资源简介

(共46张PPT)
15.3 等腰三角形
第十五章 轴对称　
15.3.2 等边三角形
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
课时讲解
1
课时流程
2
等边三角形的性质
等边三角形的判定
含30°角的直角三角形的性质
知识点
等边三角形的性质
1
知1－讲
文字语言 符号语言 图示
性 质 1 等边三角形的三个角都相等， 并且每一个角都等于60° 如图，在△ABC中，∵ AB=AC= BC，∴∠A= ∠B= ∠C=60°
知1－讲
文字语言 符号语言 图示
性 质 2 等边三角形每条边上的中线、高和所对角的平分线相互重合，即“ 三线合一” 如图，在△ABC中，①∵△ABC 为等边三角形，AD平分∠BAC，∴ AD⊥BC且BD=CD；②∵△ ABC为等边三角形，AD⊥BC，∴ AD平分∠BAC且BD=CD；③ ∵ △ABC为等边三角形，BD=CD，∴ AD平分∠BAC且AD⊥BC
知1－讲
文字语言 符号语言 图示
轴对 称性 等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴，对称轴为三边上的中线所在直线(或三个角的平分线所在直线或三边上的高所在直线) 特别解读
等边三角形是特殊的等腰三角形，具备等腰三角形的所有性质：
1.任意两边都可以作为腰；
2.任意一个角都可以作为顶角；
3.任意一边上的“三线合一”.
知1－讲
如图15.3-22，P是△ABC内一点，若∠PBC＝∠PCB＝10°，△APC是等边三角形，求∠ABP的度数.
例1
解题秘方：紧扣等边三角形的三个内角都是60° ，三条边都相等解题.
知1－练
解：∵△APC是等边三角形，∴∠APC＝60°，AP＝CP.
∵∠PBC＝∠PCB＝10°，∴ BP＝CP. ∴ AP＝BP.
在△BPC中，∠BPC＝180°－∠PBC－∠PCB＝160°.
∴∠APB＝360°－∠BPC－∠APC＝140°. 在△APB中，
∵ AP＝BP，∴∠ABP＝∠BAP＝(180°－∠APB)＝20°.
知1－练
1-1.[期中·昆明呈贡区]如图，△ABC为等边三角形，BC⊥ CD，AC＝CD，则∠CED＝_______.
75°
知1－练
如图15.3-25，等边三角形ABC的边长为3，D 是AC 的中点，点E 在BC 的延长线上，若DE=DB，求CE 的长.
例2
解题秘方：利用等边三角形“三线合一”的性质将未知线段向已知线段转化.
知1－练
解：∵△ ABC 是等边三角形，D 是AC的中点，
∴ ∠ ABC= ∠ ACB= 60 °，∠ DBE= ∠ ABC，CD=AC=.
∴∠ DBE=30°.
∵ DE=DB，∴∠ E= ∠ DBE=30°.
∵∠ ACB= ∠ CDE＋∠ E，∴∠ CDE= ∠ ACB－∠ E=30°.
∴∠ CDE= ∠ E.∴ CE=CD= .
知1－练
2-1. 如图，△ ABC 为等边三角形，AD⊥BC，AE=AD，则∠ADE= _______.
2-2. 如图，△ ABC 是等边三角形，BD 平分∠ABC，点E 在BC 的延长线上，且CE=1，∠ E=30°，则BC=________ .
75°
2
知1－练
[母题 教材P83习题T11]如图15.3-24，△ ABC 和△ ADE 是等边三角形．求证：BD=CE．
例3
解题秘方：利用等边三角形中边相等、角相等证明△ BAD ≌△ CAE.
知1－练
证明：∵△ ABC 和△ ADE 是等边三角形，
∴ AB=AC，AD=AE，∠ BAC= ∠ DAE=60 °．
∴∠BAC－∠DAC= ∠DAE－∠DAC，即∠BAD=∠CAE．
在△ BAD 与△ CAE 中，
∴△ BAD ≌△ CAE(SAS)．∴ BD=CE．
AB=AC，
∠ BAD= ∠ CAE
AD=AE，
知1－练
3-1. 如图，△ ABC 为等边三角形，D 为边BA 延长线上一点，连接CD，以CD 为边作等边三角形CDE，连接AE，判断AE 与BC 的位置关系，并说明理由.
知1－练
解：AE∥BC.理由如下：
∵△ABC与△CDE都为等边三角形，
∴BC＝AC，CD＝CE，∠B＝∠ACB＝∠DCE＝60°.
∴∠ACB＋∠ACD＝∠DCE＋∠ACD，
即∠BCD＝∠ACE.∴△BCD≌△ACE(SAS)．
∴∠B＝∠EAC.∴∠EAC＝∠ACB.∴AE∥BC.
知1－练
1. 等边三角形的判定方法
知识点
等边三角形的判定
2
知2－讲
方法 文字语言 符号语言 图示
定义 法 三边都相等的三角形是等边三角形 如图，∵ AB=AC=BC， ∴△ ABC 为等边三角形
判定方法1 三个角都相等的三角形是等边三角形 如图，∵∠A=∠B=∠C， ∴△ABC为等边三角形
知2－讲
方法 文字语言 符号语言 图示
判定方法2 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 如图，∵AB=AC，∠A=60°(或∠B=60°或∠C=60°)， ∴△ABC为等边三角形
可以是顶角，也可以是底角
2. 判定等边三角形的思维导图(如图15.3-25)
知2－讲
特别解读
等边三角形的判定思路：
知2－讲
