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湘教版（2025)数学七年级下册第四章 平面内的两条直线 单元测试（培优卷）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分
1．（2025七下·南宁月考）下列说法一定正确的是（　　）
A．两条不相交的线段叫作平行线
B．在同一平面内，两条直线的位置关系可能是平行且相交
C．两条相交的直线有且只有1个公共点
D．在同一平面内，若两条射线没有交点，则这两条射线平行
【答案】C
【知识点】平面中直线位置关系；相交线的相关概念；平行线的定义与现象
【解析】【解答】A、根据平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线；故A说法错误，不符合题意；
B、在同一平面内，两条直线的位置关系是平行和相交，二者不能同时成立，故B说法错误，不符合题意；
C、根据直线相交的定义，两条相交的直线有且只有一个公共点，故C说法正确，符合题意；
D、根据平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线；仅根据两条射线没有交点，不能得出这两条射线平行，故D说法错误，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线；一定是直线，不能是线段或射线，可判断A，D不符合题意；根据在同一平面内，两条直线的位置关系是平行和相交，可判断B不符合题意，从而即可求解．
2．（2025七下·杭州期中）下列说法：①在同一平面内，两条直线的位置关系有平行和相交两种；②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③相等的角是对顶角；④直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离；⑤两条直线被第三条直线所截，同位角相等.其中正确的是（　　）
A．①④⑤ B．②③④ C．②⑤ D．①④
【答案】D
【知识点】点到直线的距离；平面中直线位置关系；对顶角及其性质；平行公理；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：①在同一平面内，两条直线的位置关系确实只有平行和相交两种，因此说法①正确；
②过直线外一点才有且只有一条直线与已知直线平行，而原选项未强调“直线外”，因此说法②错误；
③相等的角不一定是对顶角，对顶角需满足有公共顶点且两边互为反向延长线的条件，因此说法③错误；
④点到直线的距离确实定义为垂线段的长度，说法④正确.
故答案为：D.
【分析】①在同一平面内，两条直线的位置关系有平行和相交两种；②根据平行公理可判断；③结合对顶角定义判断；④根据“两直线平行，同位角相等”判断.
3．（2025七下·青秀月考）据说中国最早的风筝是由古代哲学家墨翟制作的．如图风筝的骨架构成了多种位置关系的角．下列角中与∠1构成同位角的是（　　）
A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5
【答案】A
【知识点】同位角的概念
【解析】【解答】解：由图可得，与构成同位角的是．
故答案为：A．
【分析】利用同位角的定义（两条直线被第三条直线所截，两个角分别在两条被截线同一方并且都在截线同一侧）及特征分析求解即可.
4．（2025七下·惠阳期中）如图所示，某住宅小区内有一长方形地块，想在长方形地块内修筑同样宽的两条“之”字形路，余下部分绿化，道路的宽为，则绿化的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平移的性质；图形的平移
【解析】【解答】解：如图，把两条“之”字路平移到长方形地块的最上边和最左边，则余下部分是长方形，
米，米，
长方形的面积平方米．
∴绿化的面积为．
故答案为：D．
【分析】利用平移的性质将原图变形为新的长方形为长方形，再求出CF和CG的长，最后利用长方形的面积公式求解即可.
5．（2025七下·北流月考）如图所示是某酒店门前的台阶，现该酒店经理要在台上铺上一块红地毯，问这块红地毯长至少需要（　　）
A．23米 B．18米 C．15米 D．13米
【答案】B
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：利用平移线段，把楼梯的横梯都向下平移、竖向都向右平移，这时发现楼梯就是长方形的两边，
而长方形的两条边长分别为10米，8米，
故地毯的长度至少为（米）．
故答案为：B．
【分析】此题主要考查了利用平移解答实际问题，解决此题的关键是要利用平移的知识，把要求的所有线段平移到一条直线上进行计算。根据题意，结合图形，把楼梯的横梯部分都向下平移、竖向都向右平移，这时发现楼梯就是长方形的两边，因此红地毯的长度即可计算得出。
6．（2023七下·邹平期末）在同一平面内，是直线，下列关于它们位置关系的说法中，正确的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】D
【知识点】平行线的判定；平行公理的推论
【解析】【解答】解：若，则，故A错误，不符合题意；
若，则，故B错误，不符合题意；
若，则，故C错误，不符合题意；
若，则，故D正确，符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用平行线的判定和平行线的传递性逐项分析判断即可.
7．（2025七下·南宁月考）如图，下列条件中，可以判定的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平行线的判定；内错角相等，两直线平行
【解析】【解答】解：
A、可判定，故A不符合题意；
B、不能判定，故B不符合题意；
C、不能判定，故C不符合题意；
D、能判定，故D符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据平行线的判定：内错角相等（），两直线（）平行，即可求解．
8．（2021七下·北海期末）已知直线 ， ， 互相平行，直线 与 的距离是 ，直线 与 的距离是 ，那么直线 与 的距离是（　　）
A． 或 B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行线之间的距离
【解析】【解答】解：①当 与 在 同侧时，
∵直线 ， ， 互相平行，直线 与 的距离是 ，直线 与 的距离是 ，
∴ 与 的距离为5-2=3cm，
②当 与 在 两侧时，
∵直线 ， ， 互相平行，直线 与 的距离是 ，直线 与 的距离是 ，
∴ 与 的距离为5+2=7cm，
综上所述： 与 的距离是3cm或7cm，
故答案为：A.
【分析】分情况讨论：当 与 在 同侧时；当 与 在 两侧时；分别可以已知条件，可求出 与 的距离.
9．（2024七上·衡东期末）如图，，F为上一点，，过点F作于点G，且平分，．有下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确结论的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】平行线的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：，
，
，
，
，
，，
设，则，，
，
，
解得：，即，故①正确；
，
，故②正确；
，
若需证明平分，则需证，而由题目条件无法证明，故③不正确；
，
若需证明平分，则需证，而由题目条件无法证明，故④不正确；
综上所述，正确结论有①②，正确结论的个数是2．
故答案为：B．
【分析】根据二直线平行，内错角相等得到，由二直线平行，同位角相等，得，由垂直定义及二直线平行，内错角相等得；设，表示出和，利用平角的定义列出方程解出，可判断①；由=30°，可判断②；根据角平分线的定义，结合题意可判断③和④，即可得出结论．
10．（2025七下·浦江月考）如图1，是一盏LED台灯，其示意图如图2所示，此台灯由底座AB，BC，灯杆CD和灯头DE组成.已知BC⊥AB，灯头DE始终平行桌面.已知∠CDE=120°，连结CE，BE.若∠DEC=∠EBA，∠DCE=2∠CEB，则∠BCE的度数是（　　）
A．120° B．126° C．130° D．135°
【答案】B
【知识点】角的运算；平行公理及推论；平行线的性质
【解析】【解答】解：如图所示，过点作，则.
