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2024-2025学年八年级数学下册5月份月考试卷（第1~4章）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．数轴是认识数形结合的重要工具．如图，完整的数轴上有A，B两点，分别表示和，且点A在点B左侧，则x的值可以是（ ）
A． B． C． D．
2．若实数，，满足，，则的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．如图，点是等边内一点，，，，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
4．如图（1）是一把折叠椅实物图，支架与交于点．如图（2）是椅子打开时的侧面示意图（忽略材料的厚度），椅面与地面水平线平行，，折叠后椅子比完全打开时高（ ）．

A．42 B． C． D．
5．如图，学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地，测得，，，，且，这块菜地的面积是（ ）

A． B． C． D．
6．如图,在4×4的正方形网格中,每个小正方形的顶点称为格点,左上角阴影部分是一个以格点为顶点的正方形(简称格点正方形).若再作一个格点正方形,并涂上阴影,使这两个格点正方形无重叠,且组成的图形既是轴对称图形,又是中心对称图形,则这个格点正方形的作法共有 ( )
A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
7．等腰中，，记，周长为y，定义为这个三角形的坐标，如图所示，直线将第一象限划分为4个区域．下面四个结论中，所有正确结论的序号是（ ）
①对于任意等腰，其坐标不可能位于区域Ⅰ中；
②对于任意等腰，其坐标可能位于区域Ⅳ中
③若是等腰直角三角形，其坐标位于区域Ⅲ中；
④图中点M所对应的等腰三角形的底边比点N所对应的等腰三角形的底边要长．
A．①③④ B．①②③ C．②③④ D．①④
8．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42，因此 4，12，20 都是“神秘数”，则下面哪个数是“神秘数”（ ）
A．56 B．60 C．62 D．88
9．若存在一个整数m，使得关于x，y的方程组的解满足，且让不等式只有3个整数解，则满足条件的所有整数m的和是（　　）
A．12 B．6 C． D．
10．如图，中，于平分于，与相交于点是边的中点，连接与相交于点，下列结论：①；②；③是等腰三角形；④．正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．③④ D．①②③④
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．如图，在△ABC中，，将△ABC以每秒2cm的速度沿所在直线向右平移，所得图形对应为△DEF，设平移时间为t秒，若要使成立，则的值为 秒．

