即可得到AG=GC，然后根据余弦的定义解答即可；方法二：设 BE=1，则 BD=K， EC=k-1，过点B作BG⊥AC，则AG=GC，然后证明△BED∽△CEA，根据对应边成比例解题即可.
22．【答案】（1）解：∵BD为直径，
，
∵，
∴，
∵于点E，
∴；
（2）证明： ∵，
∴，
∵，，
∴（AAS）.
∴
（3）解：①连结AG，作于点M，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵ BD为直径，
∴，
∵，
∴四边形DGEM为矩形，
∴ME = DG = 1，DM = EG，
设，，
∴，，
∴，
解得：，（舍），
∴AD的长为；
②连结AG，
∵BD为直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴.
∵，，
∴.
∵，
∴.
又∵，
∴.
∴，
∴.
∵，
∴.
∵，
∴，
∴
【知识点】垂径定理；圆周角定理；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
23．【答案】（1）解：①证明： ∵四边形ABCD为矩形，
∵点E为 的中点，
②连接OE， OC， 如图，
∵点E为 的中点，
∴∠ABE=∠DBE.
∵BF⊥CE于点F， FG = FC，
∴BG=BC，
∴∠GBF=∠CBF，
由①知： ∠ABE=∠CBF，
° =22.5°
∴∠ABD =∠CBD =45°，
∠EOD =2∠DBE=45°，
∴∠DOC=2∠CBD =90°，
∴∠EOC =∠EOD+∠DOC =135°.
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠BAC=90°，
∴BD为圆的直径，
∵BD=2，∴OE=OC =1，
的长
（2）解：设AB=3，AD=4，
则BD=5，BC=BG=4，
GD=DH=1，AH=3，
，
设PH=x，则AP=3-x，
在中，
（舍），

【知识点】勾股定理；矩形的性质；圆周角定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1)①利用矩形的性质，直角三角形的性质，圆周角定理解答即可；
②连接OE，OC，利用圆周角定理和矩形的性质得到 ，再利用圆周角定理求得 ，最后利用弧长公式解答即可；
(2)连接ED，利用矩形的性质，直角三角形的边角关系定理得到 设 则. ， 利用矩形的性质，相似三角形的判定与性质直角三角形的边角关系定理和勾股定理依次求得DH， AH， ED， AP，PH， 则结论可得.
24．【答案】（1）解：如图，
在Rt△ACD中，
在Rt△ABD中，
∵BD-CD=BC，
解得AD=60(m).
答：热气球离地面的高度AD为60m；
（2）解：设AD=x， 因为
所以
同理， 因为
所以
因为BC=BD+CD=m，
解得
即可求得AD的长.
故答案为：
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】(1)根据正切的定义，在Rt△ACD中得到 在Rt△ABD中BD = AD， 再利用BD-CD=BC得到 然后解方程求出AD即可；
(2)设AD =x，利用正切的定义得到 再利用BC = BD+CD= m得到关于x的方程，然后解方程即可.
1 / 15月上旬之图形性质与变化—浙江省数学2025年中考模拟精选新题速递
一、选择题
1．（2025·温州模拟）七巧板源于我国宋代，是广受欢迎的智力游戏．如图，用两副七巧板拼出一幅“勾股图”．若一副七巧板的面积为，则的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】正方形的性质；勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】解：根据题意，得，，
∴，
∴，
∴的面积为：，
故答案为：C．
【分析】结合图形得，，从而求出，进而利用三角形面积公式即可求解.
2．（2025·萧山模拟）如图，点是线段AB上一点，分别以AC，BC为直角边在AB同侧作等腰Rt和等腰Rt，连结AE，BD．记，，若，则（　　）
A．10 B．15 C．20 D．40
【答案】C
【知识点】三角形的面积；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：
△ACD和△BCE都是直角三角形，∠ACD=∠BCE=90°
∴设AC=CD=a，BC=CE=b
∴DE=CD-CE=a-b
∴S1=a2，S2=b2，S3=a（a-b）=（a2-ab），S4=b（a-b）=（ab-b2）
∵S1-S2=20
∴a2-b2=20
∴（a2-b2）=20
∴S3+S4=（a2-ab+ab-b2）=（a2-b2）=20．
故答案为：C.
【分析】 依题意设AC=CD=a，BC=CE=b，则DE=CD-CE=a-b ，进而将四个三角形面积用a，b代数式表示，根据 列的a，b的关系式，最后解得.