即：
故答案为：B.
【分析】由于无法利用已知条件直接计算，但因为可证是直角，因此可过点C作CF平行BA，则由平等线的性质可知也是直角，下来只需求出即可；由于已知DE平行AB，则可利用平行线的性质把转化于的位置上，则由已知条件知占的，则占的，再结合已知条件可得占的；此时可由平行公理知DE平行CF，则利用平行线的性质可把转化到的位置上，此时再利用同旁内角互补可得到等于60度，从而可求出的度数，则的度数可求.
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分
11． 张老师出了一道判断题“若 ， 则点 在一条直线上”， 点点认为对．你认为点点的理由是：　 　.
【答案】过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行.
【知识点】平行公理
【解析】【解答】解：∵，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，
∴ PC，QC为一条直线，
∴ 点 在一条直线上.
故答案为：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行.
【分析】根据过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行得出结论即可.
12．如图，与∠1构成同位角的角有　 　个。
【答案】3
【知识点】同位角的概念
【解析】【解答】解：如图，
∠1构成同位角的角有∠2，∠3，∠4，共3个，
故答案为：3.
【分析】根据同位角的定义 ：两条直线被第三条直线所截，如果两个角分别在两条直线的同侧，且在第三条直线的同旁，那么这两个角叫做同位角，据此即可求解.
13．（2025七下·蓬江月考）如图，将沿方向平移得到，若四边形的周长为，则的周长为　 　cm．
【答案】34
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：∵将沿方向平移得到，
∴，
∵四边形的周长为，
∴
∴．
故答案为：34．
【分析】先利用图形平移的特征可得，再利用三角形的周长公式和四边形的周长公式及等量代换求出即可．
14．（2025七下·雷州月考）如图，直线，将一把含角的直角三角尺按图中方式放置，其中，两点分别落在直线，上．若，则的度数为　 　．
【答案】
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】解：如图，由题意可得：，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
【分析】由已知可得，，利用，可得，可得，用．
15．（2024七上·长春期末）如图，，平分，平分，点、、在一条直线上，点、、、在一条直线上，，，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的是　 　．
【答案】①②③
【知识点】角的运算；平行线的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵平分，平分，
∴，
∵，
∴，
∴，①正确；
∵，，
∴，，，
∴，
∴，
∴，②正确；
∵，
∴，
∴，③正确；
∵，
∴，④错误；
综上所述：正确的结论有①②③．
故答案为：①②③．
【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，以及垂直定义等，根据角平分线的意义和平角的定义，可判断①；根据两直线平行，内错角相等，得出，和，结合角的和差，可判断②；根据平行线的性质，可判断③；根据角的和差计算，利用可判断④．
16．（2024七下·娄底月考）如图，直线，点A、B位于直线上，点C、D位于直线上，且：2，若的面积为6，则的面积为　 　.
【答案】12
【知识点】平行线之间的距离
【解析】【解答】解：过B作BN⊥CD于N，过C作CM⊥AB于M，
∵a∥b，
∴CM=BN，
∴S△BCD=CD·BN，S△ABC=BA·CM，
∴S△BCD∶S△ABC=CD∶AB=2：1
∵△ABC的面积为6，
∴△BCD的面积为12.
故答案为：12
【分析】根据两平行线间的距离处处相等，结合三角形的面积公式，知△BCD和△ABC的面积比等于CD∶AB，从而进行计算.
17．（2024七下·拱墅期中）如图1，潜望镜是指从海面下伸出海面或从低洼坑道伸出地面，用以窥探海面或地上活动的装置．其构造与普通地上望远镜相同，另加两个反射镜使物光经两次反射而折向眼中．光线经过镜子反射时，抽象出的数学图形如图2所示，，，若要保证光线经过镜子反射两次后能与起始光线平行射出，那么　 　．
【答案】
【知识点】内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：由光的反射定律得：，，
∵，
，
，
，，
，
．
故答案为：.
【分析】根据由光的反射定律“入射角等于反射角”可得，，由平行线的性质“两直线平行，内错角相等”可得，再根据内错角相等两直线平行即可求解．
18．（2023七下·衢江期末）如图是某小区大门的道闸栏杆示意图，立柱垂直于地面于点A，当栏杆达到最高高度时，横栏，此时　 　°．
【答案】270
【知识点】垂线的概念；平行公理的推论；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：过点B作，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：270．
【分析】过点B作BF∥AE，根据平由平行于同一直线的两条直线互相平行得BF∥AE∥CD，由二直线平行，同旁内角互补，可得，∠FBA+∠BAE=180°，结合垂直的定义得，最后根据角的构成，代值计算即可.
三、解答题：本题共8小题，共66分
19．（2025七下·柯桥月考）如图，由若干个小正方形构成的网格中有一个三角形ABC，它的三个顶点都在格点上，借助网格按要求进行下列作图：
⑴过点C作直线CD平行于AB；
⑵平移三角形ABC，并将三角形ABC的顶点A平移到点E处，其中点F和点B对应，点G与点C对应，请画出平移后的三角形EFG；
⑶连结AE，BF．则AE与BF的位置关系与数量关系是 ．
【答案】解：（1）如图，直线CD即为所求；
（2）由题意得，三角形ABC是向右平移6个单位长度，向下平移2个单位长度得到的三角形EFG．如图，三角形EFG即为所求；
（3）平行且相等．
【知识点】平移的性质；作图﹣平移
【解析】【解答】解：由平移可得，AE与BF的位置关系与数量关系是平行且相等．
故答案为：平行且相等．
【分析】（1）利用方格纸的特点，观察A、C两点的位置，发现将点A向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度得到点C，故将点B向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度得到点D，过C、D两点作直线CD，CD就是所求的与AB平行得直线；
（2）利用方格纸的特点，观察A、E两点的位置，发现将点A向右平移6个单位长度，再向下平移2个单位长度得到点E，故△ABC是向右平移6个单位长度，向下平移2个单位长度得到的△EFG，据此作出B、C两点向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度得到的对应点G、F，再顺次连接E、F、G即可；
（3）根据平移的性质“ 平移前后的图形是全等的，且对应线段平行或在同一直线上且相等 ”可得结论.
