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5月上旬之三角形与四边形—广东省数学2025年中考模拟精选新题速递
一、选择题
1．（2025·罗湖模拟）数学课上，老师让同学们合作探索平行线的特征，小智用直角三角尺和直尺（相对两边缘平行）摆成图1的形状，直角三角尺三条边与直尺的边缘分别相交成（如图2），其中，小慧用量角器测得，请你帮忙算一算，的度数是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025年广东省中山市第一中学九年级数学模拟测试（4月））如图，已知，点C在点D的右侧，，平分，平分，，所在的直线交于点E，点E在与两条平行线之间．点B在点A的左侧，若，求的度数（　　）
A． B． C． D．
3．（2025年广东省东莞市大朗第一中学　九年级数学第二次模拟测试）如图，在中，， 点 O 为的中点，将 绕点O按逆时针方向旋转得到，点 A，B，C 的对应点分别为．当落在边上时，两个三角形重叠部分(阴影部分)的面积为（　　）
A． B．4 C． D．
4．（ 2025年广东省深圳市盐田区九年级中考二模数学试题）数学活动课上，小茗同学利用尺规对矩形进行如图所示的操作，作出的两条线的交点恰好落在边上的点处，则的度数为（　　）
A． B．
C．条件不足，无法计算 D．
5．（2025·蓬江模拟）如图，平行四边形的对角线与相交于点O，，在的延长线上取一点E，使，连接交于点F，且，则的长为（　　）．
A．5 B．5.5 C．6 D．7
6．（2025·蓬江模拟）如图，在菱形中，，，分别以点B和点D为圆心，线段长的一半为半径作圆弧，交、、、于点E、F、G、H，则图中阴影部分的面积为（　　）．
A． B． C． D．
7．（2025·深圳模拟）如图，已知，以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别与、相交于点，；分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内部相交于点，作射线．分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，，作直线分别与，，相交于点，，．若，，则的长为（　　）
A． B． C．2 D．
8．（广东省深圳市罗湖未来学校2024-2025学年九年级下学期数学中考模拟题）已知∠PAQ=36°，点B为射线AQ上一固定点，按以下步骤作图：①分别以A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，相交于两点M，N；②作直线MN交射线AP 于点D，连接 BD；③以B为圆心，BA长为半径画弧，交射线AP 于点C； 根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ）
A．∠CDB=72° B．△ADB∽△ABC
C．CD：AD=2：1 D．∠ABC=3∠ACB
9．（2025·河源模拟）如题图，正方形中，E为线段上一点，过B作于G，延长至点F，使，交于点K，延长交于点M，连接，若C为中点，，下列结论：
①，②点G为线段的三等分点；③；④；⑤．其中正确的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（2025·黄埔模拟）如图，在平面直角坐标系中，点，，，，，，……都是平行四边形的顶点，点，，……在轴正半轴上，，，，，，，……，平行四边形按照此规律依次排列，则第6个平行四边形的对称中心的坐标是(　　)
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2025·罗湖模拟）由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作且不易收纳．小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可．如图①，衣架杆；若衣架收拢时，，如图②所示；则收拢时的宽度比松开时的宽度缩短了　 　cm．（保留一位小数，）
12．（2025·蓬江模拟）一本书静止在斜面上，其受力分析如题图，重力G的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行，若摩擦力与重力G方向的夹角的度数为，则斜面的坡角的度数为　 　．
13．（2025·鹤山模拟）四边形具有不稳定性．如图，矩形按箭头方向变形成平行四边形，当变形后图形面积是原图形面积的一半时，则　 　．
14．（2025年广东省汕头市潮阳区西胪公校九年级中考模拟考一模数学试题）给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的4倍，那么我们称这个矩形是给定矩形的“倍倍矩形”，当已知矩形的长和宽分别为和a时，其“倍倍矩形”的对角线的长度是　 　．
15．（2025·南沙模拟）如图，矩形中，，点在上，，点在线段边上运动（不与、重合），线段绕着点顺时针旋转得到，连接．
（1）当时，则　 　；
（2）在运动的过程中，的最小值为　 　．
16．（2025·光明模拟） 如图，已知中三边长分别为，，，动点D在边BC上运动，过点D作，，垂足分别为E、F，则EF的最小值为　 　.
