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5月上旬之反比例函数—广东省数学2025年中考模拟精选新题速递
一、选择题
1．（2025·番禺模拟）机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款机器狗（如图所示）载重后总质量时，它的最快移动速度；当其载重后总质量时，它的最快移动速度（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】D
【知识点】反比例函数的实际应用
2．（2025·连州模拟）已知点都在反比例函数的图象上．过点分别作两坐标轴的垂线，垂线与两坐标轴围成的矩形面积为；过点分别作两坐标轴的垂线，垂线与两坐标轴围成的面积为，与的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
3．（2025·南海模拟）近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）之间是反比例函数关系（其中，均为正数），当近视眼镜的度数是100度时，镜片焦距为0.1米．则配制一副度数小于100度的近视眼镜，镜片焦距的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】反比例函数的实际应用
4．（2025·深圳模拟）如图，直线y=2x+5与x轴、y轴分别交于A、B两点，与反比例交于C、D两点，直线OD交反比例于点E，连接CE交y轴于点F，若CF：EF=1：4，则△DCE的面积为（　　）
A．8 B．5 C．7.5 D．6
【答案】C
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；勾股定理的逆定理；相似三角形的判定与性质；求正切值
5．（2025·深圳模拟）某综合实践活动小组设计了一款简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻（如图1），当人站上踏板时，电阻随人的质量m的变化而变化，此时可通过电压表显示的读数换算为人的质量．已知随的变化而变化（如图2），与踏板上人的质量m的关系见图3，则下列说法不正确的是（　　）
A．在一定范围内，越小越大
B．当时，的阻值为
C．当踏板上人的质量为时，
D．若电压表量程为，为保护电压表，该电子体重秤可称的最大质量是
【答案】D
【知识点】反比例函数的实际应用；通过函数图象获取信息；一次函数的其他应用
二、填空题
6．（2025·花都模拟）密闭容器内有一定质量的气体，当容器的体积V（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化，已知密度与体积V是反比例函数关系，它的图象如图所示，点在图象上，当时，气体的密度　 　．
【答案】6
【知识点】反比例函数的实际应用
7．（2025·深圳模拟）某种LED灯能提供4000（流明）的光通量．把它安装在某房间时，房间的光照强度（单位：勒克斯）与房间面积（单位：平方米）满足关系式．若要求房间的光照强度不低于200勒克斯，则房间的最大面积为　 　平方米．
【答案】20
【知识点】反比例函数的实际应用；列不等式
8．（2025·罗湖模拟）如图，已知点，点分别在轴和轴上；将线段AB绕点A顺时针旋转至线段AC，连BC，将沿轴正方向平移至；当双曲线恰好同时经过点E，F时，的值等于　 　．
【答案】6
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；平移的性质
【解析】【解答】解：作CG⊥x轴于点G
在△AOB和△CGA中
∴△AOB≌△CGA
∴OA=CG=1，OB=AG=3
∴C(4，1)
设向右平移的距离为m，则E(m，3)，F(4+m，1)
∵点E，F都在反比例函数图象上
∴3m+4+m，解得：m=2
∴E(2，3)
∴k=2×3=6
故答案为：6
【分析】作CG⊥x轴于点G，根据全等三角形判定定理可得△AOB≌△CGA，则OA=CG=1，OB=AG=3，即C(4，1)，设向右平移的距离为m，则E(m，3)，F(4+m，1)，将点E，F坐标代入反比例函数解析式，解方程可得m=2，则E(2，3)，再根据待定系数法将点E坐标代入反比例函数解析式即可求出答案.
