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湘教版（2025)数学七年级下册4.3平行线的性质 同步分层练习
一、基础夯实
1．（2025七下·深圳期中）如图，直线a，b被直线所截，且，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：∵，，
∴∠2=∠1=45°，
故答案为：A.
【分析】利用两直线平行，同位角相等的性质分析求解即可.
2．（2025七下·温州期中） 如图，CD 平分 ，. 若 ，则 的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】角平分线的概念；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：
∵CD平分∠ACB，∠1=35°，
∴∠ACB=2∠1=70°，
∵DE∥AC，
∴∠2=∠ACB=70°（两直线平行，同位角相等）
故答案为：C.
【分析】先根据角平分线的性质求出∠ACB的度数，再根据平行线的性质：两直线平行，同位角相等，即可得出结论.
3．（2025七下·惠阳期中）如图，这是电子屏幕上显示的数字“9”，其中，．若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】角的运算；平行线的性质；同位角的概念；同旁内角的概念
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：D．
【分析】先利用平行线的性质可得，，再利用角的运算求出即可.
4．（浙江省J12共同体联盟学校2024-2025学年七年级下学期4月期中数学试题）如图，已知 ，小张把三角板的直角顶点放在直线a上．若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】角的运算；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：如图，
∵，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：C．
【分析】根据两直线平行，内错角相等得，然后由即可求出答案.
5．（2025七下·长沙月考）如图，，直线分别交，于点E，F，平分，交 于点 G．若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】角平分线的概念；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：∵平分，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】利用角平分线的概念，可求出∠BEG的度数，利用两直线平行，同旁内角互补，可求出∠EGD的度数.
6．（2025七下·深圳期中）如图是小颖同学做仰卧起坐运动某一瞬间的动作及其示意图，，，则的度数为　 　．
【答案】
【知识点】两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵，，
∴=，
故答案为：65°.
【分析】利用两直线平行，内错角相等的性质分析求解即可.
7．（2025七下·北流月考）如图是一块梯形铁片的残余部分，量得，梯形的另外两个角　 　°，　 　°．
【答案】80；65
【知识点】同旁内角的概念；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：因为在梯形ABCD中，∴，
∴，，
，，
，．
故答案为：；．
【分析】本题考查了梯形，平行线的性质。
题中由梯形上底和下底平行的性质可知：，然后根据平行线的性质“两直线平行、同旁内角互补”得出，，继而可求出答案．
8．（2024七下·丹东期中）请将下列说理过程补充完整：
如图：，，，试说明．
解：因为（已知），
所以（______），
因为（已知），
所以______（两直线平行，内错角相等），
因为（已知），
所以_____________（______），
即，
所以（______）．
【答案】解：（已知），
（两直线平行，内错角相等），
（已知），
（两直线平行，内错角相等），
（已知），
（等式的性质），
即，
（等量代换）．
【知识点】平行线的性质
【解析】【分析】根据两直线平行，内错角相等可得，根据两直线平行，内错角相等可得，根据等式的性质可得
，即，等量代换可得．
9．（2025七下·嘉兴月考）数学课上，陈老师说：“同学们，如果的两边与的两边分别平行，你能根据这个条件画出图形并探讨一下与的数量关系吗？”
（1）甲同学很快画出了如图所示的图形，并根据，的条件，得出了的结论，请你帮他写出说理过程．
（2）甲同学由此告诉陈老师：“我的结论是：如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等．”你同意甲同学的结论吗？_______．（填“同意”或“不同意”）．如果不同意，请写出你的结论：_____________________________________．
【答案】证明：（1）∵，，∴，（两直线平行，同位角相等），
∴（等量代换）．
（2）不同意；两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或者互补；
【知识点】两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】（2）不同意，两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或者互补
理由如下：如图，交于点，
∵，
∴（两直线平行，同位角相等），
（两直线平行，同旁内角互补）．
∵（对顶角相等），
∴（等量代换）．
∴两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或者互补．
故答案为：不同意；两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或者互补；
【分析】（1）根据图形利用两直线平行，同位角相等即可证明；
（2）根据题目条件画出另一种情形：利用两个角互补，利用两直线平行，同位角相等，同旁内角互补，可证得，，利用对顶角相等，可证得结论.
二、能力提升
10．（2019七下·天台期末）如图，直线 //b，下列各角中与 相等的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如图， ∵ //b∴ ∠1=∠6，又∵∠6=∠4，∴∠1=∠4.
