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2024-2025学年七年级下册5月份月考数学试卷（第1~4章）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．若，，则的值满足（ ）
A． B． C． D．
2．下列数据能唯一确定三角形的形状和大小的是（　　）
A．，，
B．，，
C．，，
D．，，
3．如图是可调节台灯及其示意图．固定支撑杆垂直底座于点O，现调节台灯使外侧光线，，若，则（ ）
A． B． C． D．
4．某校九年级数学兴趣小组做摸球试验，在一个不透明的袋子中装有除颜色外其他均相同的黑球、白球共20个．将球搅匀后从中随机摸出一个，记下颜色后再放入袋中，不断重复，下表是试验中的一组数据，由此可以估计袋中白球的个数为（ ）
摸球次数 摸到黑球的次数 摸到黑球的频率
50 28 0.56
100 61 0.61
150 93 0.62
200 124 0.62
250 145 0.58
300 189 0.63
500 300 0.60
A．7 B．8 C．10 D．12
5．如图，是的中线，点，分别为，的中点，若的面积为，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
6．一个正整数若能表示成两个正整数的平方差，则称这个正整数为“杨梅数”．例如，就是一个“杨梅数”．则把所有的“杨梅数”从小到大排列后，第47个“杨梅数”是（ ）
A．97 B．95 C．64 D．65
7．如图，一条光线经平面镜的反射光线经凹透镜折射后，其折射光线的反向延长线过凹透镜的一个焦点．已知光线的入射角为，反射光线与折射光线的夹角，则光线与光线所夹的锐角为（ ）
A．65° B． C． D．25°
8．如图，在中，，点E，F分别为上一点，将沿直线翻折至同一平面内，点A落在点处，，分别交边于点M，N．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，长为，宽为的大长方形被分割为小块，除阴影，外，其余块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为，下列说法中正确的是（　　）
小长方形的较长边为；阴影的较短边和阴影的较短边之和为；阴影和阴影的周长之和与值无关；当时，阴影和阴影的面积和为定值．
A． B． C． D．
10．综合与实践课上，老师让同学们以“平行中的数量关系”为主题开展数学活动．已知，为的平分线．为的平分线，和相交于点．若，，请写出和间的数量关系（ ）
A． B．
C． D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．一个袋中装有6个红球，5个黄球，3个白球，任意摸出一球，摸到 球的可能性最大．
12．已知，则 ．
13．三角形的三边长度数据如图所示，则的取值范围为 ．
14．设被除的余数等于，而被除的余数等于，则 ．
15．如图，在长方形中，，，延长到点，使，连接，动点从点出发，以每秒个单位的速度沿向终点运动，设点的运动时间为秒，当的值为 秒时，与全等．
16．如图， ，为上方一点，、分别为、上的点，、的角平分线交于点，的角平分线与的延长线交于点，下列结论：①；②；③；④若，则．其中正确的结论有 （填的序号）
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（6分）如图，在中，、分别是的高，在上取一点，使，在的延长线上取一点，使，连接与．判断与的关系并证明你的结论．
18．（6分）已知两个正方形A，B，边长分别为．现将B放在A的内部得图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得图乙．
(1)用 a，b表示图甲阴影部分面积为________；图乙阴影部分面积为：_______(需化简)
(2)若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为4和16，求正方形A，B的面积之和(请写出解题过程)；
(3)在（2）的条件下，三个正方形A和两个正方形B如图丙摆放，求阴影部分的面积．
19．（8分）【学科融合】物理学中把经过入射点O并垂直于反射面的直线叫作法线，入射光线与法线的夹角i叫入射角，反射光线与法线的夹角r叫反射角（如图1）．在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧；入射角等于反射角．这就是光的反射定律．
【问题解决】
（1）如图2，潜望镜中的两面镜子是互相平行放置的，已知入射光线与平面镜的夹角，那么入射光线经过两次反射以后，两反射光线形成的夹角 °．
