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14.3 角的平分线
第十四章 全等三角形
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
课时讲解
1
课时流程
2
作一个角的平分线
角的平分线的性质
证明几何命题的一般步骤
角的平分线的判定
三角形的角平分线的性质(拓展点)
知识点
作一个角的平分线
1
知1－讲
已知：∠ AOB. 求作：∠ AOB 的平分线.
作法：(1)以点O 为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB 于点N.
(2)分别以点M，N 为圆心，大于MN 的长为半径画弧，两弧在∠ AOB 的内部相交于点C.
特别解读
1 . “大于MN 的长为半径画弧”是因为若以小于MN的长为半径，则画出的两弧不能相交.
知1－讲
(3)画射线OC. 射线OC 即为∠AOB的平分线(如图14.3 -1).
2.“画射线OC”不能叙述为“连接OC”，因为角平分线是射线而不是线段.
3.用尺规作一个角的平分线，实质上是运用“SSS”构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等，找出平分一个角的射线.
知1－讲
证明：根据前两步作法可知OM=ON，CM=CN.
在△ OMC 和△ ONC 中，
OM=ON，
CM=CN，
OC=OC，
∴△ OMC ≌△ ONC(SSS). ∴∠ AOC= ∠ BOC.
知1－讲
如图14.3-2，已知：∠ AOB，在∠AOB内，求作： ∠ AOM=∠ AOB.
例1
解题秘方：利用尺规作图作两次角平分线即可.
知1－练
解：作法：(1)以点O 为圆心，适当长为
半径画弧，交OA 于点E，交OB 于点F；
(2)分别以点E，F 为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧在∠ AOB 的内部相交于点C；
(3)画射线OC；
(4)同理，作∠ AOC 的平分线OM. ∠ AOM 即为所求作的角(如图14.3 -2).
知1－练
1-1. 已知：∠ AOB，如图所示，求作：∠ AOB的邻补角的平分线(保留作图痕迹，不写作法)
知1－练
解：如图，射线OP即为所求．(答案不唯一)
知1－练
1. 性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等 .
角的平分线的性质的两个必要条件
(1)点在角平分线上；
(2)这个点到角两边的距离即点到角两边的垂线段的长度. 两者缺一不可.
知识点
角的平分线的性质
2
知2－讲
2. 几何语言：如图14.3 -3，
∵ OP 平分∠ AOB，PE ⊥ OA 于点E，PF ⊥ OB 于点F，∴ PE=PF.
只要符合基本模型，直接得出结论，不需要证全等
知2－讲
特别解读
1.角的平分线的性质是由两个条件(角平分线，垂线)得到一个结论(线段相等).
2.利用角的平分线的性质证明线段相
等时，证明的线段是“垂直于角两边的
线段”， 如图14.3-4 ①所示，而不是
“垂直于角平分线的线段”，如图14.3-4 ②所示.
知2－讲
如图14.3-5，OD 平分∠ EOF，在OE，OF 上分别取
点A，B，使OA=OB，P 为OD 上一点，PM ⊥ BD，PN ⊥ AD，垂足分别为M，N.
求证：PM=PN.
例2
解题秘方：在图中找出符合角的平分线的性质的模型，利用角的平分线的性质证明线段相等.
知2－练
证明：∵ OD 平分∠ EOF，∴∠ BOD= ∠ AOD.
在△ BOD 和△ AOD 中，
∴△ BOD ≌△ AOD(SAS).
∴∠ BDO= ∠ ADO，即DO 平分∠ BDA.
又∵ P为DO上一点，且PM⊥BD，PN⊥AD，∴ PM=PN.
OB=OA，
∠ BOD= ∠ AOD，
OD=OD，
知2－练
2-1. 如图，已知AC 平分∠ BAD，F在AD上，CE⊥AB，CD⊥AD，点E，D分别为垂足，CF=CB．求证：BE=FD．
知2－练
知2－练
如图14.3-6，在△ ABC 中，∠C= 90°，AD 平分∠CAB，交BC于点D，BD=2CD，点D 到AB 的距离为5.6 cm，求BC 的长.