17．（2025·罗定模拟）如图1，直角三角形纸片的两条直角边长分别为1和2，用四张这样的直角三角形纸片拼含正方形的图案，要求拼图时直角三角形纸片不能互相重叠，则图2中可得大正方形与小正方形，设整个图2中空白部分的面积为，阴影部分的面积为，则　 　．
三、解答题
18．（广东省广州市章番禺区2024-2025学年下学期九年级一模数学试题）如图，现有正方形纸片，点，分别在边，上，沿垂直于的直线折叠得到折痕，点，分别落在正方形所在平面内的点，处，然后还原．
（1）若点在边上，且，求的大小（用含的式子表示）；
（2）再沿垂直于的直线折叠得到折痕，点，分别在边，上，点落在正方形所在平面内的点处，然后还原．若，点在线段上，且四边形是正方形，与的交点为，与的交点为，连接．小明同学猜想：的面积是的2倍，他的猜想是否正确？如正确，请给予证明；若不正确，请求出两三角形面积的比．
19．（ 2025年广东省深圳市盐田区九年级中考二模数学试题）定义：在中，如果有一条对角线的长等于其中一条边的长，则称这个平行四边形为“字平行四边形”．
（1）下面的图形中是“字平行四边形”的有：_________；
A．正方形 B．矩形 C．有一个角是的菱形
D．有一个角是的平行四边形 E．有一个角是的平行四边形
（2）在“字平行四边形”中，，，则_________．
（3）如图，在“字平行四边形”中，，，点是边上一点，，与的延长线交于点，若为“字平行四边形”，求的值；
（4）如图，在矩形中，点、分别是边和边上的点，四边形为“字平行四边形”，若，求的值．
20．（2025·光明模拟）四边形 ABCD 为正方形，以点 A 为旋转中心，将线段 AD 绕点 A 顺时针旋转，得到线段 AE，连接线段 DE，BE.
（1） 如图 1，当旋转角时，的度数为 　 　度；
（2） 如图 2，当旋转角由小变大时，的度数 　 　（填 “变大”，“变小”，或 “不变”），请说明理由；
（3） 如图 3，延长 DE，过点 B 作的延长线于点 F，连接 CF. 求线段 DE 与 CF 的数量关系，并证明你的结论；
（4） 如图 4，正方形的边长为 2，在（3）的条件下，当旋转角从旋转到，请直接写出线段 CF 扫过的面积.
21．（2025·罗湖模拟）
（1）【新知探究】
对于正数，我们称为的算术平均数，称为的几何平均数．请观察下面的表格，并解答下面的问题：
的值 的值 的值
5 4
4 4
4 m
3
①表格中的 ▲ ；
②根据表格，猜想与的大小关系（　　）；
A B C D
③当满足条件： ▲ 时，；
（2）【理解应用】
①已知，，当 ▲ 时，代数式取得最大值是 ▲ ；
②如图1，已知，在Rt中，，，求周长的最大值．
（3）【拓展提升】
如图2，已知正方形ABCD的边长为4，为CD边上的动点，PA交BD于，过点作交BC边于点，连AF交BD于点，则面积的最小值是 ▲ ．
22．（2025·深圳模拟）在平行四边形中，点，分别在边，上．
（1）【尝试初探】
如图1，若平行四边形是正方形，为的中点，，求的值；
（2）【深入探究】
如图2，，，，求的值；
（3）【拓展延伸】
如图3，与交于点，，，，求的值．
23．（2025·罗定模拟）综合与实践
主题：日月贝的设计与数学思考
【文化背景】坐落于珠海市香洲区的日月贝，不仅是一座具有艺术价值的建筑，也是来珠海市旅游的必去之地，为游客提供了丰富的体验和享受．日月贝的设计灵感源自名画《维纳斯的诞生》，由一大一小两组“贝壳”的形体组成，白天呈现半通透效果，夜晚则像贝壳一样闪闪发光．
【素材一】如图和图所示，日贝和月贝外形都可近似处理成与地面相交的圆弧．已知月贝高为米，日贝高为米，和分别是两贝的直径，两圆心到地面的距离均约为各自半径的．
【问题一】
（1）求和的长度（结果取整数）．
【素材二】如图，为了体现错落的艺术感，日贝和月贝各自斜向形成一定的夹角．小队成员在进行地面勘测时，发现了其中隐藏的几何模型．将其转化为以下数学问题．
【问题二】
（2）如图，在等腰直角中，，．在（1）的条件下，计算的长度（结果取整数）．
（参考数据，，，，）
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：过点C作CG∥MN
∵∠B=30°，∠1=70°
∴∠BEN=40°
∵DK∥MN
∴CG∥MN∥DK
∴∠3=∠ACG，∠BCG=∠2=∠BEN=40°
∵∠ACB=90°
∴∠3=∠ACG=90°-∠BEN=50°
故答案为：D
【分析】过点C作CG∥MN，根据三角形外角性质可得∠BEN=40°，根据直线平行性质可得∠3=∠ACG，∠BCG=∠2=∠BEN=40°，再根据角之间的关系及直线平行性质即可求出答案.
