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5月上旬之二次函数—广东省数学2025年中考模拟精选新题速递
一、选择题
1．（2025·白云模拟）已知二次函数（）与轴交于、两点，与轴交点的纵坐标是，且，则以下结论中不正确的是（　　）
A．
B．
C．抛物线的顶点坐标为
D．若，则或
2．（2025·中山模拟）如图，二次函数图象的一部分与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，结合图象给出下列结论：①；②；③关于x的一元二次方程的两根分别为和1；④若点均在二次函数图象上，则；⑤ (m为任意实数)．期中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
3．（2025·霞山模拟）抛物线过点，与轴交于，两点（点在的左侧），若为轴上的一点，在在平面内且满足，则的最小值为　 　．
4．（2025·广州模拟）如图：我们规定：形如的函数叫做“型”函数．如图是“型”函数的图象，根据图象，给出以下结论：①图象关于轴对称；②关于的不等式的解是或；③当关于的方程有两个实数解时，．其中正确的是　 　（填出所有正确结论的序号）．
5．（2025·花都模拟）我们定义一种新函数：形如的函数叫做“鹊桥”函数．某数学兴趣小组画出了“鹊桥”函数的图象（如图所示），并写出了下列结论：
①图象与坐标轴的交点为，，；
②当时，函数取得最大值；
③若在函数图象上，则也在函数图象上；
④当直线与函数G的图象有4个交点时，则m的取值范围是．
其中正确的结论有　 　．（填写所有正确结论的序号）
三、解答题
6．（2025·白云模拟）已知二次函数（、为常数）．该函数图象经过点，与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点．
（1）试用关于的代数式表示；
（2）用关于的代数式表示的面积，并描述随着的变化，的值如何变化？
（3）若二次函数图象对称轴为直线，过点平行于轴的直线交抛物线于点（不同于点），交对称轴于点，过点的直线（直线不过，两点）与二次函数图象交于，两点，直线与直线相交于点．若，请求出满足条件的直线的解析式．
7．（2025·东莞模拟）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C．
（1）求此抛物线的函数表达式；
（2）点P是x轴上一点，若是等腰三角形，直接写出点P的坐标；
（3）如图（2），点D是直线下方抛物线上的一个动点．过点D作于点E，问：是否存在点D，使得 若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
8．（2025·罗定模拟）如图1，抛物线与直线在第一象限内相交于点，与轴的正半轴相较于点，连接，
（1）求的值及抛物线的解析式．
（2）点是直线上方的抛物线上的一点，过点作直线交于点，求线段长度的最大值．
（3）在的条件下，点是直线上的一个动点，是的中点，以为斜边按图所示构造等腰直角，点的横坐标为，记与公共部分的面积为，直接写出关于的函数关系式 ．
9．（2025·罗湖模拟）如图1，与轴交于点，与轴交于点
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点是拋物线上的一个动点．
①如图1，若点在第一象限内，连接PA交直线BC于点，设的面积为面积为，若，求点P坐标
②如图2，拋物线的对称轴与轴交于点，过点作点，点是对称轴上的一个动点，是否存在以点P，Q，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点的坐标．若不存在，请说明理由．
10．（2025·番禺模拟）在平面直角坐标系中，将函数（为常数）的图象记为，点的坐标为．
（1）当点在图象上时，试解答以下问题：
①求函数的解析式；
②将抛物线在的那部分函数图象沿直线翻折得到新的函数图象，翻折前后的两部分合记为图象，若函数与图象至少有三个交点，求的取值范围；
（2）当时，将点向左平移2个单位长度得到点，连结，以为边向上方作矩形，使．当图象与矩形只有两个公共点时，求的取值范围．
11．（2025·中山模拟）如图，抛物线与轴交于A，两点，且，与轴交于点，连接，抛物线对称轴为直线，为第一象限内抛物线上一动点，过点作于点，与交于点，设点的横坐标为．
（1）求抛物线的表达式；
（2）当线段的长度最大时，求的值：
（3）点是抛物线对称轴上的一点，点是坐标平面内的一点，是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
12．（2025·南山模拟）民间艺术起源于春秋，兴盛于明清，发展于现代，以功力深厚、技艺精湛著称于世．如图（1），“空中飞人”是杂技表演的压轴节目，表演惊险刺激，极具观赏性，深受观众好评．如图（2），演员从浪桥的旋转木梯点处抛出（将身体看成一个点，身体摆动忽略不计）飞到吊下的平台上，其飞行路线可看作抛物线的一部分．下面有一张平行于地面的保护网，以保护演员的安全．建立如图所示的平面直角坐标系，已知：点的坐标为，，，，，．
（1）当抛物线过点，且与轴交于点时，点的坐标为___________，抛物线的解析式为_______________；
（2）在（1）的条件下，若点的坐标为，为使演员在演出时不受伤害，求保护网（线段）的长度至少为多少米；
（3）设该抛物线的表达式为，若抛射点不变，为保证演员表演时落在平台上（即抛物线与线段有交点），请直接写出的取值范围．
13．（2025·广东模拟）如图1，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，其中且
（1）求该抛物线的函数解析式；
（2）P为直线上方抛物线上一点，连接交BC于点D，连接AC，PC，求的最大值；
（3）如图2，直线EF为抛物线的对称轴，交直线于点E，交抛物线于点F，N为射线EF上一点，M为对称轴右侧抛物线上一点，是否存在与相似？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
14．（2025·阳江模拟）如图1，我们把一个半圆和抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆” ，已知A，B，C，D分别为“果圆”与坐标轴的交点，y=x-3与“果圆” 中的抛物线y=+bx+c交于B，C两点．
（1）求“果圆”中的抛物线的解析式，并直接写出“果圆”被y轴截得的线段BD的长．
（2）“果圆”上是否存在点P使∠APC=∠CAB？如果存在请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
（3）如图2，E为直线BC下方“果圆”上一点，连接AE，AB，BE，设AE与BC交于F，△BEF的面积记为S△BEF，△ABF的面积记为S△ABF，求的最小值．
四、综合与探究
15．（2025·江门模拟）【问题背景】
如图，一次函数分别交轴、轴于、两点，抛物线过、两点．
【知识技能】
（1）求点、的坐标及抛物线的解析式；
【构建联系】
（2）作垂直轴的直线，在第一象限交直线于，交这个抛物线于．
①求线段的最大值；
②当t取何值时，的面积为．
【深入探究】
（3）在（2）②的情况下，以、、、为顶点作平行四边形，请直接写出第四个顶点的坐标．
16．（2025·盐田模拟）综合与实践
问题情境】
求方程的解，就是求二次函数的图象与x轴交点的横坐标．为了估计这个方程的解，小亮取了自变量x的4个值，再分别算出相应的y值，列表得：
x的值 0 1 2 3
的值 13 30
小亮通过分析得出结论：方程必有两个解，其中一个解大于1且小于2，设这个解为x，即．
进一步取值，得到下表：
x的值 1.0 1.1 1.2 1.3