12．在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点．
（1）的值为 ；
（2）当时，对于x的每一个值，函数的值既大于函数的值，也大于函数的值，则k的取值范围为 ．
13．甲、乙两个大小不一样的正方形按如图所示的两种方式放置．，记图①中的阴影部分面积为，图②中的阴影部分面积为．
（1）若，则的值是 ；
（2）若，，则的值是 ．
14．如图，在中，，，，，点在边上，，点在边上，且，则的长为 ．
15．已知非负数a，b，c满足条件，，设的最大值是m，最小值是n，则的值为 ．
16．（3分）（24-25八年级·浙江杭州·期末）已知在中，且为最小的内角，过顶点B的一条直线把这个三角形分割成两个等腰三角形，则
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（6分）如果两个不等式存在公共解，那么称这两个不等式互为“友好不等式”．
(1)在不等式①，②，③中，与不等式互为“友好不等式”的是________；（填序号）
(2)若关于的不等式与不是“友好不等式”，求的取值范围；
(3)若，关于的不等式与不等式互为“友好不等式”，求的取值范围．
18．（6分）如图，是在平面内绕点B顺时针旋转而成，点A的对应点为点D，且点D在边上，点C的对应点为点E，连接，若．
(1)求证：
(2)若，，求的长．
19．（8分）数学教科书中这样写道：“我们把多项式及叫作完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等．
例如：分解因式
例如：求代数式的最小值
．可知当时，有最小值．
根据阅读材料，利用配方法解决下列问题：
(1)分解因式：；
(2)当为何值时，多项式有最值，并求出这个最值．
20．（8分）把一次函数（k，b为常数，）在x轴下方的图象沿x轴向上翻折，与原来在x轴上方的图象组合，得到一个新的图象，我们称之为一次函数的“V”形图象，例如，如图1就是函数的“V”形图象．
(1)请在图2中画出一次函数的“V”形图象，并直接写出该“V”形图象的函数表达式及自变量x的取值范围；
(2)在（1）的条件下，若一次函数的“V”形图象与x轴交于点A，与直线相交于B，C两点，求的面积；
(3)一次函数（k为常数）的“V”形图象经过，两点，且，求k的取值范围．
21．（10分）【综合与实践】根据以下信息，探索完成设计购买方案的任务．
信息1：某校初一举办了科技比赛，学校为获奖的40名同学每人购买一份奖品，奖品分为，，三类．
信息2：若购买2份A奖品和3份B奖品共需220元；购买3份A奖品和2份B奖品共需230元．单独购买一份C奖品需要15元．
信息3：计划获A奖品的人数要少于获B奖品的人数．购买时有优惠活动：每购买1份A奖品就赠送一份C奖品．
任务1：求A奖品和B奖品的单价；
任务2：若获A奖品的人数等于获C奖品的人数，且获得A奖品的人数超过10人，求此次购买A奖品有几种方案；
任务3：若购买奖品的总预算不超过1150元，要让获A奖品的人数尽量多，请你直接写出符合条件的购买方案．
22．（10分）如图1，在中，，，D、E分别在边，上，，且，与相交于点F．
(1)求证：为等边三角形；
(2)若，，求的值；
(3)如图2，点H在上， ，交于点G，求证：．
23．（12分）若一个四位数m千位数字与百位数字的差等于十位数字与个位数字的差，则称这个四位数为“等差数”．将等差数m千位数字与百位数字对调，十位数字与个位数字对调得到新数，并记，例如：在1234中，，是“等差数”，此时；在1235中，，不是“等差数”．
(1)判断2569，8431是否是“等差数”，并说明理由；如果是，求出对应的的值；
(2)若四位数，且，记，，当与均为整数时，求出所有满足条件的“等差数”m．
24．（12分）【项目式学习】
【项目主题】合理规划，绿色家园
【项目背景】某小区有4栋住宅楼：栋，栋，栋，栋，处为小区入口．为方便小区居民传递爱心，物业管理处准备在小区的一条主干道上增设一个“爱心衣物回收箱”（如图1），现需设计“爱心衣物回收箱”的具体位置，使得它到4栋住宅楼的距离之和最短．某数学兴趣小组成员开展了如下探究活动．
任务一实地测绘
小组成员借助无人机航测技术绘制了小区平面图（如图2），并测量出了某些道路的长度（如表格所示），进一步抽象成几何图形（如图3），其中主干道与交于点，．小组成员又借助电子角度仪测得．
道路 长度（米）
40
30
30
18
32
25
任务二 数学计算
根据图3及表格中的相关数据，请完成下列计算：
(1)求道路的长；
(2)道路__________米；
(3)任务三方案设计
①根据以上探究，请你在主干道上画出“爱心衣物回收箱”的具体位置（用点表示），并画出需要增设的小路；
②“爱心衣物回收箱”到4栋住宅楼的距离之和的最小值为_______米．（保留根号）
参考答案
一．选择题
1．A
【分析】本题考查了数轴，解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的方法是解题的关键．
根据题意得到，解得，再逐项判断即可得到答案．
【详解】解：由数轴可知，
解得：，
在中只有
∴的值可以是，
故选：A．
2．A
【分析】本题考查了因式分解、代数式的求值、实数的性质，掌握相关知识点是解题的关键．先将题目的两个等式相加，整理得到，再利用因式分解的知识将等式变形为，利用完全平方的非负性求出、的值，即可求出的值．
【详解】解：，，
，
整理得：，
，
，
，，
解得：，，
，
．
故选：A．
3．B
【分析】将绕点顺时针旋转得，连接，可得是等边三角形，再利用勾股定理的逆定理可得，得到，过作交的延长线于点，然后利用勾股定理和直角三角形的性质即可得解．
【详解】解：如图，将绕点顺时针旋转得，连接，
，，，
是等边三角形，
，，
，，
，
，
，
如图，过作交的延长线于点，
，
，
由勾股定理得，，
，
，
如图，过点作交于点，
，
，
由勾股定理得，
，
故选：．
4．D
【分析】本题考查了勾股定理，平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．过点作，垂足为点，从而可得，再利用平行线的性质可得，从而可得是等边三角形，然后利用等边三角形的性质可得，，再根据平行线的性质可得：，从而可得，进而可得，最后根据等边三角形的判定可得：是等边三角形，从而可得，再利用直角三角形的两个锐角互余可得：，从而中，利用含30度角的直角三角形性质可得，再利用勾股定理求出的长，从而进行计算即可解答．
【详解】解：过点作，垂足为点，
，
，
，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，，
，
，
，
，
折叠后椅子比完全打开时高，
故选：D．
5．B
【分析】在中，利用勾股定理求出的长，再由勾股定理逆定理判断的形状，由三角形面积公式求得菜地的面积．
【详解】解：连接AC
在中，，，，，
在中，，，
∴
∴是直角三角形，且．
∴
∴这块菜地的面积是
故选：B