9．（2025·盐田模拟）如图，在平面直角坐标系中，四边形为平行四边形，点落在反比例函数图象上，点落在反比例函图象上，延长交轴于点，若四边形的面积为3，则的值为　 　．
【答案】6
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；平行四边形的性质
10．（2025·深圳模拟）如图，在平面直角坐标系中，等边和菱形的边、都在x轴上，反比例函数的图象经过点C．已知的面积为，则k的值为　 　．
【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；等边三角形的性质；菱形的性质
11．（2025·南山模拟）如图，在平面直角坐标系中，、两点在反比例函数的图象上，延长交轴于点，且，是第二象限一点，且，若的面积是12，则的值为　 　．
【答案】8
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
12．（2023·恩平模拟）如图，A，C是反比例函数图象上的点，过点A，C分别作轴，轴，垂足分别是点B，D，连接、、，线段交于点E，且E恰好是的中点．当的面积为时，k的值是　 　．
【答案】
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：设点的坐标为，则，
∵E恰好是的中点
∴点，
则，
∴，
，
．
故答案为：．
【分析】设点的坐标为，则点，，根据三角形的面积公式可得出，由此即可求出值．
13．（2025·福田模拟）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形与y轴分别交于E、F两点，对角线在x轴上，反比例函数的图象过点A并交于点G，连接．若，，且的面积为，则k的值是　 　
【答案】6
【知识点】反比例函数的性质；平行四边形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，过点A作轴于点M，轴于点N，
∴，轴，
设点，则
∴， ，
∴ ，
∵，，
∴ ， ， ，
∴ ，
∵点A、G在反比例函数的图象上，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴ ，即，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ．
故答案为：6．
【分析】过点A作轴于点M，轴于点N，则设点 ，则，轴，设点，则，，根据相似三角形判定定理可得， ，则 ，再根据题意可得 ， ， ，则 ，根据反比例函数性质可得 ，则 ，根据边之间的关系可得MN，DN，BN，再根据平行四边形性质可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算可得 ，根据 ，结合三角形面积即可求出答案.
14．（2025·深圳模拟） 如图，把一块含 角的直角三角板摆放在平面直角坐标系中，一个顶点与点 O 重合，点 B 在 x 轴上，点 A 在函数 的图象上. 把三角板绕点 O 逆时针旋转到 的位置，使得点 B' 恰好也在函数 的图象上，此时点 A' 落在函数 的图象上，则 k 的值为　 　.
【答案】
【知识点】等腰直角三角形；反比例函数图象上点的坐标特征；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：作AC⊥OB于点C，如图所示：
∵△OAB是等腰直角三角形，
∴AC＝OB＝OC＝BC，
设AC＝m，则OC＝m，
∴A（m，m），
∵点A在y＝上，
∴m2＝4，
∴m＝±2，
∵m＞0，
∴m＝2，
∴OC＝AC＝2，
∴OA＝=，OB＝2OC＝4，
过点A'作直线l⊥x轴，垂足为点E，作BD⊥l于点D，
∵OA'＝A'B'，∠OA'B'＝90°，
∴∠OA'E＋∠DA'B'＝90°，∠OA'E＋∠A'OE＝90°，
∴∠DA'B'＝∠A'OE，
又∠B'DA'＝∠A'EO＝90°，
∴△B'DA'≌△A'EO（AAS），
∴A'E＝B'D，A'D＝OE，
作B'G⊥x轴于点G，
∵B'点在y＝上，
∴xB'yB'＝4，
设B'（a，b），
∴ab＝4，
∵OB'＝OB＝4，OG2＋B'G2＝OB'2，
∴a2＋b2＝42＝16，
∴（a＋b）2＝a2＋b2＋2ab＝16＋2×4＝24，（a b）2＝a2＋b2 2ab＝16 2×4＝16 8＝8，
∵a＞0，b＞0，且b＞a，
∴，
解得：，
设A'（p，q），
∴A'E＝q，B'D＝xB' xA'＝
∴①，
∴p＋q＝，
同理可得q p＝②，
由①②得，
∴A'(，)，
∴k＝×=，
故答案为：．
【分析】作AC⊥OB于点C，过点A'作直线l⊥x轴，垂足为点E，作BD⊥l于点D，设B'（a，b），先求出，再设A'（p，q），求出，可得A'(，)，最后求出k＝×=即可.