的值 0.84 2.29
得出结论：．
【操作判断】
（1）若关于x的一元二次方程在实数范围内有两个解、（其中）．
根据下列表格
x的值 1 1.5 2 2.5
的值 4 10
你能得出　 　的大致范围（填“”或“”）；请你写出这个解的取值范围：　 　．
【实践探究】已知二次函数（n为常数）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧）．
（2）若仅有一个交点的横坐标x满足，求出n的取值范围．
（3）不论n为何值，二次函数必过定点E．
①求E点坐标；
②连结，若，请求出n的值．
17．（2025·深圳模拟）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，且与一次函数的图象交于点A和点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）某学习小组发现，将抛物线在直线上方的部分沿翻折，会得到一个漂亮的“心形图”（包含A、B两点），如图2，现小组想探究恰好将心形图框住的最小矩形面积
①组员小聪想到了方案一：如图3所示，矩形的边与抛物线相切于（即只有一个公共点）顶点C______（填坐标），边与心形图右边缘相切于点D，点D与点C关于直线对称；请你帮小聪计算出矩形的面积；
②组员小颖提出了方案二：如图4所示，矩形的边过点A，边与心形图的左边缘相切，边与心形图的右边缘相切，边与心形图的左、右边缘各相切于一点，此时矩形的面积为______；请你判断以上两个方案哪个方案的矩形面积更小．
18．（2025·连州模拟）【问题背景】
如图1，已知抛物线经过，，三点．
【知识技能】
（1）求此抛物线的解析式；
（2）在平面直角坐标平面内，求点的坐标，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形；
【深入探究】
（3）如图2，为对称轴左侧抛物线上一动点，点，直线分别与轴、直线交于，两点，当为等腰三角形时，直接写出的长．
五、项目式实践
19．（2025·深圳模拟）项目式学习
项目主题：人工智能视觉识别
项目背景：视觉识别技术是人工智能领域的一个重要分支，它让计算机能够“看懂”图象，目标矩形（BoundingBox）是视觉识别技术的一个重要概念，它在计算机视觉的多个领域中都有应用，如目标检测、图象分割、物体跟踪等．目标矩形是一种用于表示图象中目标物体位置和大小的矩形框，在常规的目标检测任务中，如图1，一般使用边与轴平行的矩形框．
概念学习：在平面直角坐标系中，图形的目标矩形定义如下：矩形的两组对边分别平行于x轴、y轴，图形的所有点都在矩形的内部或边上，且矩形的面积最小．设矩形的竖直边与水平边的比为k，我们称常数k为图形的纵横比．举例：如图2，矩形为菱形蓝宝石的目标矩形，纵横比．
【概念理解】
（1） 如图，足球经过计算机识别后的图形为圆，其目标矩形的纵横比 ．
（2） 如图，铅笔经过计算机识别后的图形为线段，表达式为，其目标矩形的纵横比 ．
【联系实际】
如图和图，拱桥经过计算机识别后的图形为抛物线，该抛物线关于y轴对称，的高度为5米，其目标矩形的纵横比，求抛物线的表达式（不必写出自变量的取值范围）．
【应用拓展】
（1）为方便救助溺水者，拟在图的桥拱上方栏杆处悬挂救生圈，如图，为了方便悬挂，救生圈悬挂点距离抛物线拱面上方，且相邻两救生圈悬挂点的水平间距为．为美观，放置后救生圈关于y轴成轴对称分布．求符合悬挂条件的救生圈个数，并求出最左侧一个救生圈悬挂点的坐标（悬挂救生圈的柱子大小忽略不计）．
（2） 据调查，拱顶离水面最大距离为，该河段水位在此基础上再涨达到最高． 当水位达到最高时，上游一个落水者顺流而下到达抛物线拱形桥面的瞬间，若要确保救助者把拱桥上任何一处悬挂点的救生圈抛出都能抛到落水者身边，求救生绳至少需要多长．（救生圈大小忽略不计）
20．（2025·深圳模拟）【生活情境】
为美化校园环境，某学校根据地形情况，要对景观带中一个长，宽的长方形水池进行加长改造（如图①，改造后的水池仍为长方形，以下简称水池1），同时，再建造一个周长为的矩形水池（如图②，以下简称水池2）．
【建立模型】
如果设水池的边加长长度为，加长后水池1的总面积为，则关于的函数解析式为：；设水池2的边的长为，面积为，则关于的函数解析式为：，上述两个函数在同一平面直角坐标系中的图像如图③．
【问题解决】
（1）若水池2的面积随长度的增加而减小，则长度的取值范围是______（可省略单位），水池2面积的最大值是_______；
（2）在图③字母标注的点中，表示两个水池面积相等的点是_______，此时的值是_______；
（3）当水池1的面积大于水池2的面积时，的取值范围是_______；
（4）在范围内，求两个水池面积差的最大值和此时的值；
21．（2025·深圳模拟）综合与实践
问题情境：为迎接学校运动会，综合实践小组的同学研究了每位同学掷实心球的训练情况，下面是对小宇同学某次掷球的研究．
建模分析：
第一步：根据实心球运动的路线，发现其行进路线是抛物线的一部分；
第二步：如图，以过点O水平方向的直线为x轴，过点O竖直方向的直线为y轴，建立平面直角坐标系．
第三步：记录数据，实心球运动的高度与水平距离的部分数据如下表：
1 2 4 6 7
2.25 2.67 3 2.67 2.25
第四步：成绩分析．
问题解决：
（1）求实心球运动的高度与水平距离的函数表达式；（不要求写自变量的取值范围）
（2）求实心球起点处的坐标；
（3）当实心球从起点到落地点的水平距离超过时，得分为满分．请通过计算说明小宇在此次掷球中是否得满分．
22．（2025·罗湖模拟）【项目主题】合理设计，实用便民
【项目背景】为了提升交通安全，南山某城市隧道入口进行道路设施规划，计划安装车道指示灯．现需要对隧道入口隔音屏顶部的装灯位置进行合理设计．某数学兴趣小组成员开展了如下探究活动：
素材1 图1是隧道入口隔音屏，其顶部轮廓可近似的看成抛物线，其截面如图2所示．以地面为轴，以左侧墙面为轴，建立平面直角坐标系，则抛物线符合．最高点离地面，照明灯安装轴右侧的点，距轴．
素材2 为测量素材1的点到地面的距离的长度，小组参考《海岛算经》中的测量方法，使用两根标杆进行测量，具体测量方法如图3所示．经测量，标杆（标杆垂直于地面），两杆相距15步，从退行10步到点，从退行15步到点．（共线，共线）
素材3 为提高通行效率，需在隔音屏顶部加装灯架，为每个车道增设指示灯．按要求，指示灯需距离地面．如图2所示，灯架，，均平行于轴，共线，且所在直线平行于轴，，的坐标为．为加强稳固性，还需在每个灯架上端加装两个长度为的支架．记灯架和支架总长．
根据提供素材，完成下列问题：
（1）数学小组计算出的长度，具体如下：
解：设，步， ， ， ______①， 又， ， ， ， ______②， ______③．
请补全上述求解过程中①②③所缺的内容：
（2）根据已知条件，求出抛物线的解析式（不需要写出x的取值范围）．
（3）求出素材3中l的值，并判断长的材料能否完成灯架和支架的安装．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：A. 因为二次函数（）与轴交于、两点，与轴交点的纵坐标是，且，可判断出抛物线开口向下，对称轴位于轴的左侧，
∴，
，
∴此选项不符合题意；
B. 因为二次函数（）与轴交于、两点，当函数值为0时，即当时，，
，，
∴，
，
∵抛物线与轴交点的纵坐标是，且，
∴，
即，
解得，
∴此选项不符合题意；
C.由B选项可得抛物线的对称轴为直线，
∴顶点的横坐标为，
根据抛物线顶点纵坐标公式可得，，
∴抛物线的顶点坐标为，
∴此选项不符合题意；
D.当时，抛物线的函数值为，此时，根据对称轴可得该点的对称点的横坐标为，
由选项A可知抛物线开口向下，
∴当时，，
即当时，，
∴此选项符合题意.
