资源简介 2024-2025 学年江西省宜春市丰城九中日新班高一(下)期中考试数学试卷一、单选题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知集合 = {1,2,3,4,5}, = { | = 2 , ∈ },则 ∩ =( )A. {2,4} B. {3,4} C. {1,3,5} D. {2,4,6,8,10}2.已知复数 满足 (1 + ) = 2 ,其中 为虚数单位,则复数 的模| | =( )A. 1 B. 2 C. 2 D. 2 23.已知两个不同的平面 , 和两条不同的直线 , 满足 , ,则“ , 平行”是“ , 不相交”的( )A.充要条件 B.充分非必要条件 C.必要非充分条件 D.既不充分也不必要条件4.已知直线 + = 0 与圆 : 2 + 2 = 2 相交于 , 两点,且△ 为等腰直角三角形,则实数 的值为( )A. ± 22 B. ±1 C. ± 2 D. ±25.已知 ∈ ( 2 3 , ), sin( 6 ) =4 5,则 tan( + 3 ) =( )A. 43 B. 3 4 34 C. 3 D. 46.如图,在梯形 中, // , ⊥ ,∠ = 4, = 2 = 4, 为线段 的中点,先将梯形挖去一个以 为直径的半圆,再将所得平面图形以线段 的垂直平分线为旋转轴旋转一周,则所得几何体的体积为( )A. 8 B. 22 3 C. 7 D. 6 7.已知 = (1,2,3), = (2,1,2), = (1,1,2), 为坐标原点,点 在直线 上运动,则当 取得最小值时,点 的坐标为( )A. ( 1 , 3 , 1 ) B. ( 1 , 3 , 3 ) C. ( 4 , 4 , 8 ) D. ( 4 , 4 , 72 4 3 2 2 4 3 3 3 3 3 3 )2 28.已知点 是双曲线 | |+| |: = 1 上的动点, 1, 2分别是双曲线 的左、右焦点 为坐标原点,则1 28 4 | |的取值范围是( )A. [0,6] B. (2, 6]C. ( 1 , 6 62 2 ] D. [0, 2 ]第 1页,共 10页二、多选题:本题共 3 小题,共 18 分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。9 .如图是函数 ( ) = 2 ( + )( > 0, | | < 2 )的部分图象,下列说法正确的是( )A.函数 ( )的周期是 B. ( 5 点 12 , 0)是函数 ( )图象的一个对称中心C. 2025 直线 = 4 是函数 ( )图象的一条对称轴D. 将函数 ( )的图象向右平移6个单位长度后,所得图象对应的函数是偶函数10.关于空间向量,以下说法正确的是( )A.若对空间中任意一点 ,有 = 1 + 1 + 1 2 3 4 ,则 、 、 、 四点共面B.已知两个向量 = (1, , 3), = (5, 1, ),且 // ,则 = 3C.若 ⊥ ,且 = ( 1, 1, 1), = ( 2, 2, 2),则 1 2 + 1 2 + 1 2 = 0D.点 (3,2,1)关于平面 对称的点的坐标是( 3,2,1)11.设 为坐标原点,直线 = 3( 1)过抛物线 : 2 = 2 ( > 0)的焦点,且与 交于 , 两点, 为 的准线,则( )A. = 2 B. | | = 83C.以 为直径的圆与 相切 D. △ 为等腰三角形三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分。12.已用 = ( 1,2,1), = ( 2, 2,4),则 在 方向上的投影向量为______.2 213 .已知椭圆 : 2 + 2 = 1( > > 0)1的离心率为2,其左、右焦点分别为 1, 2,上顶点为 ,且△ 1 23内切圆的半径为 3 ,则椭圆 的方程为______.14.在正方体 1 1 1 1中, 为 1 1的中点, 为底面 上一动点, 与底面 所成的角为 ,若 = 3 12 ,且该正方体的外接球的体积为 4 3 ,则动点 的轨迹长度为______.四、解答题:本题共 5 小题,共 77 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。15.(本小题 13 分)如图,在平面四边形 中, ⊥ , 为线段 的中点, = = 2,∠ = 3.第 2页,共 10页(1) ∠ = 2 若 3,求△ 的面积;(2)若 = 2 2,求 .16.(本小题 15 分)已知抛物线 : 2 = 2 ( > 0)的焦点为 (2,0).(1)求 的方程;(2) 1 1若过点 (4,0)的直线 与抛物线 交于 , 两点.| |2 + | |2是否为定值?若为定值,求出此定值;若不为定值,请说明理由.17.(本小题 15 分)如图所示,在四棱锥 中, ⊥平面 , ⊥ , // , = = 2, = 4.(1)求证:平面 ⊥平面 ;(2)若异面直线 和 所成角为3,求点 到平面 的距离.18.(本小题 17 分) 2 2已知椭圆 : 2 + 2 = 1( > > 0)的焦点和短轴顶点构成边长为 2 的正方形.(1)求椭圆 的标准方程和离心率;(2)过点(0, 1)的动直线与椭圆 有两个交点 , .在 轴上是否存在点 使得 ≤ 0 恒成立.若存在,求出这个 点纵坐标的取值范围,若不存在,请说明理由.19.(本小题 17 分)如图,在多面体 中,四边形 为直角梯形,且满足 ⊥ , / / , = = = =第 3页,共 10页2 = 2, // , ⊥平面 .