20．（2024七下·芙蓉期中）已知AB∥CD，点M在直线AB上，点N、Q在直线CD上，点P在直线AB、CD之间，PQ平分∠MPN，∠AMP＝∠PQN＝α．
（1）如图1，求∠MPQ的度数（用含α的式子表示）；
（2）如图2，过点Q作QE∥PN交PM的延长线于点E，过E作EF平分∠PEQ交PQ于点F，连接EN，若NE平分∠PNQ．
①∠EFP＝ ．
②请你判断∠NEF与∠AMP的数量关系，并悦明理由．
【答案】解：（1）①如图 ，过点P作，
，
，
，
；
（2）②由①知：，，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
【知识点】角的运算；角平分线的概念；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：（2）①平分，
，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
；
故答案为：90°.
【分析】（1）如图①，过点P作PR∥AB，可得AB∥CD∥PR，进而可得结论；
（2）①根据已知条件可得，进而可得∠EFP；
②结合①和已知条件可得∠QNE＝∠QEN，根据三角形内角和定理可得，可得，进而可得结论．
21．（2022七下·雨花期末）问题情境：
我们知道，“如果两条平行直线被第三条直线所截，截得的同位角相等，内错角相等，同旁内角互补”，所以在某些探究性度量中通过“构造平行线”可以起到转化角的作用．已知三角板ABC中，∠BAC＝60°，∠B＝30°，∠C＝90°，长方形DEFG中，DE//GF．
问题初探：
如图（1），若将三角板ABC的顶点A放在长方形的边GF上，BC与DE相交于点M，AB⊥DE于点N，则∠EMC的度数是多少呢？若过点C作CH//GF，则CH//DE，这样就将∠CAF转化为∠HCA，∠EMC转化为∠MCH，从而可以求得∠EMC的度数为…．
（1）请你直接写出：∠CAF＝　 　°，∠EMC＝　 　°．
（2）类比再探：若将将三角板ABC按图（2）所示方式摆放（AB与DE不垂直），请你猜想∠EMC与∠CAF的数量关系？并说明理由．
（3）方法迁移：请你猜想（1）（2）解决问题的思路，在图（2）中探究∠BAG与∠BMD的数量关系？并说明理由．
【答案】（1）30；60
（2）∠EMC+∠CAF=90°，
证明：如图2，过C作CH∥GF，则∠CAF=∠ACH，
∵DE∥GF，CH∥GF，
∴CH∥DE，
∴∠EMC=∠HCM，
∴∠EMC+∠CAF=∠MCH+∠ACH=∠ACB=90°；
（3）∠BAG-∠BMD=30°，
证明：如图2，过B作BK∥GF，则∠BAG=∠KBA，
∵BK∥GF，DE∥GF，
∴BK∥DE，
∴∠BMD=∠KBM，
∴∠BAG-∠BMD=∠ABK-∠KBM=∠ABC=30°．
【知识点】角的运算；平行公理及推论；平行线的性质
【解析】【解答】解：（1）过点C作CH∥GF，
∵CH∥GF， DE//GF ，
∴CH∥DE∥GF，
∴∠EMC=∠BCH，∠FAC=∠HCA，
∵BN⊥DE，
∴∠BNE=90°，
又∵ED∥GF，
∴∠BNE=∠BAF=90°
∴∠CAF=∠BAF-∠BAC=90°-60°=30°，
∴∠EMC=∠BCH=90°-30°=60°；
故答案为：30，60；
【分析】（1）过点C作CH∥GF，则CH∥GF∥DE，这样就将∠CAF转化为∠HCA，∠EMC转化为∠MCH，从而可以求得∠EMC的度数；
（2）过C作CH∥GF，则CH∥GF∥DE，由平行线的性质可得∠CAF=∠ACH，∠EMC=∠HCM，然后根据∠EMC+∠CAF=∠MCH+∠ACH=∠ACB进行解答；
（3）过B作BK∥GF，则BK∥GF∥DE，由平行线的性质可得∠BAG=∠KBA，∠BMD=∠KBM，然后根据∠BAG-∠BMD=∠ABK-∠KBM=∠ABC进行解答.
22．（2023七下·长沙期中）已知，为射线上一点，平分．
（1）如图，当点在线段上时，求证：；
（2）如图，当点在线段延长线上时，连接，若，．
求证：；
求的度数．
【答案】（1）证明：平分，
，
∵，
，
；
（2）解：①证明：∵，
，，
；
解：，设，
，，
∵．
，
，
，
又∵，
，
，即，
解得：，
，，
∵，
．
【知识点】角的运算；平行线的性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义可得，利用平行线的性质可得，即可得到；
（2）①利用平行线的性质可得 ，，即可得到；
②设，则，，再结合，即，求出，可得 ，，再利用平行线的性质求出即可。
23．（2023七下·长沙期末）如图，在中，E在边BC上，过点E作，交AC于点F，若D为BC边上的动点，连接DF、DA，设，．
（1）如图①，当D在线段BE上时．
①若，，则 ▲ ；
②试证明．
（2）如图②，当点D在线段EC上运动时，与、有何数量关系？请判断并说明理由．
（3）如图③，当点D在BC延长线上运动时，与、有何数量关系？请判断并说明理由．
【答案】（1）解：①40°
②过点D作，
∵，，
，
，，
；
（2）解：，理由如下：
设AD与EG的交点为M，
，
，
是的外角，
，
；
（3）解：，理由如下：
设EG与AD的交点为N，
∵，
，
是的外角，
．
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】 （1）①过点D作 DP∥AH，
∵∠GFD=170°，∠DAH=150°
∴α=10°，β=30°
∵DP∥AH，EG∥AH，
∴EG∥DP∥AH，
∴∠FDP=α，∠PDA=β
∴∠ADF=α+β=40°
故答案为：40°
（2）β=∠ADF+α理由：设AD与EG的交点为M，
∵EG∥BH， ∠DME是△DMF的外角
∴∠DME是△DMF的外角
∴∠DME=∠ADF+a
(3)α=β+∠ADF，理由： 设EG与AD的交点为N
∵EG∥AH
∴∠DNE=β
∵α是DFN的外角
∴α=β+∠ADF
【分析】(1)①如图，过点D作DP∥AH，利用两直线平行，内错角相等得∠FDP=α，∠PDA=β，则∠ADF=a+β=40°
②由①同理解决问题。
(2)如图设AD与EG的交点为M，∠DAB=β，∠EFD=α，EG∥BH由平行线的性质得∠DME=∠DAB=β，且∠DME是△DMF的外角，得 ∠DME=∠ADF+a，即β=∠ADF+α。
(3)如图设EG与AD的交点为N，由(2)同理可得.
