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第4章《 三角形》综合测试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．用若干根等长的小木棍搭建等边三角形（三边相等的三角形），搭建1个等边三角形最少需要3根小木棍，搭建2个等边三角形最少需要5根小木棍，搭建4个等边三角形最少需要小木棍的根数是（ ）
A．12 B．10 C．9 D．6
2．如图，已知P是△ABC内任一点， AB＝12，BC＝10，AC＝6，则 PA+PB+PC的值一定大于（ ）

A．14 B．15 C．16 D．28
3．已知的三条高的比是，且三条边的长均为整数，则的边长可能是（ ）
A．10 B．12 C．14 D．16
4．如图，这是雨伞在开合过程中某时刻的截面图，伞骨，D，E分别是，的中点，是连接弹簧M和伞骨的支架，且，在弹簧M向上滑动的过程中，若，则（　　）
A． B． C． D．
5．如图，已知长方形的边长，，点在边上，，如果点从点出发在线段上以的速度向点向运动，同时，点在线段上从点以的速度向点运动．则能够使与全等的时间为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，的面积为，平分，于点，连接，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在正方形网格中，网格线的交点称为格点，点A，B，C，D，E，F，G都在格点上，图中不与全等的三角形是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在△ABC中，AD是∠A的外角平分线，P是AD上异于A的任意一点，设PB=m，PC=n，AB=c，AC=b，则（m+n）与（b+c）的大小关系是（　　）
A．m+n＞b+c B．m+n＜b+c C．m+n=b+c D．无法确定
9．如图，在中，，是的角平分线，于点，连接，，，，则的面积是（ ）
A． B．2 C． D．
10．在中，、分别是高和角平分线，点在的延长线上，交于点，交于点，下列结论：①；②；③；④；其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．已知一个等腰三角形其中一边长为4，另一边长为8，则它的周长为 ．
12．在中，，是边上的高，，分别平分和，则 °．
13．如图，，，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线运动，设点P的运动时间为t秒，当为锐角三角形时，t的取值范围是 ．
14．如图，，，分别为，上的点，与交于点，连接．要，还须添加一个条件，如添加，可运用，证得．请写出添加的其它一个条件，仍能证得： ．（说明：原图不再添加点和线，要求写出所有可能）
15．如图，在中，，AD是中线，若，于点F，则的值是 ．
16．将两个大小不同的等腰直角三角板按如图1所示的方式摆放，将这两个三角板抽象成如图2所示的和，其中，点，，依次在同一条直线上，连接．若，，则的面积是 ．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（6分）如图，线段与相交于点，且是由平移所得，试确定与的大小关系，并说明理由．
18．（6分）如图，把沿折叠，使点A落在点D处，
(1)若，试判断与的数量关系，并说明理由；
(2)若，求的度数．
19．（8分）如图，在中，是角平分线，点D在边上（不与点A，B重合），连接交于点O．
(1)若是中线，，，则与的周长差为 ；
(2)若，，求的度数．
20．（8分）如图，在中，，点，分别是上两点，连接，，且．求证：．
针对这道题目，三位同学进行了如下讨论：
小明：“可以通过证明得到．”
小华：“可以通过证明得到．”
小聪：“我觉得可以通过等腰三角形三线合一定理添加适当的辅助线证明．”
请你结合上述讨论，选择恰当的方法完成证明．
21．（10分）如图1，，要求用尺规在上取一点，使得平分，下面是两位同学的做法．
小明：如图，以点为圆心，适当长度为半径画弧交，于点，，再分别以，为圆心，大于的长度为半径画弧交于点，连接并延长交于点．
小红：你的作图是正确的，我的做法和你不一样，如图，以为圆心为半径画弧，与的交点就是点．
(1)请证明小明的做法是正确的；
(2)小红的做法正确吗，请说明理由．
22．（10分）如图1，在中，为上一点，且和的平分线、交于点与交于点．
(1)求的度数；
(2)连接，交于点，若，如图2．求证：．
23．（12分）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，是边上的中线，若，，求边的取值范围．小琪同学在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接，请根据小琪的方法思考：
（1）由已知和作图能得到，依据是________．
A．SSS B．SAS C．AAS
（2）由“三角形的三边关系”可求得边的取值范围是_____________．
解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中．
【感悟方法】
（3）如图2，是的中线，交于点E，交于点F，．试说明：．
24．（12分）某校七年级学生到野外活动，为测量一池塘两端A，B的距离，甲、乙、丙三位同学分别设计出如图所示的三种方案．
甲：如图①，先在平地取一个可直接到达A，B的点C，再连接，，并分别延长至D，至E，使，，最后测出的长即为A，B的距离．
乙：如图②，先过点B作的垂线，再在上取C，D两点，使_____，接着过点D作的垂线，交的延长线于点E，则测出的长即为A，B的距离．
丙：如图③，过点B作，再由点D观测，在的延长线上取一点C，使_____，这时只要测出的长即为A，B的距离．
(1)请你分别补全乙、丙两位同学所设计的方案中空缺的部分．
乙：　　　；丙：　　　．
(2)请你选择其中一种方案进行说明理由．
参考答案
一．选择题
1．D
【分析】要先根据题意，画出图形，通过对图形观察，思考，得出需要小木棍的根数，然后图形对比，选出最少需要小木棍的根数．
【详解】图1没有共用部分，要6根小木棍，
图2有共用部分，可以减少小木棍根数，
仿照图2得到图3，要7根小木棍，
同法搭建的图4，要9根小木棍，
如按图5摆放，外围大的等边三角形，可以得到5个等边三角形，要9根小木棍，
如按图6摆成三棱锥(西面体)就可以得到4个等边三角形，
∴搭建4个等边三角形最少需要小木棍6根．
故选：D
2．A
【分析】在三个三角形中分别利用三边关系列出三个不等式，相加后根据不等式的性质即可得到正确的结论.