而∠2=∠3=∠5， ∠1+∠2=180°. ∴∠1不一定和∠2、∠3、∠5相等。
故答案为：C
【分析】根据平行线的性质，两直线平行同位角相等，再由对顶角相等和等量代换可求∠1=∠4，而∠1和∠2、∠3、∠5都是互补关系，不一定相等。
11．（2025七下·珠海期中）随着人们对环境的日益重视，骑行单车这种“低碳”出行方式已融入人们的日常生活，如图是某单车车架的示意图，线段，，分别为前叉、下管和立管（点在上），为后下叉．已知，，，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】解：∵，
，
，
，
，
，
故答案为：B．
【分析】先利用平行线的性质可得，再利用角的运算求出，最后利用平行线的性质可得.
12．（2025七下·长沙期中）如图，在以“探索光之奥秘”为主题的趣味物理实验中，用透明水箱模拟光线从空气射入某种液体，观察到入射角与折射角约为的比例关系．为了挑战自我，同学们进一步思考：若两条入射光线以不同角度，斜射入这种液体，液体内折射光线的夹角与，的数学关系为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】用代数式表示几何图形的数量关系；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：根据题意，有，整理得.
故答案为：D.
【分析】由题意可知，γ实际上是两条入射光线的折射角之和，结合条件入射角与折射角的比例关系以及平行性质，可得到 夹角与，的数学关系式.
13．（2025七下·温州期中）小盟利用几何图形画出螳螂简笔画，如图，CF，BG交于点A，FG//DE//BC，∠FAG=40°，AC平分∠BAD，若设∠ADE=x°，∠G=y°，则x和y之间的关系是（　　）.
A．x+2y=180 B．x-2y=60 C．x-y=80 D．x+y=150
【答案】C
【知识点】平行线的性质；角平分线的概念；平行公理的推论
【解析】【解答】解：如图，过点A作AM∥FG，
∴∠GAM=∠G=y°，
∵AM∥FG，DE∥FG，
∴AM∥DE，
∴∠MAD=180°-∠ADE=180°-x°，
∵∠FAG=40°，
∴∠BAC=∠FAG=40°，
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAD=2∠BAC=80°，
∵∠BAD+∠DAM+∠GAM=180°，
∴80°+180°-x°+y°=180°，
∴x-y=80.
故答案为：C.
【分析】过A作AM∥FG，由二直线平行，内错角相等，得∠GAM=∠G=y°，由平行于同一直线的两条直线互相平行得AM∥DE，由二直线平行，同旁内角互补，得∠MAD=180°-∠ADE=180°-x°，由对顶角相等及角平分线的定义得∠BAD=2∠BAC=80°，最后根据平角的定义建立方程可求出结论.
14．（2025七下·杭州月考）现将两个直角三角尺作如图摆放，，直线AB过点E，MN在直线CD上。若，则下列结论错误的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平行公理及推论；两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵将两个直角三角尺作如图摆放，且
∠EQF=∠MPN=90°，
∠QEF=∠PMN=60°，
∴∠EFQ=∠MNP=30°，
过点F作FG//MN交PM于点G，
∴∠PFG=∠MNP=30°，
∴∠EFG=∠PFG+∠EFQ=30°+30°=60°，
∵AB//CD，FG//MN即FG//CD，
∴AB//GF，
∴∠BEF=∠EFG=60°
∴∠BEF=∠QEF=60°，故选项B不符合题意，
∴∠AEQ=180°-∠QEF-∠BEF=180°-60°-60°=60°，
∴∠BEF=∠AEQ，故选项A不符合题意；
∴∠AEQ=60°=∠PMN，故选项C不符合题意；
∵∠AEQ=60°，∠QFE=30°，
∴∠AEQ≠∠QFE，故选项D符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据直角三角尺可得∠EFO=∠MNP=30°，过点F作FG//MN交PM于点G，得∠EFG=∠PFG+∠EFO=60°，然后逐一判断即可.