6．C
【详解】试题分析：利用轴对称图形的性质以及中心对称图形的性质分析得出符合题意的图形即可．
解：如图所示：组成的图形是轴对称图形，又是中心对称图形，
则这个格点正方形的作法共有4种．
故选C．
7．A
【分析】设，则．根据，利用不等式的性质得出，即可判断①；根据三角形任意两边之和大于第三边，得出，利用不等式的性质得到，即可判断②；③根据等腰直角三角形的性质、不等式的性质得出，即可判断③；分别求出点、点所对应等腰三角形的底边范围，即可判断④．
【详解】解：如图，等腰三角形中，，记，周长为，
设，则，
①∵，
，
∴对于任意等腰三角形，其坐标位于直线的上方，不可能位于区域I中，故结论①正确，符合题意；
②∵三角形任意两边之和大于第三边，
，即，
，
∴对于任意等腰三角形，其坐标位于直线的下方，不可能位于区域IV中，故结论②错误，不符合题意；
③若三角形是等腰直角三角形，则，
，
，
，
即，
∴若三角形是等腰直角三角形，其坐标位于区域III中，故结论③正确，符合题意；
④由图可知，点位于区域III中，此时，
，
，
点N位于区域Ⅱ中，此时，
，
，
∴点所对应等腰三角形的底边比点所对应等腰三角形的底边长，故结论④正确，符合题意．
故选：A．
8．B
【分析】设这两个连续偶数分别2m、2m+2（m为自然数），则“神秘数”=（2m+2）2-（2m）2=（2m+2+2m）（2m+2-2m）=4(2m+1)，因为m是自然数，要判断一个数是否是“神秘数”，只需根据该数=4(2m+1)列方程求解即可，若解出m是自然数就符合，否则不符合．
【详解】解：设这两个连续偶数分别2m、2m+2（m为自然数），
∴“神秘数”=（2m+2）2-（2m）2=（2m+2+2m）（2m+2-2m）=4(2m+1)，
A、若4(2m+1)=56，解得m=，错误；
B、若4(2m+1)=60，解得m=7，正确；
C、若4(2m+1)=62，解得m=，错误；
D、若4(2m+1)=88，解得m=，错误；
故选：B．
9．D
【分析】根据方程组的解的情况，以及不等式组的解集情况，求出的取值范围，再进行求解即可．
【详解】解：，
，得：，
解得，
，得：，
解得，
∵，
∴，
解得，
解不等式，得：，
解不等式，得：，
∵不等式组只有3个整数解，
∴，
解得，
∴，
∴符合条件的整数m的值的和为，
故选：D．
10．A
【分析】①根据平分，得，再根据得，由此可对结论①进行判断；
②证明和全等，则，再证明得，由此可对结论②进行判断；
③利用三角形内角和定理可求出，由此可对结论③进行判断；
④过点作于点，则，，由此得，再根据得，进而得，由此可对结论④进行判断，综上所述即可得出答案．
【详解】解：①平分，，
，
，
在中，，
故结论①正确；
②，，
是等腰直角三角形，，
，
在中，，
，
在和中，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，
；
故结论②正确；
③ 是等腰直角三角形，是边的中点，
，，
在中，，
，
，
是等腰三角形，
故结论③正确；
④过点作于点，如图所示：
平分，，
，
在中，，
，
又，，
，
，
，
，
，
故结论④不正确，
综上所述：正确的结论是①②③．
故选：A．
二．填空题
11．2或6.
【分析】分两种情况：（1）当点E在C的左边时；（2）当点E在C的右边时.画出相应的图形，根据平移的性质，可得AD=BE，再根据AD=2CE，可得方程，解方程即可求解．
【详解】解：分两种情况：
（1）当点E在C的左边时，如图