2．【答案】C
【知识点】角平分线的性质；内错角的概念
3．【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；旋转的性质
4．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质；矩形的性质
5．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
6．【答案】A
【知识点】勾股定理；菱形的性质；扇形面积的计算
7．【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
8．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质；线段垂直平分线的判定
9．【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质
10．【答案】D
【知识点】点的坐标；平行四边形的性质；中心对称及中心对称图形
11．【答案】14.6
【知识点】等边三角形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：如图①，过点O作OM⊥AB
∵OA=OB=20，∠AOB=120°
∴在Rt△AOM中，∠A=30°，OA=20
∴
∴AB=2AM=34.6
如图②，∠A'O'B'=60°，OA'=OB'=20
∴△O'A'B'为等边三角形
∴A'B'=O'A'=20
∴34.6-20=14.6
∴收拢时的宽度比松开时的宽度缩短了14.6cm
故答案为：14.6
【分析】如图①，过点O作OM⊥AB，根据余弦定义及特殊角的三角形函数值可得AM，则AB=2AM=34.6，如图②，根据等边三角形判定定理可得△O'A'B'为等边三角形，则A'B'=O'A'=20，再作差即可求出答案.
12．【答案】
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质
13．【答案】
【知识点】矩形的性质；求特殊角的三角函数值
14．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；一元二次方程的应用-几何问题
15．【答案】；
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；解直角三角形；旋转的性质
16．【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；勾股定理；圆周角定理；圆内接四边形的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，过点B作BH⊥AC于点H，连接AD，取AD的中点O，连接OE，OF，设AH=x，则CH=3-x，
在直角三角形ABH中：BH2=AB2-AH2=22-x2，在直角三角形BCH中：BH2=BC2-CH2=，
∴22-x2=，
解得：x=1，即AH=1，CH=2，
在直角三角形ABH中：cos∠BAH=，
∴∠BAH=60°，
∵，，
∴∠AED+∠AFD=180°，
∴A、E、D、F四点共圆，且AD为该圆的直径，
取AD的中点O，连接OE，OF，
∴∠EOF=2∠BAH=120°，
∵OE=OF，
∴∠OEF=∠OFE=30°，
∴cos30°=，
∴，
∴EF==，
∴当AD最短时，EF取最小值，
当AD⊥BC时，AD的值最小，
当AD⊥BC时，，
由勾股定理可得：BH=，
∴AD=，
此时，EF=。
故答案为： .
【分析】如图，过点B作BH⊥AC于点H，连接AD，取AD的中点O，连接OE，OF，设AH=x，则CH=3-x，然后根据勾股定理可得：22-x2=，解得x=1，即AH=1，CH=2，然后在直角三角形ABH中，根据三角函数的定义，可求得∠BAH=60°，进而根据四点共圆和圆周角定理，即可得出∠EOF=2∠BAH=120°，进而得出EF=，即可得出当AD最小时，EF取最小值，根据垂线段最短，即可得出当当AD⊥BC时，AD的值最小，然后根据三角形的面积计算公式即可得出，通过计算可求得此时AD的长度，进而得出EF的最小值即可。
17．【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质
18．【答案】（1）
（2）小明同学的猜想不正确，两三角形面积的比
【知识点】勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定与性质
19．【答案】（1）C
（2）
（3）
（4）或
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质
20．【答案】（1）135
（2）不变
（3）解： ；
证明：连接BD、BE，
由(2)可知：，
∴，
为等腰直角三角形，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴ ，
∵，
∴，
∴；
（4）解：如图，取BD的中点P，连接PC，PF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴CP⊥BD，
∵BC=BD=2，
∴BD=，
∴BP=DP=CP=，
∴PF=PC=.
∵∠BPC=90°，
∴ 线段 CF 扫过的面积=.
【知识点】等腰三角形的性质；正方形的性质；扇形面积的计算；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】(1)∵AD=AE，
∴∠AED=，
∵∠BAD=90°，
∴∠BAE=60°，
∵AB=AE=AD，
∴三角形ABE是等边三角形，
∴∠AEB=60°，
∴∠BED=75°+60°=135°；
故第1空答案为：135；
（2）理由如下：∵， ，
∴
又∵， ；
∴
∴.