15．（广西壮族自治区南宁市龙堤路初级中学2024-2025学年七年级下学期4月期中考试数学试题）如图，潜望镜中的两面镜子是互相平行放置的，光线经过镜子反射时，，，若进入潜望镜的光线与离开潜望镜的光线是互相平行的，当，则　 　°．
【答案】69
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵潜望镜中的两面镜子是互相平行放置的，即，
∴，
∵，，
∴，
∴．
故答案为：69．
【分析】先利用平行线的性质可得，再根据，，利用等量代换可得．
16．（2025七下·雷州月考）如图，，，，，，则，，的数量关系是　 　．
【答案】
【知识点】角的运算；平行线的性质；平行公理的推论
【解析】【解答】解：过C，D点分别作，，
∵，
∴，
∴，，
又
∴
．
故答案为：．
【分析】过C，D点分别作，，则有，根据平行线的性质，，则
．
17．（2025七下·珠海期中）在数学实践课上，老师让同学们借助“两条平行线和一副直角三角尺”开展数学活动．
（1）如图①，小颖把等腰直角三角尺的两个锐角的顶点分别放在直线上，请用等式表示与之间满足的数量关系______（不用证明）；
（2）如图②，小明把三角尺角的顶点放在直线上，．若，求的度数；
（3）在图①的基础上，小亮把三角尺角的顶点放在点处，即．如图③，平分交直线于点，平分交直线于点．求的度数．
【答案】（1）
（2）解：如图所示，
∵小明把三角尺角的顶点放在直线上，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴.
（3）解：如图所示，
根据（1）可知，即，
已知小亮把三角尺角的顶点放在点处，即，
设，则，，
∵平分交直线于点，平分交直线于点，
∴，
∴，，
∵，
∴．
【知识点】角的运算；平行线的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】（1）解：，理由如下，
∵，
∴，即，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】（1）先利用平行线的性质及等量代换可得，再利用等腰直角三角形的性质可得，最后利用角的运算和等量代换求出即可；
（2）先利用平行线的性质可得，再利用角的运算和等量代换可得，再求出，从而可得；
（3）设，则，，先利用角平分线的定义可得，再利用角的运算和等量代换可得．
（1）解：，理由如下，
∵，
∴，即，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）解：如图所示，
∵小明把三角尺角的顶点放在直线上，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得，，
∴；
（3）解：如图所示，
根据（1）可知，即，
已知小亮把三角尺角的顶点放在点处，即，
设，则，，
∵平分交直线于点，平分交直线于点，
∴，
∴，，
∵，
∴．
三、拓展创新
18．（山东省临沂市临沭县第二初级中学2023-2024学年七年级下学期3月月考数学试题）【阅读理解】
我们经常过某个点作已知直线的平行线，以便利用平行线的性质来解决问题．
例如：如图1，，点、分别在直线、上，点在直线、之间，设，，求证：．
证明：如图2，过点作，
，
，，
，
，
．
即．
可以运用以上结论解答下列问题：
（1）【类比应用】
①如图3，已知，已知，，求的度数；
②如图4，已知，点在直线上，点在直线上方，连接、．设、，则、、之间有何数量关系？请说明理由；
（2）【拓展应用】
如图5，已知，点在直线上，点在直线上方，连接、，的角平分线与的角平分线所在直线交于点，求的度数
【答案】（1）解：①如图，过点作，
，
，，
，
，
，
即．
②，理由如下：
如图，过点作，
，
，
，
，，
，
，
，
即．
（2）解：设，，
平分，平分，
，，
，
由（1）可知，，
由材料的结论可知，，
．
【知识点】角的运算；平行线的性质；角平分线的概念；平行公理的推论
【解析】【分析】（1）①过点作，先利用平行线的性质及传递性可得，再利用平行线的性质可得，最后利用角的运算和等量代换求出即可；
②过点作，先利用平行线的性质及传递性可得，再利用平行线的性质可得，最后利用角的运算和等量代换可得；
（2）设，，利用角平分线的定义可得，，再利用角的运算求出，再结合，最后求出即可．
（1）解：①如图，过点作，
，
，，
，
，
，
即．
解：②，理由如下：
如图，过点作，
，
，
，
，，
，
，
，
即．
（2）解：设，，
平分，平分，
，，
，
由（1）可知，，
由材料的结论可知，，
．
19．（2025七下·龙岗月考）如图
（1）【问题初探】
数学课上，老师和学生做数学书39页的做一做的内容
如图，打台球时，选择适当的方向击打白球，白球反弹后击打红球，红球会直接入袋，此时，∠2+∠3=90°，∠1= ∠2.
①若∠1=60°，则∠3=　 　.
②∠ADE的余角是　 　.