24．如图，已知直线l1∥l2，l3、l4和l1、l2分别交于点A、B、C、D，点P在直线l3或l4上且不与点A、B、C、D重合．记∠AEP=∠1，∠PFB=∠2，∠EPF=∠3．

（1）若点P在图（1）位置时，求证：∠3=∠1+∠2
（2）若点P在图（2）位置时，请直接写出∠1、∠2、∠3之间的关系
（3）若点P在图（3）位置时，写出∠1、∠2、∠3之间的关系并给予证明
（4）若点P在C、D两点外侧运动时，请直接写出∠1、∠2、∠3之间的关系
【答案】（1）证明：过P作PQ∥l1∥l2，
由两直线平行，内错角相等，可得：
∠1=∠QPE、∠2=∠QPF；
∵∠3=∠QPE+∠QPF，
∴∠3=∠1+∠2．
（2）解：
∠3=∠2﹣∠1；
证明：过P作直线PQ∥l1∥l2，
则：∠1=∠QPE、∠2=∠QPF；
∵∠3=∠QPF﹣∠QPE，
∴∠3=∠2﹣∠1．

（3）解：
∠3=360°﹣∠1﹣∠2．
证明：过P作PQ∥l1∥l2；
同（1）可证得：∠3=∠CEP+∠DFP；
∵∠CEP+∠1=180°，∠DFP+∠2=180°，
∴∠CEP+∠DFP+∠1+∠2=360°，
即∠3=360°﹣∠1﹣∠2．
（4）解：
过P作PQ∥l1∥l2；
①当P在C点上方时，
同（2）可证：∠3=∠DFP﹣∠CEP；
∵∠CEP+∠1=180°，∠DFP+∠2=180°，
∴∠DFP﹣∠CEP+∠2﹣∠1=0，
即∠3=∠1﹣∠2．
②当P在D点下方时，
∠3=∠2﹣∠1，解法同上．
综上可知：当P在C点上方时，∠3=∠1﹣∠2，当P在D点下方时，∠3=∠2﹣∠1．

【知识点】平行线的性质
【解析】【分析】此题四个小题的解题思路是一致的，过P作直线l1、l2的平行线，利用平行线的性质得到和∠1、∠2相等的角，然后结合这些等角和∠3的位置关系，来得出∠1、∠2、∠3的数量关系．
25．（2024七下·榕城期中）（1）【阅读探究】如图，已知，、分别是、上的点，点在 、两平行线之间，，，求的度数．
解：过点作，
∵，
∴，
∴，，
∴．
从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将和“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．进一步研究，我们可以发现图1中、和之间存在一定的数量关系，请直接写出它们之间的数量关系： ．
（2）【方法运用】如图，已知，点、分别在直线、上，点在、两平行线之间，求、和之间的数量关系．
（3）【应用拓展】如图，在图的条件下，作和的平分线、，交于点（交点在两平行线、之间）若，求的度数．
【答案】解：（1）
（2）过点作，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
（3）过点作，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵、平分和，
∴，，
∴，
∴，
由（2）得，，
∵，
∴，
∴，
∴．

【知识点】平行公理及推论；平行线的性质；内错角的概念；同旁内角的概念；角平分线的概念
【解析】【解答】（1）过点作，∵，
∴，
∴，，
∵，
∴．
【分析】（1）过点作，根据，得到，再由平行线的性质，内错角相等，得到，，结合，即可求解；
（2）过点作，根据，得到，再由平行线的性质，同旁内角互补，则，，结合，即可得到答案；
（3）过点作，根据，得到，由平行线的性质，内错角相等，得，，再由、平分和，由（2）得到，进而得到答案．
26．（2024七下·西塘月考）综合与实践
如图1，在某河堤两岸分别安装了两盏可旋转探照灯，假设两岸河堤是平行的，即．探照灯射出的光线可看作射线．灯射出的光线从射线开始，绕点顺时针旋转至便立即回转，灯射出的光线从射线开始，绕点顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．
【问题初探】（1）如图2，连接，若灯射出的光线平分，且，求的度数；
【问题深入】（2）如图3，若两灯射出的光线交于点．当，时，求的度数；
【应用拓展】（3）已知灯光线转动速度是每秒，灯光线转动速度是每秒．若灯光线先转动30秒，灯光线才开始转动，在灯光线第一次转到之前，请直接写出，灯光线转动多少秒时，两灯射出的光线互相平行．
【答案】解：解：（1）∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）过点G作，如图，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴；
（3）∵灯光线转动速度是每秒，灯光线先转动30秒，在灯光线第一次转到之前，
∴，解得，
①当与相遇前，设灯的光线转动秒，两灯的光线，如图，
则，，
∵，
∴，
∴，则，解得；
②当与相遇后，灯光线转动秒，未到达前，灯光线未到达前，两灯的光线，
则，，
∵，
∴，
∴，则，解得；
若时，灯光线转动角度为，灯的光线转动角度为，此时两灯为相遇，故舍去；
③当与相遇后，灯的光线转动秒，未到达前的光线，灯光线到达后，两灯的光线，
则，，
∵，
∴，
∴，则，解得；
故答案为：15或82.5秒．
【知识点】平行线的性质；一元一次方程的实际应用-几何问题；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）利用角平分线的定义可得，再求出，利用平行线的性质可得，再利用角的运算求出即可；
（2）过点G作，先证出，利用平行线的性质可得，再利用角的运算求出即可；
（3）分类讨论：①当与相遇前，②当与相遇后，③当与相遇后，再分别画出图形并利用角的运算求解即可.