故答案为：D．
【分析】根据二次函数的图象和性质，二次函数和一元二次方程的关系，二次函数和不等式的关系，顶点坐标，对称轴等知识点依次进行判断即可求解．
2．【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题
3．【答案】
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；勾股定理；圆周角定理
4．【答案】①②
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
5．【答案】①③④
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：①∵，
∴当时，，当时，，
解得：，
∴图象与坐标轴的交点为，，；
∴此结论符合题意；
②由图象可知：当或时，函数值y随x值的增大而增大，且无最大值，
∴此结论符合题意；
③根据图象得：图象的对称轴为，
∴若在函数图象上，则也在函数图象上，
∴此结论符合题意；
④当直线过点B时，直线与函数图象恰好有3个交点，
即，解得：，
当与之间的图象相切时，恰好有三个交点，
当时，，
令，整理得：，
∴，
解得：，
∴当直线与函数G的图象有4个交点时，则m的取值范围是．
∴此结论符合题意；
综上可得，正确的有①③④．
故答案为：①③④．
【分析】①由题意，分别令x=0和y=0，可求出函数与坐标轴的交点坐标；
②根据图象可知，函数没有最大值可判断求解；
③根据图象可判断求解；
④同理可求解．
6．【答案】（1）解：把代入二次函数解析式得，
，
整理可得：；

（2）解：∵，
∴二次函数解析式为，
当时，，
的坐标为，
当时，，
解得，，
∵点在点左侧，
的坐标为，的坐标为，
∴，
，
画函数图象如下：
当时，随着增大而减少；
当时，随着增大而增大；
当时，随着增大而减少；
当时，随着增大而增大；
（3）解：直线的解析式为或，理由如下：
∵抛物线的对称轴为直线，
∴二次函数解析式为，
令，则，
∴，，
把代入，得，
解得，，
，
设，，由题意知，且均不为，
设直线的解析式为，
由，
解得，
∴直线的解析式为，（记为①式）
直线过点，
，
∴，
同理设直线的解析式为，
把，代入得，
，
解得，
直线的解析式为，（记为②式）
同理得直线的解析式为，（记为③式）
由②③式联立得，
解得，
，
∵，
，
，，
，
∴，
，
，
，
，
，
当时，，
整理得，
，
，
整理得，
解得，（不符合题意，舍去），
，
，，
直线的解析式为；
当时，，
整理得，
又，
，
整理得，
解得，（不符合题意，舍去），
，
，，
直线的解析式为；
综上所述，当时，直线的解析式为或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数-面积问题
【解析】【分析】
（）把代入二次函数解析式整理即可求解；
（）由（）可得，将b代入解析式可求出二次函数解析式，令y=0可得一元二次方程，解之可求出点A、B的坐标，令x=0可求出点C的坐标，再根据三角形面积公式表示出与的关系式，结合函数图象即可得随着的变化值的变化情况；
（）由对称轴为直线，可得，即得二次函数解析式为，可得，，，设，，用待定系数法求出直线与直线的解析式，将两直线解析式联立解方程组可求出点的坐标，再根据即可求解.
（1）解：把代入二次函数解析式得，，
；
（2）∵，
∴二次函数解析式为，
当时，，
的坐标为，
当时，，
解得，，
∵点在点左侧，
的坐标为，的坐标为，
∴，
，
画函数图象如下：
当时，随着增大而减少；
当时，随着增大而增大；
当时，随着增大而减少；
当时，随着增大而增大；
（3）解：直线的解析式为或，理由如下：
∵抛物线的对称轴为直线，
∴二次函数解析式为，
令，则，
∴，，
把代入，得，
解得，，
，
设，，由题意知，且均不为，
设直线的解析式为，
由，
解得，
∴直线的解析式为，（记为①式）
直线过点，
，
∴，
同理设直线的解析式为，
把，代入得，
，
解得，
直线的解析式为，（记为②式）
同理得直线的解析式为，（记为③式）
由②③式联立得，
解得，
，
∵，
，
，，
，
∴，
，
，
，
，
，
当时，，
整理得，
，
，
整理得，
解得，（不符合题意，舍去），
，
，，
直线的解析式为；
当时，，
整理得，
又，
，
整理得，
解得，（不符合题意，舍去），
，
，，
直线的解析式为；
综上所述，当时，直线的解析式为或．
7．【答案】（1）解：将代入得：
．
解得：．
∴此抛物线的函数表达式为；
（2）解：令，．
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
若是等腰三角形，分三种情形：
当时，，
∴，
∴P点坐标为或；
当时，
．
∴P点坐标为；
当时，设点P的坐标为，
∵，，
∴．
解得：．
∴点P的坐标为．
综上可得，是等腰三角形，点P的坐标为或或；
（3）解：存在，D点坐标为．理由：如图，取的中点M，连接交于H，交轴于G，作轴于F，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴M的坐标为，
∴，，
∵，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
将代入得，
解得，
∴直线的解析式为，
∴联立得，
解得：或，
当时，，
∴D点的坐标为，
∴存在点D使得，点D的坐标为．
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；二次函数-角度的存在性问题；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【分析】（1）将A，B坐标代入抛物线解析式中可得关于a、b的方程组，解方程组即可求解；
（2）由题意，用勾股定理求出线段的长，根据等腰三角形的性质可分三种情况：①当时，根据线段的和差可求解；②当时，③当时，设P（m，0）由勾股定理可得关于m的方程，解方程可求解；
（3）取的中点M，连接交于H，交轴于G，作轴于F，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得△CHM∽△CED，由相似三角形的对应角相等可得．从而得到M的坐标；同理可得△MOF∽△GCO，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式，由比例式和已知条件可求得OG的值，用待定系数法可求出直线CG的解析式，将直线CG的解析式和抛物线的解析式联立解方程组可求得点D的坐标．
（1）解：将代入得：
．
解得：．
∴此抛物线的函数表达式为；
（2）解：令，．
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
若是等腰三角形，分三种情形：
当时，，
∴，
∴P点坐标为或；
当时，
．
∴P点坐标为；
当时，设点P的坐标为，
∵，，
∴．
解得：．
∴点P的坐标为．
综上，是等腰三角形，点P的坐标为或或；
（3）解：存在，D点坐标为．理由：
如图，取的中点M，连接交于H，交轴于G，作轴于F，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴M的坐标为，
∴，，
∵，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
将代入得，
解得，
∴直线的解析式为，
∴联立得，
解得：或，
当时，，
∴D点的坐标为，
∴存在点D使得，点D的坐标为．
8．【答案】（1），；
（2）；
（3）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；勾股定理；二次函数-面积问题；二次函数-相似三角形的存在性问题
9．【答案】（1）解：由题意可设抛物线的表达式为y=a(x+1)(x-3)
将点C坐标代入表达式可得：3=a(0+1)(0-3)
解得：a=-1
∴抛物线的表达式为y=-(x+1)(x-3)=-x2+2x+3
（2）解：①设P点坐标为(t，-t2+2t+3)，作PM∥y轴交BC于点M，作AM∥y轴交BC于点N
易得BC的表达式为y=-x+3
∴M(t，-t+3)，N(-1，4)
∴PM=-t2+3t，AN=4
∵PM∥AN
∴
∴t2-3t+2=0，解得：t=1或t=2
∴P点坐标为(1，4)或(2，3)
②点Q的坐标为(1，2)或(1，4)或(1，-2)
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-动态几何问题；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【解答】解：（2）②存在，理由如下
过点F作FG⊥OB于点G
∵y==-x2+2x+3的对称轴为x=1
∴OE=1
∵，
∴OC=OB=3
∵∠COB=90°
∴△OCB是等腰直角三角形
∵∠EFB=90°，BE=OB-OE=2
∴△EFB为等腰直角三角形
∴FG=GB=EG=1
∴点F的坐标为(2，1)
当EF为边时
∵四边形EFPQ为平行四边形
∴QE=PF，QE∥PF∥y轴
∴点P的横坐标与点F的横坐标同为2
当x=2时，y=-22+2×2+3=3
∴点P的坐标为(2，3)
∴QE=PF=2
∴点Q的坐标为(1，2)
根据对称性，当P(0，3)，Q(1，4)时，四边形EFQP也为平行四边形
当EF为对角线时
∵四边形PEQF为平行四边形
∴QE=PF，QE∥PF∥y轴
同理可得，点P的坐标为(2，3)
∴QE=PF=2
点Q的坐标为(1，-2)
综上所述，点Q的坐标为(1，2)或(1，4)或(1，-2)
【分析】（1）设抛物线的表达式为y=a(x+1)(x-3)，根据待定系数法将点C坐标代入表达式即可求出答案.
（2）①设P点坐标为(t，-t2+2t+3)，作PM∥y轴交BC于点M，作AM∥y轴交BC于点N，求出BC的表达式，则M(t，-t+3)，N(-1，4)，根据两点间距离可得PM=-t2+3t，AN=4，再根据三角形面积建立方程，解方程即可求出答案.
②过点F作FG⊥OB于点G，由题意可得OE=1，OC=OB=3，根据等腰直角三角形判定定理可得△OCB是等腰直角三角形，△EFB为等腰直角三角形，则FG=GB=EG=1，即点F的坐标为(2，1)，分情况讨论：当EF为边时，根据平行四边形性质可得QE=PF，QE∥PF∥y轴，则点P的横坐标与点F的横坐标同为2，即点P的坐标为(2，3)，可得点Q坐标，根据对称性，当P(0，3)，Q(1，4)时，四边形EFQP也为平行四边形；当EF为对角线时，根据平行四边形性质可得QE=PF，QE∥PF∥y轴，同理可得，点P的坐标为(2，3)，可得点Q坐标.