【详解】解：如图所示，在△ABP中，AP+ BP> AB，
同理: BP + PC > BC，AP+ PC > AC，
以上三式左右两边分别相加得到:
2(PA+ PB+ PC)> AB+ BC+ AC,
即PA+ PB+ PC>(AB+ BC+ AC)，
∴PA+ PB+ PC>×（12+10+6）=14，
即PA+ PB+ PC>14
故选A.
3．B
【分析】此题考查了三角形面积的求解方法．解题的关键是由三角形的面积的求解方法与三条高的比是，求得三条边的比，设三边为，， 三条对应的高为，，，根据的面积的求解方法即可求得，由的三条高的比是，易得，又由三条边的长均为整数，观察4个选项，即可求得答案．
【详解】解：设三边为，， 三条对应的高为，，，
可得：，
已知，
可得，
三边均为整数．
又个答案分别是10，12，14，16．
的边长可能是12．
故选：B．
4．A
【分析】本题考查全等三角形的判定，由线段中点定义得到，又，，因此，得到，即可得出结论．
【详解】证明：∵D，E分别是的中点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故选：A．
5．A
【分析】本题考查的知识点是一元一次方程、全等三角形的性质，解题关键是熟练掌握全等三角形的性质．设能够使与全等的时间为，则，，，分两种情况分别讨论即可得解：①；②．
【详解】解：，，
，
设能够使与全等的时间为，
则，，，
分两种情况考虑：
①时，
，
即，
解得，
此时，
时能够使与全等；
②，
，
即，
解得，
此时，，
即，与矛盾（舍去）；
综上，能够使与全等的时间为．
故选：．
6．C
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
延长交于点，证明，得出，即可推出结果．
【详解】解：如图，延长交于点，
，
，
又平分，
，
又，
，
，
，
，
．
故选：C．
7.C
【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：，熟练掌握知识点是解题的关键．
根据网格特点，利用全等三角形的判定去判断即可．
【详解】解：如图：
由网格可知，
∴，
由网格可知均是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，故A可以证明全等，不符合题意；
如图：
同理可得，
∴，故B可以证明全等，不符合题意；
如图：
同理可得，
∴，故D可以证明全等，不符合题意；
如图：
由上可得，而是钝角三角形，
故与不可能全等，故C符合题意，
故选：C．
8．A
【详解】延长BA至E点，使得AE=AC，连结ED、EP，
∵AD平分∠EAC，
∴∠EAD=∠CAD，
∵AC=AE，AP=AP，
∴△APC≌△APE（SAS），
∴PC=PE=n，
在△BPE中，PB+PE＞AB+AE=AB+AC，即m+n＞b+c，
故选：A．
9．C
【分析】本题考查了角平分线的定义，全等三角形的证明与性质，三角形中线的性质．延长交于点，作与点，利用角平分线的定义可证，可推出，，再根据三角形面积可求得，从而得到，最后利用三角形中线的性质可知，即可求得答案．
【详解】解：延长交于点，作与点，如图所示，
，是的角平分线，
，，
在和中，
，
，
，，
，，，，
，
，
，
，
，
，
故选：C．
10．A
【分析】本题考查角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形高线的定义，三角形外角的性质．掌握三角形的一个外角等于不相邻的两个内角之和是解题关键．由同角的余角相等得出，故①正确；根据角平分线的定义得出，再根据三角形外角的性质得出，，从而即可求出，故②正确；由三角形内角和定理可得出，结合角平分线的定义可得出，又可知，结合和，即可求出，故③正确；由题意易求得，根据同角的余角相等得出，由对顶角相等得出，从而可求出，故④错误．
【详解】解：∵是高线，
∴．
∵，
∴，
∴，故①正确；
∵是角平分线，
∴．
∵，
∴，
∴
∵，即，
∴，即，
∴，故②正确；
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，故③正确；
∵，，
∴．
∵，，
∴．
∵，
∴，
∴，故④错误．
综上可知正确的是①②③．
故选A．
二．填空题
11．20
【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系，已知长度为4和8两边，没有明确是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论，能够分类讨论是解题的关键．
【详解】解：①当4为底时，其它两边都为8，