1 / 1湘教版（2025)数学七年级下册第四章 平面内的两条直线 单元测试（培优卷）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分
1．（2025七下·南宁月考）下列说法一定正确的是（　　）
A．两条不相交的线段叫作平行线
B．在同一平面内，两条直线的位置关系可能是平行且相交
C．两条相交的直线有且只有1个公共点
D．在同一平面内，若两条射线没有交点，则这两条射线平行
2．（2025七下·杭州期中）下列说法：①在同一平面内，两条直线的位置关系有平行和相交两种；②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③相等的角是对顶角；④直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离；⑤两条直线被第三条直线所截，同位角相等.其中正确的是（　　）
A．①④⑤ B．②③④ C．②⑤ D．①④
3．（2025七下·青秀月考）据说中国最早的风筝是由古代哲学家墨翟制作的．如图风筝的骨架构成了多种位置关系的角．下列角中与∠1构成同位角的是（　　）
A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5
4．（2025七下·惠阳期中）如图所示，某住宅小区内有一长方形地块，想在长方形地块内修筑同样宽的两条“之”字形路，余下部分绿化，道路的宽为，则绿化的面积为（　　）
A． B． C． D．
5．（2025七下·北流月考）如图所示是某酒店门前的台阶，现该酒店经理要在台上铺上一块红地毯，问这块红地毯长至少需要（　　）
A．23米 B．18米 C．15米 D．13米
6．（2023七下·邹平期末）在同一平面内，是直线，下列关于它们位置关系的说法中，正确的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
7．（2025七下·南宁月考）如图，下列条件中，可以判定的是（　　）
A． B． C． D．
8．（2021七下·北海期末）已知直线 ， ， 互相平行，直线 与 的距离是 ，直线 与 的距离是 ，那么直线 与 的距离是（　　）
A． 或 B． C． D．
9．（2024七上·衡东期末）如图，，F为上一点，，过点F作于点G，且平分，．有下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确结论的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．（2025七下·浦江月考）如图1，是一盏LED台灯，其示意图如图2所示，此台灯由底座AB，BC，灯杆CD和灯头DE组成.已知BC⊥AB，灯头DE始终平行桌面.已知∠CDE=120°，连结CE，BE.若∠DEC=∠EBA，∠DCE=2∠CEB，则∠BCE的度数是（　　）
A．120° B．126° C．130° D．135°
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分
11． 张老师出了一道判断题“若 ， 则点 在一条直线上”， 点点认为对．你认为点点的理由是：　 　.
12．如图，与∠1构成同位角的角有　 　个。
13．（2025七下·蓬江月考）如图，将沿方向平移得到，若四边形的周长为，则的周长为　 　cm．
14．（2025七下·雷州月考）如图，直线，将一把含角的直角三角尺按图中方式放置，其中，两点分别落在直线，上．若，则的度数为　 　．
15．（2024七上·长春期末）如图，，平分，平分，点、、在一条直线上，点、、、在一条直线上，，，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的是　 　．
16．（2024七下·娄底月考）如图，直线，点A、B位于直线上，点C、D位于直线上，且：2，若的面积为6，则的面积为　 　.
17．（2024七下·拱墅期中）如图1，潜望镜是指从海面下伸出海面或从低洼坑道伸出地面，用以窥探海面或地上活动的装置．其构造与普通地上望远镜相同，另加两个反射镜使物光经两次反射而折向眼中．光线经过镜子反射时，抽象出的数学图形如图2所示，，，若要保证光线经过镜子反射两次后能与起始光线平行射出，那么　 　．
18．（2023七下·衢江期末）如图是某小区大门的道闸栏杆示意图，立柱垂直于地面于点A，当栏杆达到最高高度时，横栏，此时　 　°．
三、解答题：本题共8小题，共66分
19．（2025七下·柯桥月考）如图，由若干个小正方形构成的网格中有一个三角形ABC，它的三个顶点都在格点上，借助网格按要求进行下列作图：
⑴过点C作直线CD平行于AB；
⑵平移三角形ABC，并将三角形ABC的顶点A平移到点E处，其中点F和点B对应，点G与点C对应，请画出平移后的三角形EFG；
⑶连结AE，BF．则AE与BF的位置关系与数量关系是 ．
20．（2024七下·芙蓉期中）已知AB∥CD，点M在直线AB上，点N、Q在直线CD上，点P在直线AB、CD之间，PQ平分∠MPN，∠AMP＝∠PQN＝α．
（1）如图1，求∠MPQ的度数（用含α的式子表示）；
（2）如图2，过点Q作QE∥PN交PM的延长线于点E，过E作EF平分∠PEQ交PQ于点F，连接EN，若NE平分∠PNQ．
①∠EFP＝ ．
②请你判断∠NEF与∠AMP的数量关系，并悦明理由．
21．（2022七下·雨花期末）问题情境：
我们知道，“如果两条平行直线被第三条直线所截，截得的同位角相等，内错角相等，同旁内角互补”，所以在某些探究性度量中通过“构造平行线”可以起到转化角的作用．已知三角板ABC中，∠BAC＝60°，∠B＝30°，∠C＝90°，长方形DEFG中，DE//GF．
问题初探：
如图（1），若将三角板ABC的顶点A放在长方形的边GF上，BC与DE相交于点M，AB⊥DE于点N，则∠EMC的度数是多少呢？若过点C作CH//GF，则CH//DE，这样就将∠CAF转化为∠HCA，∠EMC转化为∠MCH，从而可以求得∠EMC的度数为…．
（1）请你直接写出：∠CAF＝　 　°，∠EMC＝　 　°．
（2）类比再探：若将将三角板ABC按图（2）所示方式摆放（AB与DE不垂直），请你猜想∠EMC与∠CAF的数量关系？并说明理由．
（3）方法迁移：请你猜想（1）（2）解决问题的思路，在图（2）中探究∠BAG与∠BMD的数量关系？并说明理由．
22．（2023七下·长沙期中）已知，为射线上一点，平分．
（1）如图，当点在线段上时，求证：；
（2）如图，当点在线段延长线上时，连接，若，．
求证：；
求的度数．
23．（2023七下·长沙期末）如图，在中，E在边BC上，过点E作，交AC于点F，若D为BC边上的动点，连接DF、DA，设，．
（1）如图①，当D在线段BE上时．
①若，，则 ▲ ；
②试证明．
（2）如图②，当点D在线段EC上运动时，与、有何数量关系？请判断并说明理由．
（3）如图③，当点D在BC延长线上运动时，与、有何数量关系？请判断并说明理由．
24．如图，已知直线l1∥l2，l3、l4和l1、l2分别交于点A、B、C、D，点P在直线l3或l4上且不与点A、B、C、D重合．记∠AEP=∠1，∠PFB=∠2，∠EPF=∠3．

