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新蔡县第一高级中学2024-2025学年高三下学期5月份高考模拟预测数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知复数，且，其中为实数，则（ ）
A． B． C． D．4
3．在等边中，，点M为AB的中点，点N满足，则（ ）
A． B． C． D．
4．记为等差数列的前项和，已知，，则的最大值为（ ）
A．16 B．18 C．23 D．25
5．已知随机变量，若其对应的正态密度函数满足，且，则（ ）
A．0.8 B．0.5 C．0.4 D．0.1
6．有男 女教师各1人，男 女学生各2人，从中选派3人参加一项活动，要求其中至少有1名女性，并且至少有1名教师，则不同的选派方案有（ ）
A．10种 B．12种 C．15种 D．20种
7．已知，，设，，，则（ ）
A． B． C． D．
8．如图，已知正方形的边长为4，点在边上且，将沿翻折到的位置，使得．空间四点的外接球为球，过点作球的截面，则截球所得截面面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．
9．若函数是区间上的单调函数，则实数m的值可以是（ ）
A． B． C．3 D．4
10．已知函数，则（ ）
A．在区间上单调递增
B．极大值点仅有一个
C．无最大值，有最小值
D．当时，关于的方程共有3个实根
11．若的内角，，所对的边分别为，，，且满足，则下列结论正确的是（ ）
A．角一定为锐角 B．
C． D．的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．设抛物线的焦点为，过点的直线与相交于，两点，，则直线的方程为 ，的面积为 .
13．的展开式中的系数为 .
14．已知直线和互相垂直，且，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．在中，.
(1)求角；
(2)若.
（ⅰ）求的值；
（ⅱ）若，求的面积.
16．某市数学竞赛初赛结束后，为了解竞赛成绩情况，从所有学生中随机抽取名学生，得到他们的成绩，将数据分成五组：，，，，，并绘制成如图所示的频率分布直方图：
(1)若只有前的学生能进决赛，则入围分数应设为多少分？
(2)采用分层随机抽样的方法从成绩为的学生中抽取容量为的样本，再从该样本中随机抽取名学生进行问卷调查，设为其中达到分及以上的学生的人数，求的概率分布及数学期望.
17．如图，在四棱台中，平面平面ABCD，底面ABCD为正方形，，.

(1)求证：平面.
(2)点在直线上，且平面MCD，求与平面所成角的正弦值.
18．已知函数.
(1)若，求曲线在点处的切线；
(2)讨论的单调性；
19．已知椭圆，两焦点和短轴一个端点构成边长为2的正三角形．
(1)求椭圆方程；
(2)设直线与椭圆相切于第一象限内的点，不过原点且平行于的直线与椭圆交于不同的两点，，点关于原点的对称点为．记直线的斜率为，直线的斜率为．
①求的值；
②若，，，四点围成的四边形为平行四边形，求的值．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C D D C C D C ACD BC
题号 11
答案 BC
1．由可得，
当时，则，故，
因此，
故，故选：C
2．解；因为复数， 为实数，
所以，
所以，解得，
所以.故选：C
3．

在等边中，，
由于点M为AB的中点，点N满足，
所以.故选：D.
4．设公差为，则，，
解得，所以，
当时，，当时，，
所以当时，取得最大值，最大值为.故选：D
5．由，则正态密度函数关于对称，即，
则.故选：C.
6．从6人中任选3人，有种选法，
其中，若全选男生或全选学生，有种选法，
所以符合题意的选法为种.故选：C
7．由，得，即，则，
由，得，即，则，
，则，
因此，所以，即.故选：D
8．如图，取的中点为，
由正方形的边长为4，得，
因此为四面体的外接球球心，外接球半径，
设球心到平面的距离为，截面圆的半径为，
则有，即，
当截面时，最大，此时截面面积最小，且，
在中，，，．
由余弦定理可得，．
此时，所以截面面积最小值为.故选：C
9．，
令,即，解得或，
当时，，函数单调递增；
当时，或,函数单调递减；
因为函数在区间上是单调函数，所以有以下两种情况：
当时,
则 ，解得；故A正确，B错误；
当时,
则，解得.故C、D正确；故选：ACD.
10．对于A选项，当时，，则，
当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减，故A错误；
对于B选项，由A选项知，函数在上有一个极大值点，
当时，，则，此时函数单调递增，
当时，，此时函数有极小值点，无极大值点，
综上所述，函数仅有1个极大值点，故B正确；
对于C选项，当时，，
当时，，
所以，函数的最小值为，函数无最大值，故C正确；
对于D选项，如下图所示：