3．（2025·拱墅模拟）如图，矩形ABCD的对角线交于点O，线段EF不经过点O，且EF∥BC，EF分别与边AB，CD交于点G，H，EG=FH，连接AE.若AD=2，EF=4，点O在线段AE的垂直平分线上，则 AG·GB 是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【知识点】矩形的性质；圆内接四边形的性质；四点共圆模型；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：如图， 连接OE、OF、BF， 作直线 垂足为P，
在矩形ABCD中， 直线OP垂直平分BC，
∵EF∥BC，
∴直线OP垂直平分GH，
∵点O在线段AE的垂直平分线上，
∴OA=OE，
∴点A、E、B、C、F、D共圆，
∴△EGA∽△BGF，
∴AG·GB=GF·EG=3×1=3.
故答案为：B .
【分析】连接OE、OF、BF， 作直线 垂足为P， 利用条件证明出点A、E、B、C、F、D共圆，再利用条件判定 根据相似三角形性质得到AG·GB=GF·EG=3×1=3即可.
4．（2025·宁波模拟） 如图在中，，，点，分别在AB，AC上，，记BD长为，CE长为，.当，的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（　　）
A．xy B． C． D．
【答案】A
【知识点】等腰三角形的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：过点D作DH⊥BC于点H，过点E作EF⊥BC于点F，如图所示：
∵AB=AC，BC=10，CD=BE=9，BD=x，CE=y，
∴设∠ABC=∠ACN=α，
在Rt△BDH中，，，
∴DH=BD·sin∠ABC=xsinα，
BH=BD·cos∠ABC=xcosα，
∴CH=BC-BH=10-xcosα，
由勾股定理得：DH2+CH2=CD2
∴(xsinα)2+(10-xcosα)2=92，
∴x2sin2α+100-20xcosα-x2cos2α=81，
∴x2(sin2α+cos2α)+19= 20xcosα，
即x2+19=20xcosα①，
在Rt△CEF中，同理得：EF=ysinα，CF=ycosα，
∴BF=BC-CF=10-ycosα，
由勾股定理得：EF2+BF2=BE2
∴(ysinα)2+(10-ycosα)2=92，
∴y2sin2α+100-20ycosα+y2cos2α=81，
∴y2(sin2α+cos2α)+19=20ycosα，
即y2+19=20ycosα②，
由①②得：
∴x2y+19y=xy2+19x，
∴x2y-xy2-19x+19y=0，
∴xy(x-y)-19(x-y)=0，
即(x-y)(xy-19)=0，
∴x>y，
∴x-y> 0，
∴xy-19=0，
∴xy=19，
∴当x，y的值发生变化时，代数式xy的值不变，始终等于19，
故答案为：A.
【分析】过点D作DH⊥BC于点H，过点E作EE⊥BC于点E，设∠ABC=∠ACN=α，利用锐角三角函数的定义得DH=xsinα，BH=xcosα，则CH=10-xcosα，由勾股定理得DH2+CH2=CD2，则(xsinα)2+(10-xcosα)2=92，整理得x2+19=20xcosα①，同理得EF=ysinα，CF=ycosα，BF=10-ycosα，由勾股定理得EF2+BF2=BE2，即(ysinα)2+(10-ycosα)2=92，整理得x2+19y+19=20ycosα②，由①②得，整理得y2+19(x-y)(xy-19)=0，然后根据x>y得xy=19，据此即可得出答案.
5．（2025·宁波模拟） 下图是凸透镜成像的光路示意图，AB、CD、OE分别表示蜡烛、蜡像、凸透镜，它们均与主光轴MN垂直.一束平行于主光轴的光线AE经凸透镜折射后，其折射光线经过焦点F，一束经过光心的光线AO与折射光线EF相交于点C.已知，，则的值为（　　）
A． B． C．2 D．
【答案】C
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：根据题意可得△EOF∽△DCF，△ABO∽△CDO，四边形ABOE是矩形，
∴，，OE=AB，
即，
解得DF=20cm，
∴.
故答案为：C.
【分析】根据题意可得△EOF∽△DCF，△ABO∽△CDO，四边形ABOE是矩形，得，，OE=AB，求出DF=20cm，即可求解.