三、解答题
15．（2025·广州模拟）已知
（1）化简；
（2）若在平面直角坐标系中，点为反比例函数上一点，且，求的值．
【答案】（1）
（2）
【知识点】完全平方公式及运用；分式的加减法；反比例函数的概念；坐标系中的两点距离公式
16．（2025·番禺模拟）如图，中，，，其中，．
（1）直接写出线段的中点的坐标；
（2）反比例函数的图象过点，与交于点，求的值；
（3）点为（2）中反比例函数图象上一动点(点在，之间运动，不与，重合)，过点作，交轴于点，过点作轴，交于点，连接，求面积的最大值，并求出此时点的坐标．
【答案】（1）
（2）
（3）最大值是，此时
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；二次函数-动态几何问题
17．（2025·福田模拟）直线与双曲线交于点，交y轴于点．
（1）求k，m的值；
（2）如图1，点E是直线上A点右侧的一个动点，过点E作y轴的平行线，交反比例函数图象于点D，连接，．
①当时，求的面积；
②如图2，在①的条件下，将沿射线方向平移一定距离，得到，若点恰好落在反比例函数图象上，请直接写出点的坐标．
【答案】（1），
（2）①；②
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
18．（2025·南沙模拟）某款三明治机制作三明治的工作原理如下：
①预热阶段：开机1分钟空烧预热至，机器温度与时间成一次函数关系；
②操作阶段：操作3分钟后机器温度均衡升至最高温度后保持恒温状态；③断电阶段：操作完成后进行断电降温，机器温度与时间成反比例关系．如下图所示为某次制作三明治时机器温度与时间的函数图象，请结合图象回答下列问题：
（1）预热阶段机器温度上升的平均速度是_________，开机3分钟时，温度为____；
（2）当时，求机器温度与时间的函数关系式；
（3）求三明治机工作温度在以上持续时间．
【答案】（1）60、140
（2）
（3）12分钟
【知识点】反比例函数的实际应用；一次函数的其他应用
19．（2025·东莞模拟）【问题背景】随着智能家电的普及，扫地机器人进入我们的视野．如图为某品牌的圆形扫地机器人，其主要由电源、充电设备、电机、机械结构、传感设备等构成．
【数学建模】某兴趣小组发现，该圆形扫地机器人的运动路径满足反比例函数关系．因此，将该扫地机器人视作半径为2的圆，圆心为P，该小组以充电设备为原点，建立如图的平面直角坐标系，图中的曲线即为该扫地机器人圆心P的运动路径（）．
【问题解决】
（1）若在扫地机器人的运动路径上，圆心会经过一污迹，求该运动曲线的函数解析式；
（2）在（1）的条件下，已知在扫地机器人运动轨迹的不远处有一障碍物，求当点，，在一条直线上时，扫地机器人是否会触碰到障碍物；
（3）若以，，为顶点的三角形的面积为，求此时机器人的圆心的坐标．
【答案】（1）；
（2）扫地机器人不会触碰到障碍物；
（3）或．
【知识点】公式法解一元二次方程；待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；勾股定理
20．（2025·霞山模拟）综合与实践-项目式学习
【项目主题】学科融合-用数学的眼光观察现实世界．
【项目背景】学习完相似三角形的性质后，某学校科学小组的同学们尝试用数学的知识和方法来研究凸透镜成像规律．
【项目素材】
素材一：凸透镜成像中，光路图的规律：通过凸透镜中心的光线不发生改变；平行于主光轴的光线经过折射后经过焦点．
素材二：设表示物体到凸透镜的距离，表示像到凸透镜的距离，表示凸透镜的焦距（凸透镜中心到焦点之间的距离），小明在研究的过程中发现了，和之间在成实像时存在着关系：
【项目任务】根据项目素材解决问题：
任务一：如图，为物体，点为凸透镜的中心，入射光线主光轴，折射光线经过焦点，为所成的像．当时，求的值．
