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16.1 幂的运算
第十六章 整式的乘法
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
课时讲解
1
课时流程
2
同底数幂的乘法
幂的乘方
积的乘方
知识点
同底数幂的乘法
知1－讲
1
同底数幂的乘法的性质
推导过程 一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n，
am·an＝ ·＝
＝am＋n
知1－讲
续表
符号表示 am·an＝am＋n(m，n都是正整数)
文字叙述 同底数幂相乘，底数不变，指数相加
am·an＝am＋n
底数不变
指数相加
知1－讲
续表
运用此性质的前提条件 (1)底数相同；
(2)是乘法运算
注意 (1)单个字母或数可以看成是指数为1的幂；
(2)底数(即上面式子中的a)可以是单项式，也可以是多项式
注意：22×52 ≠104
注意：y2＋y5 ≠ y7
知1－讲
续表
推广 三个或三个以上同底数幂相乘，此性质仍适用：
am·an·…·ap＝am＋n＋…＋p(m，n，…，p都是正整数)
知1－讲
特别提醒
1. 同底数幂的乘法的性质可以逆用，即：am＋n＝am·an(m，n都是正整数).
2.在幂的运算中，经常用到以下变形：
(1)(－a)n＝
(2)(b－a)n＝
知1－练
例 1
计算：
(1)108×102；(2)x7·x；(3)an＋2·an－1；
(4)－x2·(－x)8；(5)(x＋3y)3·(x＋3y)2·(x＋3y)；
(6)(x－y)3·(y－x)4.
解题秘方：紧扣同底数幂的乘法的性质进行计算.
知1－练
解：(1)108×102＝108＋2＝1010；
(2)x7·x＝x7＋1＝x8；
(3)an＋2·an－1＝an＋2＋n－1＝a2n＋1；
(4)－x2·(－x)8＝－x2·x8＝－x10；
(5)(x＋3y)3·(x＋3y)2·(x＋3y)＝(x＋3y)3＋2＋1＝(x＋3y)6；
(6)(x－y)3·(y－x)4＝(x－y)3·(x－y)4＝(x－y)7.
当底数互为相反数时，先结合指数的奇偶性化成相同的底数，再按法则进行计算
知1－练
1-1.[中考·苏州]计算：x3·x2＝________.
x5
知1－练
1-2. [中考·河南] 电子文件的大小常用B，KB，MB，GB 等作为单位，其中1 GB＝210 MB，1 MB＝210 KB，1 KB＝210 B.某视频文件的大小约为1 GB，1 GB等于( )
A. 230 B B. 830 B
C. 8×1010 B D. 2×1030 B
A
知1－练
(1)若am＝2，an＝8，求am＋n的值；
(2)已知2x＝3，求2x＋3 的值.
解题秘方：当幂的指数以和的形式出现时，可以转化为同底数幂相乘.
例 2
知1－练
解：(1)因为am＝2，an＝8，所以am＋n＝am·an＝2×8＝16 .
(2)因为2x＝3，所以2x＋3＝2x·23＝3×8＝24 .
知1－练
2-1. [中考· 潍坊] 若2x＝3，2y＝5， 则2x＋y＝_______.
15
知2－讲
知识点
幂的乘方
2
1. 幂的乘方的意义：幂的乘方是指几个相同的幂相乘.
如：(a4)3表示3个a4相乘，读作a的4次幂的3次方
知2－讲
2. 幂的乘方的性质
推导过程 一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n，
(am)n＝＝＝amn
符号表示 (am)n＝amn(m，n都是正整数)
(am)n＝amn
幂的底数不变
幂的指数与乘方的指数相乘
知2－讲
续表
文字叙述 幂的乘方，底数不变，指数相乘
推广 [(am)n]p＝amnp(m，n，p都是正整数)
知2－讲
3. 同底数幂的乘法与幂的乘方的比较
运算种类 公式 运算性质中的运算 计算结果 底数 指数
同底数幂的 乘法 am·an＝am＋n (m，n都是正整数) 乘法 不变 相加
幂的乘方 (am)n＝amn (m，n都是正整数) 乘方 不变 相乘
知2－讲
拓宽视野
幂的乘方的性质也可以逆用，即amn＝(am)n＝(an)m(m，n都是正整数)
知2－练
计算：
(1)(105)4； (2)(x5)6；(3)[(x－2y)3]4；
(4)(－an)3； (5)x2·x4＋(x2)3.
解题秘方：紧扣幂的乘方的性质进行计算.
例 3
知2－练
解：(1)(105)4＝105×4＝1020；
(2)(x5)6＝x5×6＝x30；
(3)[(x－2y)3]4＝(x－2y)3×4＝(x－2y)12；
(3)(－an)3＝－an×3＝－a3n；
(4)x2·x4＋(x2)3＝x6＋x6＝2x6.