6．（2025·温州模拟）如图，是正方形的对角线，E为边上的动点（不与端点重合），点F在的延长线上，且，过点F作于点G，连结，．则下列比值为定值的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理；正方形的性质；直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：如图，过点G作于，
∵四边形为正方形，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，是定值，故A符合题意；
，不是定值，故B不符合题意；
，不是定值，故C不符合题意；
，不是定值，故D不符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据正方形的性质可得，，，结合得，根据等腰三角形的判定可设，，则利用勾股定理求出的值，然后根据等腰三角形”三线合一“性质得，根据直角三角形斜边上的中线性质得的值，于是求出的值，最后逐项代入进行分析即可求解.
7．（2025九下·丽水模拟） 如图，在四边形ABCD中，AB//CD，∠D=90°，∠B=45°，点E为CD上一点，连结AE，把AE绕点E逆时针旋转90°，点A恰好落在BC的中点F处，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】矩形的判定与性质；旋转的性质；等腰直角三角形；同侧一线三垂直全等模型；8字型相似模型
【解析】【解答】解：过点F作直线FH⊥AB于点H，交直线DC于点G，则∠FHB=∠FHA=90°，
∵F是BC的中点，
∴BF=CF，
∵AB∥CD，
∴△CGF∽△BHF，
∴，
∴GF=HF，BH=CG，
∴GH=2GF=2HF，
∵∠FHB=90°，∠B=45°，
∴△BHF是等腰直角三角形，
∴BH=FH，
∵AB∥CD，∠BHF=90°，
∴∠CGF=∠BHF=90°，
∴∠D=∠CGF=∠FHA=90°，
∴四边形ADGH是矩形，
∴AD=GH=2GF，AH=DG，
设GF=FH=x=BH，则AD=GH=2x，
由旋转性质得∠AEF=90°，AE=EF，
∴∠AED+∠CEF=90°=∠AED+∠DAE，
∴∠DAE=∠CEF，
∴△ADE≌△EGF（AAS），
∴DE=GF=x，AD=EG=2x，
∴DG=3x=AH，
∴AB=4x，
∵
∴，
∴.
故答案为：D.
【分析】过F作直线FH⊥AB于H，交直线DC于G，则∠FHB=∠FHA=90°，由平行于三角形一边的直线，截其它两边的延长线，所截三角形与原三角形相似得△CGF∽△BHF，由相似三角形对应边成比例及中点定义可得GF=HF，BH=CG，则GH=2GF=2HF，易得△BHF是等腰直角三角形，则BH=FH；由二直线平行，内错角相等得∠CGF=∠BHF=90°，由三个角是直角的四边形是矩形得四边形ADGH是矩形，由矩形对边相等得AD=GH=2GF，AH=DG，设GF=FH=x=BH，则AD=GH=2x；由旋转的性质可得∠AEF=90°，AE=EF，根据平角定义、直角三角形两锐角互余及同角的余角相等得∠DAE=∠CEF，用AAS判断出△ADE≌△EGF，由全等三角形的对应边相等得DE=GF=x，AD=EG=2x，由线段和差可推出AB=4x，在Rt△ADE中，利用勾股定理用含x的式子表示出AE，进而根据等腰直角三角形的性质用含x的式子表示出AF，即可求出两条线段的比值.
8．（2025·宁波模拟） 图1是阿基米德的滑动曲尺模型，图2是其抽象成的几何图形.AB为的直径，其延长线与弦DC的延长线交于点E，.若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质；圆的相关概念
二、填空题
9．（2025·宁波模拟） 如图，在 ABCD中，，O为对角线BD的中点，E为BC上一点，将 ABCD沿所在的直线折叠，使点B和点D重合.若，，则AB的长为　 　.
【答案】
【知识点】平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；解直角三角形
【解析】【解答】解：过点A作AH⊥BC于点H，过点E作EM⊥AD于点M，则四边形AHEM是矩形，
∴AH=EM，
∵AB=AE，
∴∠ABE=∠AEB=45°，
∴∠BAE=90°，
∵AB=AE，AH⊥BE，
∴BH= EH，
∴，
∵ED=EB，
∴ED=2AH=2EM，
∵EM⊥AD，
∴∠EDM=30°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠CED=∠ADE=30°，
∵EB=ED，
∴∠EBD=∠EDB，
∵∠DEC=∠EBD+∠EDB，
∴∠EBD=∠EDB=15°，
∴∠EFO=∠FEO+∠EBO =60°
∵EO⊥BD，
∴∠FEO=30°，
∴EF=2OF=2，
设AH=HE=EM=AM=a，则BE=2a，，
∵AD//BE，
∴
∴，
∴.
故答案为：.
【分析】过点A作AH⊥BC于点H，过点E作EM⊥AD于点，则四边形AHEM是矩形，证明∠EFO=60°，就直接求出EF，再利用平行线分线段成比例定理求解AF即可.