故第1空答案为：不变；
【分析】（1）首先根据等腰三角形的性质得出∠AED=75°，再根据等边三角形的性质得出∠BAE=60°，进而可得出∠BED=135°；
（2）首先根据等腰三角形的性质得出∠AED=90°-，再根据等腰三角形的性质得出∠BAE=45°+，进而可得出∠BED=135°，即可得出的度数不变；
（3）首先根据两边对应成比例且夹角相等，得出，再根据相似三角形的性质得出即；
（4）首先得出 CF 扫过的面积 是以点P为圆心，PC长为半径的扇形，且圆心角为90°，然后根据扇形面积计算公式，即可得出线段 CF 扫过的面积=.
21．【答案】（1）①
②C
③a=b
（2）①20；100
②解：设BC=a，AC=b
∴
∵
∴
∴
∴周长的最大值为
（3）
【知识点】二次根式的化简求值；三角形的面积；勾股定理；正方形的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：（1）①由题意可得
故答案为：
②由表格可得：
，即
故答案为：C
③当且仅当a=b时，
故答案为：a=b
（2）①∵
∴x-10>0，30-x>0
∴当x-10=30-x，即x=20时，代数值取得最大值为(20-10)(30-20)=100
故答案为：20；100
（3）连接AC交BD于点O，连接CE
由正方形对称性可得，AE=CE，∠BCE=∠BAE
∵正方形ABCD的边长为4
∴AB=BC=CD=AD=4，AC⊥BD
∴
∵FE⊥AP
∴∠EFC=180°-∠BFE=∠BAE=∠BCE
∴EF=EC=EA
∴∠EAF=45°
∵AO⊥BD，
∴
当OG=OE时，S△ACE最小
此时AO是GE的垂直平分线
∴AG=AE，∠GAO=∠EAO=22.5°
∵OB=OD，AB=AD
∴△ABG≌△ADE
∴BG=DE，∠BAG=∠DAE=22.5°=∠GAO=∠EAO
过点G作GW⊥AB于点W，过点E作EK⊥AD于点K，则可设WG=GO=EK=OE=x
∵∠ABD=∠ADB=45°
∴
∴
解得：
∴
∴
∴面积的最小值为
【分析】（1）①根据几何平均数的定义计算即可求出答案.
②根据表格信息即可求出答案.
③根据表格信息即可求出答案.
（2）①根据不等式性质可得x-10>0，30-x>0，再根据（1）中结论即可求出答案.
②设BC=a，AC=b，根据勾股定理可得，根据（1）中结论可得，则，即可求出答案.
（3）连接AC交BD于点O，连接CE，根据正方形性质可得AE=CE，∠BCE=∠BAE，AB=BC=CD=AD=4，AC⊥BD，根据勾股定理可得，则，根据角之间的关系可得∠EFC=180°-∠BFE=∠BAE=∠BCE，则EF=EC=EA，根据等腰直角三角形性质可得，再根据三角形面积可得，当OG=OE时，S△ACE最小，此时AO是GE的垂直平分线，根据垂直平分线性质可得AG=AE，∠GAO=∠EAO=22.5°，再根据全等三角形判定定理可得△ABG≌△ADE，则BG=DE，∠BAG=∠DAE=22.5°=∠GAO=∠EAO，过点G作GW⊥AB于点W，过点E作EK⊥AD于点K，则可设WG=GO=EK=OE=x，根据等腰直角三角形性质可得，建立方程，解方程可得，则，即可求出答案.
22．【答案】（1）解：∵四边形为正方形
∴
∴
∵
∴
∴
∵为中点
∴，
∴
∴
∴
∴
（2）解：过点作于点，过点作交延长线于点，连，，则由一线三垂直可得
∴，
∴，
∴
∴为等腰直角三角形
∴
∴
∴为等腰直角三角形
∴易得
∴
（3）解：延长，交于点点，过点作于，过点作交延长线于，
不妨设，则，由，得
由
∴，
∴，
易得
∴，
∴
∴，
∴，相似比为
∴
∴
∴
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；解直角三角形；等腰直角三角形；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据正方形性质可得，再根据角之间的关系可得，根据线段中点可得，再根据正切定义可得，则，化简即可求出答案.
（2）过点作于点，过点作交延长线于点，连，，则由一线三垂直可得，根据全等三角形判定定理可得，根据角之间的关系可得，再根据等腰直角三角形判定定理可得为等腰直角三角形，则，再根据三角形内角和定理可得，则为等腰直角三角形，再根据相似三角形判定定理可得易得，则，即可求出答案.
（3）延长，交于点点，过点作于，过点作交延长线于，设，则，由，得，根据正切定义可得，，根据勾股定理可得DE，再根据相似三角形判定定理可得，则，，根据正切定义可得ON，根据边之间的关系可得OE，OD，再根据相似三角形判定定理可得，相似比为，则，即，根据相似三角形性质即可求出答案.