任务二：已知凸透镜的焦距为，物体的高度为，当物体到凸透镜的距离为（）时，测量物体的成像的高度为．
（1）请你利用所学的知识求出与的关系式．
（2）当时，随的增大而________（填“增大”或“减小”）．
【答案】（1）任务一：
（2）任务二：（1）；（2）减小
【知识点】反比例函数的实际应用；相似三角形的应用
21．（2025·罗湖模拟）【定义】在平面内，把一个图形上任意一点与另一个图形上任意一点之间的距离的最小值，称为这两个图形之间的距离，即A、分别是图形和图形上任意一点，当AB的长最小时，称这个最小值为图形与图形之间的距离．
例如，如图1，，线段AB的长度称为点A与直线之间的距离．当时，线段AB的长度也是与之间的距离．
（1）如图2，在等腰直角三角形BAC中，，点为AB边上一点，过点作交AC于点．若，则DE与BC之间的距离是　 　；
（2）如图3，已知直线与双曲线交于与两点，点A与点之间的距离是　 　，点与双曲线之间的距离是　 　；
（3）【拓展】
按规定，住宅小区的外延到高架路的距离不超过80m时，需要在高架路旁修建与高架路相同走向的隔音屏障（如图4）．有一条“东南一西北”走向的笔直高架路，路旁某住宅小区建筑外延呈双曲线的形状，它们之间的距离小于80m.现以高架路上某一合适位置为坐标原点，建立如图5所示的平面直角坐标系，此时高架路所在直线的函数表达式为，小区外延所在双曲线的函数表达式为，那么需要在高架路旁修建隔音屏障的长度是多少？
【答案】（1）
（2）；
（3）解：如图，作直线，设AB的解析式为，与双曲线交于点，过点作于点，过点作轴于点，过点分别作直线的垂线AE、BF，垂足为E、F，
则，
直线平分第二、四象限角，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
代入，得，
解得：，
，
联立得：，
解得：或，
，
，
，
四边形ABFE是平行四边形，
，
四边形ABFE是矩形，
，
答：需要在高速路旁修建隔音屏障的长度是40米．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；等腰直角三角形；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：（1）过点D作DH⊥BC于点H
∵∠A=90°，AB=AC
∴∠B=45°
∵DH⊥BC
∴△BDH是等腰直角三角形
∴
∵
∴BD=AB-AD=4
∴
故答案为：
（2）将代入，可得m=6
∴A(2，6)
将A(2，6)代入，可得k=2×6=12
∴双曲线
联立，整理得：
解得：x1=2，x2=6
∴B(6，2)
∴
作FC∥AB，且FG与双曲线只有一个交点
设直线FG的解析式为y=-x+b
则，整理得：
∴
解得；或(舍去)
∴直线FG的解析式为
由
解得：
∴
∴
故答案为：，
【分析】（1）过点D作DH⊥BC于点H，由题意可得∠B=45°，根据等腰直角三角形判定定理可得△BDH是等腰直角三角形，则，根据边之间的关系即可求出答案.
（2）将点A坐标代入直线解析式可得A(2，6)，再根据待定系数法将点A坐标代入双曲线解析式可得双曲线，联立直线解析式可得B(6，2)，根据两点间距离可得AB，作FC∥AB，且FG与双曲线只有一个交点，设直线FG的解析式为y=-x+b，联立双曲线解析式可得，根据判别式，解方程可得直线FG的解析式为，再联立双曲线解析式可得，再根据两点间距离即可求出答案.
（3）作直线，设AB的解析式为，与双曲线交于点，过点作于点，过点作轴于点，过点分别作直线的垂线AE、BF，垂足为E、F，则，根据直线性质可得，根据等腰直角三角形判定定理可得是等腰直角三角形，则，即，根据待定系数法将点代入直线解析式可得，联立双曲线，解方程可得，再根据两点间距离可得AB，根据矩形判定定理可得四边形ABFE是矩形，则，即可求出答案.