（2）如图3，当两个平面镜，夹角是多少度时？可以使任何射到平面镜上的入射光线，经过平面镜，两次反射后，得到，请说明理由．
【尝试探究】
（3）人们发明了一种曲面的反射光罩，使汽车灯泡在点O处发出的光线反射后都能平行射出，在如图4所示的截面内，已知入射光线的反射光线为，．若一入射光线（点D是入射光线与反光罩的交点）经反光罩反射后沿射出，且，请求出的度数．
20．（8分）某商家举行抽奖活动，设置如图所示的9个翻奖牌，翻奖牌的正面是编号1~9（图①），背面是对应的奖品（图②），若只能选择一个翻奖牌进行抽奖，请解决下面的问题：
(1)得到以下奖品的可能性最小的是（ ）
A．平板 B．手机 C．球拍 D．水壶
(2)在图③中请你设计翻奖牌反面剩余的奖品，奖品包含“手机”“球拍”“水壶”，使得抽到“水壶”的可能性>抽到“球拍”的可能性>抽到“手机”的可能性．
21．（10分）“杨辉三角”揭示了（n为非负数）展开式的各项系数的规律．在欧洲，这个表叫做帕斯卡三角形，帕斯卡是在1654年发现这一规律的，比杨辉要迟393年，比贾宪迟600年，请仔细观察“杨辉三角”中每个数字与上一行的左右两个数字之和的关系：
第一行 1
第二行 1 1 各项系数和为2
第三行 1 2 1 各项系数和为4
第四行 1 3 3 1 各项系数和为8
第五行 1 4 6 4 1 各项系数和为16
根据上述规律，完成下列各题：
(1)将展开后，各项的系数和为______．
(2)将展开后，各项的系数和为______．
(3)______．
下图是世界上著名的“莱布尼茨三角形”，类比“杨辉三角”，根据你发现的规律，回答下列问题：
第一行
第二行
第三行
第四行
第五行
……………………
(4)若表示第m行，从左到右数第n个数，如表示第四行第二个数是，则表示的数是______，表示的数是______．
22．（10分）一个不透明的盒子里装有黑、白两种球共40个，这些球除颜色外都相同．小颖做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是试验中的一组统计数据：
摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000 3000
摸到白球的次数m 65 124 178 302 481 599 1803
摸到白球的频率 0.65 0.62 0.593 0.604 0.601 0.599 0.601
（1）请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近_______（精确到0.1）；
（2）任意摸一次球，摸到白球的概率P（白球）=_______；
（3）估计盒子里黑球、白球各有多少个．
迁移运用
小明做游戏：他蒙上眼睛在一定距离处向地上如图所示的图案内掷小石子，掷中阴影区域小明赢，否则小明输，掷到图案外则重掷．下表是游戏中统计的一组数据．
掷到图案内的次数m 100 150 200 500 800 1000
落在阴影区域的次数n 73 114 151 374 601 750
落在阴影区域的频率 0.730 0.760 0.755 0.748 0.751 0.750
（1）向图案内任意掷小石子，估计小石子落在阴影区域的概率为多少．
（2）小明获胜的机会约为多大？
（3）若图案内圆的半径为1，试估计阴影区域的面积．
23．（12分）【知识生成】用两种不同方法计算同一图形的面积，可以得到一个等式．
(1)【知识探究】如图1，是用长为，宽为的长方形，沿图中虚线均分成四个小长方形，然后按照图2拼成一个正方形，可以得到、、三者之间的等量关系式：__________；
(2)【知识迁移】类似的，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，也可以得到一个等式，如图3，观察大正方体分割，写出可以得到的等式_______________；若，，求的值；
(3)【拓展探究】如图4，两个正方形、的边长分别为，若这两个正方形的面积之和为34，且，求图中阴影部分的面积．
24．（12分）如图，直角三角板与直角三角板的斜边在同一直线上，，，，平分，不动将绕点按逆时针方向旋转，记为，在旋转过程中：
(1)如图，当 时，；当 时，；
(2)将绕点按逆时针方向旋转到如图的位置，边与延长线交于点，边与交点，则
(3)当顶点不在内部时，求此时的度数范围；（三角形的内部不包含三角形的边）
(4)在旋转过程中，当的一边与平行时，求的度数．
参考答案
一．选择题
1．D
【分析】本题考查了代数式求值，完全平方公式等，根据题意，将，联立，解得与的关系，然后代入，即可求解，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，，
∴，
∴
，
∵，
∴，
故选：D．
2．B