23．【答案】（1）米， 米；
（2） 米
【知识点】勾股定理；垂径定理的实际应用；解直角三角形的其他实际应用
1 / 15月上旬之三角形与四边形—广东省数学2025年中考模拟精选新题速递
一、选择题
1．（2025·罗湖模拟）数学课上，老师让同学们合作探索平行线的特征，小智用直角三角尺和直尺（相对两边缘平行）摆成图1的形状，直角三角尺三条边与直尺的边缘分别相交成（如图2），其中，小慧用量角器测得，请你帮忙算一算，的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：过点C作CG∥MN
∵∠B=30°，∠1=70°
∴∠BEN=40°
∵DK∥MN
∴CG∥MN∥DK
∴∠3=∠ACG，∠BCG=∠2=∠BEN=40°
∵∠ACB=90°
∴∠3=∠ACG=90°-∠BEN=50°
故答案为：D
【分析】过点C作CG∥MN，根据三角形外角性质可得∠BEN=40°，根据直线平行性质可得∠3=∠ACG，∠BCG=∠2=∠BEN=40°，再根据角之间的关系及直线平行性质即可求出答案.
2．（2025年广东省中山市第一中学九年级数学模拟测试（4月））如图，已知，点C在点D的右侧，，平分，平分，，所在的直线交于点E，点E在与两条平行线之间．点B在点A的左侧，若，求的度数（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】角平分线的性质；内错角的概念
3．（2025年广东省东莞市大朗第一中学　九年级数学第二次模拟测试）如图，在中，， 点 O 为的中点，将 绕点O按逆时针方向旋转得到，点 A，B，C 的对应点分别为．当落在边上时，两个三角形重叠部分(阴影部分)的面积为（　　）
A． B．4 C． D．
【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；旋转的性质
4．（ 2025年广东省深圳市盐田区九年级中考二模数学试题）数学活动课上，小茗同学利用尺规对矩形进行如图所示的操作，作出的两条线的交点恰好落在边上的点处，则的度数为（　　）
A． B．
C．条件不足，无法计算 D．
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质；矩形的性质
5．（2025·蓬江模拟）如图，平行四边形的对角线与相交于点O，，在的延长线上取一点E，使，连接交于点F，且，则的长为（　　）．
A．5 B．5.5 C．6 D．7
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
6．（2025·蓬江模拟）如图，在菱形中，，，分别以点B和点D为圆心，线段长的一半为半径作圆弧，交、、、于点E、F、G、H，则图中阴影部分的面积为（　　）．
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；菱形的性质；扇形面积的计算
7．（2025·深圳模拟）如图，已知，以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别与、相交于点，；分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内部相交于点，作射线．分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，，作直线分别与，，相交于点，，．若，，则的长为（　　）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
8．（广东省深圳市罗湖未来学校2024-2025学年九年级下学期数学中考模拟题）已知∠PAQ=36°，点B为射线AQ上一固定点，按以下步骤作图：①分别以A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，相交于两点M，N；②作直线MN交射线AP 于点D，连接 BD；③以B为圆心，BA长为半径画弧，交射线AP 于点C； 根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ）
A．∠CDB=72° B．△ADB∽△ABC
C．CD：AD=2：1 D．∠ABC=3∠ACB
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质；线段垂直平分线的判定
9．（2025·河源模拟）如题图，正方形中，E为线段上一点，过B作于G，延长至点F，使，交于点K，延长交于点M，连接，若C为中点，，下列结论：
①，②点G为线段的三等分点；③；④；⑤．其中正确的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质
10．（2025·黄埔模拟）如图，在平面直角坐标系中，点，，，，，，……都是平行四边形的顶点，点，，……在轴正半轴上，，，，，，，……，平行四边形按照此规律依次排列，则第6个平行四边形的对称中心的坐标是(　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】点的坐标；平行四边形的性质；中心对称及中心对称图形
二、填空题
11．（2025·罗湖模拟）由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作且不易收纳．小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可．如图①，衣架杆；若衣架收拢时，，如图②所示；则收拢时的宽度比松开时的宽度缩短了　 　cm．（保留一位小数，）
【答案】14.6
【知识点】等边三角形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：如图①，过点O作OM⊥AB
∵OA=OB=20，∠AOB=120°
∴在Rt△AOM中，∠A=30°，OA=20
∴
∴AB=2AM=34.6
如图②，∠A'O'B'=60°，OA'=OB'=20
∴△O'A'B'为等边三角形
∴A'B'=O'A'=20
∴34.6-20=14.6
∴收拢时的宽度比松开时的宽度缩短了14.6cm
故答案为：14.6
【分析】如图①，过点O作OM⊥AB，根据余弦定义及特殊角的三角形函数值可得AM，则AB=2AM=34.6，如图②，根据等边三角形判定定理可得△O'A'B'为等边三角形，则A'B'=O'A'=20，再作差即可求出答案.