10．【答案】（1）①；②
（2）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数-特殊四边形存在性问题
11．【答案】（1）；
（2）；
（3）点坐标：或或或或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；菱形的性质；竞赛类试题；二次函数-特殊四边形存在性问题
12．【答案】（1），
（2）解：∵平行于x轴，点N的坐标为，
∴点M纵坐标为，
当时，代入抛物线解析式得，
解得：（舍去），，
∴，即保护网（线段）的长度至少为9米；
（3）解：由（1）知：，，，
∵发射点F不变，
∴抛物线一定经过，
∴当抛物线经过，时，
代入得，
∴，
当抛物线经过，时，
代入得，
∴，
∵抛物线必经过平台，
∴．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】
（1）
解：过点F作轴于，过点E作于，
结合题意可得：四边形为矩形，
∴，，，
∵，
∴
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∴点F的坐标为，
∵，点A的坐标为，
∴点B的坐标为，
∵抛物线y轴交于点，
∴设抛物线的表达式为，
将点和点代入得：
解得：，
∴抛物线的表达式为；
【分析】
（1）过点F作轴，过点E作，先求出，，然后用待定系数法即可求解；
（2）由平行于x轴和点N的坐标为可得点M的纵坐标为，把点M的纵坐标代入解析式可得关于x的一元二次方程，解方程求出点M的横坐标，根据MN的距离等于这两点的横坐标之差的绝对值即可求解；
（3）由发射点F不变，可得抛物线一定经过，由题意分两种情况：①抛物线经过，②抛物线经过，即可求解.
（1）解：过点F作轴于，过点E作于，
结合题意可得：四边形为矩形，
∴，，，
∵，
∴
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∴点F的坐标为，
∵，点A的坐标为，
∴点B的坐标为，
∵抛物线y轴交于点，
∴设抛物线的表达式为，
将点和点代入得：
解得：，
∴抛物线的表达式为；
（2）解：∵平行于x轴，点N的坐标为，
∴点M纵坐标为，
当时，代入抛物线解析式得，
解得：（舍去），，
∴，即保护网（线段）的长度至少为9米；
（3）解：由（1）知：，，，
∵发射点F不变，
∴抛物线一定经过，
∴当抛物线经过，时，
代入得，
∴，
当抛物线经过，时，
代入得，
∴，
∵抛物线必经过平台，
∴．
13．【答案】（1）
（2）
（3）存在，或
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质
14．【答案】（1），5
（2）存在，（0，-3）或（3，-3）
（3）
【知识点】相似三角形的判定与性质；二次函数的实际应用-几何问题
15．【答案】（1）；（2）①当时，有最大值②；（）点坐标为，或
【知识点】已知正切值求边长；二次函数-线段周长问题；二次函数-面积问题；二次函数-特殊四边形存在性问题
16．【答案】（1）x1；1.5（2）解：当x=5时，y=-2n+14
当x=6时，y=-3n+22
∵仅有一个交点的横坐标x满足
∴①或②
解①得：
解②得：无解
综上，n的取值范围为
（3）解：①将函数变形为y=(x-3)n+x2-3x+4
由上式可知，当x=3时，不论n取何值，y恒等于4
故点E的坐标为(3，4)
②过点A作AD⊥AD交BE于点D，由∠AEB=45°可得△AED为等腰直角三角形
分别过点E，点D向x轴引垂线，垂足分别为点H，点F
∴∠EHA=∠DFA，∠AEH=∠DAF=90°-∠EAH，AE=AD
∴△EHA≌△AFD
设A(x1，0)，B(x2，0)
由题意可得，x1∵E(3，4)
∴EH=AF=4，HA=DF=x1-3，BF=x2-x1-4
∵∠DBF=∠EBH，∠DFB=∠EHB
∴△BDF∽△BEH
∴，即
整理得：①
对于函数
令y=0，得到方程
方程的判别式
根据题意可得
由求根公式得，，
代入①中，得
解得：，此时满足
【知识点】相似三角形的判定；等腰直角三角形；一元二次方程的求根公式及应用；二次函数y=ax²+bx+c的性质；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：（1）∵a<0
∴当时，y随x的增大而增大
由表格可知，表格给的数据是y随x的增大而增大
∴可得出x1的大致范围
∵
∴1.5故答案为：x1；1.5【分析】（1）根据二次函数的性质即可求出答案.
（2）根据题意建立不等式组，解不等式组即可求出答案.
（3）①①将函数变形为y=(x-3)n+x2-3x+4，根据二次函数的性质即可求出答案.
②过点A作AD⊥AD交BE于点D，由∠AEB=45°可得△AED为等腰直角三角形，分别过点E，点D向x轴引垂线，垂足分别为点H，点F，根据全等三角形判定定理可得△EHA≌△AFD，设A(x1，0)，B(x2，0)，由题意可得，x117．【答案】（1）
（2）①，81；②，方案二的矩形面积更小
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；矩形的性质；一次函数图象的平移变换；二次函数-面积问题
18．【答案】解：（1）设抛物线的解析式为，（，，为常数，），
∵抛物线经过，，，
∴，解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）如图，有三种情况，
∵，，，以，，，为顶点的四边形是平行四边形，
∴，，，，，，，
∴点在点的左边距离为处，坐标为，
点在点的右边距离为处，坐标为，
点与的连线的中点是点，坐标为．
（3）分类讨论：①当，点在点的左侧时，过点作于点，
则，
，，
，，
，，
，
，
设，则，，
，
，，
∵点，
∴，
，解得：（舍去）或，
；
当，点在点右侧时，如图，过点作轴于点，
则轴，
，，
，，
，，
，
，
设，则，，
，
，，
，解得：（舍去）或；
②如图，当时，过点作交轴于点，则，
设，则，
，
，解得：，
，
设直线的关系式为，
则，解得：，
直线的关系式为，
设直线的关系式为，
，解得：，
直线的关系式为，
，
，
③如图，当时，过点作交轴于点，则，
，，
，
，
，
设直线的关系式为，
则，解得：，
直线的关系式为，
设直线的关系式为，
，
，解得：，
直线的关系式为，
，
．
综上可得，的长为或或或16．
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数的实际应用-几何问题；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）由题意用待定系数法可求出抛物线的解析式；
（2）根据平行四边形的性质“平行四边形的对边平行且相等”可得，，，，，，再利用点的位置关系与对称性分别求出三个点的坐标即可；
（3）由题意可分三种情况：①，②，③，求出的长即可．
19．【答案】【概念理解】（1）；（2）；【联系实际】；【应用拓展】（1）个，；（2）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；勾股定理
20．【答案】（1）；9
（2）C，E；1或4
（3）或
（4）时，面积差的最大值为
【知识点】二次函数的最值；二次函数的实际应用-几何问题
21．【答案】（1）
（2）
（3）不得满分
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
22．【答案】（1）①，②，③；
（2）解：抛物线：的最高点离地面，
，
把代入得，
解得：，
抛物线的解析式为；

（3）解：的坐标为，，
的横坐标依次为，
的横坐标依次为，
设的坐标依次为
把代入得，
解得：，
，
同理可得，，；
，；
，
，
，
长的材料能完成灯架和支架的安装．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；相似三角形的应用；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】
（1）
解：设，步，
，
，
，
又，
，
，
，
，
，
故答案为：①，②，③；
【分析】
（1）根据相似三角形的判定“平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”可得△CMG∽△HMI，△CNG∽△JNK，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式求解；
（2）根据抛物线的顶点式并结合题意可得，将代入解析式求出，即可求解；
（3）根据题意得到的横坐标依次为，得到的横坐标依次为，设的坐标依次为
求出的值，得到的值，求出，即可求解.
