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2024-2025学年八年级下册5月份月考数学试卷（第16~19章）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．下列各式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（ ）
A．B． C． D．
3．如果一次函数的图像经过第一象限，且与轴负半相交，那么（ ）
A． B． C． D．
4．如图，菱形花坛的边长为，沿着该菱形的对角线修建两条小路和，则菱形花坛的面积为（ ）
A． B． C． D．
5．图是由小正方形拼成的网格，两点均在格点上，两点均为小正方形一边的中点，直线与直线交于点，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知，，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．4
7．已知：如图，在矩形中，点为上一点，平分，点为的中点，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，，，在轴上，在轴上，当四边形的周长最小时，直线的表达式为（ ）
A． B．
C． D．
9．如图在正方形中，点是对角线，交点，过点作射线，分别交，于点，，且，，交于点．有下列结论：
①；
②；
③；
④四边形的面积为正方形面积的；
⑤．其中正确的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
10．如图，已知直线a：y＝x，直线b：和点P（1，0），过点P作y轴的平行线交直线a于点P1，过点P1作x轴的平行线交直线b于点P2，过点P2作y轴的平行线交直线a于点P3，过点P3作x轴的平行线交直线b于点P4，…，按此作法进行下去，则点P2024的坐标为（　　）
A． B．
C． D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．实数a，b在数轴上对应的点如图所示，化简： ．
12．如图，凸四边形的四边，，和的长分别是3，4，12和13，，则四边形的面积 ．
13．如图所示，在四边形中，，，，交于点，若，，则 cm．
14．如图，在平面直角坐标系中，，，一束光线从点O射出，照在镜面上的点P处，经过镜面反射后，反射光线射到镜面上的点Q处，经过镜面反射后的光线恰好经过点M，则点P的坐标为 ．
15．如图，四边形中，，，，M是上一点，且，点E从点A出发以的速度向点D运动，点F从点C出发，以的速度向B运动，当其中一点到达终点，另一点也随之停止，设运动时间为t秒，则当以A，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，
16．如图，门上钉子P处挂着一个“欢迎光临”的长方形挂牌，测得．（如图1），当挂牌水平悬挂（即与地面平行）时，测得挂绳，将该门挂的挂绳长度缩短后重新挂上，此时不小心把挂牌弄斜了（如图2），发现与地面平行，且点三点在同一直线上，则点B的高度下降了 ．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（6分）计算：
(1) (2)
(3) (4)
18．（6分）如图，在中，过点A作，交于点D．
(1)若，求的长；
(2)在（1）的条件下，，求的面积；
(3)若，求的面积．
19．（8分）（1）如图1，中，D、E分别是和的中点，若，则______，若，则______．
（2）如图2，在四边形ABCD中，，（），点E、F分别是和的中点，，求的值．
小明是这样作的，过点F作交BC于点M，交的延长线于点N，（如图3）据此，他就计算出了的值．请你把这个计算过程完整的写出来．
20．（8分）如图，直线分别交x轴，y轴于点．直线分别交x轴，y轴于点C，D，与直线相交于点E，已知．
(1)求直线的表达式；
(2)求时，x的取值范围．
21．（10分）阅读下面材料，并回答下列问题：
小明遇到这样一个问题，如图，在中，分别交于点，交于点.已知，求的值.
小明发现，过点作，交的延长线于点，构造，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图）

请你回答：
（1）证明：；
（2）求出的值；
（3）参考小明思考问题的方法，解决问题；
如图，已知和矩形与交于点.求的度数.
22．（10分）探究活动：函数的图象与性质．
(1)函数的自变量取值范围是__________；
(2)在下面网格中，建立平面直角坐标系，参考画正比例函数图形的经验，画出的图象；
(3)根据画出的函数图象，得出了如下几条结论：
①函数有最小值为0；②当时，随的增大而增大；
③图像关于过点且垂直于轴的直线对称；
④图像关于点中心对称．
上述结论中正确的是_____．（只填序号）
(4)已知为图像上一点，点是图像与轴的交点，，那么的面积是__________．
23．（12分）随着中国科技、经济的不断发展，信号的覆盖的广泛性和稳定性都有更好的表现．如图，有一辆汽车沿直线方向，由点向点行驶，已知点为某个信号源，且点到点和点的距离分别为和，且，信号源中心周围及以内可以接收到信号．
(1)汽车在从点向点行驶的过程中，能接收到信号吗？为什么？
(2)若汽车的速度为，请问有多长时间可以接收到信号？
24．（12分）如图，在正方形中，边长为3，点M，N是边，上两点，且，连接，；
(1)则与的数量关系是__________，位置关系是__________；
(2)若点E，F分别是与的中点，计算的长；
(3)延长至P，连接，若，试求的长．
参考答案
一．选择题
1．C
【分析】本题考查了最简二次根式“1、被开方数的因数是整数，字母因式是整式；2、被开方数不含能开得尽方的因数或因式”，熟记最简二次根式的定义是解题关键．根据最简二次根式的定义逐项判断即可得．