③∠ADF与∠BDE的数量关系是　 　依据是　 　
④图中互余的角有　 　对，互补的角有　 　对：
（2）【类比探究】
如图，在长方形的台球桌面上，选择适当的角度打击白球，可以使白球经过两次反弹后将黑球直接撞入袋中，此时∠1=∠2，∠3=∠4，并且∠2+∠3=90°，∠4+∠5=90°；如果黑球与洞口的连线和台球桌面边缘的夹角∠5=40°，那么∠1=　 　度才能保证黑球准确入袋：
（3）【学科融合】
小明提出新的问题情境，在物理学中，光的反射跟台球的运动轨迹相似，光线反射时，反射光线、入射光线和法线在同一平面内，反射光线、入射光线分别在法线两侧，反射光线与法线的夹角（反射角）等于入射光线与法线的夹角（入射角）；如图3，EF为一镜面，AO为入射光线，入射点为点O，ON为法线（过入射点O且垂直于镜面EF的直线），OB为反射光线，此时反射角∠BON等于入射角∠AON.现有一激光反光装置，AE、BF是两块可以分别绕A、B两点转动的镜面，O点是激光发射装置.由O点发出的激光照射在点A和点B处，AG、BH是两束反射光线.A、B处于同一水平高度，已知入射光线OA和OB与水平线MN的夹角分别是10°和20°，镜面AE与立杆的夹角∠EAC=45°，则反射光线AG与水平面夹角∠GAN=　 　。通过调节BF的角度，当∠FBD=　 　时，反射光线 AG 和 BH平行.
【答案】（1）30°；∠ADC或∠3；∠ADF=∠BDE；等角的补角相等；4；5
（2）40°
（3）80°；50°
【知识点】平行线的性质；余角；补角
【解析】【解答】：（1）解：①∵∠2＝∠1＝60°，CD⊥EF，
∴∠CDF＝∠2＋∠3＝90°，
∴∠3＝90° ∠2＝90° 60°＝30°．
故答案为：30°．
②∠ADE的余角是∠ADC或∠3
故答案为：∠ADC或∠3
③∠ADF=∠BDC，理由如下
∵∠1+∠ADF=180°，∠2+∠BDE=180°，∠1=∠2
∴∠ADF=∠BDE(等角的补角相等)
故答案为：∠ADF=∠BDE；等角的补角相等
④图中互余的角有：∠ADE与∠ADC，∠ADE与∠3，∠2与∠3，∠2与∠ADC，共4对
互补的角有：∠1与∠ADF，∠2与∠BDE，∠EDC与∠CDF，∠F与∠CDF，∠F与∠CDE，共5对
故答案为：4；5
（2）过点F作EF∥AB
由题意可得：AB∥EF∥CD
∵∠5=40°
∴∠7=∠5=40°
∵∠3=∠4
∴∠7=∠6=40°
∴∠2=∠6=40°
∴∠1=∠2=40°
故答案为：40°
（3）过点A作AP⊥AE，过点B作BQ⊥BF
由题意可得：∠GAP=∠OAP，∠HBQ=∠OBQ
∵MN∥CD，AC⊥CD，BD⊥CD
∴AC⊥MN，BD⊥MN
∴∠CAN=∠DBN=90°
∵∠EAC=45°
∴∠EAN=45°
∵∠OAN=10°，AP⊥AE
∴∠OAP+＋OAN+∠EAN-∠PAE=90°
∴∠OAP+10°+45°=90°
∴∠OAP=35°
∴∠GAP=∠OAP=35°
∴∠GAO=2∠OAP=70°
∴∠GAN=∠GAO+∠OAN=70°+10°=80°
设∠FBD=，则∠FBN=∠DBN-∠FBD=90°-
∵∠OBN=20°，BQ⊥BF
∴∠OBQ=∠QBF-∠OBN-∠FBN=90°-20°-(90°-)=-20°
∴∠HBO=2∠OBQ=2-40°
∴∠HBN=∠HBO+∠OBN=2-20°
当AG∥BH时，∠GAN=∠HBN
∴2-20°=80°
解得：=50°
即∠FBD==50°
故答案为：80°；50°
【分析】（1）①根据余角即可求出答案.
②根据余角即可求出答案.
③根据补角即可求出答案.
④根据余角及补角的定义即可求出答案.
（2）过点F作EF∥AB，根据直线平行性质即可求出答案.
（3）过点A作AP⊥AE，过点B作BQ⊥BF，根据直线平行性质，余角，补角即可求出答案.
