资源简介
(共45张PPT)
16.3 乘法公式
第十六章 整式的乘法
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
课时讲解
1
课时流程
2
平方差公式
完全平方公式
添括号
知识点
平方差公式
知1-讲
1
1. 平方差公式的推导
(1)代数运算证明法:(a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2= a2-b2 .
知1-讲
(2)几何图形证明法:图16.3-1 ①中阴影部分的面积为a2-b2,把它分割并拼接成图16.3-1 ② 中的长方形,长为(a+b),宽为(a-b),
故阴影部分的面积为
(a+b)(a-b).
故(a+b)(a-b)=a2-b2.
知1-讲
2. 平方差公式:(a+b)(a-b)=a2-b2.
语言叙述:两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差.
知1-讲
3. 平方差公式的几种常见变化及应用
变化形式 应用举例
位置变化 (b+a)(-b+a)=(a+b)(a-b)=a2-b2
符号变化 (-a-b)(a-b)=(-b-a)(-b+a)=(-b)2- a2=b2-a2
系数变化 (3a+2b)(3a-2b) =(3a)2-(2b)2=9a2-4b2
指数变化 (a3+b2)(a3-b2)=(a3)2-(b2)2=a6-b4
增项变化 (a-b+c)(a-b-c)=(a-b)2-c2
连用公式 (a+b)(a-b)(a2+b2)=(a2-b2)(a2+b2)=a4-b4
知1-讲
特别解读
1. 公式的特征:
(1)等号左边是两个二项式相乘,这两个二项式中有一项完全相同,另一项互为相反数.
(2)等号右边是乘式中两项的平方差,即相同项的平方减去相反项的平方.
2. 平方差公式中的a,b既可以代表一个单项式,也可以代表一个多项式.
知1-讲
易错警示
平方差公式的右边是平方差,不是差的平方,不要把a2-b2与(ab)2混淆.
知1-练
例 1
计算:
(1)(5m-3n)(5m+3n);(2)(2x+y)(-2x+y);
(3)(-3y-4x)(3y-4x);(4)(2a-3)(2a+3)(4a2+9);
(5)(-x+1)(x+1)-(x-3)(3x+1)
解题秘方:先确定公式中的“a”和“b”,然后根据平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2进行计算.
知1-练
解:(1)(5m-3n)(5m+3n)=(5m)2-(3n)2=25m2-9n2;
(2)(2x+y)(-2x+y)=(y+2x)(y-2x)=y2-(2x)2=y2-4x2;
(3)(-3y-4x)(3y-4x)=(-4x-3y)(-4x+3y)
=(-4x)2-(3y)2=16x2-9y2;
(4)(2a-3)(2a+3)(4a2+9)=(4a2-9)(4a2+9)=16a4-81;
(5)(-x+1)(x+1)-(x-3)(3x+1)=-x2+1-(3x2-9x+x-3)=-x2+1-3x2+9x-x+3=-4x2+8x+4.
知1-练
1-1. 下列各式中,可以用平方差公式进行计算的是( )
A. (a-1)(1-a)
B. (-a+2)(-a-2)
C. (a+2)(2+a)
D. (a-b)(-a+b)
B
知1-练
1-2. 若a+b=2,a-b=1,则a2-b2=______.
2
知1-练
1-3.计算:
(1);
(2)(3n+2m)(-3n+2m);
(3)(-2y+x)(-2y-x);
原式=(2m)2-(3n)2=4m2-9n2;
原式=(-2y)2-x2=4y2-x2;
知1-练
(4)(3x+2)(3x-2)(9x2+4);
(5)(x+5)(x-5)+(x-3)(-3-x).
解:原式=(9x2-4)(9x2+4)=81x4-16;
原式=x2-25+9-x2=-16.
知1-练
运用平方差公式计算:
(1)401×399;
(2)10×9;
(3)2 025×2 027-2 0262.
解题秘方:找出平方差公式的模型,利用平方差公式进行计算.
例 2
知1-练
解:(1)401×399=(400+1)(400-1)=160 000-1=
159 999;
(2)10×9=(10+)×(10-)=100-=99;
(3)2 025×2 027-2 0262
=(2 026-1)×(2 026+1)-2 0262
=2 0262-12-2 0262=-1.
