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5月上旬之圆—广东省数学2025年中考模拟精选新题速递
一、选择题
1．（2025·南沙模拟）如图，平面直角坐标系中，点坐标分别为．点是轴正半轴上的一点，且满足，则的外接圆的半径等于（　　）
A． B． C．8 D．4
【答案】A
【知识点】垂径定理；圆周角定理；三角形的外接圆与外心
二、填空题
2．（广东省广州市章番禺区2024-2025学年下学期九年级一模数学试题）如图①是小区围墙上的花窗，其形状是扇形的一部分，图②是其几何示意图．通过测量得到扇形的圆心角为，，点，分别为，的中点，则花窗的面积为　（1） 　．
【答案】
【知识点】扇形面积的计算
3．（2025·深圳模拟）《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，其中第九卷《勾股》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之、深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用几何语言表达为：如图，是的直径，弦于点，寸，寸，则半径长为　 　寸．
【答案】13
【知识点】勾股定理；垂径定理
4．（2025·霞山模拟）如图，用一个半径为的定滑轮拉动重物上升，滑轮旋转了，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，则重物上升了　 　．
【答案】
【知识点】弧长的计算
5．（2025·清城模拟）如图，AB为半圆O的直径，AB＝8，半圆O绕OB的中点C顺时针旋转90°，直径A'B'与AB交于点D，连接BB'，则图中阴影部分的面积为　 　．
【答案】
【知识点】扇形面积的计算；旋转的性质
6．（2025年广东省广州市白云区一模数学试题 ）铁艺花窗是园林设计中常见的装饰元素．如图是一个花瓣造型的花窗示意图，由六条等弧连接而成，六条弧所对应的弦构成一个正六边形，中心为点O，所在圆的圆心C恰好是的内心，若，则阴影部分面积为　（1） 　．
【答案】
【知识点】圆内接正多边形；扇形面积的计算；解直角三角形
7．（2025年广东省珠海市斗门区中考第一次模拟考试数学试题）如图，是的直径，将弦绕点A顺时针旋转得到，此时点C的对应点D落在上，延长，交于点E，若，则图中阴影部分的面积为　（1） 　．
【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理；扇形面积的计算
8．（2025·福田模拟）如图，线段为的直径，点在的延长线上，，，点是上一动点，连接，以为斜边在的上方作，且使得，连接，则长的最大值为　 　．
【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质；圆与三角形的综合
9．（2025年广东省湛江第一中学初中部中考一模数学试题）如图，是的直径，是的切线，点为上任意一点，点为的中点，连接交于点，延长与相交于点，若，，则的长为　（1） 　．
【答案】
【知识点】圆周角定理；切线的性质；相似三角形的判定与性质；已知正切值求边长
10．（2025年广东省深圳市南山区多校联考中考数学二模试题）七巧板是中国古代人民创造的益智玩具，被誉为“东方魔板”．小明用一个边长为4的正方形制作出如图1的七巧板，再用这副七巧板拼出了如图2的“灵蛇献瑞”图．过该图形的三个顶点作圆，则这个圆的半径长为　（1） 　．
【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质；垂径定理
三、解答题
11．（2025·罗湖模拟）如图，在中，，以AB为直径的交边AC于点，连接BD，过点作．
（1）请用无刻度的直尺和圆规作图：过点作的切线，交CE于点；（不写作法，保留作图痕迹，标明字母）
（2）在（1）的条件下，求证：；
（3）在（1）的条件下，，求的半径．
【答案】（1）解：方法不唯一，如图所示．
（2）证明：，
．
又，
，
．
点在以AB为直径的圆上，
，
．
又为的切线，
．
，
，
，
．
在和△BCF中，
．
．
（3）解：由（2）得：，
，
，
设，
，
，
，
解得：，
的半径为5．
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；圆周角定理；切线的性质；尺规作图-过圆外一点作圆的切线
【解析】【分析】（1）根据切线性质作图即可求出答案.
（2）根据等边对等角可得，再根据直线平行性质可得，则，根据圆周角定理可得，则，再根据切线性质可得，根据直线平行性质可得，再根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，即可求出答案.