12．（2025·蓬江模拟）一本书静止在斜面上，其受力分析如题图，重力G的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行，若摩擦力与重力G方向的夹角的度数为，则斜面的坡角的度数为　 　．
【答案】
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质
13．（2025·鹤山模拟）四边形具有不稳定性．如图，矩形按箭头方向变形成平行四边形，当变形后图形面积是原图形面积的一半时，则　 　．
【答案】
【知识点】矩形的性质；求特殊角的三角函数值
14．（2025年广东省汕头市潮阳区西胪公校九年级中考模拟考一模数学试题）给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的4倍，那么我们称这个矩形是给定矩形的“倍倍矩形”，当已知矩形的长和宽分别为和a时，其“倍倍矩形”的对角线的长度是　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；一元二次方程的应用-几何问题
15．（2025·南沙模拟）如图，矩形中，，点在上，，点在线段边上运动（不与、重合），线段绕着点顺时针旋转得到，连接．
（1）当时，则　 　；
（2）在运动的过程中，的最小值为　 　．
【答案】；
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；解直角三角形；旋转的性质
16．（2025·光明模拟） 如图，已知中三边长分别为，，，动点D在边BC上运动，过点D作，，垂足分别为E、F，则EF的最小值为　 　.
【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；勾股定理；圆周角定理；圆内接四边形的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，过点B作BH⊥AC于点H，连接AD，取AD的中点O，连接OE，OF，设AH=x，则CH=3-x，
在直角三角形ABH中：BH2=AB2-AH2=22-x2，在直角三角形BCH中：BH2=BC2-CH2=，
∴22-x2=，
解得：x=1，即AH=1，CH=2，
在直角三角形ABH中：cos∠BAH=，
∴∠BAH=60°，
∵，，
∴∠AED+∠AFD=180°，
∴A、E、D、F四点共圆，且AD为该圆的直径，
取AD的中点O，连接OE，OF，
∴∠EOF=2∠BAH=120°，
∵OE=OF，
∴∠OEF=∠OFE=30°，
∴cos30°=，
∴，
∴EF==，
∴当AD最短时，EF取最小值，
当AD⊥BC时，AD的值最小，
当AD⊥BC时，，
由勾股定理可得：BH=，
∴AD=，
此时，EF=。
故答案为： .
【分析】如图，过点B作BH⊥AC于点H，连接AD，取AD的中点O，连接OE，OF，设AH=x，则CH=3-x，然后根据勾股定理可得：22-x2=，解得x=1，即AH=1，CH=2，然后在直角三角形ABH中，根据三角函数的定义，可求得∠BAH=60°，进而根据四点共圆和圆周角定理，即可得出∠EOF=2∠BAH=120°，进而得出EF=，即可得出当AD最小时，EF取最小值，根据垂线段最短，即可得出当当AD⊥BC时，AD的值最小，然后根据三角形的面积计算公式即可得出，通过计算可求得此时AD的长度，进而得出EF的最小值即可。
17．（2025·罗定模拟）如图1，直角三角形纸片的两条直角边长分别为1和2，用四张这样的直角三角形纸片拼含正方形的图案，要求拼图时直角三角形纸片不能互相重叠，则图2中可得大正方形与小正方形，设整个图2中空白部分的面积为，阴影部分的面积为，则　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质
三、解答题
18．（广东省广州市章番禺区2024-2025学年下学期九年级一模数学试题）如图，现有正方形纸片，点，分别在边，上，沿垂直于的直线折叠得到折痕，点，分别落在正方形所在平面内的点，处，然后还原．
（1）若点在边上，且，求的大小（用含的式子表示）；
（2）再沿垂直于的直线折叠得到折痕，点，分别在边，上，点落在正方形所在平面内的点处，然后还原．若，点在线段上，且四边形是正方形，与的交点为，与的交点为，连接．小明同学猜想：的面积是的2倍，他的猜想是否正确？如正确，请给予证明；若不正确，请求出两三角形面积的比．
【答案】（1）
（2）小明同学的猜想不正确，两三角形面积的比
【知识点】勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定与性质
19．（ 2025年广东省深圳市盐田区九年级中考二模数学试题）定义：在中，如果有一条对角线的长等于其中一条边的长，则称这个平行四边形为“字平行四边形”．
（1）下面的图形中是“字平行四边形”的有：_________；
A．正方形 B．矩形 C．有一个角是的菱形
D．有一个角是的平行四边形 E．有一个角是的平行四边形
（2）在“字平行四边形”中，，，则_________．
（3）如图，在“字平行四边形”中，，，点是边上一点，，与的延长线交于点，若为“字平行四边形”，求的值；
（4）如图，在矩形中，点、分别是边和边上的点，四边形为“字平行四边形”，若，求的值．
【答案】（1）C
（2）
（3）
（4）或
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质
20．（2025·光明模拟）四边形 ABCD 为正方形，以点 A 为旋转中心，将线段 AD 绕点 A 顺时针旋转，得到线段 AE，连接线段 DE，BE.