（1）解：设，步，
，
，
，
又，
，
，
，
，
，
故答案为：①，②，③；
（2）解：抛物线：的最高点离地面，
，
把代入得，
解得：，
抛物线的解析式为；
（3）解：的坐标为，，
的横坐标依次为，
的横坐标依次为，
设的坐标依次为
把代入得，
解得：，
，
同理可得，，；
，；
，
，
，
长的材料能完成灯架和支架的安装．
1 / 15月上旬之二次函数—广东省数学2025年中考模拟精选新题速递
一、选择题
1．（2025·白云模拟）已知二次函数（）与轴交于、两点，与轴交点的纵坐标是，且，则以下结论中不正确的是（　　）
A．
B．
C．抛物线的顶点坐标为
D．若，则或
【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：A. 因为二次函数（）与轴交于、两点，与轴交点的纵坐标是，且，可判断出抛物线开口向下，对称轴位于轴的左侧，
∴，
，
∴此选项不符合题意；
B. 因为二次函数（）与轴交于、两点，当函数值为0时，即当时，，
，，
∴，
，
∵抛物线与轴交点的纵坐标是，且，
∴，
即，
解得，
∴此选项不符合题意；
C.由B选项可得抛物线的对称轴为直线，
∴顶点的横坐标为，
根据抛物线顶点纵坐标公式可得，，
∴抛物线的顶点坐标为，
∴此选项不符合题意；
D.当时，抛物线的函数值为，此时，根据对称轴可得该点的对称点的横坐标为，
由选项A可知抛物线开口向下，
∴当时，，
即当时，，
∴此选项符合题意.
故答案为：D．
【分析】根据二次函数的图象和性质，二次函数和一元二次方程的关系，二次函数和不等式的关系，顶点坐标，对称轴等知识点依次进行判断即可求解．
2．（2025·中山模拟）如图，二次函数图象的一部分与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，结合图象给出下列结论：①；②；③关于x的一元二次方程的两根分别为和1；④若点均在二次函数图象上，则；⑤ (m为任意实数)．期中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题
二、填空题
3．（2025·霞山模拟）抛物线过点，与轴交于，两点（点在的左侧），若为轴上的一点，在在平面内且满足，则的最小值为　 　．
【答案】
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；勾股定理；圆周角定理
4．（2025·广州模拟）如图：我们规定：形如的函数叫做“型”函数．如图是“型”函数的图象，根据图象，给出以下结论：①图象关于轴对称；②关于的不等式的解是或；③当关于的方程有两个实数解时，．其中正确的是　 　（填出所有正确结论的序号）．
【答案】①②
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
5．（2025·花都模拟）我们定义一种新函数：形如的函数叫做“鹊桥”函数．某数学兴趣小组画出了“鹊桥”函数的图象（如图所示），并写出了下列结论：
①图象与坐标轴的交点为，，；
②当时，函数取得最大值；
③若在函数图象上，则也在函数图象上；
④当直线与函数G的图象有4个交点时，则m的取值范围是．
其中正确的结论有　 　．（填写所有正确结论的序号）
【答案】①③④
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：①∵，
∴当时，，当时，，
解得：，
∴图象与坐标轴的交点为，，；
∴此结论符合题意；
②由图象可知：当或时，函数值y随x值的增大而增大，且无最大值，
∴此结论符合题意；
③根据图象得：图象的对称轴为，
∴若在函数图象上，则也在函数图象上，
∴此结论符合题意；
④当直线过点B时，直线与函数图象恰好有3个交点，
即，解得：，
当与之间的图象相切时，恰好有三个交点，
当时，，
令，整理得：，
∴，
解得：，
∴当直线与函数G的图象有4个交点时，则m的取值范围是．
∴此结论符合题意；
综上可得，正确的有①③④．
故答案为：①③④．
【分析】①由题意，分别令x=0和y=0，可求出函数与坐标轴的交点坐标；
②根据图象可知，函数没有最大值可判断求解；
③根据图象可判断求解；
④同理可求解．
三、解答题
6．（2025·白云模拟）已知二次函数（、为常数）．该函数图象经过点，与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点．
（1）试用关于的代数式表示；
（2）用关于的代数式表示的面积，并描述随着的变化，的值如何变化？
（3）若二次函数图象对称轴为直线，过点平行于轴的直线交抛物线于点（不同于点），交对称轴于点，过点的直线（直线不过，两点）与二次函数图象交于，两点，直线与直线相交于点．若，请求出满足条件的直线的解析式．
【答案】（1）解：把代入二次函数解析式得，
，
整理可得：；

（2）解：∵，
∴二次函数解析式为，
当时，，
的坐标为，
当时，，
解得，，
∵点在点左侧，
的坐标为，的坐标为，
∴，
，
画函数图象如下：
当时，随着增大而减少；
当时，随着增大而增大；
当时，随着增大而减少；
当时，随着增大而增大；
（3）解：直线的解析式为或，理由如下：
∵抛物线的对称轴为直线，
∴二次函数解析式为，
令，则，
∴，，
把代入，得，
解得，，
，
设，，由题意知，且均不为，
设直线的解析式为，
由，
解得，
∴直线的解析式为，（记为①式）
直线过点，
，
∴，
同理设直线的解析式为，
把，代入得，
，
解得，
直线的解析式为，（记为②式）
同理得直线的解析式为，（记为③式）
由②③式联立得，
解得，
，
∵，
，
，，
，
∴，
，
，
，
，
，
当时，，
整理得，
，
，
整理得，
解得，（不符合题意，舍去），
，
，，
直线的解析式为；
当时，，
整理得，
又，
，
整理得，
解得，（不符合题意，舍去），
，
，，
直线的解析式为；
综上所述，当时，直线的解析式为或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数-面积问题
【解析】【分析】
（）把代入二次函数解析式整理即可求解；
（）由（）可得，将b代入解析式可求出二次函数解析式，令y=0可得一元二次方程，解之可求出点A、B的坐标，令x=0可求出点C的坐标，再根据三角形面积公式表示出与的关系式，结合函数图象即可得随着的变化值的变化情况；
（）由对称轴为直线，可得，即得二次函数解析式为，可得，，，设，，用待定系数法求出直线与直线的解析式，将两直线解析式联立解方程组可求出点的坐标，再根据即可求解.