（3）根据全等三角形判定定理可得，则，设，根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
12．（2025·翁源模拟）综合与实践
【主题】圆形纸片与剪纸艺术
【素材】图1中半径为2的圆形纸片（）若干．
【实践操作】活动一：如图2，在该圆形纸片（）上剪出一个圆周角为90°的扇形．
活动二：如图3，在另一圆形纸片（）内剪出一个内接正六边形，设该正六边形的面积为，再连接，，剪出，设的面积为．
活动三：在活动二的基础上，装饰粘贴上六个弧形花瓣，中心为点，所在圆的圆心恰好是的内心．
【实践探索】
（1）根据剪纸要求，计算图2中的扇形的面积．
（2）请直接写出的值：______．
（3）求弧形花瓣总的周长（图4中实线部分的长度）．（结果保留）
【答案】（1）
（2）2
（3）
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆内接正多边形；弧长的计算；解直角三角形
13．（广东省深圳市南山区哈尔滨工业大学（深圳）实验学校2024-2025学年九年级下学期数学第二次模拟考试试卷）
（1）【问题情境】
如图1，圆与大正方形的各边都相切，小正方形是圆的内接正方形，那么大正方形面积是小正方形面积的几倍？小昕将小正方形绕圆心旋转（如图2），这时候就容易发现大正方形面积是小正方形面积的 ▲ 倍．由此可见，图形变化是解决问题的有效策略：
（2）【操作实践】
如图3，图①是一个对角线互相垂直的四边形，四边之间存在某种数量关系．小昕按所示步骤进行操作，并将最终图形抽像成图4．请你结合整个变化过程，直接写出图4中以矩形内一点为端点的四条线段之间的数量关系；
（3）【探究应用】
如图5，在图3中“④”的基础上，小昕将绕点逆时针旋转，他发现旋转过程中存在最大值．若，当最大时，求AD的长；
（4）如图6，在RtABC中，，点D、E分别在边AC和BC上，连接DE、AE、BD．若，求的最小值．
【答案】（1）2
（2）PA2+ PC2= PB2+ PD2；
（3）解： 如图，将△PDC绕点P逆时针旋转，
∴点D在以点P为圆心，PD为半径的圆上运动，
∵点A是圆外的一个动点，
∴当AD与相切时，最大，
∴PD⊥AD，
∴AD2= AP2- PD2，
由(2)可得： AE= DF，
∵PE=8，PF= 5，
∴ AD2= AP2- PD2= PE2+ AE2- PF2-DF2=82-52 = 39
∴AD=；
（4）解：如图，将△BDC沿BC对折，D的对应点为D1，将△AEC沿AC对折，E的对应点为E1，连接D1 E1，
∴CD= CD1，CE= CE1，
再将ABE1沿AC方向平移，使得A1与D1重合，得到B1D1E2
由(2)可得： AE+ BD= D1E2 + BD1，当E2，D1， B三点共线时，
AE+ BD= D1E2十BD1最短，
∵ AC+CD=5，BC+CE= 8，
∴E1E2 =5，BE1= 8
∴BE2=
故AE + BD的最小值为 .
【知识点】两点之间线段最短；勾股定理；轴对称的性质；最大张角辅助圆模型；圆与四边形的综合
【解析】【解答】
解：（1）如图：
∵四边形ABCD，EFGH为正方形，圆为正方形ABCD的内切圆，为正方形EFGH的外接圆，
∴设AE= DE= DH=CH=CG= BG=AF=BF=m，∠A=90°，
∴AB=AD=2m，EF=
∴S正方形ABCD = 4m2 ， S正方形EFGH= ()2=2m2，
大正方形面积是小正方形面积的2倍；
故答案为：2.
（2）如图：
∵EG⊥FH，
∴a2= OF2+OE2，c2= OG2 + OH2，d2= OE2+ OH2，b2= OF2 + OG2，
∴a2+c2=b2+ d2，
结合图形变换可得：PA2+ PC2= PB2+ PD2；
故答案为：PA2+ PC2= PB2+ PD2.
