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(共53张PPT)
16.2 整式的乘法
第十六章 整式的乘法
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
课时讲解
1
课时流程
2
单项式与单项式相乘
单项式与多项式相乘
多项式与多项式相乘
同底数幂的除法
零指数幂
单项式除以单项式
多项式除以单项式
知识点
单项式与单项式相乘
知1－讲
1
1. 单项式乘单项式法则：一般地，单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘作为积的因式. 对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.
知1－讲
2. 单项式与单项式相乘的步骤
(1)确定积的系数，积的系数等于各项系数的积；
(2)同底数幂相乘，底数不变，指数相加；
(3)只在一个单项式里出现的字母，要连同它的指数写在积里.
知1－讲
特别提醒
1. 单项式与单项式相乘的结果仍为单项式.
2. 单项式乘单项式法则对于三个及三个以上的单项式相乘同样适用.
3.本法则综合运用了同底数幂的乘法的性质和乘法的交换律、结合律，从系数、相同字母、不同字母三部分进行运算.
知1－练
例 1
计算：(1) 3a2·2a3b；
(2)4xy2·；
(3)(－a2)3·(－2a2)3；
(4)m2n·(－0.5m3n2)·2mn2.
解题秘方：紧扣单项式乘单项式的法则，按步骤进行计算.
知1－练
解：(1)3a2·2a3b＝(3×2)(a2·a3)·b＝6a5b.
(2)4xy2·＝·x1＋2y2＋1z＝－2x3y3z.
(3)(方法一)(－a2)3·(－2a2)3＝－a6·(－8a6)＝[(－1)×(－8)]·
(a6·a6)＝8a12；
(方法二)(－a2)3·(－2a2)3＝[(－a2)·(－2a2)]3＝{[(－1)× (－2)]·(a2·a2)}3＝(2a4)3＝8a12.
知1－练
(4)m2n·(－0.5m3n2)·2mn2＝[(－0.5)×2](m2·m3·m)·(n·n2·n2)＝－m6n5.
知1－练
1－1. [中考·陕西]计算：2x·(－3x2y3)＝(　　)
A. 6x3y3 B. －6x2y3
C. －6x3y3 D. 18x3y3
C
知1－练
1-2. 计算：
(1)(－3x2)2·5x2·(－2x)3；
(2)(－x2y)3·3xy2·(2xy2)2.
解：原式＝9x4·5x2·(－8x3)＝－360x9；
知2－讲
知识点
单项式与多项式相乘
2
1. 单项式乘多项式法则
文字语言 符号表示
一般地，单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加 ＝pa＋pb＋pc
(p，a，b，c都是单项式）
知2－讲
2. 单项式与多项式相乘的几何解释：如图16.2-1，大长方形的面积可以表示为p(a＋b＋c)，也可以视为三个小长方形的面积之和，表示为pa＋pb＋pc. 所以p(a＋b＋c)＝pa＋pb＋pc.
知2－讲
特别提醒
1. 单项式与多项式相乘的结果是一个多项式，其项数与因式中多项式的项数相同.
2. 单项式与多项式相乘时，要把单项式和多项式里的每一项都相乘，不要漏乘、多乘.
3. 计算时要注意符号问题，多项式中每一项都包括它前面的符号.
知2－练
计算：
(1)(－3x)(－2x2＋1)；(2)(3xy2－6xy－1)·xy；
(3)(－a2＋2bc2)·(－3ab2)2；(4)3x(x2－x－1)－2x2(1－x).
例 2
解题秘方：用单项式乘多项式的法则进行计算.
知2－练
解：(1)(－3x)(－2x2＋1)＝(－3x)·(－2x2)＋(－3x)·1＝6x3－3x；
(2)(3xy2－6xy－1)·xy＝3xy2·xy＋(－6xy)·xy＋(－1)× xy＝x2y3－2x2y2－xy.
知2－练
(3)(－a2＋2bc2)·(－3ab2)2＝(－a2＋2bc2)·9a2b4＝(－a2)·9a2b4＋2bc2·9a2b4＝－9a4b4＋18a2b5c2；
(4)3x(x2－x－1)－2x2(1－x)＝3x3－3x2－3x－2x2＋2x3＝ 5x3－5x2－3x.
知2－练
2－1. 数学课上， 老师讲了单项式乘多项式，放学回到家， 小明拿出课堂笔记复习， 发现一道题：－7xy (2y－x－3)＝－14xy2＋7x2y□，□的地方被钢笔水弄污了， 你认为□处应该是(　　)
A.＋21xy B.－21xy
C.－3 D.－10xy
A
知3－讲
知识点
多项式与多项式相乘
3
1. 多项式乘法法则
文字语言 符号表示
一般地，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加 ＝ap＋aq＋bp＋bq(a，b，p，q都是单项式)
知3－讲
2. 多项式与多项式相乘的几何解释：如图16.2－2，大长方形的面积可以表示为(a＋b)(p＋q)，也可以将大长方形的面积视为四个小长方形的面积之和，即ap＋aq＋bp＋bq. 所以(a＋b)(p＋q)＝ap＋aq＋bp＋bq.
