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14.2 三角形全等的判定
第十四章 全等三角形
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
课时讲解
1
课时流程
2
基本事实“边角边”或“SAS”
基本事实“角边角”或“ASA”
“角角边”或“AAS”
基本事实“边边边”或“SSS”
用尺规作一个角等于已知角
“斜边、直角边”或“HL”
1. 基本事实：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等(可以简写成“边角边”或“SAS”).
知识点
基本事实“边角边”或“SAS”
1
知1－讲
2. 书写格式：如图14.2-1，
在△ ABC 和△ A′B′C′ 中，
∴△ ABC ≌△ A′B′C′(SAS).
AB=A′B′，
∠ B= ∠ B′，
BC=B′C′，
知1－讲
把三个条件按顺序排列，并用大括号将其括起来
特别解读
在书写两个三角形全等的条件“边角边”时，要按照“边→角→边”的顺序来写，即把夹角相等写在中间，以突出两边及其夹角分别相等.
知1－讲
注意
两边和其中一边的对角分别相等的两个三
角形不一定全等.即“边边角”(SSA)不能
作为判定两个三角形全等的条件.如图14.2-2，
在△ABC和△ABD中，AB=AB，∠B=∠B，AC=AD，显然△ABC和△ABD不全等.
知1－讲
特别提醒
证明三角形全等要善于挖掘图中隐藏的相等的边和角，其中出现相等的边的情况有：①公共边，②线段的中点，③等边加减等边；出现相等的角的情况有：①公共角，②对顶角，③角平分线，④等角加减等角，⑤平行线的性质，⑥垂直，⑦余角、补角的性质，⑧全等三角形的性质.
知1－讲
[中考· 云南]如图14.2-3，在△ABC和△AED中，AB＝AE，∠BAE＝∠CAD，AC＝AD. 求证：△ABC≌△AED．
例1
解题秘方：根据条件找出两个三角形中的两条边及其夹角对应相等，根据“SAS”判定两个三角形全等.
知1－练
证明：∵∠BAE＝∠CAD，
∴∠BAE＋∠EAC＝∠CAD＋∠EAC，即∠BAC＝∠EAD.
在△ABC和△AED中，
∴△ABC≌△AED(SAS).
知1－练
1-1.[期末·北京怀柔区]如图，点B，E，C，F在一条直线上，AC与DE相交于点O，AB＝DE，∠B＝∠DEF，BE＝CF，求证：△ABC≌△DEF.
知1－练
知1－练
1. 基本事实：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等(可以简写成“角边角”或“ASA”).
知识点
基本事实“角边角”或“ASA”
2
知2－讲
2. 书写格式：如图14.2-4，
在△ ABC 和△ A′B′C′ 中，
∠ B= ∠ B′，
BC=B′C′，
∠ C= ∠ C′，
∴△ ABC ≌△ A′B′C′( ASA).
知2－讲
特别解读
在书写两个三角形全等的条件“角边角”时,要按照“角→边→角”的顺序来写，即把夹边相等写在中间，以突出两角及其夹边分别相等.
知2－讲
[中考·乐山] 如图14.2-5，B是线段AC的中点，AD∥ BE，BD∥CE.求证：△ABD≌△BCE．
例2
解题秘方：解题的关键是由两组平行线得出两组角对应相等，构造两角及其夹边对应相等.
知2－练
证明：∵ B 为线段AC 的中点，∴ AB=BC.
∵ AD ∥ BE，BD ∥ CE，∴∠ A= ∠ EBC，∠ C= ∠ DBA.
在△ ABD 和△ BCE 中，
∴△ ABD ≌△ BCE(ASA).
∠ A= ∠ EBC，
AB=BC，
∠ DBA= ∠ C，
知2－练
2-1.[期中·潍坊昌邑市]如图，AB∥FC，E是AC的中点.
知2－练
(1)求证：△ADE≌△CFE；
知2－练
(2)若AB＝15，CF＝8，求BD的长.
解：∵△ADE≌△CFE，∴CF＝AD.
∵AB＝15，CF＝8，
∴BD＝AB－AD＝AB－CF＝15－8＝7.
知2－练
1. 定理：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(可以简写成“角角边”或“AAS”).
知识点
“角角边”或“AAS”
3
知3－讲
2. 书写格式：如图14.2-6，
在△ ABC 和△ A′B′C′ 中，
∠ A= ∠ A′，
∠ B= ∠ B′，
BC=B′C′，
∴△ ABC ≌△ A′B′C′(AAS).