【分析】
(1)设AB=AD=2m，EF即可表示出面积S正方形ABCD = 4m2 ， S正方形EFGH= ()2=2m2，即可得到它们的面积关系；
(2) 由EG⊥FH，利用勾股定理可证明a2+c2=b2+d2，再结合图形变换可得答案；
(3)将△PDC绕点P逆时针旋转，可得点D在以点P为圆心，PD为半径的圆上运动，可得当AD与OP相切时，∠DAP最大，Z再利用勾股定理即可解答；
(4)将△BDC沿BC对折，D的对应点为D1，将△AEC沿AC对折，E的对应点为E1，连接D1E1，再将△ABE1沿AC方向平移，使A与D1重合，得△B1D1E2，由(2)可得： AE+ BD= D1E2+ BD1，当E2，D1，B三点共线时，AE+ BD= D1E2+ BD1最短，再进一步利用勾股定理即可解答.
14．（2025·清城模拟）综合与实践
【主题】什么形状的车轮让车辆行驶更平稳
【素材】三种形状的车轮，圆形车轮、正方形车轮、等边三角形车轮
【实践操作】分别将车轮竖直放在水平地面上进行无滑动的滚动，车辆的平稳关键看车轮轴心是否稳定，即车轮的轴心是否在一条水平线上运动．
（1）如图1，若圆形车轮直径为，其车轮轴心O到地面的距离始终为______；
（2）如图2，正方形车轮在滚动过程中轴心（对角线交点）到地面的距离不断变化，若正方形的边长为，车轮轴心距离地面的最高点与最低点的高度差为_____；
（3）如图3，等边三角形车轮在滚动过程中轴心（三边垂直平分线的交点）到地面的距离不断变化，若等边三角形边长为，该车轮在地面上无滑动地滚动一周，求点经过的路径长．
【答案】（1）
（2）
（3）
【知识点】等边三角形的性质；正方形的性质；圆的相关概念；弧长的计算
15．（2025·茂南模拟）如图，中，，以点为圆心，为半径作圆，交于点．
（1）请用无刻度的直尺和圆规作出线段的垂直平分线（保留作图痕迹，不写作法） ；
（2）若（1）中所作的垂直平分线与边交于点，连接．求证：是的切线．
【答案】（1）解：作图如下：即为线段的垂直平分线．
（2）证明：连接，如图：
∵为线段的垂直平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵为的半径，
∴是的切线．
【知识点】线段垂直平分线的性质；切线的判定；尺规作图-垂直平分线；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）用线段垂直平分线的基本作图的作法解答即可.
（2）连接，根据垂直平分线性质可得，由等边对等角可得，，再根据角之间的关系可得，再根据切线判定定理即可求出答案.
（1）作图如下：即为线段的垂直平分线．
（2）证明：连接，如图：
∵为线段的垂直平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵为的半径，
∴是的切线．
16．（2025·盐田模拟）如图，在中，点是边的中点，过点作直线，垂足为点，交的延长线于点．以为直径作，恰好经过点．
（1）求证：是的切线；
（2）若的半径为5，，求的面积．
【答案】（1）证明：连接OD，AD
∵AB为直径，过点
∴∠ADB=90°，即AD⊥BC
∵D是BC的中点
∴AB=AC，且∠BAD=∠CAD
∵OA=OD
∴∠BAD=∠ODA
∴∠CAD=∠ODA
∴OD∥AC
∴∠ODE=∠DEC
∵DE⊥AC
∴∠ODE=90°
∴∠DEC=90°，即OD⊥DE
∵OD为的半径
∴是的切线
（2）解：∵OA=5
∴AB=AC=10
∵AD⊥BC，
在Rt△ADC中
∵DE⊥AC
在Rt△CDE中
∴
【知识点】三角形的面积；勾股定理；圆周角定理；切线的判定；解直角三角形
【解析】【分析】（1）连接OD，AD，根据圆周角定理可得∠ADB=90°，即AD⊥BC，再根据线段中点可得AB=AC，且∠BAD=∠CAD，根据等边对等角可得∠BAD=∠ODA，则∠CAD=∠ODA，根据直线平行性质可得∠ODE=∠DEC，则∠DEC=90°，即OD⊥DE，再根据切线判定定理即可求出答案.