【详解】解：A、，则此项不是最简二次根式，不符合题意；
B、，则此项不是最简二次根式，不符合题意；
C、是最简二次根式，则此项符合题意；
D、，则此项不是最简二次根式，不符合题意；
故选：C．
2．B
【分析】本题考查勾股定理的证明，解题的关键是掌握勾股定理的证明方法．根据各个图象，利用面积的不同表示方法，列式证明结论，找出不能证明的那个选项．
【详解】解：A．∵，整理，得，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
B．根据图形不能证明勾股定理，故本选项符合题意．
C．∵．∴整理，得，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
D．∵，整理，得，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
故选：B．
3．B
【分析】本题考查一次函数图象与性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键，根据图像经过第一象限，且与轴负半相交，可得函数图象经过一、三、四象限，即可得到，的取值范围，进而得到答案．
【详解】解：∵图像经过第一象限，且与轴负半相交，
∴函数经过一、三、四象限，
∴，
故选：B．
4．B
【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识；熟练掌握菱形的性质是解题关键．
由菱形的性质和得出是等边三角形，进而得出的长，再由菱形面积等于对角线乘积的一半即可得出答案．
【详解】解：如图所示：
∵菱形花坛的边长为，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
在 中，由勾股定理得：，
∴，
∴花坛的面积为：，
故选：B．
5．C
【分析】本题考查平移的性质，勾股定理及其逆定理，通过平移，将点C、D移到格点是银题的关键．
将向下平移一格，再向左平移格，得到，连接，利用勾股定理及其逆定理，证明，即可由平行线的性质求得，从而求得．
【详解】解：如图，平移至处，则均在正方形格点上，连接，
设小正方形的边长为1，由勾股定理得：
，，，
∴
∴
∵平移至处，．
∴
∴
∴
故选：C．
6．B
【分析】本题主要考查了二次根式的加减混合运算以及求值，根据，，判断出，将化简再进行加减运算，最后将，代入求值即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴
，
当，时，原式，
故选：B．
7．D
【分析】本题考查了矩形的性质，角平分线的定义，勾股定理，等腰三角形的判定，掌握知识点的应用是解题的关键．
由矩形的性质得，，，，又，则，故有，同理，设，，所以 ，，然后用勾股定理即可求解．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵点为的中点，
∴，
设，，
∴ ，，
由勾股定理得：，
∴，
∴，
∴，
∴由勾股定理得：，
∴，
故选：．
8．C
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，轴对称——最短路线问题，正确轴对称的性质做出图形是关键；
取A关于y轴的对称点，取B关于x轴的对称点 ，连接，交x轴于C，交y轴于D，根据轴对称和两点之间线段最短可得的长即为的最小值，根据点、点坐标即可得出直线解析式．
【详解】如图，取A关于y轴的对称点，取B关于x轴的对称点 ，连接，交x轴于C，交y轴于D，此时的长即为的最小值，即四边形的周长最小，
，
设直线的解析式为，点关于y轴的对称点的坐标是，点关于x轴的对称点的坐标是，
，
解得，
直线的解析式为，
故选：C．
9．C
【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质与判定、勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据正方形的性质得到，，，，利用全等三角形判定推出，可判断①；由全等三角形的性质可得，，可判断②；由和得出，可判断③；由得到，可判断④；利用勾股定理可判断⑤，即可得出结论．
【详解】解：正方形，
，，，，
，
，
，即，
，故①正确；
，
，，
，即，故②正确；
，，
是等腰直角三角形，
，
若需证，则需证，而题目条件无法证明，故③不正确；
，
，
，
正方形，
，
四边形的面积为正方形面积的，故④正确；
，
，故⑤正确；
综上所述，其中正确的有①②④⑤，正确的个数是4．
故选：C．
10．A
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及点坐标规律探索，首先根据点的变化规律分别求出点、、、的坐标，根据它们的横坐标变化规律，得到点的横坐标，再根据点在直线上求出纵坐标．
【详解】点的坐标为，点在直线上，
点的坐标是，
轴，
点的纵坐标是，
又点在上，
解方程，
解得：，
点的坐标是，
轴，
点的横坐标是，
又点在直线上，
点的坐标是，
轴，
点的纵坐标是，
又点在直线上，
可得方程，
解得：，
点的坐标是，
根据规律可得：的横坐标为，的横坐标为，
的横坐标为，的横坐标为，
的横坐标为，的横坐标为，
，
的横坐标为，
，
的横坐标为，
又点在上，
可得：，
点的坐标为
故答案选： A．
二．填空题
11．a
【分析】本题考查了数轴的相关知识及二次根式的化简．掌握二次根式的性质是解决本题的关键．
根据数轴上点的位置，确定a、b的正负，判断出，再化简给出的代数式，合并后得结果；
【详解】解：由数轴可知，且，则，
，
故答案为：a．
12．
【分析】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，连接，在直角中，根据勾股定理可以求得，在中，可得，根据勾股定理的逆定理确定为直角三角形，四边形的面积为和面积之和．