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，构成三角形的条件，根据全等三角形的判定定理即可判断A、B、C，根据构成三角形的条件即可判断D．
【详解】解：A、由不能证明三角形全等，不能确定三角形的形状和大小，不符合题意
B、由可以证明三角形全等，能确定三角形的形状和大小，符合题意；
C、由不能证明三角形全等，不能确定三角形的形状和大小，不符合题意
D、由不能构成三角形，不符合题意．
故选：B．
3．B
【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，如图所示，过点A作，过点B作，则，由得到，则，进而得到，再根据平行线的性质得到，由此即可得到．正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：如图所示，过点A作，过点B作，
∵，
∴，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
4．B
【分析】本题考查由频率估计概率，由表中数据得到摸到黑球的概率，进而得到黑球的个数，最后根据黑球的个数求出白球的个数，即可解题．
【详解】解：由表中数据可知，摸到黑球的概率为0.6，
袋中白球的个数为（个），
故选：B．
5．B
【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，熟知三角形的中线平分三角形的面积是正确解答此题的关键．
根据三角形中线平分三角形面积得到，进而得到，同理可得．
【详解】解：∵点是的中点， 的面积为，
∴，
∵点是的中点，
∴，同理可得，
同理可得，．
故选B．
6．D
【分析】此题主要考查了平方差公式，有一定的难度，主要是对题中新定义的理解与把握．
如果一个数是杨梅数，就能表示为两个正整数的平方差，设这两个数分别m、n，设，即杨梅数，因为m，n是正整数，因而和就是两个自然数．要判断一个数是否是杨梅数，可以把这个数分解因数，分解成两个整数的积，看这两个数能否写成两个正整数的和与差．
【详解】解 ∶1不能表示为两个正整数的平方差，所以1不是“杨梅数”，对于大于1的奇正整数，有
所以大于1的奇正整数都是“杨梅数”，
对于被4整除的偶数，有，
即大于4的被4整除的数都是“杨梅数”，而4不能表示为两个正整数平方差，所以4不是“杨梅数”，
对于被4除余2的数，
设，其中，为正整数，
当，奇偶性相同时，被4整除，而不被4整除；
当，奇偶性相异时，为奇数，而为偶数，矛盾，
所以不存在自然数，使得．即形如的数均不为“杨梅数”，
因此，在正整数数列中前四个正整数只有3为“杨梅数”，
此后，每连续四个数中有三个“杨梅数”．
，，
64是第46个“杨梅数”，
65是第47个“杨梅数”．
故选∶D．
7．A
【分析】本题主要考查了物理知识、三角形内角和定理、三角形外角的性质、邻补角的性质等知识点，掌握三角形的相关性质成为解题的关键．
如图：延长相交于点E，由题意可得：，由邻补角的定义可得，再根据三角形外角的性质可得，再最后根据三角形内角和定理求得即可．
【详解】解：如图：延长相交于点E，
由题意可得：，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
故选A．
8．A
【分析】本题考查了翻折变换，邻补角，直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握以上知识是解题的关键．
先根据平角定义可得，然后利用折叠的性质可得：，，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得，进而可得，最后利用平角定义进行计算，即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
由折叠得：，，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
9．A
【分析】本题考查了列代数式以及整式的混合运算，逐一分析四条说法的正误是解题的关键．①观察图形，由大长方形的长及小长方形的宽，可得出小长方形的长为，说法①正确；②由大长方形的宽及小长方形的长、宽，可得出阴影，的较短边长，将其相加可得出阴影的较短边和阴影的较短边之和为，说法②错误；③由阴影，的相邻两边的长度，利用长方形的周长计算公式可得出阴影和阴影的周长之和为，可得出说法③正确；④由阴影，的相邻两边的长度，利用长方形的面积计算公式可得出阴影和阴影的面积之和为，代入可得出说法④正确．
【详解】解：①大长方形的长为，小长方形的宽为，
小长方形的长为，说法①正确；
②大长方形的宽为，小长方形的长为，小长方形的宽为，
阴影的较短边为，阴影的较短边为，
阴影的较短边和阴影的较短边之和为，说法②错误；
③阴影的较长边为，较短边为，阴影的较长边为，较短边为，
阴影的周长为，阴影的周长为，
阴影和阴影的周长之和为，