（2）根据题意可得AB=AC=10，在Rt△ADC中，解直角三角形可得，再根据勾股定理可得CD，在Rt△CDE中，解直角三角形可得，再根据三角形面积即可求出答案.
17．（2025·福田模拟）如图，是直径，点C为劣弧中点，弦、相交于点E，点F在的延长线上，，垂足为G，且．
（1）求证：是的切线；
（2）当、时，求的长度；
（3）当时，求的值．
【答案】（1）解：连接，如图1所示，
点为劣弧中点，
，
，
，，
平分，
，
，
，，
，，
；
，
，
，
，
是直径，
是的切线；
（2）解：连接，如图所示：
∵，，
则，
∵点C为劣弧中点，
∴，
∴，
即，
∵，
∴的长度；
（3）解：如图2，作于点，
则，
由（1）得，即，
在和中，
，
，
，
设，则，
，，
，
，，
，
，
，
，，
，
．
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；弧长的计算；角平分线的概念；求正切值
【解析】【分析】（1）连接，根据圆周角定理可得，根据角平分线判定定理可得平分，则，再根据角之间的关系可得，再根据切线判定定理即可求出答案.
（2）连接，根据圆周角定理可得，，即，再根据弧长公式即可求出答案.
（3）作于点，根据角之间的关系可得，根据全等三角形判定定理可得，则，设，则，根据等角对等边可得，则，，，根据勾股定理可得FG，再根据正切定义即可求出答案.
（1）解：连接，如图1所示，
点为劣弧中点，
，
，
，，
平分，
，
，
，，
，，
；
，
，
，
，
是直径，
是的切线；
（2）解：连接，如图所示：
∵，，
则，
∵点C为劣弧中点，
∴，
∴，
即，
∵，
∴的长度；
（3）解：如图2，作于点，
则，
由（1）得，即，
在和中，
，
，
，
设，则，
，，
，
，，
，
，
，
，，
，
．
1 / 15月上旬之圆—广东省数学2025年中考模拟精选新题速递
一、选择题
1．（2025·南沙模拟）如图，平面直角坐标系中，点坐标分别为．点是轴正半轴上的一点，且满足，则的外接圆的半径等于（　　）
A． B． C．8 D．4
二、填空题
2．（广东省广州市章番禺区2024-2025学年下学期九年级一模数学试题）如图①是小区围墙上的花窗，其形状是扇形的一部分，图②是其几何示意图．通过测量得到扇形的圆心角为，，点，分别为，的中点，则花窗的面积为　（1） 　．
3．（2025·深圳模拟）《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，其中第九卷《勾股》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之、深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用几何语言表达为：如图，是的直径，弦于点，寸，寸，则半径长为　 　寸．
4．（2025·霞山模拟）如图，用一个半径为的定滑轮拉动重物上升，滑轮旋转了，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，则重物上升了　 　．
5．（2025·清城模拟）如图，AB为半圆O的直径，AB＝8，半圆O绕OB的中点C顺时针旋转90°，直径A'B'与AB交于点D，连接BB'，则图中阴影部分的面积为　 　．
6．（2025年广东省广州市白云区一模数学试题 ）铁艺花窗是园林设计中常见的装饰元素．如图是一个花瓣造型的花窗示意图，由六条等弧连接而成，六条弧所对应的弦构成一个正六边形，中心为点O，所在圆的圆心C恰好是的内心，若，则阴影部分面积为　（1） 　．
7．（2025年广东省珠海市斗门区中考第一次模拟考试数学试题）如图，是的直径，将弦绕点A顺时针旋转得到，此时点C的对应点D落在上，延长，交于点E，若，则图中阴影部分的面积为　（1） 　．
8．（2025·福田模拟）如图，线段为的直径，点在的延长线上，，，点是上一动点，连接，以为斜边在的上方作，且使得，连接，则长的最大值为　 　．