401 与399 的平均数为400
2 025 与2 027 的平均数为2 026
知1-练
2-1. 运用平方差公式进行简便计算:
(1)9.8×10.2;
(2)1 007×993;
解:原式=(10-0.2)×(10+0.2)=102-0.22=
100-0.04=99.96;
原式=(1 000+7)×(1 000-7)=1 0002-72=
1 000 000-49=999 951;
知1-练
(3)40×(-39);
(4)129×127-1282.
原式=(128+1)×(128-1)-1282=1282-12-1282=-1.
知2-讲
知识点
完全平方公式
2
1. 完全平方公式的推导:
(1)代数运算证明法
(a+b)2=(a+b)(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2;
(a-b)2=(a-b)(a-b)=a2-ab-ab+b2=a2-2ab+b2 .
知2-讲
(2)几何图形证明法(数形结合思想)
图16.3-2 ①:大正方形的面积为(a+b)2=a2+b2+2ab;
图16.3-2 ②:左下角正方形的面积为(a-b)2=a2-2ab+b2.
知2-讲
2. 完全平方公式:(a+b)2=a2+2ab+b2,(a-b)2=a2-2ab+b2.
语言叙述:两个数的和(或差)的平方,等于它们的平方和,加上(或减去)它们的积的2 倍.
知2-讲
特别提醒
(a+b)2 ≠ a2+b2;
(a-b)2 ≠ a2-b2.
产生这种错误的原因是类比了(ab)2=a2b2.
知2-讲
3. 完全平方公式的几种常见变形
(1)a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab;
(2)(a+b)2=(a-b)2+4ab;
(3)(a-b)2=(a+b)2-4ab;
(4)(a+b)2+(a-b)2=2(a2+b2);
(5)(a+b)2-(a-b)2=4ab;
知2-讲
(6)ab=[(a+b)2-(a2+b2)]=[(a+b)2-(a-b)2];
(7)(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc;
(8)a2+b2+c2+ab+ac+bc=[(a+b)2+(b+c)2+(a+c)2].
知2-讲
特别解读
1. 公式的特征:
(1)公式的左边是一个二项式的完全平方;
(2)公式的右边是一个三项式,其中两项分别是左边二项式的各项的平方,另一项是二项式各项的乘积的2 倍.
2. 公式中的字母a,b可以表示具体的数,也可以表示含字母的单项式或多项式.
知2-讲
口诀记忆:
首平方,尾平方,
二倍乘积在中央,
中央符号看前方.
知2-练
计算:
(1)(x+7y)2; (2)(5b-4a)2;
(3)(-2m-n)2; (4)(2x+3y)(-2x-3y).
解题秘方:确定公式中的“a”和“b”,利用完全平方公式进行计算.
例 3
知2-练
(1)(x+7y)2;
(2)(5b-4a)2;
解:(x+7y)2=x2+2·x·(7y)+(7y)2
=x2+14xy+49y2;
括号不能漏掉.
(5b-4a)2
=(5b)2-2·(5b)·(4a)+(4a)2
=25b2-40ab+16a2;
不能漏掉“2ab”项且符号与完全平方中的符号一致.
知2-练
(3)(-2m-n)2;
(4)(2x+3y)(-2x-3y).
解:(-2m-n)2 =(2m+n)2
=(2m)2+2·(2m)·n+n2=4m2+4mn+n2;
(2x+3y)(-2x-3y)
=-(2x+3y)2
=-[(2x)2+2·(2x)·(3y)+(3y)2]
=-(4x2+12xy+9y2)=-4x2-12xy-9y2.
两个二项式相乘,若有一项相同,另一项相反,则用平方差公式计算;若两项都相同或都相反,则用完全平方公式计算.
知2-练
方法总结:求二项式的平方时,当所给二项式中两项的符号相同时,一般选用“和”的完全平方;当二项式中两项的符号相反时,一般选用“差”的完全平方.