10．（2025·宁波模拟） 如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E为对角线BD上一点.若的外接圆与边CD相切，则的半径长为　 　.
【答案】
【知识点】正方形的性质；切线的性质
【解析】【解答】解：设CD与⊙O相切于点F，连接FO，并延长交AB于N，连接OA，
∵△ABE的外接圆⊙O与边CD相切，
∴OF⊥CD，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ADC=∠BAD=90°
∴四边形ANFD为矩形，
∴NF=AD=4，
∴NF//AD，
∴NF⊥AB，
∴AN=NB=2，
在Rt△OAN中，OA2=AN2+ON2，
即OA2=22+(4-OA)2，
解得：
故答案为：.
【分析】设CD与⊙O相切于点F，连接FO，并延长交AB于N，连接OA，根据切线的性质得到OF⊥CD，根据矩形的性质切线NF，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案.
11．（2025九下·丽水模拟） 如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=6，CE平分∠ACB交AB于点E，过点E作FE⊥EC交AC于点F，连结BF并延长交AD于点G，交EC于点H，则△AFG与△BCH的面积比为　 　。
【答案】
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质；8字型相似模型
【解析】【解答】解：延长CE交DA延长线于N，作EM⊥AC于M，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，AD∥BC
又∵AB=8，BC=6，
∴，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE=∠BCE，
∵AD∥BC，
∴∠N=∠BCE，
∴∠N=∠ACE，
∴AC=AN=10，
∵AN∥BC，
∴△ANE∽△BCE，
∴，
∴，，
∵AE+BE=AB=8，
∴AE=5，BE=3，
在△EBC于△EMC中，
∵∠EBC=∠EMC，∠ECB=∠ECM，EC=EC，
∴△EBC≌△EMC，
∴EB=EM=3，BC=CM=6，
∵∠ECF=∠ECM，∠FEC=∠EMC=90°，
∴△FEC∽△MEC，
∴，
∴，
∵CE2=BC2+BE2=45，
∴，
∴AF=AC-CF=；
∵AG∥BC，
∴△AGF∽△CBF，
∴，
∴，，
∴，
∴S△AGF=S△ABG=，
∵GN∥BC，
∴△NGH∽△CBH，
∴，
∴，，
∴，
∴S△BCH=S△BCE=，
∴.
故答案为：.
【分析】延长CE交DA延长线于N，作EM⊥AC于M，由矩形的性质得∠ABC=90°，AD∥BC，由是勾股定理算出AC的长，由角平分定义及平行线性质可推出∠N=∠ACE，由等角对等边得AC=AN=10，由平行于三角形一边的直线截其它两边的延长线，所截三角形与原三角形相似得△ANE∽△BCE，由相似三角形对应边成比例求出，，进而即可算出AE=5，BE=3；然后根据AAS判断出△EBC≌△EMC，得EB=EM=3，BC=CM=6；由有两组角对应相等的两个三角形相似得△FEC∽△MEC，由相似三角形对应边成比例并结合勾股定理可求出；由平行于三角形一边的直线截其它两边的延长线，所截三角形与原三角形相似得△AGF∽△CBF，由相似三角形对应边成比例求出，，由同高三角形面积之比等于对应底之比得，从而可求出△AGF的面积为2；由平行于三角形一边的直线截其它两边的延长线，所截三角形与原三角形相似得△NGH∽△CBH，由相似三角形对应边成比例求出，，由同高三角形面积之比等于对应底之比得，据此可算出△BCH的面积为8，从而即可求出两个三角形的面积之比.
12．（2025·杭州模拟） 如图是一张菱形纸片ABCD，点E在AD边上，，把沿直线CE折叠得到，点D'落在DA的延长线上. 若CD'恰好平分，则　 　°，　 　.
【答案】36；
【知识点】菱形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：设AB， 交于点J.设∠B=x.
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠B=∠D =x，AD∥CB，
∴∠BCD'=∠D'，
∵CD'平分∠ACB，
∴∠ACD'=∠BCD'，
由翻折变换的性质可知，∠D =∠D'，
∴∠BCD'=∠ACD'=x，
∵BA=BC，
∴∠BCA=∠BAC=2x，
∵∠B+∠ACB+∠BAC=180°，
∴5x=180°，
设 ， 则.
故答案为：36，
【分析】设AB， 交于点J.设. .利用三角形内角和定理构建方程求出x即可，证明设，则 利用相似三角形的性质构建一元二次方程求解.
