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2024-2025学年七年级下册5月份月考数学试卷（第7~10章）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．《九章算术》中的算筹图是竖排的，现在改为横排，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项，把图1所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表示出来，就是，在图2所示的算筹图中有一个图形被墨水覆盖了，若图2所表示的方程组中x与y的值相等，则被墨水所覆盖的图形为（　　）
A． B． C． D．
2．如图，，的角平分线的反向延长线和的角平分线交于点F，，则的度数为（ ）度．
A．84 B．86 C．88 D．92
3．设表示最接近x的整数（，为整数），则（ ）
A．132 B．146 C．164 D．176
4．如图，已知，、的交点为E，现作如下操作：第一次操作，分别作和的平分线，交点为；第二次操作，分别作和的平分线，交点为；第三次操作，分别作和的平分线，交点为；……；第次操作，分别作和的平分线，交点为．若度，那么等于（ ）度．
A． B． C． D．
5．已知关于x，y的方程组，给出下列说法：
①当时，方程组的解也是的解；
②若，则；
③无论a取何值，x，y的值不可能互为相反数；
④x，y都为自然数的解有5对．
以上说法中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，，．按照此规律，点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
7．如图是一个无理数生成器的工作流程图，根据该流程图，下面说法：
①当输出值y为时，输入值x为3或9；
②当输入值x为16时，输出值y为；
③对于任意的正无理数y，都存在正整数x，使得输入x后能够输出y；
④存在这样的正整数x，输入x之后，该生成器能够一直运行，但始终不能输出y值．
其中错误的是（　　）
A．①② B．②④ C．①④ D．①③
8．如图，已知长方形纸片ABCD，点E和点F分别在边AD和BC上，且∠EFC=37°，点H和点G分别是边AD和BC上的动点，现将点A，B，C，D分别沿EF，GH折叠至点N，M，P，K，若MNPK，则∠KHD的度数为（　　）
A．37°或143° B．74°或96° C．37°或105° D．74°或106°
9．平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数，且横、纵坐标之和大于0的点称为“和点”．将某“和点”平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余数（当余数为0时，向右平移；当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移），每次平移1个单位长度．
例：“和点”按上述规则连续平移3次后，到达点，其平移过程如下：
若“和点”Q按上述规则连续平移16次后，到达点，则点Q的坐标为（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
10．若是整数，是正整数，且满足，则的最大值是（ ）
A． B． C．0 D．1
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．已知关于x，y的二元一次方程（a－3）x＋（2a－5）y＋6－a＝0，当a每取一个值时就有一个方程，这些方程有一个公共解，则这个公共解是 ．
12．如图，，在的两边上分别过点和点向同方向作射线和，且．
（1）若，则的度数为 ．
（2）若和的平分线所在的直线交于点（与不重合），则的度数为 ．
13．如图为一个数值转换器，当输入的x值为 后，经过三次取算术平方根运算，输出的y值为．
14．已知关于x，y的二元一次方程组（a是常数），若不论a取什么实数，代数式（k是常数）的值始终不变，则 ．
15．在平面直角坐标系中，A（，4），B（，3），C（1，0），．
（1）三角形ABC的面积为 ；
（2）将线段AB沿AC方向平移得到线段DP，若P点恰好落在x轴上，则D点的坐标为 ．