【详解】解：连接，
在直角中，，，
∴，
又∵，∴为直角三角形，
∴的面积为，的面积为，
∴四边形的面积为和面积之和，即．
故答案为：．
13．22
【分析】本题主要考查了平行线的性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，灵活应用相关知识成为解答本题的关键．先说明四边形是平行四边形可得，再由可得，求出的长；然后再说明是等腰三角形得到即可解答．
【详解】解：∵，
∴四边形平行四边形
∴，而，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为22．
14．
【分析】此题考查了轴对称的性质，一次函数表达式交点问题，解题的关键是求出一次函数表达式．
如图所示，作点O关于的对称点，点M关于y轴的对称点，然后求出所在直线的表达式为，所在直线的表达式为，然后联立求解即可．
【详解】解：如图所示，作点O关于的对称点，点M关于y轴的对称点
∵，，
∴，
设所在直线的表达式为
∴
∴所在直线的表达式为
同理可得，所在直线的表达式为
根据对称可得，直线和的交点即为点P，
联立得，
解得
∴点P的坐标为．
故答案为：．
15．或
【分析】本题考查了动点问题，平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质，合理分类是解题的关键．分F在M的右侧和左侧两种情况讨论即可．
【详解】解∶∵，，
∴，
∵，
∴当以A，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，，
当F在M的右侧时，，
又，
∴，
∴；
当F在M的左侧时，，
又，
∴，
∴；
综上， 当以A，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，t的值为或，
故答案为：或．
16．
【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知识．如图1，作，则，由勾股定理得，，即到的垂直距离为；如图2，作于，作于，则缩短后，由勾股定理得，，设，则，由勾股定理得，，可求，则，由，可求，，进一步计算求解即可．
【详解】解：如图1，作，
∵，
∴，
由勾股定理得，，
∴到的垂直距离为；
如图2，作于，作于，
由题意知，缩短后，
∵长方形挂牌，点、、三点在同一直线上，
∴，
由勾股定理得，，
设，则，
由勾股定理得，，即，
解得，，
∴，
∴，即，
解得，，
∴，即，
解得，，
∴到的垂直距离为；
∴点的高度下降了，
故答案为：．
三．解答题
17．（1）解：
．
（2）解：
．
（3）解：
．
（4）解：
．
18．（1）解：，，
，
，即，
，
．
（2）解：作于E，
，
，
，
，
．
（3）解：作于E，
在中，
在中, ，
,
，
即，
,
,
19．解：（1）∵D、E分别是和的中点，
∴是的中位线，
∴，，
∴，
故答案为：3；；
（2）过点F作交于点M，交的延长线于点N，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵F是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴是平行四边形是中位线，
∴，
∴，
∴．
20．（1）解：把代入
解得：
（2）解：
，
，
∴点C坐标为，
把代入，得．
，
令，得，
把代入，得，
点坐标为，
∴当时，x的取值范围为．
21．（1）证明：∵DE∥BC，EF∥DC，
∴四边形DCFE是平行四边形．
∴DE=CF．
（2）解：由于四边形DCFE是平行四边形，
∴DE=CF，DC=EF，
∴BC+DE=BC+CF=BF．
∵DC⊥BE，DC∥EF，
∴∠BEF=90°．在Rt△BEF中，
∵BE=5，CD=3，
∴BF=．

（3）连接AE，CE，如图．

∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC．
∵四边形ABEF是矩形，
∴AB∥FE，BF=AE．
∴DC∥FE．
∴四边形DCEF是平行四边形．
∴CE∥DF．
∵AC=BF=DF，
∴AC=AE=CE．
∴△ACE是等边三角形．
∴∠ACE=60°．
∵CE∥DF，
∴∠AGF=∠ACE=60°．
22．（1）解：在函数中，自变量x的取值范围是x为任意实数，
故答案为：任意实数；
（2）解：∵，
∴函数图象如图所示：
（3）解：由函数图象可知，
①函数有最小值为0，正确；
②当时，y随x的增大而增大，正确；
③图象关于过点且垂直于x轴的直线对称，正确；
④图像关于点中心对称，错误．
故答案为：①②③．
（4）解：∵为图像上一点，
∴，
解得或，
∴或，
∵点是图像与轴的交点，
∴，
∵，
当时，；
当时，；
故答案为：或．
23．（1）解：汽车在从点A向点B行驶的过程中，能接收到信号，理由如下∶
过点C作于点D，如下图1所示：
∵，，，，
∴，
∴，
∵
∴
∵，
∴汽车在从点A向点B行驶的过程中，能接收到信号
（2）解：设点E，F在直线上，且，如图2所示．
在中，，，
∴，
同理∶，
∴，
∴(秒)．
答∶有秒可以接收到信号
24．（1）解：设与交于点Q，
∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：，．
（2）连并延长交于G，连接
∵，
∴，
∵E为的中点，
∴
∵
∴
∴，，
∵F为的中点，
∴，
∴，
∵正方形的边长为3，，
∴，
∴；
（3）过点B作于点H，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴

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