由图可知，当时，关于的方程共有4个实根，故D错误.故选：BC.
11．依题意，
，，
为钝角，A选项错误.
，
，B选项正确.
，由正弦定理得，
，，
由于，为钝角，为锐角，所以两边除以得，.C选项正确.
，
，
整理得，
由于为钝角，，所以，
当且仅当时等号成立.
所以，D选项错误.故选：BC
12． 或 12
由焦点为，得，解得，则，
设直线的方程为，，，
若，，
则，由，得，解得，
因为点在抛物线上，所以，解得，则，
将点的坐标代入直线方程，得，解得，
故直线的方程为，即；
若，，则，由，得，解得，
因为点在抛物线上，所以，解得，则，
将点的坐标代入直线方程，得，解得，
故直线的方程为，即；
由对称性，求解面积时不妨设，，
将代入中，得，则，所以.
故，
故答案为：或，.
13．30
由，
其展开式的通项为，，，
令，得的展开式的通项为，，，
令，得，
则的展开式中的系数为.
故答案为：30.
14．/
因为，所以，即，
因为，，
所以，
当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为．
故答案为：．
15．（1）因为，即，
由正弦定理可得，
，
即，可得，
且，则，可得，
又因为，所以.
（2）（ⅰ）∵，由余弦定理，，又∵（*），
整理得：，即，代入（*）可得，
由余弦定理，；
（ⅱ）∵，由（ⅰ）得：，
解得，∴.
16．（1）成绩在区间的比例为：；
成绩在区间的比例为：，
因此分位数位于区间；
因此入围分数为：，因此入围分数应设为分.
（2）在这六个人中，有两人的分数在分及以上，因此，
，，，
变量的分布列为：
所以的数学期望为.
17．（1）因平面平面ABCD，平面平面ABCD，，平面ABCD，
则平面.又平面，则；
又在等腰梯形，如下图，作，
由题可知，，又，则，结合，得.
因，则.
又平面，平面，，
则平面；
（2）如图，以A为原点建立空间直角坐标系.
则，又由（1）可得
.
因在直线，则，
则，即.
则.
又，平面MCD，则.
得.则，.
又由（1）得，可取为平面的一个法向量，，
设与平面所成角为，则.
即与平面所成角的正弦值为.

18．（1）当时，函数，则，切点坐标为，
，则曲线在点处的切线斜率为，
所求切线方程为，即.
（2），函数定义域为R，
，
①，解得或，解得，
所以在和上单调递增，在上单调递减，
②，解得或，解得，
所以在和上单调递增，在上单调递减，
③，恒成立，在上单调递增.
综上，当时，在和上单调递增，在上单调递减；
当时，在和上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增.
19．（1）由题意，从而，，
所以椭圆方程为.
（2）
①由消得（*），
由，得，
此时方程（*）可化为：，
解得：（由条件可知：k，m异号），
设，则，，
即，所以，
因为，所以可设直线，
由消得，
当时，方程有两个不相等的实根，
设，，则，，
因为A，C两点关于原点对称，所以，所以，，
所以．
②设直线与轴交于点，直线与轴交于点，则，
于是，
由①可知：，若O，P，B，C四点围成的四边形为平行四边形，
则还需，即，
由①可知：，所以．
又，，
所以，
由可得：，
又，所以，即，
当时，；
当时，．

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