（1） 如图 1，当旋转角时，的度数为 　 　度；
（2） 如图 2，当旋转角由小变大时，的度数 　 　（填 “变大”，“变小”，或 “不变”），请说明理由；
（3） 如图 3，延长 DE，过点 B 作的延长线于点 F，连接 CF. 求线段 DE 与 CF 的数量关系，并证明你的结论；
（4） 如图 4，正方形的边长为 2，在（3）的条件下，当旋转角从旋转到，请直接写出线段 CF 扫过的面积.
【答案】（1）135
（2）不变
（3）解： ；
证明：连接BD、BE，
由(2)可知：，
∴，
为等腰直角三角形，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴ ，
∵，
∴，
∴；
（4）解：如图，取BD的中点P，连接PC，PF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴CP⊥BD，
∵BC=BD=2，
∴BD=，
∴BP=DP=CP=，
∴PF=PC=.
∵∠BPC=90°，
∴ 线段 CF 扫过的面积=.
【知识点】等腰三角形的性质；正方形的性质；扇形面积的计算；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】(1)∵AD=AE，
∴∠AED=，
∵∠BAD=90°，
∴∠BAE=60°，
∵AB=AE=AD，
∴三角形ABE是等边三角形，
∴∠AEB=60°，
∴∠BED=75°+60°=135°；
故第1空答案为：135；
（2）理由如下：∵， ，
∴
又∵， ；
∴
∴.
故第1空答案为：不变；
【分析】（1）首先根据等腰三角形的性质得出∠AED=75°，再根据等边三角形的性质得出∠BAE=60°，进而可得出∠BED=135°；
（2）首先根据等腰三角形的性质得出∠AED=90°-，再根据等腰三角形的性质得出∠BAE=45°+，进而可得出∠BED=135°，即可得出的度数不变；
（3）首先根据两边对应成比例且夹角相等，得出，再根据相似三角形的性质得出即；
（4）首先得出 CF 扫过的面积 是以点P为圆心，PC长为半径的扇形，且圆心角为90°，然后根据扇形面积计算公式，即可得出线段 CF 扫过的面积=.
21．（2025·罗湖模拟）
（1）【新知探究】
对于正数，我们称为的算术平均数，称为的几何平均数．请观察下面的表格，并解答下面的问题：
的值 的值 的值
5 4
4 4
4 m
3
①表格中的 ▲ ；
②根据表格，猜想与的大小关系（　　）；
A B C D
③当满足条件： ▲ 时，；
（2）【理解应用】
①已知，，当 ▲ 时，代数式取得最大值是 ▲ ；
②如图1，已知，在Rt中，，，求周长的最大值．
（3）【拓展提升】
如图2，已知正方形ABCD的边长为4，为CD边上的动点，PA交BD于，过点作交BC边于点，连AF交BD于点，则面积的最小值是 ▲ ．
【答案】（1）①
②C
③a=b
（2）①20；100
②解：设BC=a，AC=b
∴
∵
∴
∴
∴周长的最大值为
（3）
【知识点】二次根式的化简求值；三角形的面积；勾股定理；正方形的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：（1）①由题意可得
故答案为：
②由表格可得：
，即
故答案为：C
③当且仅当a=b时，
故答案为：a=b
（2）①∵
∴x-10>0，30-x>0
∴当x-10=30-x，即x=20时，代数值取得最大值为(20-10)(30-20)=100
故答案为：20；100
（3）连接AC交BD于点O，连接CE
由正方形对称性可得，AE=CE，∠BCE=∠BAE
∵正方形ABCD的边长为4
∴AB=BC=CD=AD=4，AC⊥BD
∴
∵FE⊥AP
∴∠EFC=180°-∠BFE=∠BAE=∠BCE
∴EF=EC=EA
∴∠EAF=45°
∵AO⊥BD，
∴
当OG=OE时，S△ACE最小
此时AO是GE的垂直平分线
∴AG=AE，∠GAO=∠EAO=22.5°
∵OB=OD，AB=AD
∴△ABG≌△ADE
∴BG=DE，∠BAG=∠DAE=22.5°=∠GAO=∠EAO
过点G作GW⊥AB于点W，过点E作EK⊥AD于点K，则可设WG=GO=EK=OE=x
∵∠ABD=∠ADB=45°
∴
∴
解得：
∴
∴
∴面积的最小值为
【分析】（1）①根据几何平均数的定义计算即可求出答案.