1 / 1湘教版（2025)数学七年级下册4.3平行线的性质 同步分层练习
一、基础夯实
1．（2025七下·深圳期中）如图，直线a，b被直线所截，且，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
2．（2025七下·温州期中） 如图，CD 平分 ，. 若 ，则 的度数为（　　）
A． B． C． D．
3．（2025七下·惠阳期中）如图，这是电子屏幕上显示的数字“9”，其中，．若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
4．（浙江省J12共同体联盟学校2024-2025学年七年级下学期4月期中数学试题）如图，已知 ，小张把三角板的直角顶点放在直线a上．若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
5．（2025七下·长沙月考）如图，，直线分别交，于点E，F，平分，交 于点 G．若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
6．（2025七下·深圳期中）如图是小颖同学做仰卧起坐运动某一瞬间的动作及其示意图，，，则的度数为　 　．
7．（2025七下·北流月考）如图是一块梯形铁片的残余部分，量得，梯形的另外两个角　 　°，　 　°．
8．（2024七下·丹东期中）请将下列说理过程补充完整：
如图：，，，试说明．
解：因为（已知），
所以（______），
因为（已知），
所以______（两直线平行，内错角相等），
因为（已知），
所以_____________（______），
即，
所以（______）．
9．（2025七下·嘉兴月考）数学课上，陈老师说：“同学们，如果的两边与的两边分别平行，你能根据这个条件画出图形并探讨一下与的数量关系吗？”
（1）甲同学很快画出了如图所示的图形，并根据，的条件，得出了的结论，请你帮他写出说理过程．
（2）甲同学由此告诉陈老师：“我的结论是：如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等．”你同意甲同学的结论吗？_______．（填“同意”或“不同意”）．如果不同意，请写出你的结论：_____________________________________．
二、能力提升
10．（2019七下·天台期末）如图，直线 //b，下列各角中与 相等的是（　　）
A． B． C． D．
11．（2025七下·珠海期中）随着人们对环境的日益重视，骑行单车这种“低碳”出行方式已融入人们的日常生活，如图是某单车车架的示意图，线段，，分别为前叉、下管和立管（点在上），为后下叉．已知，，，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
12．（2025七下·长沙期中）如图，在以“探索光之奥秘”为主题的趣味物理实验中，用透明水箱模拟光线从空气射入某种液体，观察到入射角与折射角约为的比例关系．为了挑战自我，同学们进一步思考：若两条入射光线以不同角度，斜射入这种液体，液体内折射光线的夹角与，的数学关系为（　　）
A． B．
C． D．
13．（2025七下·温州期中）小盟利用几何图形画出螳螂简笔画，如图，CF，BG交于点A，FG//DE//BC，∠FAG=40°，AC平分∠BAD，若设∠ADE=x°，∠G=y°，则x和y之间的关系是（　　）.
A．x+2y=180 B．x-2y=60 C．x-y=80 D．x+y=150
14．（2025七下·杭州月考）现将两个直角三角尺作如图摆放，，直线AB过点E，MN在直线CD上。若，则下列结论错误的是（　　）
A． B． C． D．
15．（广西壮族自治区南宁市龙堤路初级中学2024-2025学年七年级下学期4月期中考试数学试题）如图，潜望镜中的两面镜子是互相平行放置的，光线经过镜子反射时，，，若进入潜望镜的光线与离开潜望镜的光线是互相平行的，当，则　 　°．
16．（2025七下·雷州月考）如图，，，，，，则，，的数量关系是　 　．
17．（2025七下·珠海期中）在数学实践课上，老师让同学们借助“两条平行线和一副直角三角尺”开展数学活动．
（1）如图①，小颖把等腰直角三角尺的两个锐角的顶点分别放在直线上，请用等式表示与之间满足的数量关系______（不用证明）；
（2）如图②，小明把三角尺角的顶点放在直线上，．若，求的度数；
（3）在图①的基础上，小亮把三角尺角的顶点放在点处，即．如图③，平分交直线于点，平分交直线于点．求的度数．
三、拓展创新
18．（山东省临沂市临沭县第二初级中学2023-2024学年七年级下学期3月月考数学试题）【阅读理解】
我们经常过某个点作已知直线的平行线，以便利用平行线的性质来解决问题．
例如：如图1，，点、分别在直线、上，点在直线、之间，设，，求证：．
证明：如图2，过点作，
，
，，
，
，
．
即．
可以运用以上结论解答下列问题：
（1）【类比应用】
①如图3，已知，已知，，求的度数；
②如图4，已知，点在直线上，点在直线上方，连接、．设、，则、、之间有何数量关系？请说明理由；
（2）【拓展应用】
如图5，已知，点在直线上，点在直线上方，连接、，的角平分线与的角平分线所在直线交于点，求的度数
19．（2025七下·龙岗月考）如图
（1）【问题初探】
数学课上，老师和学生做数学书39页的做一做的内容
如图，打台球时，选择适当的方向击打白球，白球反弹后击打红球，红球会直接入袋，此时，∠2+∠3=90°，∠1= ∠2.