9．（2025年广东省湛江第一中学初中部中考一模数学试题）如图，是的直径，是的切线，点为上任意一点，点为的中点，连接交于点，延长与相交于点，若，，则的长为　（1） 　．
10．（2025年广东省深圳市南山区多校联考中考数学二模试题）七巧板是中国古代人民创造的益智玩具，被誉为“东方魔板”．小明用一个边长为4的正方形制作出如图1的七巧板，再用这副七巧板拼出了如图2的“灵蛇献瑞”图．过该图形的三个顶点作圆，则这个圆的半径长为　（1） 　．
三、解答题
11．（2025·罗湖模拟）如图，在中，，以AB为直径的交边AC于点，连接BD，过点作．
（1）请用无刻度的直尺和圆规作图：过点作的切线，交CE于点；（不写作法，保留作图痕迹，标明字母）
（2）在（1）的条件下，求证：；
（3）在（1）的条件下，，求的半径．
12．（2025·翁源模拟）综合与实践
【主题】圆形纸片与剪纸艺术
【素材】图1中半径为2的圆形纸片（）若干．
【实践操作】活动一：如图2，在该圆形纸片（）上剪出一个圆周角为90°的扇形．
活动二：如图3，在另一圆形纸片（）内剪出一个内接正六边形，设该正六边形的面积为，再连接，，剪出，设的面积为．
活动三：在活动二的基础上，装饰粘贴上六个弧形花瓣，中心为点，所在圆的圆心恰好是的内心．
【实践探索】
（1）根据剪纸要求，计算图2中的扇形的面积．
（2）请直接写出的值：______．
（3）求弧形花瓣总的周长（图4中实线部分的长度）．（结果保留）
13．（广东省深圳市南山区哈尔滨工业大学（深圳）实验学校2024-2025学年九年级下学期数学第二次模拟考试试卷）
（1）【问题情境】
如图1，圆与大正方形的各边都相切，小正方形是圆的内接正方形，那么大正方形面积是小正方形面积的几倍？小昕将小正方形绕圆心旋转（如图2），这时候就容易发现大正方形面积是小正方形面积的 ▲ 倍．由此可见，图形变化是解决问题的有效策略：
（2）【操作实践】
如图3，图①是一个对角线互相垂直的四边形，四边之间存在某种数量关系．小昕按所示步骤进行操作，并将最终图形抽像成图4．请你结合整个变化过程，直接写出图4中以矩形内一点为端点的四条线段之间的数量关系；
（3）【探究应用】
如图5，在图3中“④”的基础上，小昕将绕点逆时针旋转，他发现旋转过程中存在最大值．若，当最大时，求AD的长；
（4）如图6，在RtABC中，，点D、E分别在边AC和BC上，连接DE、AE、BD．若，求的最小值．
14．（2025·清城模拟）综合与实践
【主题】什么形状的车轮让车辆行驶更平稳
【素材】三种形状的车轮，圆形车轮、正方形车轮、等边三角形车轮
【实践操作】分别将车轮竖直放在水平地面上进行无滑动的滚动，车辆的平稳关键看车轮轴心是否稳定，即车轮的轴心是否在一条水平线上运动．
（1）如图1，若圆形车轮直径为，其车轮轴心O到地面的距离始终为______；
（2）如图2，正方形车轮在滚动过程中轴心（对角线交点）到地面的距离不断变化，若正方形的边长为，车轮轴心距离地面的最高点与最低点的高度差为_____；
（3）如图3，等边三角形车轮在滚动过程中轴心（三边垂直平分线的交点）到地面的距离不断变化，若等边三角形边长为，该车轮在地面上无滑动地滚动一周，求点经过的路径长．
15．（2025·茂南模拟）如图，中，，以点为圆心，为半径作圆，交于点．
（1）请用无刻度的直尺和圆规作出线段的垂直平分线（保留作图痕迹，不写作法） ；
（2）若（1）中所作的垂直平分线与边交于点，连接．求证：是的切线．
16．（2025·盐田模拟）如图，在中，点是边的中点，过点作直线，垂足为点，交的延长线于点．以为直径作，恰好经过点．
（1）求证：是的切线；
（2）若的半径为5，，求的面积．
17．（2025·福田模拟）如图，是直径，点C为劣弧中点，弦、相交于点E，点F在的延长线上，，垂足为G，且．
（1）求证：是的切线；
（2）当、时，求的长度；
（3）当时，求的值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】垂径定理；圆周角定理；三角形的外接圆与外心