4、8、8可以构成三角形，
故周长为20；
②当4为腰时，
其它两边为4和8，
，
不能构成三角形，故舍去，
故答案为：20．
12．或
【分析】分两种情形：当高在内部时，由的度数，再由角平分线的性质得出的度数，由三角形内角和定理即可得出结论，当高在外部时，同法可得可求．
【详解】解：当高在内部时，如图所示：
，，
，
和的平分线交于点，
，
；
当高在外部时，如图所示：
，，
，
和的平分线交于点，
，
；
故答案为：或．
13．
【分析】本题考查了直角三角形的性质、三角形内角和定理，分两种情况：当时，当时，根据三角形内角和定理并结合直角三角形的性质求解即可．
【详解】解：当时，如图：
，
∵，
∴，
∴；
当时，如图：
，
∵，
∴，
∴；
∵动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线运动，设点P的运动时间为t秒，为锐角三角形时，
∴，
故答案为：．
14．，，，，，，
【分析】本题考查全等三角形的性质和判断，掌握判断定理是解题关键；要，已知一组对应边相等和一个公共角，再添加一个条件可以是角相等，或、，依据是或，也可以是间接条件，得出，如，能间接证出和再有一组角相等或一组边相等即可
【详解】解：添加，依据是，
添加，依据是，
添加，可先得出，从而得出，然后依据可证；
添加可得，则依据证明；
添加可得，则依据可证；
添加，先证，从而得出，进而得出，依据是，
添加，可得出，进而，依据，
故答案为：，，，，，，．
15．
【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，作出合理的辅助线构建全等三角形是解题的关键．过点B作于H，延长至E，使，连接，利用AAS证明，，根据全等三角形的性质及线段的和差求解即可．
【详解】解：过点B作于H，延长至E，使，连接，
，
，，
，
是中线，
，
在和中，
，
，
，，
在和中，
，
，
，
，
，
，
故答案为：
16．
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质等知识，根据证明，由全等三角形的性质得出，则可得出答案．
【详解】解：是等腰直角三角形，
∴，
，
，即，
在和中，
，
，
，
，
，，
，
，
，
故答案为：24．
三．解答题
17．解：由平移的性质知，与平行且相等，，
∵，
∴，
当B、D、E不共线时，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
根据三角形的三边关系知，
即．
当D、B、E共线时，，
综上，．
18．（1）解：，理由如下：
∵是由翻折得到，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
19．（1）解：是的中线，
，
，，
与的周长差
，
故答案为：；
（2）解：，
，
是的角平分线，，
，
．
20．小明的方法证明：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
小华的方法证明：
∵，
∴，
∵，
∴，
即，
∴，
∴；
小聪的方法证明：
如图，过点作于，
∵，，
∴，，
∴，
即．
21．（1）证明：如图中，连接，，
由作图可知，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴平分；
（2）解：正确，理由如下：
如图中，连接，
由作图可知，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平分．
22．（1）解： 分别是 和 的平分线，
，
又 ，
，
．
（2）证明： ，
，
由 （1）知 ，
，
平分 ，
在 和 中，
∴ ，
∴，
又 平分，
，
在 和中，
．
23．解：（1）延长至点，使，连接，
∵点是的中点，
∴，且（对顶角相等），
在中，
，
∴，
故选：；
（2）由（1）可得，
∴，，则，
在中，，
∴，
故答案为：；
（3）如图所示，延长至点，使得，连接，
∵点是的中点，
∴，且，
在中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
24．（1）解：乙：如图②，先过点作的垂线，再在上取，两点，使，接着过点作的垂线，交的延长线于点，则测出的长即为，的距离；
丙：如图③，过点作，再由点观测，在的延长线上取一点，使，这时只要测出的长即为，的距离．
故答案为：，；
（2）解：答案不唯一．
选甲：在和中，
，
∴，
；
选乙：，，
，
在和中，
，
∴，
；
选丙：
在和中，
，
∴，
．

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