当出现混合运算时，按混合运算顺序进行运算
知2－练
3-1. 下列式子正确的是( )
A. a2·a2＝(2a)2
B. (a3)2＝a9
C. a12＝(a5)7
D. (a8)2＝(a2)8
D
知2－练
3-2. [中考· 南京] 计算a3·(a3)2的结果是( )
A. a8 B. a9 C. a11 D. a18
B
知2－练
已知a2n＝3，求a4n－a6n的值.
解题秘方：当幂的指数以积的形式出现时，可以转化为幂的乘方.
例 4
解：a4n－a6n＝(a2n)2－(a2n)3＝32－33＝9－27＝－18.
知2－练
4-1.已知10m＝3，10n＝2，求下列各式的值：
(1)103m；
(2)102n；
(3)103m＋2n.
解：103m＝(10m)3＝33＝27；
102n＝(10n)2＝22＝4；
103m＋2n＝103m×102n＝27×4＝108.
知3－讲
知识点
积的乘方
3
1. 积的乘方的意义：积的乘方是指底数是乘积形式的乘方. 如(ab)5，(ab)n等.
不是和
知3－讲
2. 积的乘方的性质
推导过程 一般地，对于任意底数a，b与任意正整数n，
(ab)n＝
＝·＝anbn
积的乘方的意义
运用了乘法交换律、结合律
知3－讲
续表
符号表示 (ab)n＝anbn(n是正整数)
a，b可以是单项式，也可以是多项式
(ab)n＝anbn
变为幂相乘
分别乘方
知3－讲
续表
文字叙述 积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘
推广 积的乘方的性质也适用于三个或三个以上因式的积的乘方，即(abc)n＝anbncn(n是正整数)
知3－讲
特别提醒
1. 积的乘方的底数为乘积的形式，若底数为和的形式则不能用.
2. 每个因式都要乘方，不要漏掉任何一个因式.
3. 系数应连同它的符号一起乘方，尤其是当系数是－1 时，不可忽略.
知3－讲
拓宽视野
积的乘方的性质也可以逆用，即anbn＝(ab)n(n为正整数). 当底数不同但指数相同的幂相乘时，可转化为积的乘方的形式.
知3－练
计算：
(1)(3a)4； (2)(－4x)3；(3)(x·y3)2； (4)(－3×102)3；(5)(－a2b3)3；(6)2.
例 5
解题秘方：运用积的乘方、幂的乘方的运算性质进行计算.
知3－练
解：(1)(3a)4＝34·a4＝81a4；
(2)(－4x)3＝(－4)3·x3＝－64x3；
(3)(x·y3)2＝x2·(y3)2＝x2y6；
(4)(－3×102)3＝(－3)3×(102)3＝－27×106＝－2.7×107；
最后结果要符合科学记数法的要求
知3－练
(5)(－a2b3)3＝(－1)3·(a2)3·(b3)3＝－a6b9.
(6)2＝2＝2＝2·(a6)2＝a12；
系数乘方时，要带前面的符号，特别是系数为－1时，不要漏掉
知3－练
5-1. 计算：
(1)(2ab)3；
(2)4；
(3)(xmyn)2；
(4)(－3×102)4.
解：原式＝8a3b3；
原式＝x2my2n；
原式＝8.1×109.
知3－练
计算：
(1)(2×102)3×(－103)4；(2)[(a2)3＋(2a3)2]2；
(3)[(m＋n)2]3[－2(m＋n)3]2；
(4)(－2xy2)6＋(－3x2y4)3；
(5)(－2a)6－(－3a3)2＋[－(2a)2]3.
思路引导：
例 6
知3－练
解：(1)(2×102)3×(－103)4＝8×106×1012＝8×1018；
(2)[(a2)3＋(2a3)2]2＝(a6＋4a6)2＝(5a6)2＝25a12；
(3)[(m＋n)2]3[－2(m＋n)3]2＝(m＋n)6·4(m＋n)6＝4(m＋n)12；
(4 )(－2xy2)6＋(－3x2y4)3＝64x6y12 ＋(－27x6y12)＝37x6y12；
(5)(－2a)6－(－3a3)2＋[－(2a)2]3＝64a6－9a6－64a6＝－9a6.
知3－练
6-1. [中考· 淄博] 计算(－2a3b)2－3a6b2的结果是( )
A.－7a6b2 B. －5a6b2
C. a6b2 D. 7a6b2
C
知3－练
6-2. 计算：
(1)(－2anb3n)2＋(a2b6)n；
(2)(－3x3)2－(－x2)3＋(－2x)2－(－x)3.
解：原式＝4a2nb6n＋a2nb6n＝5a2nb6n；
原式＝9x6－(－x6)＋4x2－(－x3)＝9x6＋x6＋4x2＋x3＝10x6＋x3＋4x2.
幂的运算
幂的
运算
关键点
同底数幂的乘法
幂的乘方
积的乘方
底数与指
数的变化

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