2．【答案】
【知识点】扇形面积的计算
3．【答案】13
【知识点】勾股定理；垂径定理
4．【答案】
【知识点】弧长的计算
5．【答案】
【知识点】扇形面积的计算；旋转的性质
6．【答案】
【知识点】圆内接正多边形；扇形面积的计算；解直角三角形
7．【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理；扇形面积的计算
8．【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质；圆与三角形的综合
9．【答案】
【知识点】圆周角定理；切线的性质；相似三角形的判定与性质；已知正切值求边长
10．【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质；垂径定理
11．【答案】（1）解：方法不唯一，如图所示．
（2）证明：，
．
又，
，
．
点在以AB为直径的圆上，
，
．
又为的切线，
．
，
，
，
．
在和△BCF中，
．
．
（3）解：由（2）得：，
，
，
设，
，
，
，
解得：，
的半径为5．
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；圆周角定理；切线的性质；尺规作图-过圆外一点作圆的切线
【解析】【分析】（1）根据切线性质作图即可求出答案.
（2）根据等边对等角可得，再根据直线平行性质可得，则，根据圆周角定理可得，则，再根据切线性质可得，根据直线平行性质可得，再根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，即可求出答案.
（3）根据全等三角形判定定理可得，则，设，根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
12．【答案】（1）
（2）2
（3）
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆内接正多边形；弧长的计算；解直角三角形
13．【答案】（1）2
（2）PA2+ PC2= PB2+ PD2；
（3）解： 如图，将△PDC绕点P逆时针旋转，
∴点D在以点P为圆心，PD为半径的圆上运动，
∵点A是圆外的一个动点，
∴当AD与相切时，最大，
∴PD⊥AD，
∴AD2= AP2- PD2，
由(2)可得： AE= DF，
∵PE=8，PF= 5，
∴ AD2= AP2- PD2= PE2+ AE2- PF2-DF2=82-52 = 39
∴AD=；
（4）解：如图，将△BDC沿BC对折，D的对应点为D1，将△AEC沿AC对折，E的对应点为E1，连接D1 E1，
∴CD= CD1，CE= CE1，
再将ABE1沿AC方向平移，使得A1与D1重合，得到B1D1E2
由(2)可得： AE+ BD= D1E2 + BD1，当E2，D1， B三点共线时，
AE+ BD= D1E2十BD1最短，
∵ AC+CD=5，BC+CE= 8，
∴E1E2 =5，BE1= 8
∴BE2=
故AE + BD的最小值为 .
【知识点】两点之间线段最短；勾股定理；轴对称的性质；最大张角辅助圆模型；圆与四边形的综合
【解析】【解答】
解：（1）如图：
∵四边形ABCD，EFGH为正方形，圆为正方形ABCD的内切圆，为正方形EFGH的外接圆，
∴设AE= DE= DH=CH=CG= BG=AF=BF=m，∠A=90°，
∴AB=AD=2m，EF=
∴S正方形ABCD = 4m2 ， S正方形EFGH= ()2=2m2，
大正方形面积是小正方形面积的2倍；
故答案为：2.
（2）如图：
∵EG⊥FH，
∴a2= OF2+OE2，c2= OG2 + OH2，d2= OE2+ OH2，b2= OF2 + OG2，
∴a2+c2=b2+ d2，
结合图形变换可得：PA2+ PC2= PB2+ PD2；
故答案为：PA2+ PC2= PB2+ PD2.