13．（2025·上城模拟）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边AD、DC上，且，点B关于直线EG的对称点B'在线段BC的延长线上，B'E与BF交于点H。
（1）若点A与点H关于直线BE对称，则　 　；
（2）若，则　 　。
【答案】（1）
（2）
【知识点】等边三角形的判定与性质；轴对称的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（1）∵ 点B关于直线EG的对称点B'在线段BC的延长线上，
∴EB=EB'，
∴∠EBB'=∠EB'B，
又∵ABCD是正方形，
∴AD∥BC，∠ABC=90°，
∴∠AEB=∠EBC，
由折叠可得∠AEB=∠B'EB，
∴∠EBB'=∠EB'B=∠BEB'=60°，
∴∠ABE=30°，
∴；
（2）如图，过点B'作B'N∥CD，过点F作FM∥BC交B'E、B'N于点M、N两点，设FM=a，DE=DF=x，则四边形CB'NF为矩形，
∴FN=CB'，B'N=CF，
∵B'N∥CD，
∴△HFM∽△HBB'，
∴，即，
∵点B关于直线EG的对称点B'在线段BC的延长线上，
∴BG=B'G=6a，EG⊥BC，
∴CD=BC=EG=AB=AD=AE+ED=BG+DE=6a+x，
又∵DF=DE=x，
∴B'N=CF=6a，
又又问我FN=CB'=GB'-CB'=6a-x，
∴MN=FM+FN=a+6a-x=7a-x，
又∵FM∥BC，
∴∠NMB'=∠MB'G，
又∵∠N=∠EGB'=90°，
∴△B'NM∽△EGB'，
∴，即，
解得x=3a或x=-2a，
∴；
故答案为：；.
【分析】（1）根据正方形的性质和轴对称可得∠EBB'=∠EB'B=∠BEB'=60°，即可求出∠ABE=30°，进而计算正切即可；
（2）过点B'作B'N∥CD，过点F作FM∥BC交B'E、B'N于点M、N两点，设FM=a，DE=DF=x，则四边形CB'NF为矩形，先根据△HFM∽△HBB'，求出BB'的长，然后证明△B'NM∽△EGB'，利用对应边成比例求出x=3a，然后代入计算比值即可.
三、解答题
14．（2025·萧山模拟）如图，已知点是线段AB的黄金分割点，，以点为圆心，以AP长为半径画弧；再以点为圆心，以一定长为半径画弧，两弧交于点，连结AC，PC，BC．
（1）求证：．
（2）若，求AC的长．
【答案】（1）证明：点是线段AB的黄金分割点，
由作图可知，
即
又
（2）解：
【解析】【分析】(1)根据黄金分割点的性质，AP与PB的比例为黄金比，即AP/AB =。结合BC=AP，可推导出对应边成比例；
(2)已知PC=2，利用(1)中的相似三角形，根据对应边成比例列式，即可求出AC.
15．（2025·拱墅模拟）如图，直线 ，连接 AB，作 的平分线 BC，交 AM 于点 C.
（1） 求证：.
（2） 圆圆说：“以点 C 为圆心，CA 长为半径作弧，交 BN 于点 D，则四边形 ABCD 为菱形.”圆圆的说法是否正确？若正确，请证明；若不正确，说明作法中存在的问题，并说说使作出的四边形 ABCD 为菱形的点 D 的方法.
【答案】（1）证明：∵AC∥BN，
∵BC平分
（2）解：圆圆的说法错误.如图，点D的位置不唯一， 四边形ABDC不一定是菱形.
正确方法是：以B为圆心，BA为半径作弧交BN于点D，连接CD，四边形ABDC即为所求.
【知识点】菱形的性质；角平分线的概念
【解析】【分析】(1)欲证明 只要证明 即可；
(2)点D不唯一，圆圆的说法错误.正确方法是：以B为圆心，BA为半径作弧交BN于点D，连接CD，四边形ABDC即为所求.
16．（2025·定海月考）在学习了矩形与菱形的相关知识后，智慧小组进行了更深入的研究，他们发现，过矩形的一条对角线的中点作这条对角线的垂线，与矩形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形，可利用证明三角形全等得到此结论.根据他们的想法与思路，完成下列题目：
（1）如图，在矩形ABCD中，点O是对角线AC的中点，用尺规过点O作AC的垂线，分别交AB，CD于点E，F，连接AF，CE（不写作法，保留作图痕迹）
（2）求证：四边形AECF是菱形．
（3）进一步思考，如果四边形ABCD是平行四边形呢？请你模仿题中表述，直接写出你猜想的结论.