16．如图，已知，点在上，点为平面内一点，，过点作，平分，平分，若，．则 ．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（6分）如图，点在直线上，点、与点、分别在直线两侧，且，．
(1)如图1，若平分，平分，过点作射线，求的度数；
(2)如图2，若在内部作一条射线，若：：，，试判断与的数量关系．
18．（6分）阅读下列解方程组的方法，然后解答下列问题．
解方程组；由于x，y的系数及常数项的数值较大，如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，那么计算量很大，且易出现运算错误，而采用下面的解法会比较简单．
，得，所以，③
③，得，④
，得，从而得，所以原方程组的解为．
(1)请你运用上述方法解方程组：
①；
②；
(2)请你直接写出关于x，y的方程组的解：______．
19．（8分）如图1、图2，直线，被射线所截，且，是射线上的定点，点在射线上，连接，过点作，与直线交于点，且．
(1)如图1，当点与点重合时，求的度数；
(2)若点在线段上（点不与点，重合）．
①依题意，在图2中补全图形；
②猜想与之间的数量关系，并证明；
(3)当点在线段的延长线上，且时，求的度数．
20．（8分）对于实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数，例如：，．
(1)仿照以上方法计算：________；=________；
(2)若，写出满足题意的正整数的值_________；
(3)如果我们对连续求根整数，直到结果为1停止．例如：对10连续求根整数2次，，这时候结果为1．那么对400连续求根整数，多少次之后结果为1？请写出你的求解过程．
(4)只需进行2次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是_________．
21．（10分）阅读材料并回答下列问题：
当m，n都是实数，且满足，就称点P为“燕南点”．例如：点E，令得， ，所以E不是“燕南点”；F，令得，，所以F是“燕南点”．
（1）点A ，B 是“燕南点”的是
（2）点M是“燕南点”，请判断点M在第几象限？并说明理由；
（3）若以关于x，y的方程组的解为坐标的点C是“燕南点”，求t的值．
22．（10分）如图1，点，且满足．
(1)直接写出的坐标：（0，_____），(_____，0 )；
(2)点以每秒2个单位长度从点向轴负半轴运动，同时，点以每秒3个单位长度从点向轴正半轴运动，直线交于点，设点运动的时间为秒．
①当时，求证：；
②如图2，当时，在线段上任取一点，连接．点为的角平分线上一点，连接，且满足．请将图2补全，直接写出之间的数量关系．
23．（12分）图中是一把学生椅，主要由靠背、座板及铁架组成，经测量，该款学生椅的座板尺寸为，靠背由两块相同的靠背板组成，其尺寸均为．
因学校需要，某工厂配合制作该款式学生椅，清点库存时发现，工厂仓库已有大量的学生椅铁架，故只需在市场上购进某型号板材加工制作该款式学生椅的靠背与座板，如下图，该型号板材长为，宽为．（裁切时不计损耗）
【任务一】拟定裁切方案
（1）在不造成板材浪费的前提下，若将一张该板材全部用来裁切靠背板，则可裁切靠背板______块．
（2）在不造成板材浪费的前提下，若将一张该板材同时裁切出靠背板和座板，请你设计出所有符合要求的裁切方案：
方案一：裁切靠背板______块和座板______块．
方案二：裁切靠背板______块和座板______块．
方案三：裁切靠背板______块和座板______块．
【任务二】确定搭配数量
（3）现需要制作700张学生椅，该工厂仓库现有10块靠背板，没有座板，请问还需要购买该型号板材多少张（恰好全部用完）？为方便加工，需在上述裁切方案中选定两种，并说出你选定的两种裁切方案分别需要多少块板材．
24．（12分）如图1，在平面直角坐标系中，是x轴正半轴上一点，C是第四象限内一点，轴交y轴负半轴于，且，．
(1)求点C的坐标．
(2)如图2，设D为线段上一动点，当时，的角平分线与的角平分线的反向延长线交于点P，求的度数（点E在x轴的正半轴）．
(3)如图3，当点D在线段上运动时，作交于M点，，的平分线交于N点，则点D在运动过程中，∠N的大小是否会发生变化？若不变化，求出其值；若变化，请说明理由．
参考答案
一．选择题
1．B