（1）解：把代入二次函数解析式得，，
；
（2）∵，
∴二次函数解析式为，
当时，，
的坐标为，
当时，，
解得，，
∵点在点左侧，
的坐标为，的坐标为，
∴，
，
画函数图象如下：
当时，随着增大而减少；
当时，随着增大而增大；
当时，随着增大而减少；
当时，随着增大而增大；
（3）解：直线的解析式为或，理由如下：
∵抛物线的对称轴为直线，
∴二次函数解析式为，
令，则，
∴，，
把代入，得，
解得，，
，
设，，由题意知，且均不为，
设直线的解析式为，
由，
解得，
∴直线的解析式为，（记为①式）
直线过点，
，
∴，
同理设直线的解析式为，
把，代入得，
，
解得，
直线的解析式为，（记为②式）
同理得直线的解析式为，（记为③式）
由②③式联立得，
解得，
，
∵，
，
，，
，
∴，
，
，
，
，
，
当时，，
整理得，
，
，
整理得，
解得，（不符合题意，舍去），
，
，，
直线的解析式为；
当时，，
整理得，
又，
，
整理得，
解得，（不符合题意，舍去），
，
，，
直线的解析式为；
综上所述，当时，直线的解析式为或．
7．（2025·东莞模拟）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C．
（1）求此抛物线的函数表达式；
（2）点P是x轴上一点，若是等腰三角形，直接写出点P的坐标；
（3）如图（2），点D是直线下方抛物线上的一个动点．过点D作于点E，问：是否存在点D，使得 若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：将代入得：
．
解得：．
∴此抛物线的函数表达式为；
（2）解：令，．
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
若是等腰三角形，分三种情形：
当时，，
∴，
∴P点坐标为或；
当时，
．
∴P点坐标为；
当时，设点P的坐标为，
∵，，
∴．
解得：．
∴点P的坐标为．
综上可得，是等腰三角形，点P的坐标为或或；
（3）解：存在，D点坐标为．理由：如图，取的中点M，连接交于H，交轴于G，作轴于F，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴M的坐标为，
∴，，
∵，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
将代入得，
解得，
∴直线的解析式为，
∴联立得，
解得：或，
当时，，
∴D点的坐标为，
∴存在点D使得，点D的坐标为．
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；二次函数-角度的存在性问题；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【分析】（1）将A，B坐标代入抛物线解析式中可得关于a、b的方程组，解方程组即可求解；
（2）由题意，用勾股定理求出线段的长，根据等腰三角形的性质可分三种情况：①当时，根据线段的和差可求解；②当时，③当时，设P（m，0）由勾股定理可得关于m的方程，解方程可求解；
（3）取的中点M，连接交于H，交轴于G，作轴于F，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得△CHM∽△CED，由相似三角形的对应角相等可得．从而得到M的坐标；同理可得△MOF∽△GCO，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式，由比例式和已知条件可求得OG的值，用待定系数法可求出直线CG的解析式，将直线CG的解析式和抛物线的解析式联立解方程组可求得点D的坐标．
（1）解：将代入得：
．
解得：．
∴此抛物线的函数表达式为；
（2）解：令，．
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
若是等腰三角形，分三种情形：
当时，，
∴，
∴P点坐标为或；
当时，
．
∴P点坐标为；
当时，设点P的坐标为，
∵，，
∴．
解得：．
∴点P的坐标为．
综上，是等腰三角形，点P的坐标为或或；
（3）解：存在，D点坐标为．理由：
如图，取的中点M，连接交于H，交轴于G，作轴于F，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴M的坐标为，
∴，，
∵，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
将代入得，
解得，
∴直线的解析式为，
∴联立得，
解得：或，
当时，，
∴D点的坐标为，
∴存在点D使得，点D的坐标为．
8．（2025·罗定模拟）如图1，抛物线与直线在第一象限内相交于点，与轴的正半轴相较于点，连接，
（1）求的值及抛物线的解析式．
（2）点是直线上方的抛物线上的一点，过点作直线交于点，求线段长度的最大值．
（3）在的条件下，点是直线上的一个动点，是的中点，以为斜边按图所示构造等腰直角，点的横坐标为，记与公共部分的面积为，直接写出关于的函数关系式 ．
【答案】（1），；
（2）；
（3）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；勾股定理；二次函数-面积问题；二次函数-相似三角形的存在性问题
9．（2025·罗湖模拟）如图1，与轴交于点，与轴交于点
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点是拋物线上的一个动点．
①如图1，若点在第一象限内，连接PA交直线BC于点，设的面积为面积为，若，求点P坐标
②如图2，拋物线的对称轴与轴交于点，过点作点，点是对称轴上的一个动点，是否存在以点P，Q，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点的坐标．若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：由题意可设抛物线的表达式为y=a(x+1)(x-3)
将点C坐标代入表达式可得：3=a(0+1)(0-3)
解得：a=-1
∴抛物线的表达式为y=-(x+1)(x-3)=-x2+2x+3
（2）解：①设P点坐标为(t，-t2+2t+3)，作PM∥y轴交BC于点M，作AM∥y轴交BC于点N
易得BC的表达式为y=-x+3
∴M(t，-t+3)，N(-1，4)
∴PM=-t2+3t，AN=4
∵PM∥AN
∴
∴t2-3t+2=0，解得：t=1或t=2
∴P点坐标为(1，4)或(2，3)
②点Q的坐标为(1，2)或(1，4)或(1，-2)
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-动态几何问题；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【解答】解：（2）②存在，理由如下
过点F作FG⊥OB于点G
∵y==-x2+2x+3的对称轴为x=1
∴OE=1
∵，
∴OC=OB=3
∵∠COB=90°
∴△OCB是等腰直角三角形
∵∠EFB=90°，BE=OB-OE=2
∴△EFB为等腰直角三角形
∴FG=GB=EG=1
∴点F的坐标为(2，1)
当EF为边时
∵四边形EFPQ为平行四边形
∴QE=PF，QE∥PF∥y轴
∴点P的横坐标与点F的横坐标同为2
当x=2时，y=-22+2×2+3=3
∴点P的坐标为(2，3)
∴QE=PF=2
∴点Q的坐标为(1，2)
根据对称性，当P(0，3)，Q(1，4)时，四边形EFQP也为平行四边形
当EF为对角线时
∵四边形PEQF为平行四边形
∴QE=PF，QE∥PF∥y轴
同理可得，点P的坐标为(2，3)
∴QE=PF=2
点Q的坐标为(1，-2)
综上所述，点Q的坐标为(1，2)或(1，4)或(1，-2)
【分析】（1）设抛物线的表达式为y=a(x+1)(x-3)，根据待定系数法将点C坐标代入表达式即可求出答案.
（2）①设P点坐标为(t，-t2+2t+3)，作PM∥y轴交BC于点M，作AM∥y轴交BC于点N，求出BC的表达式，则M(t，-t+3)，N(-1，4)，根据两点间距离可得PM=-t2+3t，AN=4，再根据三角形面积建立方程，解方程即可求出答案.
②过点F作FG⊥OB于点G，由题意可得OE=1，OC=OB=3，根据等腰直角三角形判定定理可得△OCB是等腰直角三角形，△EFB为等腰直角三角形，则FG=GB=EG=1，即点F的坐标为(2，1)，分情况讨论：当EF为边时，根据平行四边形性质可得QE=PF，QE∥PF∥y轴，则点P的横坐标与点F的横坐标同为2，即点P的坐标为(2，3)，可得点Q坐标，根据对称性，当P(0，3)，Q(1，4)时，四边形EFQP也为平行四边形；当EF为对角线时，根据平行四边形性质可得QE=PF，QE∥PF∥y轴，同理可得，点P的坐标为(2，3)，可得点Q坐标.
10．（2025·番禺模拟）在平面直角坐标系中，将函数（为常数）的图象记为，点的坐标为．
（1）当点在图象上时，试解答以下问题：
①求函数的解析式；
②将抛物线在的那部分函数图象沿直线翻折得到新的函数图象，翻折前后的两部分合记为图象，若函数与图象至少有三个交点，求的取值范围；
（2）当时，将点向左平移2个单位长度得到点，连结，以为边向上方作矩形，使．当图象与矩形只有两个公共点时，求的取值范围．
【答案】（1）①；②
（2）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数-特殊四边形存在性问题
11．（2025·中山模拟）如图，抛物线与轴交于A，两点，且，与轴交于点，连接，抛物线对称轴为直线，为第一象限内抛物线上一动点，过点作于点，与交于点，设点的横坐标为．
（1）求抛物线的表达式；
（2）当线段的长度最大时，求的值：
（3）点是抛物线对称轴上的一点，点是坐标平面内的一点，是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；
（2）；
（3）点坐标：或或或或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；菱形的性质；竞赛类试题；二次函数-特殊四边形存在性问题
12．（2025·南山模拟）民间艺术起源于春秋，兴盛于明清，发展于现代，以功力深厚、技艺精湛著称于世．如图（1），“空中飞人”是杂技表演的压轴节目，表演惊险刺激，极具观赏性，深受观众好评．如图（2），演员从浪桥的旋转木梯点处抛出（将身体看成一个点，身体摆动忽略不计）飞到吊下的平台上，其飞行路线可看作抛物线的一部分．下面有一张平行于地面的保护网，以保护演员的安全．建立如图所示的平面直角坐标系，已知：点的坐标为，，，，，．
（1）当抛物线过点，且与轴交于点时，点的坐标为___________，抛物线的解析式为_______________；
（2）在（1）的条件下，若点的坐标为，为使演员在演出时不受伤害，求保护网（线段）的长度至少为多少米；
（3）设该抛物线的表达式为，若抛射点不变，为保证演员表演时落在平台上（即抛物线与线段有交点），请直接写出的取值范围．
【答案】（1），
（2）解：∵平行于x轴，点N的坐标为，
∴点M纵坐标为，
当时，代入抛物线解析式得，
解得：（舍去），，
∴，即保护网（线段）的长度至少为9米；
（3）解：由（1）知：，，，
∵发射点F不变，
∴抛物线一定经过，
∴当抛物线经过，时，
代入得，
∴，
当抛物线经过，时，
代入得，
∴，
∵抛物线必经过平台，
∴．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】
（1）
解：过点F作轴于，过点E作于，
结合题意可得：四边形为矩形，
∴，，，
∵，
∴
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∴点F的坐标为，
∵，点A的坐标为，
∴点B的坐标为，
∵抛物线y轴交于点，
∴设抛物线的表达式为，
将点和点代入得：
解得：，
∴抛物线的表达式为；
【分析】
（1）过点F作轴，过点E作，先求出，，然后用待定系数法即可求解；
（2）由平行于x轴和点N的坐标为可得点M的纵坐标为，把点M的纵坐标代入解析式可得关于x的一元二次方程，解方程求出点M的横坐标，根据MN的距离等于这两点的横坐标之差的绝对值即可求解；
（3）由发射点F不变，可得抛物线一定经过，由题意分两种情况：①抛物线经过，②抛物线经过，即可求解.