【答案】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠AEO=∠CFO，
∵O为AC中点，
∴AO=CO，
在和中，
，
∴，
∴AE=CF，
∵AE∥CF，
∴四边形AECF为平行四边形，
∵EF⊥AC，
∴四边形AECF是菱形
（3）解：猜想结论：过平行四边形的一条对角线的中点作这条对角线的垂线，与平行四边形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形 ，证明如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠AEO=∠CFO，
∵O为AC中点，
∴AO=CO，
在和中，
，
∴，
∴AE=CF，
∵AE∥CF，
∴四边形AECF为平行四边形，
∵EF⊥AC，
∴四边形AECF是菱形.
【知识点】菱形的判定；矩形的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）先根据垂直平分线的尺规作图法得过点O且与AC垂直的直线EF，然后连接AF，CE即可；
（2）根据矩形的性质得AB∥CD，从而得∠AEO=∠CFO，同时求出AO=CO，进而证出，得AE=CF，于是证出四边形AECF为平行四边形，结合EF⊥AC，即可得证结论；
（3） 若四边形ABCD是平行四边形，则仍可证出，则过平行四边形的一条对角线的中点作这条对角线的垂线，与平行四边形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形.
17．（2025·上城模拟）定义：将一组对角线相同，另一组对角线共线的菱形称为“组合菱形”，内部菱形与外部菱形的共线对角线长之比称为组合比，用k表示。如图，菱形ABCD和菱形EAFC是组合菱形，其中BD与EF共线，且满足BD：EF=
（1）组合比K=　 　.
（2）若BE=2，AB=3，求AC的长；
（3）若∠BAD=∠AEC，求证：∠AEB=30°。
【答案】（1）
（2）解：连结 AC 交 BD 于点
∵四边形AECF为菱形，四边形ABCD为菱形
又 即
即
又
在 中：
（3）解： 四边形AECF为菱形，四边形ABCD为菱形
又
∴在△AEO和△BAO中
或者证
可得
不妨设 ，则 ，，可得
法二： 证 ∠EAD=90°
∴EB=BD=2x
∴EB=BD=AB
∴△ABD为等边三角形
∴∠AEB=30°
【知识点】勾股定理；菱形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】（1）解：∵ 菱形ABCD和菱形EAFC是组合菱形， BD与EF共线，BD：EF=，
∴k=，
故答案为：；
【分析】（1）根据“组合菱形”的组合比定义解题即可；
（2）连结 AC 交 BD 于点 ，根据菱形的性质得到对角线互相垂直平分，然后根据勾股定理求出AO长即可解题；
（3）根据菱形的性质，利用两角对应相等得到，即可得到，进而根据正切的定义解答即可.
18．（2025·萧山模拟）小区内开车必须遵守限速安全规范．如图，在某小区拐角处的一段道路上，有一儿童在处玩要，一辆汽车从被楼房遮挡的拐角另一侧的处驶来，经过2秒直行到处刚好观察到处的儿童（此时B，O，C三点共线）．已知，试问该汽车是否遵守行车安全规范？
（参考数据：）
【答案】解：Rt中，
由勾股定理得
又易知RtRt
Rt中，
小车行驶的速度为
即小车行驶符合安全规范
【解析】【分析】 题目要求判断汽车是否遵守限速5m/s的安全规范，已知汽车从A点出发，经过2秒到达B点，并在B点首次观察到C处的儿童，结合几何关系，计算汽车的平均速度，并与限速进行比较.
19．（2025·拱墅模拟）如图，点O和点O'分别是正方形ABCD和正方形A'B'C'D'对角线的交点，边且过点O，与边BC交于点E，A'D'与边DC交于点F，连接OO'，已知，.
（1） 求证：重叠部分的四边形A'PCE是矩形.
（2） 若，求a的值.
（3） 若正方形ABCD和正方形A'B'C'D'分别绕点O和点O'顺时针旋转相同的角度后，重叠部分的四边形恰好为正方形，且，求重叠部分正方形的边长.