根据图形可得：线段BE和AD的长度即是平移的距离，
则AD=BE，
设AD=2tcm，则CE=tcm，依题意有
2t+t=6，
解得t=2．
（2）当点E在C的右边时，如图

根据图形可得：线段BE和AD的长度即是平移的距离，
则AD=BE，
设AD=2tcm，则CE=tcm，依题意有
2t-t=6，
解得t=6．
故答案为2或6．
12．
【分析】本题考查了两条直线相交或平行的问题，涉及待定系数法求函数解析式，掌握数形结合法是解题的关键．
先将点分别代入函数解析式即可求出，则，此时两条直线的函数解析式分别为与，数形结合找出平行的临界状态即可求解．
【详解】解：（1）∵函数与的图象交于点，
∴，
解得：，
∴，
故答案为：；
（2）∵当时，对于x的每一个值，函数的值既大于函数的值，也大于函数的值，如图：
∵直线与交于点，
由图可知当时，函数的值大于函数的值，
∴要满足题意，只需函数的值大于函数的值即可，
∵当直线平行于直线时，符合题意，此时
∴满足题意，，
故答案为：．
13． 20
【分析】（1）根据已知条件得到乙正方形的边长为，于是得到结论；
（2）根据阴影部分的面积可得，，两式相除得到a、b的关系，再代入求解即可．
【详解】解：（1）∵，
∴乙正方形的边长为，
∴，
故答案为：20；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
整理，得，
即，
∴或，
∴或（舍去）
∴，
故答案为：．