1 / 15月上旬之反比例函数—广东省数学2025年中考模拟精选新题速递
一、选择题
1．（2025·番禺模拟）机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款机器狗（如图所示）载重后总质量时，它的最快移动速度；当其载重后总质量时，它的最快移动速度（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
2．（2025·连州模拟）已知点都在反比例函数的图象上．过点分别作两坐标轴的垂线，垂线与两坐标轴围成的矩形面积为；过点分别作两坐标轴的垂线，垂线与两坐标轴围成的面积为，与的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025·南海模拟）近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）之间是反比例函数关系（其中，均为正数），当近视眼镜的度数是100度时，镜片焦距为0.1米．则配制一副度数小于100度的近视眼镜，镜片焦距的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·深圳模拟）如图，直线y=2x+5与x轴、y轴分别交于A、B两点，与反比例交于C、D两点，直线OD交反比例于点E，连接CE交y轴于点F，若CF：EF=1：4，则△DCE的面积为（　　）
A．8 B．5 C．7.5 D．6
5．（2025·深圳模拟）某综合实践活动小组设计了一款简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻（如图1），当人站上踏板时，电阻随人的质量m的变化而变化，此时可通过电压表显示的读数换算为人的质量．已知随的变化而变化（如图2），与踏板上人的质量m的关系见图3，则下列说法不正确的是（　　）
A．在一定范围内，越小越大
B．当时，的阻值为
C．当踏板上人的质量为时，
D．若电压表量程为，为保护电压表，该电子体重秤可称的最大质量是
二、填空题
6．（2025·花都模拟）密闭容器内有一定质量的气体，当容器的体积V（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化，已知密度与体积V是反比例函数关系，它的图象如图所示，点在图象上，当时，气体的密度　 　．
7．（2025·深圳模拟）某种LED灯能提供4000（流明）的光通量．把它安装在某房间时，房间的光照强度（单位：勒克斯）与房间面积（单位：平方米）满足关系式．若要求房间的光照强度不低于200勒克斯，则房间的最大面积为　 　平方米．
8．（2025·罗湖模拟）如图，已知点，点分别在轴和轴上；将线段AB绕点A顺时针旋转至线段AC，连BC，将沿轴正方向平移至；当双曲线恰好同时经过点E，F时，的值等于　 　．
9．（2025·盐田模拟）如图，在平面直角坐标系中，四边形为平行四边形，点落在反比例函数图象上，点落在反比例函图象上，延长交轴于点，若四边形的面积为3，则的值为　 　．
10．（2025·深圳模拟）如图，在平面直角坐标系中，等边和菱形的边、都在x轴上，反比例函数的图象经过点C．已知的面积为，则k的值为　 　．
11．（2025·南山模拟）如图，在平面直角坐标系中，、两点在反比例函数的图象上，延长交轴于点，且，是第二象限一点，且，若的面积是12，则的值为　 　．
12．（2023·恩平模拟）如图，A，C是反比例函数图象上的点，过点A，C分别作轴，轴，垂足分别是点B，D，连接、、，线段交于点E，且E恰好是的中点．当的面积为时，k的值是　 　．
13．（2025·福田模拟）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形与y轴分别交于E、F两点，对角线在x轴上，反比例函数的图象过点A并交于点G，连接．若，，且的面积为，则k的值是　 　
14．（2025·深圳模拟） 如图，把一块含 角的直角三角板摆放在平面直角坐标系中，一个顶点与点 O 重合，点 B 在 x 轴上，点 A 在函数 的图象上. 把三角板绕点 O 逆时针旋转到 的位置，使得点 B' 恰好也在函数 的图象上，此时点 A' 落在函数 的图象上，则 k 的值为　 　.