【分析】本题考查了二元一次方程组的解法及实际应用，根据已知方程组，结合图可判断出：（1）前面两列为方程的左边，后两列表示一个数，为方程的右边；（2）“|”表示1，“—”表示10；根据图2中第一个方程求出x，y的值代入第二个代数式求值是解题关键．
【详解】解：设被墨水所覆盖的图形表示的数据为a，根据题意得，
又∵，
解得：，，
把，代入得，，
故选：B．
2．C
【分析】本题主要考查平行线的性质，平行公理的应用，一元一次方程的应用．过作，依据平行线的性质，可设，，根据四边形内角和以及，即可得到的度数．
【详解】解：如图，过作，
，
，
的角平分线的反向延长线和的角平分线交于点，
设，，
，，
四边形中，，
即，①
又，
，②
由①②可得，，
解得，
故选：C．
3．D
【分析】先计算出，，，，，即可得出，， 中有2个1，4个2，6个3，8个4，10个5，11个6，从而可得出答案．
【详解】解：，即，，则有2个1；
，即，，，都是2，则有4个2；
，同理，可得出有6个3；
，同理，可得出有8个4；
，同理，可得出有10个5；
则剩余11个数全为6．
故
．
故选：D．
4．A
【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键．过作，利用两直线平行内错角相等，可推出，同理，然后利用角平分线的定义可推出，同理可求得，，……，进而得到，即可求得答案．
【详解】解：如图，过作，
，
，
，，
，
；
同理，
和的平分线，交点为，
，，
，
同理，
，
……
，
度，
度．
故选：A．
5．D
【分析】将代入原方程组得，解得，经检验得是的解，故①正确；方程组两方程相加得，根据，得到，解得，故②正确；根据，，得到，得到，从而得到无论a取何值，x，y的值不可能互为相反数，故③正确；根据，得到x，y都为自然数的解有共5对，故④正确．
【详解】解：将代入原方程组得，
解得，
将代入方程左右两边，
左边，右边，
∴当时，方程组的解也是的解，故①正确；
方程组 得，
若，则，解得，故②正确；
∵，，
∴两方程相加得，
∴，
∴ 无论a取何值，x，y的值不可能互为相反数，故③正确；
∵，
∴x，y都为自然数的解有共5对，
故④正确．
故选：D
6．D
【分析】本题考查点的坐标变化规律，能根据所给点的坐标结合图形发现点坐标的变化规律是解题的关键．根据所给的点的坐标，发现的横纵坐标的排列规律，即可解决问题．
【详解】解：由题知，点，，，，，，
，
当时，，
根据点的安排规律知．
故选：D．
7．D
【分析】根据运算规则即可求解．
【详解】解：①x的值不唯一．x=3或x=9或81等，故①说法错误；
②输入值x为16时，，故②说法正确；
③对于任意的正无理数y，都存在正整数x，使得输入x后能够输出y，如输入π2，故③说法错误；
④当x=1时，始终输不出y值．因为1的算术平方根是1，一定是有理数，故④原说法正确．
其中错误的是①③．
故选：D．
8．D
【分析】分两种情况讨论，①当在上方时，延长、相交于点，根据，推出，得到，求出的度数，再根据即可求解；②当在下方时，延长、相交于点，根据，推出，得到，再根据即可求解．
【详解】解：①当在上方时，延长、相交于点，如图所示
∵
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴
∵，
∴
∵翻折
∴
∴
∴
∵
∴
②当在下方时，延长、相交于点，如图所示
∵
∴
∵
∴
∴
∴
∵，
∴
∵翻折
∴
∴
∴
∵
∴
故选D．
9．D
【分析】本题考查了坐标内点的平移运动，熟练掌握知识点，利用反向运动理解是解决本题的关键．
先找出规律若“和点”横、纵坐标之和除以3所得的余数为0时，先向右平移1个单位，之后按照向上、向左，向上、向左不断重复的规律平移，按照的反向运动理解去分类讨论：①先向右1个单位，不符合题意；②先向下1个单位，再向右平移，当平移到第15次时，共计向下平移了8次，向右平移了7次，此时坐标为，那么最后一次若向右平移则为，若向左平移则为．
【详解】解：由点可知横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，继而向上平移1个单位得到，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为2，继而向左平移1个单位得到，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，又要向上平移1个单位，因此发现规律为若“和点”横、纵坐标之和除以3所得的余数为0时，先向右平移1个单位，之后按照向上、向左，向上、向左不断重复的规律平移，