[母题 教材P86习题T13]如图15.3-26，在△ ABC 中，AB=AC，∠ BAC=120 °，点D，E 在BC 上，AD ⊥ AC，AE ⊥ AB．求证：△ AED 为等边三角形．
例4
解题秘方：利用等边三角形的判定定理1，通过求∠ ADE= ∠ AED= ∠ DAE= 60 °，
得△ AED 为等边三角形.
知2－练
证明：∵ AB=AC，∠ BAC=120°，
∴∠ B= ∠ C= (180°－∠ BAC)=30°.
∵ AD ⊥ AC，AE ⊥ AB，∴∠ EAB= ∠ DAC=90°.
∴∠ AEB=90°－∠ B=60°，∠ ADC=90°－∠ C=60°.
∴∠ DAE=180 °－ ∠ AEB－∠ ADC= 60 °.
∴∠ ADE= ∠ AED= ∠ DAE.∴△ AED 为等边三角形．
知2－练
4-1. 如图， 四边形ABCD 中，AB ∥ DC，DB 平分∠ ADC，∠ A=60 °．求证：△ ABD 是等边三角形.
知2－练
知2－练
如图15.3-27，在△ ABC 中，
∠ A=120 °，AB=AC，D 是BC 的中点，DE ⊥ AB，DF ⊥ AC，点E，F 为垂足.
求证：△ DEF 是等边三角形．
例5
知2－练
解题秘方：要证△ DEF 是等边三角形，关键是得到DE=DF，且∠ EDF= 60°，利用全等三角形的性质和等腰三角形的性质即可得出.
知2－练
证明：∵∠ A=120°，AB=AC，∴∠ B= ∠ C=30°.
∵ DE ⊥ AB，DF ⊥ AC，∴∠ BED= ∠ CFD=90°.
∴易得∠ BDE= ∠ CDF= 60°.
∴∠ EDF=180°－∠ BDE－∠ CDF= 60°.
知2－练
∵ D 是BC 的中点，∴ BD=CD.
在△ BDE 和△ CDF 中，
∴△ BDE ≌△ CDF(ASA). ∴ DE=DF.
∴△ DEF 是等边三角形.
∠ B= ∠ C，
BD=CD，
∠ BDE=∠CDF，
知2－练
5-1.如图, 在等边三角形ABC 中，点P 在△ ABC 内，点Q在△ABC外，且∠ ABP=∠ ACQ，BP=CQ，问△ APQ 是什么形状的三角形？试说明你的理由．
知2－练
知2－练
1. 性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30 °，那么它所对的直角边等于斜边的一半 .
几何语言：如图15.3-28，在Rt△ABC 中，
∵∠ C=90 °，∠ A=30 °，
∴ BC= AB.
知识点
含30°角的直角三角形的性质
3
知3－讲
2. 作用：应用于证线段的倍分关系和计算角度.
拓展：该性质反过来说也成立. 在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么它所对的角等于30°.
知3－讲
特别解读
应用此性质，必须满足两个条件：
1.在直角三角形中；
2.有一个锐角为30°.二者缺一不可.
知3－讲
如图15.3-29，在Rt △ ABC 中 ，∠ C=90° ，AB 边的垂直平分线MN 交AB 于点M，交BC 于点N，且∠B=15° ，AC=4 cm，求BN 的长.
解题秘方：先构造含30 °角的直角三角形，再利用含30 °角的直角三角形的性质求线段长.
例6
知3－练
解：如图15.3 -29，连接AN.
∵ MN 为AB 边的垂直平分线，∴ AN=BN.
∴∠ NAB= ∠ B=15°.
∴∠ ANC= ∠ B＋∠ NAB=30 °.
∵∠ C=90 °，∠ ANC=30 °，
∴ AN=2AC=2×4 =8(cm).∴ BN=8 cm.
知3－练
教你一招：1. 求某直角三角形的边长时，考虑构造含30 °角的直角三角形.
2 . 若给出的是15°角，则构造以15°角为底角的等腰三角形，其顶角处的外角为30 °的角.
知3－练
6-1.[期中·北京海淀区]如图，△ ABC 中，AB=AC，∠BAC= 120 °，AC 边的垂直平分线DE与BC 边交于点D，垂足为E，若DE=1，求线段CD 和BC 的长．
知3－练
知3－练
∴CD＝2DE＝2，∠C＝∠DAC＝30°.
∴AD＝2，∠BAD＝∠BAC－∠DAC＝90°.
∴BD＝2AD＝4.
∴BC＝BD＋CD＝6.
知3－练
如图15.3-30，在等边三角形ABC 中，AE=CD，AD，
BE 相交于点P，BQ⊥ AD 于Q. 求证：BP=2PQ.
例7
知3－练
思路导引：
知3－练
证明：∵△ ABC 是等边三角形，
∴ AB=AC，∠BAE= ∠C= 60°.
∵ AE=CD，∴△ ABE ≌△ CAD(SAS).
∴∠ ABE= ∠ CAD.∴∠ BPQ=∠ ABE＋∠ BAP=∠ CAD＋∠ BAP=∠ BAE=60°.
∵ BQ⊥ AD，∴∠ BQP=90°.
∴∠ PBQ=90°－∠ BPQ=30°.∴ BP=2PQ.
知3－练
方法点拨：在同一个三角形中证明一条线段等于另一条线段的2 倍，一是证明是直角三角形，二是证明较短的直角边所对的锐角等于30°.
知3－练
7-1.如图，CD⊥ AB，垂足为D，∠ACB=90°，∠A=30°，求证：BD=AB．
知3－练
知3－练
等边三角形
等边三角形
含30°角的直角三角形的性质
一半
性质
判定

展开更多......

收起↑