知3－讲
特别解读
1. 多项式乘多项式法则的实质是将多项式与多项式相乘转化为几个单项式乘积的和的形式.
2. 多项式与多项式相乘的结果仍为多项式，在合并同类项之前，积的项数应该是两个多项式的项数之积.
3. 多项式乘多项式的法则也适用于多个多项式相乘，即按顺序先将前两个多项式相乘，再把乘积与第三个多项式相乘，以此类推.
4. 拓展：(x＋p)(x＋q)＝x2＋(p＋q)x＋pq(p，q为常数)
知3－练
计算：
(1)(x－4)(x＋1)；
(2)(3x＋2)(2x－3)；
(3)(x＋2)(x2－2x＋4).
例 3
解题秘方：紧扣多项式乘多项式法则，用“箭头法”进行计算.
知3－练
(1)(x－4)(x＋1)；
(2)(3x＋2)(2x－3)；
解：(x－4)(x＋1)＝x2＋x－4x－4＝x2－3x－4；
(3x＋2)(2x－3)
＝3x·2x＋3x×(－3)＋2×2x＋2×(－3)
＝6x2－9x＋4x－6＝6x2－5x－6；
本题切忌犯如下错误:
(3x＋2)(2x－3)＝3x·2x＋2×(－3)＝6x2－6
知3－练
(3)(x＋2)(x2－2x＋4).
解：(x＋2)(x2－2x＋4)
＝x·x2＋x·(－2x)＋x·4＋2·x2＋2×(－2x)＋2×4
＝x3－2x2＋4x＋2x2－4x＋8
＝x3＋8.
知3－练
3－1. [期中·嘉兴平湖市]计算(a＋3b)(a＋2b)的结果是(　　)
A. a2＋5ab＋5b2
B. a2＋5ab＋6b2
C. a2＋5b2
D. a2＋6b2
B
知3－练
3－2. 若(x－4)(x＋3)＝x2＋mx－12， 则m的值是( )
A.1 B.－1 C.9 D.－9
B
知4－讲
知识点
同底数幂的除法
4
同底数幂的除法的性质
文字叙述 同底数幂相除，底数不变，指数相减
式子表示 am÷an＝am－n(a ≠ 0，m，n都是正整数，m>n)
am÷an＝am－n
底数不变
指数相减
a可以是单项式或多项式，但不能为0
知4－讲
续表
推广 同底数幂的除法的性质也适用于三个或三个以上的同底数幂相除，即am÷an÷ap＝am－n－p(a ≠ 0，m，n，p都是正整数，m>n＋p)
注意 同底数幂的除法和同底数幂的乘法互为逆运算，因此同底数幂的除法可以用同底数幂的乘法来检验
知4－讲
拓宽视野
同底数幂的除法的性质也可以逆用，即am－n＝
am÷an(a ≠ 0，m，n都是正整数，m>n)
知4－练
例 4
计算：
(1)(－x)8÷(－x)4；
(2)(x－y)7÷(y－x)5.
解题秘方：同底数幂相除，底数不变，指数相减.
解：(－x)8÷(－x)4＝(－x)8－4＝(－x)4＝x4；
(x－y)7÷(y－x)5 ＝(x－y)7÷［－(x－y)5］
＝－(x－y)7－5＝－(x－y)2.
知4－练
4-1. 若am＋2÷a3＝a5，则m的值为__________.
6
知4－练
4－2. 计算：
(1)(－a)6÷(－a)2；
(2) x13÷x2÷x5；
(3)(x－y)5÷(y－x)2.
解：原式＝(－a)4＝a4；
原式＝x6；
原式＝(x－y)5÷(x－y)2＝(x－y)3.
知4－练
已知xm＝9，xn＝27，求x3m－2n 的值.
解题秘方：当幂的指数以差的形式出现时，可转化为同底数幂相除的形式.
解：x3m－2n＝x3m÷x2n＝(xm)3÷(xn)2
＝93÷272
＝1.
例 5
93÷272＝(32)3÷(33)2
＝36÷36＝1
知4－练
5－1. [中考·达州] 已知am＝3，an＝2，则a2m－n的值为____.
5－2. 已知3m＝8，3n＝2，求32m－3n＋1的值．
4.5
解：因为3m＝8，3n＝2，
所以32m－3n＋1＝(3m)2÷(3n)3×3＝64÷8×3＝24.