14．
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、等腰三角形的性质与判定、直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点，学会添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．作交于点，交于点，由和得到，根据得到，则有，推出，利用全等三角形和直角三角形的性质推出，得到，即可求出的长．
【详解】解：如图，作交于点，交于点，
，
，
，
，
，
，
，，
，
又，
，
，
又，
，
，，
，
，
，即，
，
，
．
故答案为：．
15．26
【分析】根据已知的式子可得，，即有，再根据a、b、c为非负实数，可得，即可得，，问题随之得解．
【详解】联立，
把a看作常数，解得，，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴，
∴，
∴当时，；当时，；
∴．
故答案为：26．
16．123°或132°或90°或48°
【分析】根据题意作图，结合等腰三角形的性质分情况讨论即可求解．
【详解】解：如图，若BC=CD，AD=BD，
由题意可得：∠DBC=∠BDC=（180°-∠C）÷2=82°，
∴∠ABD=∠BAD=∠BDC=41°，
∴∠ABC=∠ABD+∠DBC=123°，
∵∠ADB=180°-82°=98°，
则在BC=CD的前提下只有AD=BD；
如图，若CD=BD，AB=BD，
由题意可得：∠DBC=∠C=16°，
∴∠ADB=2∠C=32°，
∴∠A=∠ADB=32°，
∠ABD=180°-∠A-∠ADB=116°，
∴∠ABC=∠ABD+∠DBC=132°，
符合最小的内角为∠C=16°，
如图，若BD=CD，AB=AD，
则∠C=∠DBC=16°，
∴∠ADB=∠ABD=2∠C=32°，
∴∠A=180°-2×32°=116°，
∴∠ABC=∠ABD+∠DBC=48°；
如图，若BD=CD，AD=BD，
∴∠ADB=2∠C=2∠DBC=32°，
∴∠A=∠ABD=（180°-32°）÷2=74°，
∴∠ABC=∠ABD+∠DBC=90°；
若BD=BC，
则∠C=∠CDB=16°，
∴∠ADB=180°-∠CDB=164°，
则只能满足AD=BD，
∴∠A=∠CDB=8°，
即∠A＜∠C，不满足；
综上：∠ABC的度数为123°或132°或90°或48°．
故答案为：123°或132°或90°或48°．
三．解答题
17．（1）解：①的解集为，②，③的解集为，
不等式和没有公共解，故①不是不等式的“友好不等式”；
不等式不等式和有公共解，故②是不等式的“友好不等式”；
不等式不等式和有公共解，故③是不等式的“友好不等式”；
故答案为：②③；
（2）解不等式可得，
解不等式得，
∵关于x的不等式不是的“友好不等式”，
∴，
解得，
故m的取值范围是；
（3）解不等式，得到；解不等式，得到
①当时，即时，依题意有，即，故；
②当时，即时，始终符合题意，故；
综上，a的取值范围为或．
18．（1）证明：∵是在平面内绕点B顺时针旋转而成，点A的对应点为点D，
∴ ，
∵．
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴
（2）过点作于点，则，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴
∵是在平面内绕点B顺时针旋转而成，点A的对应点为点D，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
19．（1）解：
；
（2）解：
，
，
当时，多项式有最大值20．
20．（1）解：如图所示，
该“V”形图象的函数表达式为
（2），当时，，
∴点的坐标为
由图可得：线段所在直线的解析式为，
∴，
解得
∴
线段所在直线的解析式为，
∴，
解得
∴
由（1）得：
∴的面积；
（3）∵直线（，且为常数）
当时，
∴经过定点
当时，
∴该图象与x轴交点
①当时，当，则对称轴为直线，
∵，
由图象可知，
解得
∴
②当时，由图象可知，始终有
综上所述，或．
21．任务1：设A奖品单价为x元，B奖品单价为y元，得：
解得：
答：A奖品单价为50元，B奖品单价为40元．
任务2：设购买A奖品a份，则购买B奖品份，得
解得：，
a为正整数，
a可取的值有11，12，13．
答：此次购买A奖品共有3种购买方案．
任务3： 设购买A奖品m份，C奖品n份，
则B奖品份数为：，依题意得：
，
解得：，即，
m、n均为正整数，
可以取的值有：，，，，，，，，，，，
当时，，即，无解
当时，，即，所以
，，此时奖品人数最多
方案为：购买A奖品11份，C奖品6份，B奖品12份，此时预算为（元），符合题意．
故答案为：购买11份A奖品，12份B奖品，6份C奖品．
22．（1）证明：如图1，在上截取，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴为等边三角形；
（2）解：如图2，过点A作于M，
∵是等边三角形，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴．
（3）证明：延长至K，使，连接，，如图3所示：
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
23．（1）解：，
是“等差数”，
；
，
不是“等差数”；
（2）解：由题意得：，
，
，
，
，，，，都是1到9之间的整数，与均为整数，
，都为的倍数，
，或，，
或．
24．（1）解：∵，
∴
∵
∴．
∴，
故道路的长为25米；
（2）解：∵
∴，
∴
又∵
在中，
∵
∴，，
∵
∴
故答案为：；
（3）①由（2）可得垂直平分，根据两点之间线段最短可得的交点到的距离之和最小，又，则到4栋距离最小的点即为点，如图所示：
②解：∵，
∴
∴
∵在上，即的垂直平分线上，
∴，
∴
又∵，
∴
∴
∴
∴

，
故答案为：．

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