（1）若点P在图（1）位置时，求证：∠3=∠1+∠2
（2）若点P在图（2）位置时，请直接写出∠1、∠2、∠3之间的关系
（3）若点P在图（3）位置时，写出∠1、∠2、∠3之间的关系并给予证明
（4）若点P在C、D两点外侧运动时，请直接写出∠1、∠2、∠3之间的关系
25．（2024七下·榕城期中）（1）【阅读探究】如图，已知，、分别是、上的点，点在 、两平行线之间，，，求的度数．
解：过点作，
∵，
∴，
∴，，
∴．
从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将和“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．进一步研究，我们可以发现图1中、和之间存在一定的数量关系，请直接写出它们之间的数量关系： ．
（2）【方法运用】如图，已知，点、分别在直线、上，点在、两平行线之间，求、和之间的数量关系．
（3）【应用拓展】如图，在图的条件下，作和的平分线、，交于点（交点在两平行线、之间）若，求的度数．
26．（2024七下·西塘月考）综合与实践
如图1，在某河堤两岸分别安装了两盏可旋转探照灯，假设两岸河堤是平行的，即．探照灯射出的光线可看作射线．灯射出的光线从射线开始，绕点顺时针旋转至便立即回转，灯射出的光线从射线开始，绕点顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．
【问题初探】（1）如图2，连接，若灯射出的光线平分，且，求的度数；
【问题深入】（2）如图3，若两灯射出的光线交于点．当，时，求的度数；
【应用拓展】（3）已知灯光线转动速度是每秒，灯光线转动速度是每秒．若灯光线先转动30秒，灯光线才开始转动，在灯光线第一次转到之前，请直接写出，灯光线转动多少秒时，两灯射出的光线互相平行．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】平面中直线位置关系；相交线的相关概念；平行线的定义与现象
【解析】【解答】A、根据平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线；故A说法错误，不符合题意；
B、在同一平面内，两条直线的位置关系是平行和相交，二者不能同时成立，故B说法错误，不符合题意；
C、根据直线相交的定义，两条相交的直线有且只有一个公共点，故C说法正确，符合题意；
D、根据平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线；仅根据两条射线没有交点，不能得出这两条射线平行，故D说法错误，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线；一定是直线，不能是线段或射线，可判断A，D不符合题意；根据在同一平面内，两条直线的位置关系是平行和相交，可判断B不符合题意，从而即可求解．
2．【答案】D
【知识点】点到直线的距离；平面中直线位置关系；对顶角及其性质；平行公理；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：①在同一平面内，两条直线的位置关系确实只有平行和相交两种，因此说法①正确；
②过直线外一点才有且只有一条直线与已知直线平行，而原选项未强调“直线外”，因此说法②错误；
③相等的角不一定是对顶角，对顶角需满足有公共顶点且两边互为反向延长线的条件，因此说法③错误；
④点到直线的距离确实定义为垂线段的长度，说法④正确.
故答案为：D.
【分析】①在同一平面内，两条直线的位置关系有平行和相交两种；②根据平行公理可判断；③结合对顶角定义判断；④根据“两直线平行，同位角相等”判断.
3．【答案】A
【知识点】同位角的概念
【解析】【解答】解：由图可得，与构成同位角的是．
故答案为：A．
【分析】利用同位角的定义（两条直线被第三条直线所截，两个角分别在两条被截线同一方并且都在截线同一侧）及特征分析求解即可.
4．【答案】D
【知识点】平移的性质；图形的平移
【解析】【解答】解：如图，把两条“之”字路平移到长方形地块的最上边和最左边，则余下部分是长方形，
米，米，
长方形的面积平方米．
∴绿化的面积为．
故答案为：D．
【分析】利用平移的性质将原图变形为新的长方形为长方形，再求出CF和CG的长，最后利用长方形的面积公式求解即可.
5．【答案】B
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：利用平移线段，把楼梯的横梯都向下平移、竖向都向右平移，这时发现楼梯就是长方形的两边，
而长方形的两条边长分别为10米，8米，
故地毯的长度至少为（米）．
故答案为：B．
【分析】此题主要考查了利用平移解答实际问题，解决此题的关键是要利用平移的知识，把要求的所有线段平移到一条直线上进行计算。根据题意，结合图形，把楼梯的横梯部分都向下平移、竖向都向右平移，这时发现楼梯就是长方形的两边，因此红地毯的长度即可计算得出。
6．【答案】D
【知识点】平行线的判定；平行公理的推论
【解析】【解答】解：若，则，故A错误，不符合题意；
若，则，故B错误，不符合题意；
若，则，故C错误，不符合题意；
若，则，故D正确，符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用平行线的判定和平行线的传递性逐项分析判断即可.
7．【答案】D
【知识点】平行线的判定；内错角相等，两直线平行
【解析】【解答】解：
A、可判定，故A不符合题意；
B、不能判定，故B不符合题意；
C、不能判定，故C不符合题意；
D、能判定，故D符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据平行线的判定：内错角相等（），两直线（）平行，即可求解．
8．【答案】A
【知识点】平行线之间的距离
【解析】【解答】解：①当 与 在 同侧时，
∵直线 ， ， 互相平行，直线 与 的距离是 ，直线 与 的距离是 ，
∴ 与 的距离为5-2=3cm，
②当 与 在 两侧时，
∵直线 ， ， 互相平行，直线 与 的距离是 ，直线 与 的距离是 ，
∴ 与 的距离为5+2=7cm，
综上所述： 与 的距离是3cm或7cm，
故答案为：A.
【分析】分情况讨论：当 与 在 同侧时；当 与 在 两侧时；分别可以已知条件，可求出 与 的距离.
9．【答案】B
【知识点】平行线的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：，
，
，
，
，
，，
设，则，，
，
，
解得：，即，故①正确；
，
，故②正确；
，
若需证明平分，则需证，而由题目条件无法证明，故③不正确；
，
若需证明平分，则需证，而由题目条件无法证明，故④不正确；
综上所述，正确结论有①②，正确结论的个数是2．
故答案为：B．
【分析】根据二直线平行，内错角相等得到，由二直线平行，同位角相等，得，由垂直定义及二直线平行，内错角相等得；设，表示出和，利用平角的定义列出方程解出，可判断①；由=30°，可判断②；根据角平分线的定义，结合题意可判断③和④，即可得出结论．
10．【答案】B
【知识点】角的运算；平行公理及推论；平行线的性质
【解析】【解答】解：如图所示，过点作，则.