①若∠1=60°，则∠3=　 　.
②∠ADE的余角是　 　.
③∠ADF与∠BDE的数量关系是　 　依据是　 　
④图中互余的角有　 　对，互补的角有　 　对：
（2）【类比探究】
如图，在长方形的台球桌面上，选择适当的角度打击白球，可以使白球经过两次反弹后将黑球直接撞入袋中，此时∠1=∠2，∠3=∠4，并且∠2+∠3=90°，∠4+∠5=90°；如果黑球与洞口的连线和台球桌面边缘的夹角∠5=40°，那么∠1=　 　度才能保证黑球准确入袋：
（3）【学科融合】
小明提出新的问题情境，在物理学中，光的反射跟台球的运动轨迹相似，光线反射时，反射光线、入射光线和法线在同一平面内，反射光线、入射光线分别在法线两侧，反射光线与法线的夹角（反射角）等于入射光线与法线的夹角（入射角）；如图3，EF为一镜面，AO为入射光线，入射点为点O，ON为法线（过入射点O且垂直于镜面EF的直线），OB为反射光线，此时反射角∠BON等于入射角∠AON.现有一激光反光装置，AE、BF是两块可以分别绕A、B两点转动的镜面，O点是激光发射装置.由O点发出的激光照射在点A和点B处，AG、BH是两束反射光线.A、B处于同一水平高度，已知入射光线OA和OB与水平线MN的夹角分别是10°和20°，镜面AE与立杆的夹角∠EAC=45°，则反射光线AG与水平面夹角∠GAN=　 　。通过调节BF的角度，当∠FBD=　 　时，反射光线 AG 和 BH平行.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：∵，，
∴∠2=∠1=45°，
故答案为：A.
【分析】利用两直线平行，同位角相等的性质分析求解即可.
2．【答案】C
【知识点】角平分线的概念；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：
∵CD平分∠ACB，∠1=35°，
∴∠ACB=2∠1=70°，
∵DE∥AC，
∴∠2=∠ACB=70°（两直线平行，同位角相等）
故答案为：C.
【分析】先根据角平分线的性质求出∠ACB的度数，再根据平行线的性质：两直线平行，同位角相等，即可得出结论.
3．【答案】D
【知识点】角的运算；平行线的性质；同位角的概念；同旁内角的概念
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：D．
【分析】先利用平行线的性质可得，，再利用角的运算求出即可.
4．【答案】C
【知识点】角的运算；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：如图，
∵，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：C．
【分析】根据两直线平行，内错角相等得，然后由即可求出答案.
5．【答案】C
【知识点】角平分线的概念；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：∵平分，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】利用角平分线的概念，可求出∠BEG的度数，利用两直线平行，同旁内角互补，可求出∠EGD的度数.
6．【答案】
【知识点】两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵，，
∴=，
故答案为：65°.
【分析】利用两直线平行，内错角相等的性质分析求解即可.
7．【答案】80；65
【知识点】同旁内角的概念；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：因为在梯形ABCD中，∴，
∴，，
，，
，．
故答案为：；．
【分析】本题考查了梯形，平行线的性质。
题中由梯形上底和下底平行的性质可知：，然后根据平行线的性质“两直线平行、同旁内角互补”得出，，继而可求出答案．
8．【答案】解：（已知），
（两直线平行，内错角相等），
（已知），
（两直线平行，内错角相等），
（已知），
（等式的性质），
即，
（等量代换）．
【知识点】平行线的性质
【解析】【分析】根据两直线平行，内错角相等可得，根据两直线平行，内错角相等可得，根据等式的性质可得
，即，等量代换可得．
9．【答案】证明：（1）∵，，∴，（两直线平行，同位角相等），
∴（等量代换）．
（2）不同意；两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或者互补；
【知识点】两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】（2）不同意，两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或者互补
理由如下：如图，交于点，
∵，
∴（两直线平行，同位角相等），
（两直线平行，同旁内角互补）．
∵（对顶角相等），
∴（等量代换）．
∴两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或者互补．
故答案为：不同意；两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或者互补；
【分析】（1）根据图形利用两直线平行，同位角相等即可证明；
（2）根据题目条件画出另一种情形：利用两个角互补，利用两直线平行，同位角相等，同旁内角互补，可证得，，利用对顶角相等，可证得结论.