知5－讲
知识点
零指数幂
5
零 指 数 幂 规定
a0＝1(a ≠ 0)
文字叙述 任何不等于0的数的0次幂都等于1
a可以是不为零的单项式或多项式
不能忽略
知5－讲
续表
零 指 数 幂 推导 过程 同底数幂相除，如果被除式的指数等于除式的指数，例如am÷am，根据除法的意义可知所得的商为1. 另一方面，如果依照同底数幂的除法来计算，又有am÷am=am－m＝a0. 于是规定a0＝1(a ≠ 0)
不要误认为a0＝0
知5－讲
特别解读
1. 零指数幂在同底数幂的除法中，是除式与被除式的指数相同时的特殊情况.
2. 指数为0 ，但底数不能为0.
知5－练
例 6
已知式子(2x－6)0＋ 有意义，则x的取值范围
是_____________.
解题秘方：根据零指数幂及算术平方根的意义确定x 的取值范围.
解：根据零指数幂有意义的条件，可得2x－6 ≠ 0，则x ≠ 3. 由有意义，可得x－1 ≥ 0，即x ≥ 1. 故x的取值范围是 x ≥ 1 且x ≠ 3.
x ≥ 1且x ≠ 3
知5－练
6－1. [期中·天津南开区] 若(x－1)0＝1成立， 则x的取值范围是_______.
x≠1
知5－练
6－2. 下列各式中一定正确的是( )
A. (2x－3)0＝1
B. π0＝0
C. (a2－1)0＝1
D. (m2＋1)0＝1
D
知5－练
[中考·苏州]计算：|－3|＋22－(－1)0.
解题秘方：负数的绝对值是它的相反数，任何不为0的数的0次幂都等于1.
例 7
解：|－3|＋22－(－1)0＝3＋4－1＝6.
知5－练
7－1.计算：0－＋(－2)2.
解：原式＝1－4＋4＝1.
知6－讲
知识点
单项式除以单项式
6
运算 法则 一般地，单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式
一般步骤 (1)把系数相除，所得的结果作为商的系数；
(2)把同底数幂分别相除，所得的结果作为商的因式；
(3)把只在被除式里出现的字母，连同它的指数一起作为商的一个因式
不能遗漏
知6－讲
特别解读
1. 单项式除以单项式最终转化为同底数幂相除.
2. 单项式除以单项式的结果还是单项式.
3. 根据乘除互逆的原则，可用单项式乘单项式来验证结果.
知6－练
计算：
(1)(－3a7b4c)÷(9a4b2)；(2)(4a3m＋1b)÷(－8a2m＋1)；
(3)(6.4×105)÷(2×102).
例 8
解题秘方：根据单项式除以单项式法则解答.
知6－练
(1)(－3a7b4c)÷(9a4b2)；
(2)(4a3m＋1b)÷(－8a2m＋1)；
(3)(6.4×105)÷(2×102).
解：(－3a7b4c)÷(9a4b2) ＝[(－3)÷9]a7－4b4－2c＝－a3b2c；
(4a3m＋1b)÷(－8a2m＋1)＝[4÷(－8)]a(3m＋1)－(2m＋1)b＝－amb；
(6.4×105)÷(2×102)＝(6.4÷2)×(105÷102)＝3.2×103.
不要漏乘只在被除式中出现的字母
不要漏掉括号
知6－练
8-1. 计算：
(1)(－5x5y3z)÷(3x2y2)；
(2)(－a2b2c)÷(－ab2)；
(3)(3x2y)2 ·(－15xy3)÷(－9x4y2).
原式＝9x4y2·(－15xy3)÷(－9x4y2)＝15xy3.
知7－讲
知识点
多项式除以单项式
7
运算法则 一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加
式子表示 (am＋bm)÷m＝am÷m＋bm÷m＝a＋b
知7－讲
多项式(被除式)除以单项式是单项式乘多项式(商)的逆运算，因此多项式(被除式)除以单项式的结果可以用单项式乘多项式(商)进行检验.
知7－讲
特别解读
1.多项式除以单项式的实质就是转化为单项式除以单项式.
2.商的项数与多项式的项数相同.
3.用多项式的每一项除以单项式时，要包括每一项的符号.
计算：
(1)(8a3－2a2＋6a)÷(－2a) ；
(2)÷ab3.
知7－练
解题秘方：先用多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加.
例 9
知7－练
(1)(8a3－2a2＋6a)÷(－2a)；
(2)÷ab3.
解：(8a3－2a2＋6a)÷(－2a)＝8a3÷(－2a)＋(－2a2)÷ (－2a)＋6a÷(－2a)＝－4a2＋a－3；
÷ab3 ＝(a5b8)÷(ab3)－(2a2b6)÷(ab3)＝2a4b5－6ab3.
知7－练
9－1. 长方形的面积为4a2－6ab＋2a，若它的一边长为2a， 则它的另一边长为( )
A. 2a－3b＋1 B. 4a2－6ab
C. 4a－3b＋1 D. 2a－3b
A
整式的乘法
整式的乘除法
整式的乘法
单项式与
多项式
多项式与
多项式
单项式与
单项式
整式的除法
同底数幂
的除法
零指数幂

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