【答案】（1）证明：∵正方形ABCD和正方形
∴四边形是矩形
（2）解：连接 作 于点H，
∵点O是正方形ABCD对角线的交点，且，
∵点 是正方形对角线的交点，
（3）解：作 于点H，
由 (2) 知(
∵点 是正方形 对角线的交点，
∴正方形 的边长为6，
∵重叠部分的四边形恰好为正方形，
∴正方形ABCD和正方形 的对角线重合，
∴点A、A'、O、O'、C、C'共线，
如图，重叠部分的四边形 的对角线为
∴重叠部分的四边形 的L边长
【知识点】矩形的判定与性质；正方形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—边角关系
20．（2025·萧山模拟）已知正方形ABCD内接于，边CD以点为中心顺时针旋转到CE，连结BE分别交，边CD于点F，G．
（1）如图1，若CE是的切线，
①求的度数；
②连结DF，求证：．
（2）如图2，连结AF，DE，求证：．
【答案】（1）如图1，①连结AC
正方形ABCD内接于
由对称性可知，AC，BD经过圆心
而CE是切线
②证明：连结BD，延长DF、BC相交于点
由题可知，
又是直径，
而
（2）证明：方法1 ∵AB是内接于的正方形ABCD的边长
又
点B，D，E在以点为圆心，BC为半径的上
方法2 连结CF易知
而
【知识点】圆的综合题
【解析】【分析】(1)①根据切线的性质，连接OC得∠OCE=90°，而∠BOC=45°，结合BC=CE，即可求解；
②延长BC，DF交于点M，通过求证△BCG≌△DCM即可；
(2)由同弧所对圆周角相等，得∠AFB=45°，由BC=CD=CE知，B，D，E在以C为圆心，BC为半径的圆上，则在圆C中，∠BCD为弧BD所对圆心角，∠DEF为弧BD所对圆心角，故∠DEB=45°，由此得平行.
21．（2025·上城模拟）如图1，为的外接圆，且，点D为圆外一动点，且满足，连结AD，交BC于点E，交于点F，连结BF。
（1）若AD经过圆心O，，，求AB的长；
（2）求证：BF平分；
（3）如图2，若，设DF：EF=k，请用含k的代数式表示cosC。
【答案】（1）解：∵AF是直径，
∴∠ABF=90°
在RTAABF中， AF=5， BF=3， 由勾股定理得： AB2+BF2=AF2
∴AB=4
（2）证明：证法1：导角
设∠BAD=x，∠DAC=y，
∵AB=BD
∴∠D=∠BAD=x，
∵AB=BC
∴∠BCA=∠BAC=x+y，
∴∠BEA=∠BCA+∠DAC=x+2y
同时∠BEA=∠D+∠DBE
∴∠DEB=2y
又∵∠FBC=∠FAC=y
∴∠DEB=2∠FBC
∴BF是∠DBC 的平分线.
证法2： 隐圆
∵AB=BC=BD
∴A、C、D是以B为圆心， AB为半径的圆上，
其中∠DBC是圆心角，∠DAC是同弧所对的圆周角
∴∠DEB=2∠DAC
而在圆 O中， ∠FBC=∠DAC
∴∠DEB=2∠FBC
∴BF是∠DBC 的平分线。
（3）解： 法一：
∵BD// AC
∴∠D=∠FAC
又∵BD=BA
∴∠D=∠FAB
由(2)得∠FBD=∠FBE=∠FAC
∴∠D=∠FBE= ∠FBD
∴FB=FD
∴△BEF∽△DEB
即 BE2=EF×DE =EF×(EF+DF)= EF×(EF +kEF)
∴
且
过B作BG⊥AC于点 G，
∵AB=BC
∴AG=GC
在 Rt中，
法二；
平分
∵AB=AC=BC
∴设 BE=1， 则 BD=K， EC=k-1
∵过点B作BG⊥AC
∴AG=GC
∴=cosC
∴CG=kcosC
∵BD//AC
∴△BED∽△CEA
【知识点】圆周角定理；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；等腰三角形的性质-等边对等角；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角得到∠ABF=90°，然后根据勾股定理解题即可；
（2）设∠BAD=x，∠DAC=y，根据等边对等角得到∠D=∠BAD=x，∠BCA=∠BAC=x+y，即可得到∠DEB=2y，即可得到∠DEB=2∠FBC解题即可.
（3）方法一：先根据两角对应相等得到△BEF∽△DEB，即可根据对应边成比例求出，进而得到CE长，过B作BG⊥AC于点 G，即可得到AG=GC，然后根据余弦的定义解答即可；方法二：设 BE=1，则 BD=K， EC=k-1，过点B作BG⊥AC，则AG=GC，然后证明△BED∽△CEA，根据对应边成比例解题即可.