10．【答案】C
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如图， ∵ //b∴ ∠1=∠6，又∵∠6=∠4，∴∠1=∠4.
而∠2=∠3=∠5， ∠1+∠2=180°. ∴∠1不一定和∠2、∠3、∠5相等。
故答案为：C
【分析】根据平行线的性质，两直线平行同位角相等，再由对顶角相等和等量代换可求∠1=∠4，而∠1和∠2、∠3、∠5都是互补关系，不一定相等。
11．【答案】B
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】解：∵，
，
，
，
，
，
故答案为：B．
【分析】先利用平行线的性质可得，再利用角的运算求出，最后利用平行线的性质可得.
12．【答案】D
【知识点】用代数式表示几何图形的数量关系；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：根据题意，有，整理得.
故答案为：D.
【分析】由题意可知，γ实际上是两条入射光线的折射角之和，结合条件入射角与折射角的比例关系以及平行性质，可得到 夹角与，的数学关系式.
13．【答案】C
【知识点】平行线的性质；角平分线的概念；平行公理的推论
【解析】【解答】解：如图，过点A作AM∥FG，
∴∠GAM=∠G=y°，
∵AM∥FG，DE∥FG，
∴AM∥DE，
∴∠MAD=180°-∠ADE=180°-x°，
∵∠FAG=40°，
∴∠BAC=∠FAG=40°，
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAD=2∠BAC=80°，
∵∠BAD+∠DAM+∠GAM=180°，
∴80°+180°-x°+y°=180°，
∴x-y=80.
故答案为：C.
【分析】过A作AM∥FG，由二直线平行，内错角相等，得∠GAM=∠G=y°，由平行于同一直线的两条直线互相平行得AM∥DE，由二直线平行，同旁内角互补，得∠MAD=180°-∠ADE=180°-x°，由对顶角相等及角平分线的定义得∠BAD=2∠BAC=80°，最后根据平角的定义建立方程可求出结论.
14．【答案】D
【知识点】平行公理及推论；两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵将两个直角三角尺作如图摆放，且
∠EQF=∠MPN=90°，
∠QEF=∠PMN=60°，
∴∠EFQ=∠MNP=30°，
过点F作FG//MN交PM于点G，
∴∠PFG=∠MNP=30°，
∴∠EFG=∠PFG+∠EFQ=30°+30°=60°，
∵AB//CD，FG//MN即FG//CD，
∴AB//GF，
∴∠BEF=∠EFG=60°
∴∠BEF=∠QEF=60°，故选项B不符合题意，
∴∠AEQ=180°-∠QEF-∠BEF=180°-60°-60°=60°，
∴∠BEF=∠AEQ，故选项A不符合题意；
∴∠AEQ=60°=∠PMN，故选项C不符合题意；
∵∠AEQ=60°，∠QFE=30°，
∴∠AEQ≠∠QFE，故选项D符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据直角三角尺可得∠EFO=∠MNP=30°，过点F作FG//MN交PM于点G，得∠EFG=∠PFG+∠EFO=60°，然后逐一判断即可.
15．【答案】69
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵潜望镜中的两面镜子是互相平行放置的，即，
∴，
∵，，
∴，
∴．
故答案为：69．
【分析】先利用平行线的性质可得，再根据，，利用等量代换可得．
16．【答案】
【知识点】角的运算；平行线的性质；平行公理的推论
【解析】【解答】解：过C，D点分别作，，
∵，
∴，
∴，，
又
∴
．
故答案为：．
【分析】过C，D点分别作，，则有，根据平行线的性质，，则
．
17．【答案】（1）
（2）解：如图所示，
∵小明把三角尺角的顶点放在直线上，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴.