即：
故答案为：B.
【分析】由于无法利用已知条件直接计算，但因为可证是直角，因此可过点C作CF平行BA，则由平等线的性质可知也是直角，下来只需求出即可；由于已知DE平行AB，则可利用平行线的性质把转化于的位置上，则由已知条件知占的，则占的，再结合已知条件可得占的；此时可由平行公理知DE平行CF，则利用平行线的性质可把转化到的位置上，此时再利用同旁内角互补可得到等于60度，从而可求出的度数，则的度数可求.
11．【答案】过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行.
【知识点】平行公理
【解析】【解答】解：∵，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，
∴ PC，QC为一条直线，
∴ 点 在一条直线上.
故答案为：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行.
【分析】根据过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行得出结论即可.
12．【答案】3
【知识点】同位角的概念
【解析】【解答】解：如图，
∠1构成同位角的角有∠2，∠3，∠4，共3个，
故答案为：3.
【分析】根据同位角的定义 ：两条直线被第三条直线所截，如果两个角分别在两条直线的同侧，且在第三条直线的同旁，那么这两个角叫做同位角，据此即可求解.
13．【答案】34
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：∵将沿方向平移得到，
∴，
∵四边形的周长为，
∴
∴．
故答案为：34．
【分析】先利用图形平移的特征可得，再利用三角形的周长公式和四边形的周长公式及等量代换求出即可．
14．【答案】
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】解：如图，由题意可得：，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
【分析】由已知可得，，利用，可得，可得，用．
15．【答案】①②③
【知识点】角的运算；平行线的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵平分，平分，
∴，
∵，
∴，
∴，①正确；
∵，，
∴，，，
∴，
∴，
∴，②正确；
∵，
∴，
∴，③正确；
∵，
∴，④错误；
综上所述：正确的结论有①②③．
故答案为：①②③．
【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，以及垂直定义等，根据角平分线的意义和平角的定义，可判断①；根据两直线平行，内错角相等，得出，和，结合角的和差，可判断②；根据平行线的性质，可判断③；根据角的和差计算，利用可判断④．
16．【答案】12
【知识点】平行线之间的距离
【解析】【解答】解：过B作BN⊥CD于N，过C作CM⊥AB于M，
∵a∥b，
∴CM=BN，
∴S△BCD=CD·BN，S△ABC=BA·CM，
∴S△BCD∶S△ABC=CD∶AB=2：1
∵△ABC的面积为6，
∴△BCD的面积为12.
故答案为：12
【分析】根据两平行线间的距离处处相等，结合三角形的面积公式，知△BCD和△ABC的面积比等于CD∶AB，从而进行计算.
17．【答案】
【知识点】内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：由光的反射定律得：，，
∵，
，
，
，，
，
．
故答案为：.
【分析】根据由光的反射定律“入射角等于反射角”可得，，由平行线的性质“两直线平行，内错角相等”可得，再根据内错角相等两直线平行即可求解．
18．【答案】270
【知识点】垂线的概念；平行公理的推论；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：过点B作，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：270．
【分析】过点B作BF∥AE，根据平由平行于同一直线的两条直线互相平行得BF∥AE∥CD，由二直线平行，同旁内角互补，可得，∠FBA+∠BAE=180°，结合垂直的定义得，最后根据角的构成，代值计算即可.
19．【答案】解：（1）如图，直线CD即为所求；
（2）由题意得，三角形ABC是向右平移6个单位长度，向下平移2个单位长度得到的三角形EFG．如图，三角形EFG即为所求；
（3）平行且相等．
【知识点】平移的性质；作图﹣平移
【解析】【解答】解：由平移可得，AE与BF的位置关系与数量关系是平行且相等．
故答案为：平行且相等．
【分析】（1）利用方格纸的特点，观察A、C两点的位置，发现将点A向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度得到点C，故将点B向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度得到点D，过C、D两点作直线CD，CD就是所求的与AB平行得直线；
（2）利用方格纸的特点，观察A、E两点的位置，发现将点A向右平移6个单位长度，再向下平移2个单位长度得到点E，故△ABC是向右平移6个单位长度，向下平移2个单位长度得到的△EFG，据此作出B、C两点向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度得到的对应点G、F，再顺次连接E、F、G即可；
（3）根据平移的性质“ 平移前后的图形是全等的，且对应线段平行或在同一直线上且相等 ”可得结论.
20．【答案】解：（1）①如图 ，过点P作，
，
，
，
；
（2）②由①知：，，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
【知识点】角的运算；角平分线的概念；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：（2）①平分，
，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
；
故答案为：90°.
【分析】（1）如图①，过点P作PR∥AB，可得AB∥CD∥PR，进而可得结论；
（2）①根据已知条件可得，进而可得∠EFP；
②结合①和已知条件可得∠QNE＝∠QEN，根据三角形内角和定理可得，可得，进而可得结论．
21．【答案】（1）30；60
（2）∠EMC+∠CAF=90°，
证明：如图2，过C作CH∥GF，则∠CAF=∠ACH，
∵DE∥GF，CH∥GF，
∴CH∥DE，
∴∠EMC=∠HCM，
∴∠EMC+∠CAF=∠MCH+∠ACH=∠ACB=90°；
（3）∠BAG-∠BMD=30°，
证明：如图2，过B作BK∥GF，则∠BAG=∠KBA，
∵BK∥GF，DE∥GF，
∴BK∥DE，
∴∠BMD=∠KBM，
∴∠BAG-∠BMD=∠ABK-∠KBM=∠ABC=30°．
【知识点】角的运算；平行公理及推论；平行线的性质
【解析】【解答】解：（1）过点C作CH∥GF，
∵CH∥GF， DE//GF ，
∴CH∥DE∥GF，
∴∠EMC=∠BCH，∠FAC=∠HCA，
∵BN⊥DE，
∴∠BNE=90°，
又∵ED∥GF，
∴∠BNE=∠BAF=90°
∴∠CAF=∠BAF-∠BAC=90°-60°=30°，
∴∠EMC=∠BCH=90°-30°=60°；
故答案为：30，60；
【分析】（1）过点C作CH∥GF，则CH∥GF∥DE，这样就将∠CAF转化为∠HCA，∠EMC转化为∠MCH，从而可以求得∠EMC的度数；
（2）过C作CH∥GF，则CH∥GF∥DE，由平行线的性质可得∠CAF=∠ACH，∠EMC=∠HCM，然后根据∠EMC+∠CAF=∠MCH+∠ACH=∠ACB进行解答；
（3）过B作BK∥GF，则BK∥GF∥DE，由平行线的性质可得∠BAG=∠KBA，∠BMD=∠KBM，然后根据∠BAG-∠BMD=∠ABK-∠KBM=∠ABC进行解答.