知3－讲
3.“ASA”和“AAS”的区别与联系
“S”的意义 书写格式 联系
ASA “S”是两角的夹边 把夹边相等写在两角相等的中间 由三角形内角和定理可知，“AAS”可由“ASA”推导得出
AAS “S”是其中一角的对边 把两角相等写在一起，边相等放在最后
知3－讲
特别解读
1.判定两个三角形全等的三个条件中，“边”是必不可少的.
2. 三角分别相等的两个三角形形状相同、大小不一定相同，因此不一定全等.
知3－讲
如图14.2-7，AB＝AE，∠1＝∠2，∠C＝∠D．
求证：△ ABC≌△ AED．
例3
知3－练
解题秘方：判定两个三角形全等，可采用执果索因的方法，即根据结论反推需要的条件. 如本题还缺少∠BAC＝∠EAD，需利用已知条件∠1＝∠2进行推导.
知3－练
证明：∵∠ 1= ∠ 2，
∴∠ 1＋∠ EAC= ∠ 2＋∠ EAC，即∠ BAC= ∠ EAD.
在△ ABC 和△ AED 中，
∠ C= ∠ D，
∠ BAC=∠ EAD，
AB=AE，
∴△ ABC ≌△ AED(AAS).
知3－练
3-1.[中考· 淮安] 已知：如图，点D 为线段BC 上一点，BD=AC，∠ E= ∠ ABC，DE ∥AC．求证：DE=BC.
知3－练
知3－练
1. 已知三边作三角形
知识点
基本事实“边边边”或“SSS”
4
知4－讲
要求 作法 图示
用直尺和圆规作△ABC， 使AB＝c，AC＝b，BC＝a ①作线段BC＝a， ② 分别以点B，C为圆心，c， b的长为半径画弧，两弧相交于点A； ③连接AB，AC. △ABC就是所求作的三角形
2. 基本事实：三边分别相等的两个三角形全等(可以简写成“边边边”或“SSS”).
这个基本事实告诉我们：当三角形的三边确定后，其形状、大小也随之确定. 这是说明三角形具有稳定性的依据.
知4－讲
3. 书写格式：如图14.2-8，
在△ ABC 和△ A′ B′ C′ 中，
AB=A′B′，
BC=B′C′，
AC=A′C′，
∴△ ABC ≌△ A′B′C′(SSS).
知4－讲
特别提醒
在两个三角形的六个元素( 三条边和三个角) 中，由已知的三个元素可判定两个三角形全等的组合有4 个：“SSS”“SAS”“ASA”和“AAS”，不能判定两个三角形全等的组合是“AAA”和“SSA”(“ASS”).
知4－讲
如图14.2-9，已知点A，D，B，F 在一条直线上，AC= FE，BC＝DE，AD＝FB. 求证：△ABC≌△FDE.
解题秘方：紧扣“SSS”找出两个三角形中三边对应相等的条件来判定两个三角形全等.
知4－练
例4
证明：∵ AD=FB，
∴ AD＋DB=FB＋DB，
即AB=FD.
在△ ABC 和△ FDE 中，
∴△ ABC ≌△ FDE(SSS).
AC=FE，
AB=FD，
BC=DE，
知4－练
4-1.[中考·内江] 如图，点A，D，B，E在同一条直线上，AD＝BE，AC＝DF，BC＝EF.
知4－练
(1)求证：△ABC≌△DEF；
知4－练
(2)若∠A＝55°，∠E＝45°，求∠F的度数．
解：∵△ABC≌△DEF，∠A＝55°，
∴∠FDE＝∠A＝55°.
∵∠E＝45°，
∴∠F＝180°－∠FDE－∠E＝180°－55°－45°＝80°.
知4－练
用尺规作一个角等于已知角
已知∠ AOB(如图14.2 - 10 ①)，求作∠A′O′B ′，使∠A′O′B′＝∠AOB ，并证明.
知识点
用尺规作一个角等于已知角
5
知5－讲
作法：(1)以点O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB 于点C，D；
(2)作一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC为半径作弧，交O′A′于点C′；
(3)以点C′为圆心，CD为半径画弧，与上一步作的弧相交于点D′；
知5－讲
(4)过点D′作射线O′B′，则∠A′O′B′即为所求作的角(如图14.2-10 ②).
证明：连接CD，C′D′.
由作法(1)(2)可知OC=OD=O′C′；
由作法(3)可知CD=C′D′，O′C′=O′D′，
∴ OD=O′D′.∴△ OCD ≌△ O′C′D′(SSS).
∴∠AOB=∠A′O′B′.
知5－讲
特别解读
作一个角等于已知角，是利用尺规作一个三角形与已知三角形全等，利用的判定方法是“SSS”，然后利用全等三角形的性质——对应角相等，证明作出的角等于已知角.