三、解答题
15．（2025·广州模拟）已知
（1）化简；
（2）若在平面直角坐标系中，点为反比例函数上一点，且，求的值．
16．（2025·番禺模拟）如图，中，，，其中，．
（1）直接写出线段的中点的坐标；
（2）反比例函数的图象过点，与交于点，求的值；
（3）点为（2）中反比例函数图象上一动点(点在，之间运动，不与，重合)，过点作，交轴于点，过点作轴，交于点，连接，求面积的最大值，并求出此时点的坐标．
17．（2025·福田模拟）直线与双曲线交于点，交y轴于点．
（1）求k，m的值；
（2）如图1，点E是直线上A点右侧的一个动点，过点E作y轴的平行线，交反比例函数图象于点D，连接，．
①当时，求的面积；
②如图2，在①的条件下，将沿射线方向平移一定距离，得到，若点恰好落在反比例函数图象上，请直接写出点的坐标．
18．（2025·南沙模拟）某款三明治机制作三明治的工作原理如下：
①预热阶段：开机1分钟空烧预热至，机器温度与时间成一次函数关系；
②操作阶段：操作3分钟后机器温度均衡升至最高温度后保持恒温状态；③断电阶段：操作完成后进行断电降温，机器温度与时间成反比例关系．如下图所示为某次制作三明治时机器温度与时间的函数图象，请结合图象回答下列问题：
（1）预热阶段机器温度上升的平均速度是_________，开机3分钟时，温度为____；
（2）当时，求机器温度与时间的函数关系式；
（3）求三明治机工作温度在以上持续时间．
19．（2025·东莞模拟）【问题背景】随着智能家电的普及，扫地机器人进入我们的视野．如图为某品牌的圆形扫地机器人，其主要由电源、充电设备、电机、机械结构、传感设备等构成．
【数学建模】某兴趣小组发现，该圆形扫地机器人的运动路径满足反比例函数关系．因此，将该扫地机器人视作半径为2的圆，圆心为P，该小组以充电设备为原点，建立如图的平面直角坐标系，图中的曲线即为该扫地机器人圆心P的运动路径（）．
【问题解决】
（1）若在扫地机器人的运动路径上，圆心会经过一污迹，求该运动曲线的函数解析式；
（2）在（1）的条件下，已知在扫地机器人运动轨迹的不远处有一障碍物，求当点，，在一条直线上时，扫地机器人是否会触碰到障碍物；
（3）若以，，为顶点的三角形的面积为，求此时机器人的圆心的坐标．
20．（2025·霞山模拟）综合与实践-项目式学习
【项目主题】学科融合-用数学的眼光观察现实世界．
【项目背景】学习完相似三角形的性质后，某学校科学小组的同学们尝试用数学的知识和方法来研究凸透镜成像规律．
【项目素材】
素材一：凸透镜成像中，光路图的规律：通过凸透镜中心的光线不发生改变；平行于主光轴的光线经过折射后经过焦点．
素材二：设表示物体到凸透镜的距离，表示像到凸透镜的距离，表示凸透镜的焦距（凸透镜中心到焦点之间的距离），小明在研究的过程中发现了，和之间在成实像时存在着关系：
【项目任务】根据项目素材解决问题：
任务一：如图，为物体，点为凸透镜的中心，入射光线主光轴，折射光线经过焦点，为所成的像．当时，求的值．
任务二：已知凸透镜的焦距为，物体的高度为，当物体到凸透镜的距离为（）时，测量物体的成像的高度为．
（1）请你利用所学的知识求出与的关系式．
（2）当时，随的增大而________（填“增大”或“减小”）．
21．（2025·罗湖模拟）【定义】在平面内，把一个图形上任意一点与另一个图形上任意一点之间的距离的最小值，称为这两个图形之间的距离，即A、分别是图形和图形上任意一点，当AB的长最小时，称这个最小值为图形与图形之间的距离．
例如，如图1，，线段AB的长度称为点A与直线之间的距离．当时，线段AB的长度也是与之间的距离．
（1）如图2，在等腰直角三角形BAC中，，点为AB边上一点，过点作交AC于点．若，则DE与BC之间的距离是　 　；
（2）如图3，已知直线与双曲线交于与两点，点A与点之间的距离是　 　，点与双曲线之间的距离是　 　；
（3）【拓展】
按规定，住宅小区的外延到高架路的距离不超过80m时，需要在高架路旁修建与高架路相同走向的隔音屏障（如图4）．有一条“东南一西北”走向的笔直高架路，路旁某住宅小区建筑外延呈双曲线的形状，它们之间的距离小于80m.现以高架路上某一合适位置为坐标原点，建立如图5所示的平面直角坐标系，此时高架路所在直线的函数表达式为，小区外延所在双曲线的函数表达式为，那么需要在高架路旁修建隔音屏障的长度是多少？
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】反比例函数的实际应用
2．【答案】D
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
3．【答案】D
【知识点】反比例函数的实际应用
4．【答案】C