22．【答案】（1）证明：平分，
，
∵，
，
；
（2）解：①证明：∵，
，，
；
解：，设，
，，
∵．
，
，
，
又∵，
，
，即，
解得：，
，，
∵，
．
【知识点】角的运算；平行线的性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义可得，利用平行线的性质可得，即可得到；
（2）①利用平行线的性质可得 ，，即可得到；
②设，则，，再结合，即，求出，可得 ，，再利用平行线的性质求出即可。
23．【答案】（1）解：①40°
②过点D作，
∵，，
，
，，
；
（2）解：，理由如下：
设AD与EG的交点为M，
，
，
是的外角，
，
；
（3）解：，理由如下：
设EG与AD的交点为N，
∵，
，
是的外角，
．
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】 （1）①过点D作 DP∥AH，
∵∠GFD=170°，∠DAH=150°
∴α=10°，β=30°
∵DP∥AH，EG∥AH，
∴EG∥DP∥AH，
∴∠FDP=α，∠PDA=β
∴∠ADF=α+β=40°
故答案为：40°
（2）β=∠ADF+α理由：设AD与EG的交点为M，
∵EG∥BH， ∠DME是△DMF的外角
∴∠DME是△DMF的外角
∴∠DME=∠ADF+a
(3)α=β+∠ADF，理由： 设EG与AD的交点为N
∵EG∥AH
∴∠DNE=β
∵α是DFN的外角
∴α=β+∠ADF
【分析】(1)①如图，过点D作DP∥AH，利用两直线平行，内错角相等得∠FDP=α，∠PDA=β，则∠ADF=a+β=40°
②由①同理解决问题。
(2)如图设AD与EG的交点为M，∠DAB=β，∠EFD=α，EG∥BH由平行线的性质得∠DME=∠DAB=β，且∠DME是△DMF的外角，得 ∠DME=∠ADF+a，即β=∠ADF+α。
(3)如图设EG与AD的交点为N，由(2)同理可得.
24．【答案】（1）证明：过P作PQ∥l1∥l2，
由两直线平行，内错角相等，可得：
∠1=∠QPE、∠2=∠QPF；
∵∠3=∠QPE+∠QPF，
∴∠3=∠1+∠2．
（2）解：
∠3=∠2﹣∠1；
证明：过P作直线PQ∥l1∥l2，
则：∠1=∠QPE、∠2=∠QPF；
∵∠3=∠QPF﹣∠QPE，
∴∠3=∠2﹣∠1．

（3）解：
∠3=360°﹣∠1﹣∠2．
证明：过P作PQ∥l1∥l2；
同（1）可证得：∠3=∠CEP+∠DFP；
∵∠CEP+∠1=180°，∠DFP+∠2=180°，
∴∠CEP+∠DFP+∠1+∠2=360°，
即∠3=360°﹣∠1﹣∠2．
（4）解：
过P作PQ∥l1∥l2；
①当P在C点上方时，
同（2）可证：∠3=∠DFP﹣∠CEP；
∵∠CEP+∠1=180°，∠DFP+∠2=180°，
∴∠DFP﹣∠CEP+∠2﹣∠1=0，
即∠3=∠1﹣∠2．
②当P在D点下方时，
∠3=∠2﹣∠1，解法同上．
综上可知：当P在C点上方时，∠3=∠1﹣∠2，当P在D点下方时，∠3=∠2﹣∠1．

【知识点】平行线的性质
【解析】【分析】此题四个小题的解题思路是一致的，过P作直线l1、l2的平行线，利用平行线的性质得到和∠1、∠2相等的角，然后结合这些等角和∠3的位置关系，来得出∠1、∠2、∠3的数量关系．
25．【答案】解：（1）
（2）过点作，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
（3）过点作，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵、平分和，
∴，，
∴，
∴，
由（2）得，，
∵，
∴，
∴，
∴．

【知识点】平行公理及推论；平行线的性质；内错角的概念；同旁内角的概念；角平分线的概念
【解析】【解答】（1）过点作，∵，
∴，
∴，，
∵，
∴．
【分析】（1）过点作，根据，得到，再由平行线的性质，内错角相等，得到，，结合，即可求解；
（2）过点作，根据，得到，再由平行线的性质，同旁内角互补，则，，结合，即可得到答案；
（3）过点作，根据，得到，由平行线的性质，内错角相等，得，，再由、平分和，由（2）得到，进而得到答案．
26．【答案】解：解：（1）∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）过点G作，如图，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴；
（3）∵灯光线转动速度是每秒，灯光线先转动30秒，在灯光线第一次转到之前，
∴，解得，
①当与相遇前，设灯的光线转动秒，两灯的光线，如图，
则，，
∵，
∴，
∴，则，解得；
②当与相遇后，灯光线转动秒，未到达前，灯光线未到达前，两灯的光线，
则，，
∵，
∴，
∴，则，解得；
若时，灯光线转动角度为，灯的光线转动角度为，此时两灯为相遇，故舍去；
③当与相遇后，灯的光线转动秒，未到达前的光线，灯光线到达后，两灯的光线，
则，，
∵，
∴，
∴，则，解得；
故答案为：15或82.5秒．
【知识点】平行线的性质；一元一次方程的实际应用-几何问题；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）利用角平分线的定义可得，再求出，利用平行线的性质可得，再利用角的运算求出即可；
（2）过点G作，先证出，利用平行线的性质可得，再利用角的运算求出即可；
（3）分类讨论：①当与相遇前，②当与相遇后，③当与相遇后，再分别画出图形并利用角的运算求解即可.
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