（1）解：过点F作轴于，过点E作于，
结合题意可得：四边形为矩形，
∴，，，
∵，
∴
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∴点F的坐标为，
∵，点A的坐标为，
∴点B的坐标为，
∵抛物线y轴交于点，
∴设抛物线的表达式为，
将点和点代入得：
解得：，
∴抛物线的表达式为；
（2）解：∵平行于x轴，点N的坐标为，
∴点M纵坐标为，
当时，代入抛物线解析式得，
解得：（舍去），，
∴，即保护网（线段）的长度至少为9米；
（3）解：由（1）知：，，，
∵发射点F不变，
∴抛物线一定经过，
∴当抛物线经过，时，
代入得，
∴，
当抛物线经过，时，
代入得，
∴，
∵抛物线必经过平台，
∴．
13．（2025·广东模拟）如图1，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，其中且
（1）求该抛物线的函数解析式；
（2）P为直线上方抛物线上一点，连接交BC于点D，连接AC，PC，求的最大值；
（3）如图2，直线EF为抛物线的对称轴，交直线于点E，交抛物线于点F，N为射线EF上一点，M为对称轴右侧抛物线上一点，是否存在与相似？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）存在，或
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质
14．（2025·阳江模拟）如图1，我们把一个半圆和抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆” ，已知A，B，C，D分别为“果圆”与坐标轴的交点，y=x-3与“果圆” 中的抛物线y=+bx+c交于B，C两点．
（1）求“果圆”中的抛物线的解析式，并直接写出“果圆”被y轴截得的线段BD的长．
（2）“果圆”上是否存在点P使∠APC=∠CAB？如果存在请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
（3）如图2，E为直线BC下方“果圆”上一点，连接AE，AB，BE，设AE与BC交于F，△BEF的面积记为S△BEF，△ABF的面积记为S△ABF，求的最小值．
【答案】（1），5
（2）存在，（0，-3）或（3，-3）
（3）
【知识点】相似三角形的判定与性质；二次函数的实际应用-几何问题
四、综合与探究
15．（2025·江门模拟）【问题背景】
如图，一次函数分别交轴、轴于、两点，抛物线过、两点．
【知识技能】
（1）求点、的坐标及抛物线的解析式；
【构建联系】
（2）作垂直轴的直线，在第一象限交直线于，交这个抛物线于．
①求线段的最大值；
②当t取何值时，的面积为．
【深入探究】
（3）在（2）②的情况下，以、、、为顶点作平行四边形，请直接写出第四个顶点的坐标．
【答案】（1）；（2）①当时，有最大值②；（）点坐标为，或
【知识点】已知正切值求边长；二次函数-线段周长问题；二次函数-面积问题；二次函数-特殊四边形存在性问题
16．（2025·盐田模拟）综合与实践
问题情境】
求方程的解，就是求二次函数的图象与x轴交点的横坐标．为了估计这个方程的解，小亮取了自变量x的4个值，再分别算出相应的y值，列表得：
x的值 0 1 2 3
的值 13 30
小亮通过分析得出结论：方程必有两个解，其中一个解大于1且小于2，设这个解为x，即．
进一步取值，得到下表：
x的值 1.0 1.1 1.2 1.3
的值 0.84 2.29
得出结论：．
【操作判断】
（1）若关于x的一元二次方程在实数范围内有两个解、（其中）．
根据下列表格
x的值 1 1.5 2 2.5
的值 4 10
你能得出　 　的大致范围（填“”或“”）；请你写出这个解的取值范围：　 　．
【实践探究】已知二次函数（n为常数）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧）．
（2）若仅有一个交点的横坐标x满足，求出n的取值范围．
（3）不论n为何值，二次函数必过定点E．
①求E点坐标；
②连结，若，请求出n的值．
【答案】（1）x1；1.5（2）解：当x=5时，y=-2n+14
当x=6时，y=-3n+22
∵仅有一个交点的横坐标x满足
∴①或②
解①得：
解②得：无解
综上，n的取值范围为
（3）解：①将函数变形为y=(x-3)n+x2-3x+4
由上式可知，当x=3时，不论n取何值，y恒等于4
故点E的坐标为(3，4)
②过点A作AD⊥AD交BE于点D，由∠AEB=45°可得△AED为等腰直角三角形
分别过点E，点D向x轴引垂线，垂足分别为点H，点F
∴∠EHA=∠DFA，∠AEH=∠DAF=90°-∠EAH，AE=AD
∴△EHA≌△AFD
设A(x1，0)，B(x2，0)
由题意可得，x1∵E(3，4)
∴EH=AF=4，HA=DF=x1-3，BF=x2-x1-4
∵∠DBF=∠EBH，∠DFB=∠EHB
∴△BDF∽△BEH
∴，即
整理得：①
对于函数
令y=0，得到方程
方程的判别式
根据题意可得
由求根公式得，，
代入①中，得
解得：，此时满足
【知识点】相似三角形的判定；等腰直角三角形；一元二次方程的求根公式及应用；二次函数y=ax²+bx+c的性质；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：（1）∵a<0
∴当时，y随x的增大而增大
由表格可知，表格给的数据是y随x的增大而增大
∴可得出x1的大致范围
∵
∴1.5故答案为：x1；1.5【分析】（1）根据二次函数的性质即可求出答案.
（2）根据题意建立不等式组，解不等式组即可求出答案.
（3）①①将函数变形为y=(x-3)n+x2-3x+4，根据二次函数的性质即可求出答案.