【分析】
(1)设AB=AD=2m，EF即可表示出面积S正方形ABCD = 4m2 ， S正方形EFGH= ()2=2m2，即可得到它们的面积关系；
(2) 由EG⊥FH，利用勾股定理可证明a2+c2=b2+d2，再结合图形变换可得答案；
(3)将△PDC绕点P逆时针旋转，可得点D在以点P为圆心，PD为半径的圆上运动，可得当AD与OP相切时，∠DAP最大，Z再利用勾股定理即可解答；
(4)将△BDC沿BC对折，D的对应点为D1，将△AEC沿AC对折，E的对应点为E1，连接D1E1，再将△ABE1沿AC方向平移，使A与D1重合，得△B1D1E2，由(2)可得： AE+ BD= D1E2+ BD1，当E2，D1，B三点共线时，AE+ BD= D1E2+ BD1最短，再进一步利用勾股定理即可解答.
14．【答案】（1）
（2）
（3）
【知识点】等边三角形的性质；正方形的性质；圆的相关概念；弧长的计算
15．【答案】（1）解：作图如下：即为线段的垂直平分线．
（2）证明：连接，如图：
∵为线段的垂直平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵为的半径，
∴是的切线．
【知识点】线段垂直平分线的性质；切线的判定；尺规作图-垂直平分线；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）用线段垂直平分线的基本作图的作法解答即可.
（2）连接，根据垂直平分线性质可得，由等边对等角可得，，再根据角之间的关系可得，再根据切线判定定理即可求出答案.
（1）作图如下：即为线段的垂直平分线．
（2）证明：连接，如图：
∵为线段的垂直平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵为的半径，
∴是的切线．
16．【答案】（1）证明：连接OD，AD
∵AB为直径，过点
∴∠ADB=90°，即AD⊥BC
∵D是BC的中点
∴AB=AC，且∠BAD=∠CAD
∵OA=OD
∴∠BAD=∠ODA
∴∠CAD=∠ODA
∴OD∥AC
∴∠ODE=∠DEC
∵DE⊥AC
∴∠ODE=90°
∴∠DEC=90°，即OD⊥DE
∵OD为的半径
∴是的切线
（2）解：∵OA=5
∴AB=AC=10
∵AD⊥BC，
在Rt△ADC中
∵DE⊥AC
在Rt△CDE中
∴
【知识点】三角形的面积；勾股定理；圆周角定理；切线的判定；解直角三角形
【解析】【分析】（1）连接OD，AD，根据圆周角定理可得∠ADB=90°，即AD⊥BC，再根据线段中点可得AB=AC，且∠BAD=∠CAD，根据等边对等角可得∠BAD=∠ODA，则∠CAD=∠ODA，根据直线平行性质可得∠ODE=∠DEC，则∠DEC=90°，即OD⊥DE，再根据切线判定定理即可求出答案.
（2）根据题意可得AB=AC=10，在Rt△ADC中，解直角三角形可得，再根据勾股定理可得CD，在Rt△CDE中，解直角三角形可得，再根据三角形面积即可求出答案.
17．【答案】（1）解：连接，如图1所示，
点为劣弧中点，
，
，
，，
平分，
，
，
，，
，，
；
，
，
，
，
是直径，
是的切线；
（2）解：连接，如图所示：
∵，，
则，
∵点C为劣弧中点，
∴，
∴，
即，
∵，
∴的长度；
（3）解：如图2，作于点，
则，
由（1）得，即，
在和中，
，
，
，
设，则，
，，
，
，，
，
，
，
，，
，
．
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；弧长的计算；角平分线的概念；求正切值
【解析】【分析】（1）连接，根据圆周角定理可得，根据角平分线判定定理可得平分，则，再根据角之间的关系可得，再根据切线判定定理即可求出答案.
（2）连接，根据圆周角定理可得，，即，再根据弧长公式即可求出答案.
（3）作于点，根据角之间的关系可得，根据全等三角形判定定理可得，则，设，则，根据等角对等边可得，则，，，根据勾股定理可得FG，再根据正切定义即可求出答案.
（1）解：连接，如图1所示，
点为劣弧中点，
，
，
，，
平分，
，
，
，，
，，
；
，
，
，
，
是直径，
是的切线；
（2）解：连接，如图所示：
∵，，
则，
∵点C为劣弧中点，
∴，
∴，
即，
∵，
∴的长度；
（3）解：如图2，作于点，
则，
由（1）得，即，
在和中，
，
，
，
设，则，
，，
，
，，
，
，
，
，，
，
．
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