例3
解题秘方：依据角平分线的性质得出CD的长，进而得出BD 的长，依据BC=CD＋BD即可得解.
知2－练
解：如图14.3 - 6，过点D 作DE⊥AB 于点E.
∵∠ C=90°，AD 平分∠ CAB，
点D 到AB 的距离为5.6 cm，
∴ CD=DE=5.6cm.
又∵ BD=2CD，∴ BD=2×5 .6=11.2(cm).
∴ BC=CD＋BD=5.6＋11.2=16.8(cm).
知2－练
3-1.[期中·福州福清市] 如图， 在△ABC中， ∠C＝90 °，BP 平分∠ABC，AC＝10，且CP∶AP＝2∶3，则点P到AB的距离为_______.
4
知2－练
如图14.3-7，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC 于点F，△ABC的面积是225 cm2，AB= 28 cm，AC=17 cm，求DE 的长．
例4
解题秘方：紧扣总面积等于各部分面积的和求解.
知2－练
解：∵ AD 是∠ BAC 的平分线，DE ⊥ AB，DF ⊥ AC，
∴ DE=DF.
∵△ ABC 的面积是225 cm2，AB=28cm，AC=17 cm，
∴×28·DE＋×17·DF=225，∴ DE=DF=10 cm.
知2－练
4-1.[模拟·宿州] 如图，在△ABC中，∠BAD＝∠CAD，AB＝2AC＝4，若△ABC的面积为4，则点D到AB的距离为________.
知2－练
如图14.3-8，在△ ABC 中，∠ C=90°，AC=BC，AD 平分∠ CAB，交BC于点D，DE ⊥ AB，垂足为E. 若AB= 8 cm，求△ DEB 的周长.
例5
知2－练
思路导引：
知2－练
解：在△ ABC 中，∠ C=90°，∴ DC ⊥ AC.
又∵ DE ⊥ AB，AD 平分∠ CAB，∴ DC=DE.
在Rt △ ACD 和Rt △ AED 中，
∴ Rt △ ACD ≌ Rt △ AED(HL). ∴ AC=AE.
∵ AC=BC，∴ AE=BC.
∴△ DEB 的周长=DE＋DB＋EB=DC＋DB＋EB=BC＋EB=AE＋EB=AB=8 cm.
AD=AD，
DC=DE，
知2－练
技巧点拨：已知某条线段的长求三角形的周长时，可以考虑进行转化，将三角形三边的长转化为一条线段的长.
知2－练
5-1. 如图，已知△ ABC中，∠ C=90 °，AD 平分∠ BAC 交BC 于D，DE ⊥ AB 于E， 点F在AC 上，且BD=FD.求证：AE－BE=AF．
知2－练
知2－练
1. 证明一个几何命题的一般步骤
(1)明确命题中的已知和求证；
(2)根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；
(3) 经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程.
已知：命题中的题设部分；
求证：命题中的结论部分
知识点
证明几何命题的一般步骤
3
知3－讲
2. 推理证明中常见的分析方法
(1) 综合法：从已知条件入手，根据已学过的定义、定理、全等的判定方法等，逐步推出要证的结论.
(2) 分析法：从要证明的结论出发，根据已学过的定义、定理、全等的判定方法等，寻找使结论成立所需的条件，这样一步步逆推，一直追溯到结论成立的条件与已知条件吻合.
知3－讲
(3)“两头凑”的方法：分别从已知条件和结论入手，当从已知条件推导出的结论与从结论倒推出所需的条件相吻合时，问题可得证.
知3－讲
特别提醒
1.证明一个命题的步骤不是固定不变的，要根据题目的情况而定，但是总体必须是完整的，并且证明的过程必须“步步有据”.
2.证明几何命题所画图形应符合题意，并具有一般性和代表性.在画图时，要考虑是否存在不同的情形，若存在，则要分别画出图形，再分别证明.
知3－讲
求证：两角和其中一角的平分线对应相等的两个三角
形全等.
解题秘方：根据命题的题设结合图形写出已知，根据命题的结论结合图形写出求证.