阴影和阴影的周长之和与值无关，说法③正确；
④阴影的较长边为，较短边为，阴影的较长边为，较短边为，
阴影的面积为，阴影的面积为 ，
阴影和阴影的面积之和为，
当时，，说法④正确．
综上所述，正确的说法有①③④．
故选：A．
10．B
【分析】本题主要考查角平分线的定义，平行线的判定和性质，过点作，过点作，可得，设，，根据平行线的性质及角平分线的定义可得，，，进而可得，即可得，据此即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：如图所示，过点作，过点作，
设，，
∵，
∴，
∴，，，，
∴，
即，
∴，
∵，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵为的平分线，为的平分线，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：．
二．填空题
11．红
【分析】本题主要考查了可能性的大小、概率的计算等知识点，计算每种颜色球摸到的概率是解题的关键．
利用概率公式分别计算出摸到红球、黄球、白球的概率，然后利用概率的大小判断可能性的大小．
【详解】解：∵袋中装有6个红球，5个黄球，3个白球，
∴总球数是：个，
∴摸到红球的概率是；摸到黄球的概率是；摸到白球的概率是；
∴摸出红球的可能性最大．
故答案为：红．
12．5184
【分析】本题考查了积的乘方的逆运算和幂的乘方的逆运算，熟练掌握运算法则是解题的关键；根据积的乘方和同底数幂的乘方法则，将所求式子变形为已知条件形式，然后代入计算即可．
【详解】解：
，
把，代入原式．
故答案为：5184．
13．
【分析】本题考查三角形的三边关系，解一元一次不等式组．根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边即可列出不等式，求解即可．
【详解】解：根据三角形的三边关系可得：，
解得．
故答案为：
14．
【分析】本题考查了完全平方公式，根据题意得出被除的余数等于，，的个数，进而求得的值，根据连续5个数的平方的和被除的余数等于，进而求得后4个数字的个位数分别为，，，，即可求解．
【详解】
∴至中被3除余数为的数有个，至中被3除余数为的数有个，至中被3除余数为的数有个，
∵被除的余数等于，则被除的余数等于，
被除的余数等于，则被除的余数等于，
被除的余数等于，则被除的余数等于，
∵
∴被除的余数等于，，即
又∵被除的余数等于
即连续5个数的平方的和被除的余数等于
∴
（为正整数）
后4个数字的个位数分别为，，，
∴
∴
∴，
故答案为：．
15．或
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，运用分类讨论思想是解题关键．
分两种情况进行讨论，①，②，根据题意得出和即可求解．
【详解】解： 四边形是长方形，
，，
，
或，
或．
①如图，当时，
根据题意，得：，，
，解得：；
②如图，当时，
根据题意，得：，，
，解得：；
当或时，与全等．
故答案为：或．
16．①②④
【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的性质、三角形外角的性质以及直角三角形中两个锐角互余等知识，灵活运用平行线的性质和三角形的外角的性质是解答本题的关键．由角平分线的性质以及平行线的性质可求出，即可判断①；设交于点，交于点，根据平行的性质即有，再结合三角形外角的性质即可判断②；根据角平分线的性质有，，再证，，即可得，即可判断③；先证，根据，即有，再结合，节即可判断④正确；
【详解】∵平分，平分，
∴ ， ，
∵，
∴，
∴，故①正确；
设交于点，交于点，如图，
∵，
∴，
∵，
∴，故②正确；
∵平分，平分，
∴，，
∵，
∴，，
∵，，
∴，，
∵，，
∴，故③错误；
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，故④正确；
故答案为：①②④．
三．解答题
17．解：，，理由为：
∵，
∴，，
∴，
在和中，
∴；
∴，
又，
∴，
则．
18．（1）解：图甲阴影部分面积：，
图乙阴影部分面积：，
（2）设正方形A，B的边长分别为，
由图甲得，由图乙得，
∴；
答：正方形A，B的面积之和为20；
（3）∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，且，
∴，
∴图丙的阴影部分面积
．
19．（1）解：由入射角反射角可得：，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
（2）解：．
理由：设，．
∵，
∴，
∴，
∴．
在中，．
（3）解：如图，当在的下方时，过作，
∵，
∴，
∴，，
∴，
如图，当在的上方时，过作，
同理可得：，，
∴，
综上：或.