知5－讲
如图14.2-11 ①，过点C作直线DE，使DE∥AB.
解题秘方：通过作一对内错角相等来作已知直线的平行线.
知5－练
例5
也可以作一对同位角相等
解：作法如下：
(1)过点C 作直线MN 与AB 相交，交点为F；
(2)在直线MN 的右侧作∠ FCE，使∠FCE= ∠AFC；
(3)反向延长CE，得到直线DE，直线DE即为所求(14.2-11 ②).
知5－练
5-1.[月考·西安雁塔区]如图，在四边形ABCD中，点P为边AD上一点，请用尺规作图法，在边BC上求作一点Q，使得点P，Q到AB的距离相等.
知5－练
解：如图所示，点Q即为所求．
知5－练
如图14.2-12，已知线段a和∠α. 求作△ABC，使AB＝a，AC＝2a，∠A＝∠α.
解题秘方：紧扣已知两边及夹角作三角形的方法，按步骤作图即可.
知5－练
例6
解：如图14.2-13. (1)作∠MAN＝∠α；
(2)在射线AM，AN上分别截取AB＝a，AC＝2a；
(3)连接BC，则△ABC就是所求作的三角形.
知5－练
6-1. 如图，已知∠α和线段a， 用尺规作△ABC， 使∠ABC＝∠α，∠ACB＝2∠α，BC＝a. (保留作图痕迹)
知5－练
解：如图所示．
1. 定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直角边”或“HL”).
知识点
“斜边、直角边”或“HL”
6
知6－讲
2. 书写格式：如图14.2-14，
在Rt△ABC 和Rt△A′B′C′ 中，
AB=A′B′，
BC=B′C′，
∴ Rt△ABC≌ Rt△A′B′C′(HL).
知6－讲
3. 判定两个三角形全等常用的思路方法
已知对应相等的元素 可选择的判定方法 需寻找的条件
锐角三角形或钝角三角形 两边(SS) SSS 或SAS 可证第三边对应相等或证两边的夹角对应相等
一边及其邻角(SA) SAS 或ASA 或AAS 可证已知角的另一边对应相等或证已知边的另一邻角对应相等或证已知边的对角对应相等
知6－讲
已知对应相等的元素 可选择的判定方法 需寻找的条件
锐角三角形或钝角三角形 一边及其对角(SA) AAS 可证另一角对应相等
两角(AA) ASA 或AAS 可证两角的夹边对应相等或证一相等角的对边对应相等
知6－讲
已知对应相等的元素 可选择的判定方法 需寻找的条件
直 角 三 角 形 一锐角(A) ASA 或AAS 可证直角与已知锐角的夹边对应相等或证已知锐角(或直角)的对边对应相等
斜边(H) HL 或AAS 可证一条直角边对应相等或证一锐角对应相等
一直角边(L) HL 或ASA 或AAS 或SAS 可证斜边对应相等或证与已知边相邻的锐角对应相等或证已知边所对的锐角对应相等或证另一直角边对应相等
知6－讲
特别提醒
1.应用“HL”判定两个直角三角形全等，在书写时两个三角形符号前一定要加上“Rt”.
2.判定两个直角三角形全等的特殊方法“HL ”，只适用于直角三角形全等的判定，对于一般三角形不适用.
知6－讲
特别提醒
3.判定一般三角形全等的所有方法对判定两个直角三角形全等同样适用.
4.在用一般方法判定两个直角三角形全等时，因为两个直角三角形中已具备一对直角相等的条件，故只需找另外两个条件即可
知6－讲
[母题 教材P43练习T2]已知：如图14.2-15，点E，F 在线段BD 上，AF ⊥ BD，CE ⊥ BD，AD=
CB，DE=BF. 求证：AF=CE．
解题秘方：利用“HL”证明两个直角三角形全等，为证明两条线段相等创造条件.
知6－练
例7
证明：∵ DE=BF，
∴ DE＋EF=BF＋EF，即DF=BE.
在Rt △ ADF 和Rt △ CBE 中，
AD=CB，
DF=BE，
∴ Rt △ ADF ≌ Rt △ CBE(HL). ∴ AF=CE.
知6－练
7-1.如图，在△ABC中，AC=BC，直线l经过点C，过A，B两点分别作l的垂线AE，BF，垂足分别为E，F，AE=CF. 求证：∠ ACB=90°．
知6－练
知6－练
三角形全等的判定
一般
三角
形全
等的
判定
方法
三边(SSS)
直角
三角
形全
等的
判定
方法
两边及夹角(SAS)
两角一边
(ASA 或AAS)
斜边、直角边(HL)

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