②根据表格信息即可求出答案.
③根据表格信息即可求出答案.
（2）①根据不等式性质可得x-10>0，30-x>0，再根据（1）中结论即可求出答案.
②设BC=a，AC=b，根据勾股定理可得，根据（1）中结论可得，则，即可求出答案.
（3）连接AC交BD于点O，连接CE，根据正方形性质可得AE=CE，∠BCE=∠BAE，AB=BC=CD=AD=4，AC⊥BD，根据勾股定理可得，则，根据角之间的关系可得∠EFC=180°-∠BFE=∠BAE=∠BCE，则EF=EC=EA，根据等腰直角三角形性质可得，再根据三角形面积可得，当OG=OE时，S△ACE最小，此时AO是GE的垂直平分线，根据垂直平分线性质可得AG=AE，∠GAO=∠EAO=22.5°，再根据全等三角形判定定理可得△ABG≌△ADE，则BG=DE，∠BAG=∠DAE=22.5°=∠GAO=∠EAO，过点G作GW⊥AB于点W，过点E作EK⊥AD于点K，则可设WG=GO=EK=OE=x，根据等腰直角三角形性质可得，建立方程，解方程可得，则，即可求出答案.
22．（2025·深圳模拟）在平行四边形中，点，分别在边，上．
（1）【尝试初探】
如图1，若平行四边形是正方形，为的中点，，求的值；
（2）【深入探究】
如图2，，，，求的值；
（3）【拓展延伸】
如图3，与交于点，，，，求的值．
【答案】（1）解：∵四边形为正方形
∴
∴
∵
∴
∴
∵为中点
∴，
∴
∴
∴
∴
（2）解：过点作于点，过点作交延长线于点，连，，则由一线三垂直可得
∴，
∴，
∴
∴为等腰直角三角形
∴
∴
∴为等腰直角三角形
∴易得
∴
（3）解：延长，交于点点，过点作于，过点作交延长线于，
不妨设，则，由，得
由
∴，
∴，
易得
∴，
∴
∴，
∴，相似比为
∴
∴
∴
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；解直角三角形；等腰直角三角形；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据正方形性质可得，再根据角之间的关系可得，根据线段中点可得，再根据正切定义可得，则，化简即可求出答案.
（2）过点作于点，过点作交延长线于点，连，，则由一线三垂直可得，根据全等三角形判定定理可得，根据角之间的关系可得，再根据等腰直角三角形判定定理可得为等腰直角三角形，则，再根据三角形内角和定理可得，则为等腰直角三角形，再根据相似三角形判定定理可得易得，则，即可求出答案.
（3）延长，交于点点，过点作于，过点作交延长线于，设，则，由，得，根据正切定义可得，，根据勾股定理可得DE，再根据相似三角形判定定理可得，则，，根据正切定义可得ON，根据边之间的关系可得OE，OD，再根据相似三角形判定定理可得，相似比为，则，即，根据相似三角形性质即可求出答案.
23．（2025·罗定模拟）综合与实践
主题：日月贝的设计与数学思考
【文化背景】坐落于珠海市香洲区的日月贝，不仅是一座具有艺术价值的建筑，也是来珠海市旅游的必去之地，为游客提供了丰富的体验和享受．日月贝的设计灵感源自名画《维纳斯的诞生》，由一大一小两组“贝壳”的形体组成，白天呈现半通透效果，夜晚则像贝壳一样闪闪发光．
【素材一】如图和图所示，日贝和月贝外形都可近似处理成与地面相交的圆弧．已知月贝高为米，日贝高为米，和分别是两贝的直径，两圆心到地面的距离均约为各自半径的．
【问题一】
（1）求和的长度（结果取整数）．
【素材二】如图，为了体现错落的艺术感，日贝和月贝各自斜向形成一定的夹角．小队成员在进行地面勘测时，发现了其中隐藏的几何模型．将其转化为以下数学问题．
【问题二】
（2）如图，在等腰直角中，，．在（1）的条件下，计算的长度（结果取整数）．
（参考数据，，，，）
【答案】（1）米， 米；
（2） 米
【知识点】勾股定理；垂径定理的实际应用；解直角三角形的其他实际应用
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