若“和点”Q按上述规则连续平移16次后，到达点，则按照“和点”反向运动16次求点Q坐标理解，可以分为两种情况：
①先向右1个单位得到，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为0，应该是向右平移1个单位得到，故矛盾，不成立；
②先向下1个单位得到，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，则应该向上平移1个单位得到，故符合题意，那么点先向下平移，再向右平移，当平移到第15次时，共计向下平移了8次，向右平移了7次，此时坐标为，即，那么最后一次若向右平移则为，若向左平移则为，
故选：D．
10．B
【详解】联立方程解得其最小值为1，所以的最大值是．
二．填空题
11．
【分析】把原方程整理得：a（x+2y-1）+（6-3x-5y）=0，根据“当a每取一个值时就有一个方程，这些方程有一个公共解”，可知这个公共解与a无关，得到关于x和y的二元一次方程组，解之即可．
【详解】解：原方程可整理得：
a（x+2y-1）+（6-3x-5y）=0．
根据题意得：
解得：
故答案为：．
12． 或
【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，掌握平行线的性质是解决问题的关键．
（1）过点作，而，可得，证明，，再进一步解答即可；
（2）分两种情况当为锐角时，过点作，过点作，利用平行线的性质可得，，再结合角平分线即可求得；当为钝角时，，，再根据角平分线及平行线性质得．
【详解】解：（1）过点作，而，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为：
（2）①当为锐角时，如图所示：
过点作，过点作，
，
，
，，
，，
，即，
，，
，，
，即，
又点为和的角平分线所在的直线的交点，
，，
，
②当为钝角时，如图所示：
过点作，过点作，
，
，
，，
，，
，
，
，
，，
，，
又点为和的角平分线所在的直线的交点，
，，
，
综上所述或
故答案案为：或．
13．625
【分析】本题考查了算术平方根，根据题意结合算术平方根的定义解答即可．
【详解】解：当输出的y的值为时，输入的值为，
，
，
所以当输入的x值为625后，经过三次取算术平方根运算，输出的y值为，
故答案为：625．
14．
【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，将方程组中的两个方程联立消掉是解题的关键．
将方程组中的两个方程变形后联立消掉a即可得出结论．
【详解】解：关于，的二元一次方程组，
①②得：，
，
，
∵不论a取什么实数，代数式（k是常数）的值始终不变
∴
故答案为：．
15． 5
【分析】（1）过分别作轴的垂线，过点作轴的垂线，交点，根据题意分别求得的坐标，然后根据，即可求解．
（2）设，则，根据平移可得向下移动个单位，向右移动个单位，得到，即，求得，根据三角形面积求得，即可求解．
【详解】解：（1）过分别作轴的垂线，过点作轴的垂线，交于点，如图，
∵A（，4），B（，3），C（1，0），
∴ ，
，，
∴，
，
，
故答案为：5；
（2），设，则，
∵将线段AB沿AC方向平移得到线段DP，若P点恰好落在x轴上，
∴向下移动了个单位，向右移动了个单位，
∴向下移动个单位，向右移动个单位，得到，即，
如图，过点作轴，于点，则，
过点作轴交于点，
∵，
∴，
∴，
根据题意是沿方向平移得到的，
∴，
∵，
解得：，
∴，
故答案为：．
16．
【分析】延长交于点，结合所给的条件，则可找到，通过角之间关系的转化，可以得到，从而可得，再结合可求得的度数，则可求的度数．本题主要考查了平行线的性质，垂线，角平分线的定义，三角形的内角和定理，解答的关键是结合图形，找到已知条件与所求角之间的关系．
【详解】解：延长交于点，如图所示：
，，
，
平分，
，，
，
，
，
，
，
平分，
，
，
，整理得：，
，
，
在中，，
，
，
即，
，
解得：，
．
故答案为：．
三．解答题
17．（1）平分，
，
，
．
当在下方时，
平分，，
，
，
，
，
．
当在上方时，
平分，，
，
，
，
，，
；
（2）设，则，
，
，
，
，
，