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；勾股定理的逆定理；相似三角形的判定与性质；求正切值
5．【答案】D
【知识点】反比例函数的实际应用；通过函数图象获取信息；一次函数的其他应用
6．【答案】6
【知识点】反比例函数的实际应用
7．【答案】20
【知识点】反比例函数的实际应用；列不等式
8．【答案】6
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；平移的性质
【解析】【解答】解：作CG⊥x轴于点G
在△AOB和△CGA中
∴△AOB≌△CGA
∴OA=CG=1，OB=AG=3
∴C(4，1)
设向右平移的距离为m，则E(m，3)，F(4+m，1)
∵点E，F都在反比例函数图象上
∴3m+4+m，解得：m=2
∴E(2，3)
∴k=2×3=6
故答案为：6
【分析】作CG⊥x轴于点G，根据全等三角形判定定理可得△AOB≌△CGA，则OA=CG=1，OB=AG=3，即C(4，1)，设向右平移的距离为m，则E(m，3)，F(4+m，1)，将点E，F坐标代入反比例函数解析式，解方程可得m=2，则E(2，3)，再根据待定系数法将点E坐标代入反比例函数解析式即可求出答案.
9．【答案】6
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；平行四边形的性质
10．【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；等边三角形的性质；菱形的性质
11．【答案】8
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
12．【答案】
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：设点的坐标为，则，
∵E恰好是的中点
∴点，
则，
∴，
，
．
故答案为：．
【分析】设点的坐标为，则点，，根据三角形的面积公式可得出，由此即可求出值．
13．【答案】6
【知识点】反比例函数的性质；平行四边形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，过点A作轴于点M，轴于点N，
∴，轴，
设点，则
∴， ，
∴ ，
∵，，
∴ ， ， ，
∴ ，
∵点A、G在反比例函数的图象上，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴ ，即，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ．
故答案为：6．
【分析】过点A作轴于点M，轴于点N，则设点 ，则，轴，设点，则，，根据相似三角形判定定理可得， ，则 ，再根据题意可得 ， ， ，则 ，根据反比例函数性质可得 ，则 ，根据边之间的关系可得MN，DN，BN，再根据平行四边形性质可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算可得 ，根据 ，结合三角形面积即可求出答案.
14．【答案】
【知识点】等腰直角三角形；反比例函数图象上点的坐标特征；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：作AC⊥OB于点C，如图所示：
∵△OAB是等腰直角三角形，
∴AC＝OB＝OC＝BC，
设AC＝m，则OC＝m，
∴A（m，m），
∵点A在y＝上，
∴m2＝4，
∴m＝±2，
∵m＞0，
∴m＝2，
∴OC＝AC＝2，
∴OA＝=，OB＝2OC＝4，
过点A'作直线l⊥x轴，垂足为点E，作BD⊥l于点D，
∵OA'＝A'B'，∠OA'B'＝90°，
∴∠OA'E＋∠DA'B'＝90°，∠OA'E＋∠A'OE＝90°，
∴∠DA'B'＝∠A'OE，
又∠B'DA'＝∠A'EO＝90°，
∴△B'DA'≌△A'EO（AAS），
∴A'E＝B'D，A'D＝OE，
作B'G⊥x轴于点G，
∵B'点在y＝上，
∴xB'yB'＝4，
设B'（a，b），
∴ab＝4，
∵OB'＝OB＝4，OG2＋B'G2＝OB'2，
∴a2＋b2＝42＝16，
∴（a＋b）2＝a2＋b2＋2ab＝16＋2×4＝24，（a b）2＝a2＋b2 2ab＝16 2×4＝16 8＝8，
∵a＞0，b＞0，且b＞a，
∴，
解得：，
设A'（p，q），
∴A'E＝q，B'D＝xB' xA'＝
∴①，
∴p＋q＝，
同理可得q p＝②，
由①②得，
∴A'(，)，
∴k＝×=，
故答案为：．
【分析】作AC⊥OB于点C，过点A'作直线l⊥x轴，垂足为点E，作BD⊥l于点D，设B'（a，b），先求出，再设A'（p，q），求出，可得A'(，)，最后求出k＝×=即可.