20．（1）解：∵抽到“水壶”的可能性，抽到“球拍”的可能性，抽到“手机”的可能性，抽到“平板”的可能性．
∴得到奖品的可能性最小的是“手机”．
故选：B．
（2）解：∵抽到“水壶”的可能性>抽到“球拍”的可能性>抽到“手机”的可能性，
∴“水壶”需要出现3次，“球拍”需要出现2次，“手机”需要出现1次．
故设计如下（不唯一）：
21．（1）解： 展开后，各项的系数和为，
故答案为：32；
（2）根据“杨辉三角”可知，
第2行，展开后，各项的系数和为，
第3行，展开后，各项的系数和为，
第4行，展开后，各项的系数和为，
第5行，展开后，各项的系数和为，
第6行，展开后，各项的系数和为，
……
展开后，各项的系数和为，
故答案为：；
（3）解：根据规律可得，展开后，各项的系数依次为1、6、15、20、15、6、1，
所以
故答案为：；
（4）解：由题意得：这个三角的规律就是下一行的第1和第2个数相加就等于上一行的第1个数，下一行的第2和第3个数相加就等于上一行的第2个数，以此类推，还发现每一行的第一个数都是，
∴表示第六行第三个数，
∵第六行第二个数是，
∴第六行第三个数是，
∴表示的数是；
由规律可得，
∵第七行第一个数为，第六行第一个数为，
∴第七行第二个数为，
∵第八行第一个数为，
∴第八行第二个数为：，第八行第三个数为，
∴表示的数是与 表示的数一样，为；
故答案：，．
22．（1）求当很大时，摸到白球的频率即为摸到白球的概率
－观察表格中摸到白球的频率数据0.65，0.62，0.593，0.604，0.601，0.599，0.601，当很大时，这些频率值稳定在0.6左右，精确到0.1，摸到白球的频率将会接近0.6；
（2）当试验次数很大时，频率稳定值可作为概率估计值，所以任意摸一次球，摸到白球的概率白球；
（3）已知球的总数为40个，摸到白球概率为0.6，则白球个数为（个）．
黑球个数为（个）；
故答案为：（1）0.6；（2）0.6；（3）估计黑球有16个，白球有24个；
【迁移运用】（1）求小石子落在阴影区域的概率
观察表格中落在阴影区域的频率数据0.730，0.760，0.755，0.748，0.751，0.750，随着试验次数增加，频率稳定在0.75左右，
所以向图案内任意掷小石子，小石子落在阴影区域的概率约为；
（2）求小明获胜的机会
因为掷中阴影区域小明赢，而小石子落在阴影区域的概率约为，
所以小明获胜的机会约为；
（3）估计阴影区域的面积
设阴影区域面积为，已知内圆半径，则内圆面积，
设整个图案面积为，由小石子落在阴影区域的概率，
则，
又因为，即，解得，
所以阴影区域面积约为
23．（1）解：由图可知：边长为的大正方形由四个边长为、的长方形和一个边长为正方形组成，
知识生成：，
故答案为：；
（2）正方体棱长为，
∴体积为，
∵正方体体积是长方体和小正方体的体积和，即，
∴；
∴，
∵，，
∴
（3）有图可知：，．
∴，
∴，，
∵，
∴，
图中阴影部分的面积
24．（1）解：如下图所示，
，
，
又，
，
即；
如下图所示，
，，
，
，
又,
，
即；
故答案为：，；
（2）解：如下图所示，
，，
；
故答案为：；
（3）解：如下图所示，
当点在边上时，
由可知，，
；
如下图所示，
当点在边上时，
，
；
综上所述，或；
（4）解：如下图所示，
当时，，
，
；
如下图所示，
当时，，
，
；
如下图所示，
当时，，
；
综上所述，当的一边与平行时，求的度数为或或．

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