22．（2025·宁波模拟） 如图 1，四边形 ABCD 内接于 ，BD 为直径， 为锐角，过点 B 作 于点 E，过点 A 作 BC 的平行线交 BE 的延长线于点 F.
（1） ，请用含 的代数式表示 ；
（2） 若 ，求证：；
（3） 如图 2，在 (2) 的条件下，BF 与 交于点 G，与 AD 延长线交于点 H，连结 DO.
①若 ，，求 AD 的长.
②若 ，求 的值.
【答案】（1）解：∵BD为直径，
，
∵，
∴，
∵于点E，
∴；
（2）证明： ∵，
∴，
∵，，
∴（AAS）.
∴
（3）解：①连结AG，作于点M，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵ BD为直径，
∴，
∵，
∴四边形DGEM为矩形，
∴ME = DG = 1，DM = EG，
设，，
∴，，
∴，
解得：，（舍），
∴AD的长为；
②连结AG，
∵BD为直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴.
∵，，
∴.
∵，
∴.
又∵，
∴.
∴，
∴.
∵，
∴.
∵，
∴，
∴
【知识点】垂径定理；圆周角定理；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
23．（2025·杭州模拟）如图，矩形ABCD内接于，BD是对角线，点在上（不与点，重合），连接EC分别交AD，BD于点，，于点，，连接BE交AD于点.
（1） 如图1，当点为的中点，时，
①求证：.
②求的长.
（2） 如图2，若，求的值.
【答案】（1）解：①证明： ∵四边形ABCD为矩形，
∵点E为 的中点，
②连接OE， OC， 如图，
∵点E为 的中点，
∴∠ABE=∠DBE.
∵BF⊥CE于点F， FG = FC，
∴BG=BC，
∴∠GBF=∠CBF，
由①知： ∠ABE=∠CBF，
° =22.5°
∴∠ABD =∠CBD =45°，
∠EOD =2∠DBE=45°，
∴∠DOC=2∠CBD =90°，
∴∠EOC =∠EOD+∠DOC =135°.
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠BAC=90°，
∴BD为圆的直径，
∵BD=2，∴OE=OC =1，
的长
（2）解：设AB=3，AD=4，
则BD=5，BC=BG=4，
GD=DH=1，AH=3，
，
设PH=x，则AP=3-x，
在中，
（舍），

【知识点】勾股定理；矩形的性质；圆周角定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1)①利用矩形的性质，直角三角形的性质，圆周角定理解答即可；
②连接OE，OC，利用圆周角定理和矩形的性质得到 ，再利用圆周角定理求得 ，最后利用弧长公式解答即可；
(2)连接ED，利用矩形的性质，直角三角形的边角关系定理得到 设 则. ， 利用矩形的性质，相似三角形的判定与性质直角三角形的边角关系定理和勾股定理依次求得DH， AH， ED， AP，PH， 则结论可得.
24．（2025·杭州模拟）综合与实践
在综合与实践课上，数学兴趣小组通过测算某热气球的高度，探索实际生活中测量高度（或距离）的方法.
【实践活动】如图1，小明、小充分别在点B，C处同时测得热气球A的仰角，，，点B，C，D在地面的同一条直线上，于点D.（测角仪的高度忽略不计）
（1）【问题解决】计算热气球离地面的高度AD.(参考数据：，，)
（2）【方法归纳】小亮发现，原来利用解直角三角形的知识可以解决实际生活中的测量问题，其一般过程为：从实际问题抽象出数学问题，再通过解直角三角形得出实际问题的答案.
爱思考的小明类比该方法求得锐角三角形一边上的高. 根据他的想法与思路，完成以下填空：
如图2，在锐角三角形ABC中，设，，，于点D，用含，和m的代数式表示AD.
解：设，因为，
所以.
同理，因为，
所以①.
因为，
解得②.
即可求得AD的长.
【答案】（1）解：如图，
在Rt△ACD中，
在Rt△ABD中，
∵BD-CD=BC，
解得AD=60(m).
答：热气球离地面的高度AD为60m；
（2）解：设AD=x， 因为
所以
同理， 因为
所以
因为BC=BD+CD=m，
解得
即可求得AD的长.
故答案为：
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】(1)根据正切的定义，在Rt△ACD中得到 在Rt△ABD中BD = AD， 再利用BD-CD=BC得到 然后解方程求出AD即可；
(2)设AD =x，利用正切的定义得到 再利用BC = BD+CD= m得到关于x的方程，然后解方程即可.
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