知2-练
3-1. [期中·唐山路北区]下列多项式乘法中能用完全平方公式计算的是( )
A. (m-n)(-m-n)
B. (m+n)(-m+n)
C. (m-n)(-m+n)
D. (m+2)(m-1)
C
知2-练
3-2.计算:
(1)(2y-1)2;
(2)(3a+2b)2;
(3)(-x+2y)2;
(4)(-2xy-1)2.
解:原式=4y2-4y+1;
原式=9a2+12ab+4b2;
原式=x2-4xy+4y2;
原式=4x2y2+4xy+1.
知2-练
计算:(1)9992;(2).
解题秘方:将原数转化成符合完全平方公式的形式,再利用完全平方公式展开计算即可.
例 4
知2-练
(1)9992;
(2).
解:9992=(1 000-1)2=1 0002-2×1 000×1+12
=1 000 000-2 000+1=998 001;
==302+2×30×+=900+20+=920 .
知2-练
4-1. 运用完全平方公式进行简便计算:
(1)1022;
(2)99.82;
(3).
解:原式=(100+2)2=10 000+400+4=10 404;
原式=(100-0.2)2=10 000-40+0.04=9 960.04;
知3-讲
知识点
添括号
3
1. 添括号:添括号时,如果括号前面是正号,括到括号里的各项都不变符号;如果括号前面是负号,括到括号里的各项都改变符号 .
即:用字母表示为a+b+c=a+(b+c)=a-(-b-c);
a-b-c=a-(b+c)=a+(-b-c).
知3-讲
2. 添括号的应用:添括号在利用乘法公式计算中应用广泛,先利用添括号使原式变成符合乘法公式的形式,再运用乘法公式计算.
知3-讲
特别解读
1. 添括号只是一个变形,不改变式子的值.
2. 添括号时,如果括号前面是负号,括号里的各项都要改变符号,而不是只改变括号里第一项的符号.
3. 添括号是否正确,可利用去括号检验.
知3-练
例 5
计算:
(1)(2x-y+4)(2x+y-4);
(2)(m-2n+1 )(-2n-1+m);
(3)(2a+3b-1)(1-2a-3b);(4)(3a-b+c)2.
解题秘方:先通过添括号把式子转化为符合平方差公式或完全平方公式的形式,再利用乘法公式进行计算.
知3-练
(1)(2x-y+4)(2x+y-4);
(2)(m-2n+1 )(-2n-1+m);
解:(2x-y+4)(2x+y-4)
=[2x-(y-4)][2x+(y-4)]
=(2x)2-(y-4)2=4x2-y2+8y-16;
(m-2n+1 )(-2n-1+m)
=[(m-2n)+1][(m-2n)-1]
=(m-2n)2-12=m2-4mn+4n2-1;
应用加法的交换律和结合律
(3)(2a+3b-1)(1-2a-3b);
知3-练
解:(2a+3b-1)(1-2a-3b)
=(2a+3b-1)[-(2a+3b-1)]=-[(2a+3b)-1]2
=-[(2a+3b)2-2(2a+3b)+12]
=-(4a2+12ab+9b2-4a-6b+1)
=-4a2-12ab-9b2+4a+6b-1
=-4a2-9b2-12ab+4a+6b-1;
(4)(3a-b+c)2.
知3-练
解:(3a-b+c)2
=[(3a-b)+c]2
=9a2-6ab+b2+6ac-2bc+c2
=9a2+b2+c2-6ab+6ac-2bc.
知3-练
方法总结
利用乘法公式简化运算的方法:
1. 既有相同的项又有互为相反数的项的两个三项式相乘,可通过变形用平方差公式计算,且相同的项为“a”,互为相反数的项为“b ”;
2. 两个因式中所有的项都相同或都互为相反数,可通过变形用完全平方公式计算.
知3-练
5-1. 运用乘法公式计算:
(1)(a+b-c)2;
(2)(2a+3b-1)(2a+3b+1).
解:原式=[(a+b)-c]2=(a+b)2-2(a+b)c+c2=a2+2ab+b2-2ac-2bc+c2;
原式=[(2a+3b)-1][(2a+3b)+1]=(2a+3b)2-12=4a2+12ab+9b2-1.
乘法公式
乘法
公式
添括号
平方差公式
完全平方公式
展开更多......
收起↑