例6
知3－练
解：已知：如图14.3 -9，在△ ABC 和△ A′B′C′中，AD，A′D′分别为∠ BAC，∠ B′A′C′的平分线，且∠ B= ∠ B′，∠BAC= ∠ B′A′C′，AD=A′D′.
知3－练
求证：△ ABC ≌△ A′B′C′
证明：∵ AD，A′D′分别平分∠ BAC，∠ B′A′C′，
∴∠ 1= ∠ BAC，∠ 2= ∠ B′A′C′.
∵∠ BAC= ∠ B′A′C′，∴∠ 1= ∠ 2 .
在△ ABD 和△ A′B′D′中，
∴△ ABD ≌△ A′B′D′(AAS). ∴ AB=A′B′
∠ B= ∠ B′，
∠ 1= ∠ 2，
AD=A′D′，
知3－练
在△ ABC 和△ A′B′C′中，
∴△ ABC ≌△ A′B′C′(ASA).
∠ B= ∠ B′，
AB=A′B′，
∠ BAC= ∠ B′A′C′，
知3－练
6-1. 命题：全等三角形的对应边上的高相等.
(1)写成“如果 ，那么 ”的形式：________________
________________________________________________；
如果两条线段是
一对全等三角形对应边上的高，那么这两条线段相等
知3－练
(2)根据所给图形写出已知、求证和证明过程.
解：已知：如题图，△ABC≌△A′B′C′，AD⊥BC，A′D′⊥B′C′.求证：AD＝A′D′.
证明：∵△ABC≌△A′B′C′，
∴AB＝A′B′，∠B＝∠B′.
∵AD⊥BC，A′D′⊥B′C′，
∴∠ADB＝∠A′D′B′＝90°.
知3－练
知3－练
6-2. 求证：三角形一边的两端到这条边的中线所在直线的距离相等.
解：已知：如图，AD为△ABC的BC边上的中线，且CF⊥AD于点F，BE⊥AD交AD的延长线于点E.
知3－练
求证：BE＝CF.
证明：∵AD为△ABC的BC边上的中线，∴BD＝CD.
∵CF⊥AD，BE⊥AD，∴∠E＝∠CFD＝90°.
知3－练
1. 判定定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
知识点
角的平分线的判定
4
知4－讲
2. 几何语言：如图14.3 -10，
∵ 点P 为∠ AOB 内一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD=PE，
∴点P 在∠ AOB 的平分线OC 上.
知4－讲
应用角的平分线的判定所具备的条件
(1)位置关系：点在角的内部；
(2)数量关系：该点到角两边的距离相等.
定理的作用：判断点是否在角平分线上.
知4－讲
3. 角的平分线的判定定理与性质定理的关系
(1)如图14.3 -10，都与距离有关，即条件PD ⊥ OA，
PE ⊥ OB 都具备；
(2)点在角的平分线上 (角的内部的)点到
角两边的距离相等.如图14.3 -10 ，
知4－讲
特别提醒
1.使用该判定定理的前提是这个点必须在角的内部.
2.角的平分线的判定是由两个条件(垂线，线段相等)得到一个结论(角平分线).
3.角的平分线的判定定理是证明两角相等的重要依据，它比利用三角形全等证两角相等更方便快捷.
知4－讲
4. 有相等，无垂直，不能证明角平分线，如图14.3-11，QM=QN， 但QM 和QN 不是点Q 到OA，OB 的垂线段，不能得出OQ 是∠ AOB 的平分线.
知4－讲
如图14.3-12，BE=CF，BF⊥ AC 于点F，CE ⊥ AB 于点E，BF 和CE 交于点D.求证：AD 平分∠ BAC.
例7
知4－练
思路导引：
知4－练
证明：∵ BF ⊥ AC，CE ⊥ AB，
∴∠ DEB= ∠ DFC=90°.
在△ BDE 和△ CDF 中，
∴△ BDE ≌△ CDF(AAS). ∴ DE=DF.
又∵ BF ⊥ AC，CE ⊥ AB，∴ AD 平分∠ BAC.