②过点A作AD⊥AD交BE于点D，由∠AEB=45°可得△AED为等腰直角三角形，分别过点E，点D向x轴引垂线，垂足分别为点H，点F，根据全等三角形判定定理可得△EHA≌△AFD，设A(x1，0)，B(x2，0)，由题意可得，x117．（2025·深圳模拟）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，且与一次函数的图象交于点A和点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）某学习小组发现，将抛物线在直线上方的部分沿翻折，会得到一个漂亮的“心形图”（包含A、B两点），如图2，现小组想探究恰好将心形图框住的最小矩形面积
①组员小聪想到了方案一：如图3所示，矩形的边与抛物线相切于（即只有一个公共点）顶点C______（填坐标），边与心形图右边缘相切于点D，点D与点C关于直线对称；请你帮小聪计算出矩形的面积；
②组员小颖提出了方案二：如图4所示，矩形的边过点A，边与心形图的左边缘相切，边与心形图的右边缘相切，边与心形图的左、右边缘各相切于一点，此时矩形的面积为______；请你判断以上两个方案哪个方案的矩形面积更小．
【答案】（1）
（2）①，81；②，方案二的矩形面积更小
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；矩形的性质；一次函数图象的平移变换；二次函数-面积问题
18．（2025·连州模拟）【问题背景】
如图1，已知抛物线经过，，三点．
【知识技能】
（1）求此抛物线的解析式；
（2）在平面直角坐标平面内，求点的坐标，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形；
【深入探究】
（3）如图2，为对称轴左侧抛物线上一动点，点，直线分别与轴、直线交于，两点，当为等腰三角形时，直接写出的长．
【答案】解：（1）设抛物线的解析式为，（，，为常数，），
∵抛物线经过，，，
∴，解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）如图，有三种情况，
∵，，，以，，，为顶点的四边形是平行四边形，
∴，，，，，，，
∴点在点的左边距离为处，坐标为，
点在点的右边距离为处，坐标为，
点与的连线的中点是点，坐标为．
（3）分类讨论：①当，点在点的左侧时，过点作于点，
则，
，，
，，
，，
，
，
设，则，，
，
，，
∵点，
∴，
，解得：（舍去）或，
；
当，点在点右侧时，如图，过点作轴于点，
则轴，
，，
，，
，，
，
，
设，则，，
，
，，
，解得：（舍去）或；
②如图，当时，过点作交轴于点，则，
设，则，
，
，解得：，
，
设直线的关系式为，
则，解得：，
直线的关系式为，
设直线的关系式为，
，解得：，
直线的关系式为，
，
，
③如图，当时，过点作交轴于点，则，
，，
，
，
，
设直线的关系式为，
则，解得：，
直线的关系式为，
设直线的关系式为，
，
，解得：，
直线的关系式为，
，
．
综上可得，的长为或或或16．
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数的实际应用-几何问题；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）由题意用待定系数法可求出抛物线的解析式；
（2）根据平行四边形的性质“平行四边形的对边平行且相等”可得，，，，，，再利用点的位置关系与对称性分别求出三个点的坐标即可；
（3）由题意可分三种情况：①，②，③，求出的长即可．
五、项目式实践
19．（2025·深圳模拟）项目式学习
项目主题：人工智能视觉识别
项目背景：视觉识别技术是人工智能领域的一个重要分支，它让计算机能够“看懂”图象，目标矩形（BoundingBox）是视觉识别技术的一个重要概念，它在计算机视觉的多个领域中都有应用，如目标检测、图象分割、物体跟踪等．目标矩形是一种用于表示图象中目标物体位置和大小的矩形框，在常规的目标检测任务中，如图1，一般使用边与轴平行的矩形框．
概念学习：在平面直角坐标系中，图形的目标矩形定义如下：矩形的两组对边分别平行于x轴、y轴，图形的所有点都在矩形的内部或边上，且矩形的面积最小．设矩形的竖直边与水平边的比为k，我们称常数k为图形的纵横比．举例：如图2，矩形为菱形蓝宝石的目标矩形，纵横比．
【概念理解】
（1） 如图，足球经过计算机识别后的图形为圆，其目标矩形的纵横比 ．
（2） 如图，铅笔经过计算机识别后的图形为线段，表达式为，其目标矩形的纵横比 ．
【联系实际】
如图和图，拱桥经过计算机识别后的图形为抛物线，该抛物线关于y轴对称，的高度为5米，其目标矩形的纵横比，求抛物线的表达式（不必写出自变量的取值范围）．
【应用拓展】
（1）为方便救助溺水者，拟在图的桥拱上方栏杆处悬挂救生圈，如图，为了方便悬挂，救生圈悬挂点距离抛物线拱面上方，且相邻两救生圈悬挂点的水平间距为．为美观，放置后救生圈关于y轴成轴对称分布．求符合悬挂条件的救生圈个数，并求出最左侧一个救生圈悬挂点的坐标（悬挂救生圈的柱子大小忽略不计）．
（2） 据调查，拱顶离水面最大距离为，该河段水位在此基础上再涨达到最高． 当水位达到最高时，上游一个落水者顺流而下到达抛物线拱形桥面的瞬间，若要确保救助者把拱桥上任何一处悬挂点的救生圈抛出都能抛到落水者身边，求救生绳至少需要多长．（救生圈大小忽略不计）
【答案】【概念理解】（1）；（2）；【联系实际】；【应用拓展】（1）个，；（2）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；勾股定理
20．（2025·深圳模拟）【生活情境】
为美化校园环境，某学校根据地形情况，要对景观带中一个长，宽的长方形水池进行加长改造（如图①，改造后的水池仍为长方形，以下简称水池1），同时，再建造一个周长为的矩形水池（如图②，以下简称水池2）．
【建立模型】
如果设水池的边加长长度为，加长后水池1的总面积为，则关于的函数解析式为：；设水池2的边的长为，面积为，则关于的函数解析式为：，上述两个函数在同一平面直角坐标系中的图像如图③．
【问题解决】
（1）若水池2的面积随长度的增加而减小，则长度的取值范围是______（可省略单位），水池2面积的最大值是_______；
（2）在图③字母标注的点中，表示两个水池面积相等的点是_______，此时的值是_______；
（3）当水池1的面积大于水池2的面积时，的取值范围是_______；
（4）在范围内，求两个水池面积差的最大值和此时的值；
【答案】（1）；9
（2）C，E；1或4
（3）或
（4）时，面积差的最大值为
【知识点】二次函数的最值；二次函数的实际应用-几何问题
21．（2025·深圳模拟）综合与实践
问题情境：为迎接学校运动会，综合实践小组的同学研究了每位同学掷实心球的训练情况，下面是对小宇同学某次掷球的研究．
建模分析：
第一步：根据实心球运动的路线，发现其行进路线是抛物线的一部分；
第二步：如图，以过点O水平方向的直线为x轴，过点O竖直方向的直线为y轴，建立平面直角坐标系．
第三步：记录数据，实心球运动的高度与水平距离的部分数据如下表：
1 2 4 6 7
2.25 2.67 3 2.67 2.25
第四步：成绩分析．
问题解决：
（1）求实心球运动的高度与水平距离的函数表达式；（不要求写自变量的取值范围）
（2）求实心球起点处的坐标；
（3）当实心球从起点到落地点的水平距离超过时，得分为满分．请通过计算说明小宇在此次掷球中是否得满分．
【答案】（1）
（2）
（3）不得满分
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
22．（2025·罗湖模拟）【项目主题】合理设计，实用便民
【项目背景】为了提升交通安全，南山某城市隧道入口进行道路设施规划，计划安装车道指示灯．现需要对隧道入口隔音屏顶部的装灯位置进行合理设计．某数学兴趣小组成员开展了如下探究活动：
素材1 图1是隧道入口隔音屏，其顶部轮廓可近似的看成抛物线，其截面如图2所示．以地面为轴，以左侧墙面为轴，建立平面直角坐标系，则抛物线符合．最高点离地面，照明灯安装轴右侧的点，距轴．
素材2 为测量素材1的点到地面的距离的长度，小组参考《海岛算经》中的测量方法，使用两根标杆进行测量，具体测量方法如图3所示．经测量，标杆（标杆垂直于地面），两杆相距15步，从退行10步到点，从退行15步到点．（共线，共线）
素材3 为提高通行效率，需在隔音屏顶部加装灯架，为每个车道增设指示灯．按要求，指示灯需距离地面．如图2所示，灯架，，均平行于轴，共线，且所在直线平行于轴，，的坐标为．为加强稳固性，还需在每个灯架上端加装两个长度为的支架．记灯架和支架总长．
根据提供素材，完成下列问题：
（1）数学小组计算出的长度，具体如下：
解：设，步， ， ， ______①， 又， ， ， ， ______②， ______③．
请补全上述求解过程中①②③所缺的内容：
（2）根据已知条件，求出抛物线的解析式（不需要写出x的取值范围）．
（3）求出素材3中l的值，并判断长的材料能否完成灯架和支架的安装．
【答案】（1）①，②，③；
（2）解：抛物线：的最高点离地面，
，
把代入得，
解得：，
抛物线的解析式为；

（3）解：的坐标为，，
的横坐标依次为，
的横坐标依次为，
设的坐标依次为
把代入得，
解得：，
，
同理可得，，；
，；
，
，
，
长的材料能完成灯架和支架的安装．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；相似三角形的应用；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】
（1）
解：设，步，
，
，
，
又，
，
，
，
，
，
故答案为：①，②，③；
【分析】
（1）根据相似三角形的判定“平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”可得△CMG∽△HMI，△CNG∽△JNK，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式求解；
（2）根据抛物线的顶点式并结合题意可得，将代入解析式求出，即可求解；
（3）根据题意得到的横坐标依次为，得到的横坐标依次为，设的坐标依次为
求出的值，得到的值，求出，即可求解.
（1）解：设，步，
，
，
，
又，
，
，
，
，
，
故答案为：①，②，③；
（2）解：抛物线：的最高点离地面，
，
把代入得，
解得：，
抛物线的解析式为；
（3）解：的坐标为，，
的横坐标依次为，
的横坐标依次为，
设的坐标依次为
把代入得，
解得：，
，
同理可得，，；
，；
，
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长的材料能完成灯架和支架的安装．
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