．
当在的下方时，同理可得
，
，
，
，
，
．
综上所述：或
18．（1）解：①；
得：，
两边除以4，得：，
得：，
解得：；
把代入③，解得：；
故原方程组的解为：；
②
得：，
两边除以9，得：，
得：，
解得：；
把代入③，解得：；
故原方程组的解为；
（2）解：，
得：，
两边除以，得：，
得：，
把代入③，解得：；
故原方程组的解为．
故答案为：．
19．（1）解：，
，
又，
，
，
，
；
（2）解：①依题意补全图形如图2所示：
②与之间的数量关系是：．
证明如下：过点作，如图3所示：
，
，
，，
，
，，
，
，
；
（3）当点在线段的延长线上，且时，有以下两种情况：
①当在点的右侧时，过点作，如图4所示：
，
，
，
，
，，
，
，，
，
，
；
②当点在点的左侧时，过点作，如图5所示：
，
，
，
，
同理：，，
，
．
综上所述：的度数为或．
20．（1）∵，，，
∴，
∴，，
故答案为：2，6；
（2）∵，，，x为正整数，
∴或或，
故答案为：1，2，3；
（3）∵第一次：，
第二次：，
第三次：，
第四次：，
∴第四次之后结果为1；
（4）（4）最大的是15，理由如下，
由（2）得，进行1次求根整数运算后结果为1的正整数最大为3，
∵，，
∴进行1次求根整数运算后结果为3的正整数最大为15，
∴只对一个正整数进行2次连续求根整数运算后结果为1，则这个正整数最大值是15，
故答案为：15．
21．（1）点A，令
解得
，
A不是“燕南点“，
点B，令
解得
，
B是“燕南点”；
故答案为：B；
（2）根据题意,得，
，
，求得，
所以，所以M，在第一象限；
（3）方程组的解为
∵点是“燕南点”，
∴
∴
，∴，解得，
∴t的值为10．
22．（1）解：∵，
∴，解得，
∴．
故答案为：；
（2）①当时，可有，
，，
∴，，
，
，
即；
②根据题意，将图2补全，如下图所示，
设，，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
可分两种情况讨论，
①如下图，当G点在平行线之间时，过点作，过点作，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
②如下图，当G点在平行线之外时，过点作，过点作，
则，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
综上所述，之间的数量关系为或．
23．解：任务一：
（1）在不造成板材浪费的前提下，若将一张该板材全部用来裁切靠背板，如图，
则可裁切靠背板块．
故答案为：30；
（2）一张该板材先靠上裁切靠背6块，如图，
余下的，设一张该板材裁切靠背板块，座板块，
根据题意得：，
，
，为正整数，
或或，
方案一：裁切靠背板23块和座板2块．
方案二：裁切靠背板16块和座板4块．
方案三：裁切靠背板9块和座板6块；
故答案为：23，2；16，4；9，6；
任务二：
设用张板材裁切靠背16块和座板4块，用张板材裁切靠背9块和座板6块，
根据题意得：，
解得：，
张，
需要购买该型号板材128张，用其中34张板材裁切靠背16块和座板4块，用94张板材裁切靠背9块和座板6块．
设用张板材裁切靠背23块和座板2块，用张板材裁切靠背9块和座板6块，
根据题意得：，
解得：，
张，
需要购买该型号板材128张，用其中17张板材裁切靠背23块和座板2块，用111张板材裁切靠背9块和座板6块．
设用张板材裁切靠背23块和座板2块，用张板材裁切靠背16块和座板4块，
根据题意得：，
解得：(不合题意，舍去)，
综上，需要购买该型号板材128张，用其中34张板材裁切靠背16块和座板4块，用94张板材裁切靠背9块和座板6块或需要购买该型号板材128张，用其中17张板材裁切靠背23块和座板2块，用111张板材裁切靠背9块和座板6块．
24．（1）解：∵，
∴，
解得，
∴．
∴．
∵，
∴，
解得．
∵C在第四象限，
∴．
（2）解：∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴，
∵平分，平分，
∴，
∴．
（3）如图，，大小不会发生变化，理由如下：
如图，过点D作，过点N作，则．
∵，
∴，
∴，
∴．
∵平分，平分，
∴，，
∴，
同理：，
∴．

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