15．【答案】（1）
（2）
【知识点】完全平方公式及运用；分式的加减法；反比例函数的概念；坐标系中的两点距离公式
16．【答案】（1）
（2）
（3）最大值是，此时
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；二次函数-动态几何问题
17．【答案】（1），
（2）①；②
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
18．【答案】（1）60、140
（2）
（3）12分钟
【知识点】反比例函数的实际应用；一次函数的其他应用
19．【答案】（1）；
（2）扫地机器人不会触碰到障碍物；
（3）或．
【知识点】公式法解一元二次方程；待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；勾股定理
20．【答案】（1）任务一：
（2）任务二：（1）；（2）减小
【知识点】反比例函数的实际应用；相似三角形的应用
21．【答案】（1）
（2）；
（3）解：如图，作直线，设AB的解析式为，与双曲线交于点，过点作于点，过点作轴于点，过点分别作直线的垂线AE、BF，垂足为E、F，
则，
直线平分第二、四象限角，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
代入，得，
解得：，
，
联立得：，
解得：或，
，
，
，
四边形ABFE是平行四边形，
，
四边形ABFE是矩形，
，
答：需要在高速路旁修建隔音屏障的长度是40米．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；等腰直角三角形；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：（1）过点D作DH⊥BC于点H
∵∠A=90°，AB=AC
∴∠B=45°
∵DH⊥BC
∴△BDH是等腰直角三角形
∴
∵
∴BD=AB-AD=4
∴
故答案为：
（2）将代入，可得m=6
∴A(2，6)
将A(2，6)代入，可得k=2×6=12
∴双曲线
联立，整理得：
解得：x1=2，x2=6
∴B(6，2)
∴
作FC∥AB，且FG与双曲线只有一个交点
设直线FG的解析式为y=-x+b
则，整理得：
∴
解得；或(舍去)
∴直线FG的解析式为
由
解得：
∴
∴
故答案为：，
【分析】（1）过点D作DH⊥BC于点H，由题意可得∠B=45°，根据等腰直角三角形判定定理可得△BDH是等腰直角三角形，则，根据边之间的关系即可求出答案.
（2）将点A坐标代入直线解析式可得A(2，6)，再根据待定系数法将点A坐标代入双曲线解析式可得双曲线，联立直线解析式可得B(6，2)，根据两点间距离可得AB，作FC∥AB，且FG与双曲线只有一个交点，设直线FG的解析式为y=-x+b，联立双曲线解析式可得，根据判别式，解方程可得直线FG的解析式为，再联立双曲线解析式可得，再根据两点间距离即可求出答案.
（3）作直线，设AB的解析式为，与双曲线交于点，过点作于点，过点作轴于点，过点分别作直线的垂线AE、BF，垂足为E、F，则，根据直线性质可得，根据等腰直角三角形判定定理可得是等腰直角三角形，则，即，根据待定系数法将点代入直线解析式可得，联立双曲线，解方程可得，再根据两点间距离可得AB，根据矩形判定定理可得四边形ABFE是矩形，则，即可求出答案.
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