（3）解：如图所示，
根据（1）可知，即，
已知小亮把三角尺角的顶点放在点处，即，
设，则，，
∵平分交直线于点，平分交直线于点，
∴，
∴，，
∵，
∴．
【知识点】角的运算；平行线的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】（1）解：，理由如下，
∵，
∴，即，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】（1）先利用平行线的性质及等量代换可得，再利用等腰直角三角形的性质可得，最后利用角的运算和等量代换求出即可；
（2）先利用平行线的性质可得，再利用角的运算和等量代换可得，再求出，从而可得；
（3）设，则，，先利用角平分线的定义可得，再利用角的运算和等量代换可得．
（1）解：，理由如下，
∵，
∴，即，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）解：如图所示，
∵小明把三角尺角的顶点放在直线上，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得，，
∴；
（3）解：如图所示，
根据（1）可知，即，
已知小亮把三角尺角的顶点放在点处，即，
设，则，，
∵平分交直线于点，平分交直线于点，
∴，
∴，，
∵，
∴．
18．【答案】（1）解：①如图，过点作，
，
，，
，
，
，
即．
②，理由如下：
如图，过点作，
，
，
，
，，
，
，
，
即．
（2）解：设，，
平分，平分，
，，
，
由（1）可知，，
由材料的结论可知，，
．
【知识点】角的运算；平行线的性质；角平分线的概念；平行公理的推论
【解析】【分析】（1）①过点作，先利用平行线的性质及传递性可得，再利用平行线的性质可得，最后利用角的运算和等量代换求出即可；
②过点作，先利用平行线的性质及传递性可得，再利用平行线的性质可得，最后利用角的运算和等量代换可得；
（2）设，，利用角平分线的定义可得，，再利用角的运算求出，再结合，最后求出即可．
（1）解：①如图，过点作，
，
，，
，
，
，
即．
解：②，理由如下：
如图，过点作，
，
，
，
，，
，
，
，
即．
（2）解：设，，
平分，平分，
，，
，
由（1）可知，，
由材料的结论可知，，
．
19．【答案】（1）30°；∠ADC或∠3；∠ADF=∠BDE；等角的补角相等；4；5
（2）40°
（3）80°；50°
【知识点】平行线的性质；余角；补角
【解析】【解答】：（1）解：①∵∠2＝∠1＝60°，CD⊥EF，
∴∠CDF＝∠2＋∠3＝90°，
∴∠3＝90° ∠2＝90° 60°＝30°．
故答案为：30°．
②∠ADE的余角是∠ADC或∠3
故答案为：∠ADC或∠3
③∠ADF=∠BDC，理由如下
∵∠1+∠ADF=180°，∠2+∠BDE=180°，∠1=∠2
∴∠ADF=∠BDE(等角的补角相等)
故答案为：∠ADF=∠BDE；等角的补角相等
④图中互余的角有：∠ADE与∠ADC，∠ADE与∠3，∠2与∠3，∠2与∠ADC，共4对
互补的角有：∠1与∠ADF，∠2与∠BDE，∠EDC与∠CDF，∠F与∠CDF，∠F与∠CDE，共5对
故答案为：4；5
（2）过点F作EF∥AB
由题意可得：AB∥EF∥CD
∵∠5=40°
∴∠7=∠5=40°
∵∠3=∠4
∴∠7=∠6=40°
∴∠2=∠6=40°
∴∠1=∠2=40°
故答案为：40°
（3）过点A作AP⊥AE，过点B作BQ⊥BF
由题意可得：∠GAP=∠OAP，∠HBQ=∠OBQ
∵MN∥CD，AC⊥CD，BD⊥CD
∴AC⊥MN，BD⊥MN
∴∠CAN=∠DBN=90°
∵∠EAC=45°
∴∠EAN=45°
∵∠OAN=10°，AP⊥AE
∴∠OAP+＋OAN+∠EAN-∠PAE=90°
∴∠OAP+10°+45°=90°
∴∠OAP=35°
∴∠GAP=∠OAP=35°
∴∠GAO=2∠OAP=70°
∴∠GAN=∠GAO+∠OAN=70°+10°=80°
设∠FBD=，则∠FBN=∠DBN-∠FBD=90°-
∵∠OBN=20°，BQ⊥BF
∴∠OBQ=∠QBF-∠OBN-∠FBN=90°-20°-(90°-)=-20°
∴∠HBO=2∠OBQ=2-40°
∴∠HBN=∠HBO+∠OBN=2-20°
当AG∥BH时，∠GAN=∠HBN
∴2-20°=80°
解得：=50°
即∠FBD==50°
故答案为：80°；50°
【分析】（1）①根据余角即可求出答案.
②根据余角即可求出答案.
③根据补角即可求出答案.
④根据余角及补角的定义即可求出答案.
（2）过点F作EF∥AB，根据直线平行性质即可求出答案.
（3）过点A作AP⊥AE，过点B作BQ⊥BF，根据直线平行性质，余角，补角即可求出答案.
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