∠ BDE= ∠ CDF，
∠ DEB= ∠ DFC，
BE=CF，
知4－练
7-1.[月考·台州临海市]如图，∠AOB＝60 °，P是射线OC上的一点，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，M，N分别是OA与OB上的点，DM＝EN，∠MPN＝120°. 求证：OC是∠AOB的平分线.
知4－练
知4－练
证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠PDM＝∠PEO＝∠PEN＝90°.
∵∠DOE＋∠PDO＋∠DPE＋∠PEO＝360°， ∠AOB＝60°，∴∠DPE＝120°.
∴∠DPM＋∠MPE＝120°.
又∵∠MPE＋∠NPE＝∠MPN＝120°，∴∠MPD＝∠NPE.
知4－练
已知：如图14.3-13，BP，CP分别是△ ABC 的外角平分线，PM ⊥ AB 于点M，PN ⊥ AC 于点N．
求证：AP 平分∠ MAN．
例8
知4－练
思路导引：
知4－练
证明：如图14.3 -13，作PD ⊥ BC 于点D，
∵ BP 是∠ MBC 的平分线，
PM ⊥ AB，PD ⊥ BC，
∴ PM=PD，
同理可得PN=PD，∴ PM=PN.
又PM ⊥ AB，PN ⊥ AC，∴ AP 平分∠ MAN．
知4－练
8-1.已知：如图，△ ABC的角平分线BE，CF 相交于点P. 求证：点P在∠ A 的平分线上.
知4－练
证明：如图，过点P作PD⊥AB，PM⊥BCPN⊥AC，垂足分别为点D，M，N.
∵BE平分∠ABC，点P在BE上，
∴PD＝PM.
同理可得PM＝PN，∴PD＝PN.
∴点P在∠A的平分线上．
知4－练
1. 性质定理：三角形的三条角平分线交于一点，并且这一点到三条边的距离相等. 这一点叫三角形的内心 .
知识点
三角形的角平分线的性质(拓展点)
5
知5－讲
2. 几何语言：如图14.3 -14，在△ ABC 中，AD，BM，CN 分别是∠ BAC，∠ ABC，∠ ACB 的平分线，AD，BM，CN 交于一点O，且点O 到三边BC，AB，AC 的距离相等，即OE=OG=OF.
知5－讲
特别提醒
三角形的三条角平分线相交于三角形内一点，且该点到三角形三边的距离相等. 反之，三角形内部到三边距离相等的点是三角形三条角平分线的交点.
知5－讲
如图14.3-15， 在△ ABC 中，点O 是∠ ABC，∠ ACB 的平分线的交点，AB＋BC＋AC=20. 过O 作OD ⊥ BC 于点D，且OD=3，求△ ABC 的面积.
例9
解题秘方：紧扣三角形内角平分线的性质，解题的关键是得到点O 到三边的距离相等.
知5－练
解：如图14.3 -15，过点O 作OE ⊥ AB
于点E，OF ⊥ AC于点F，连接OA.
∵点O是∠ABC，∠ACB的平分线的交点，
OD⊥BC，∴ OE=OD， OF=OD.
∴OE=OF=OD=3. ∴S△ABC=S△ABO＋S△BCO＋S△ACO= AB·OE＋BC· OD＋AC·OF= ×3×(AB＋BC＋AC)= ×3×20 =30.
知5－练
9-1. 如图，有一块三角形的空地ABC，其三边长AB，AC，BC 分别为30 m，40 m，50 m.现要把它分成面积比为3∶4∶5 的三部分种植三种不同的花，请你设计一种方案，并简要说明理由.
知5－练
解：方案如图所示．
知5－练
分别作∠ABC和∠ACB的平分线，两线交于点P，连接AP，则△ABP，△ACP，△BCP即为所求的三块地．
理由：易得P为△ABC的三个内角平分线的交点，∴点P到AB，AC，BC的距离均相等．
∴△ABP，△ACP，△BCP的面积比即为AB，AC，BC的长度的比，即3∶4∶5.(答案不唯一)
知5－练
角的平分线
角的
平分线
性质
判定
几何命题的证明
作一个角
的平分线
尺规
全等

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