(1)证明: ⊥平面 ;(2)求平面 与平面 夹角的余弦值;(3)在线段 上是否存在一点 ,使得直线 与平面 8 85 所成角的正弦值为 85 ?若存在,求 的值;若不存在,说明理由.第 4页,共 10页参考答案1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12.( 1 , 2 , 13 3 3 )2 213. 4 + 3 = 114.4 3915.解:(1)过点 作 ⊥ ,垂足为 ,由 ⊥ ,得 / / ,在四边形 2 中,由∠ = 3 , ∠ = 3,得 / / ,所以四边形 是平行四边形, 所以 = = 2, = sin =4 33 , =1 2 33 2 = 3 ,所以△ 的面积为 = 12 sin∠ =12 × 2 ×2 3 3 ;3 × 2 = 1(2)连接 ,第 5页,共 10页因为 = = 2, ⊥ ,所以 = 2 2, ∠ = 4,在△ 中,由 = = 2 2,得∠ = ∠ = 3,所以△ 为等边三角形, = = 2 2, = 12 = 2,∠ = ∠ + ∠ =7 12,在△ 中,由余弦定理,可得 = 2 + 2 2 ∠ = 4 + 2 + 2 × 2 × 2 × 6 2 .4 = 3 + 116. (1) 解: 易知抛物线 的焦点为( 2 , 0), 所以2 = 2,解得 = 4,则抛物线 的方程为 2 = 8 ;(2)易知直线斜率不为 0,设直线 的方程为 = + 4, ( 1, 1), ( 2, 2), = + 4联立 2 = 8 ,消去 并整理得 2 8 32 = 0,此时 = 64( 2 + 2) > 0,由韦达定理得 1 + 2 = 8 , 1 2 = 32,因为| | = 1 + 2| 1|,| | = 1 + 2| 2|,1 + 1 1 1 1 2+ 2 1 ( + )2 2 所以 1 2 1 2 1 2| |2 | |2 = + = × = ×(1+ 2) 2 2 2 2 2 2 2 2 21 (1+ ) 2 1+ 1 2 1+ 1 21 64(1+ 2= × ) 11+ 2 32×32 = 16.1 1 1则| |2 + | |2为定值,定值为16.17.(1)证明:取 的中点 ,连接 ,第 6页,共 10页∵ = 4 1,∴ = = 2 = 2,∵ / / , = 2,∴ // 且 = ,∴四边形 是平行四边形,∴ = = 2, // ,∵ ⊥ ,∴ ⊥ , ⊥ ,∴ = 2 + 2 = 2 2, = 2 + 2 = 2 2,∴ 2 + 2 = 2,即 ⊥ ,∵ ⊥平面 , 平面 ,∴ ⊥ ,又 ∩ = , 平面 , 平面 ,∴ ⊥平面 ,∵ 平面 ,∴平面 ⊥平面 .(2)解:连接 , , ,由(1)可知 // , = ,∴四边形 是平行四边形,∴ // ,且 = ,∴ ∠ 是异面直线 和 所成角,即∠ = 3,设 = ( > 0),∵ = = 2,∴ = = 2 + 4,∴△ 是等边三角形,而 = = 2 2,∴ 2 + 4 = 2 2,解得 = 2,即 = 2,∵ = 2 2, ⊥ ,∴ = 2 + 2 = 2 3,由(1)知, ⊥平面 ,∴ ⊥ ,∴ 1 1△ = 2 = 2 2 2 2 3 = 2 6, △ =12 =12 2 2 = 2,设点 到平面 的距离为 ,∴ = ,∴ 13 1△ = 3 △ , = 所以 △ =2 2 = 6,△ 2 6 36即点 到平面 的距离为 3 .第 7页,共 10页18.解:(1)因为椭圆 的焦点和短轴端点构成边长为 2 的正方形,所以 = = 2,所以 = 2 + 2 = 2,2 2因此 的标准方程为 4 + 2 = 1, = 2所以 = 2 .(2)设 点的坐标为(0, ),①如果过点(0, 1)的动直线的斜率存在,则可设该直线方程为 = 1,设 ( 1, 1), ( 2, 2), 2 + 2 2 = 4由 = 1 可得(2 2 + 1) 2 4 2 = 0,所以 = 16 2 + 8(2 2 + 1) > 0, + 4 1 2 = 2 2+1 , 1 22 = 2 2+1,而 = ( 1, 1 1 ), = ( 2, 2 1 ),所以 = 1 2 + ( 1 1 )( 2 1 ),= (1 + 2) 21 2 ( + 1)( 1 + 2) + ( + 1)= (1 + 2) ( 2 4 22 2+1 ) ( + 1) 2 2+1 + ( + 1)= 2( 2 2) 2+( +1)2 22 2+1 ,2因为 ≤ 0 2 ≤ 0恒成立,故 ( + 1)2 2 ≤ 0,解得 2 ≤ ≤ 2 1;②如果过点(0, 1)的动直线的斜率不存在,那么 (0, 2), (0, 2)或 (0, 2), (0, 2),此时只需 2 ≤ ≤ 2.由①②可知, 2 ≤ ≤ 2 1,所以存在 (0, )( 2 ≤ ≤ 2 1),使得 ≤ 0 恒成立.19.解:(1)证明:因为 / / 且 = ,所以四边形 为平行四边形,又 = ,所以四边形 为菱形,所以 ⊥ .因为 ⊥平面 , 平面 ,所以 ⊥ ,又 ⊥ , , 平面 , ∩ = ,第 8页,共 10页所以 ⊥平面 ,又 平面 ,所以 ⊥ ,又 ⊥ , , 平面 , ∩ = ,所以 ⊥平面 .(2)因为 ⊥平面 , 平面 ,所以 ⊥ ,又 ⊥ , ⊥ ,以 为原点,分别以 , , 的方向为 轴, 轴, 轴的正方向建立空间直角坐标系如图所示,则 (0,0,0), (2,0,0), (1,2,0), (0,0,2), (2,0,2),所以 = ( 1,2,0), = (0,0,2), = ( 1,2, 2), = (2,0,2), = ( 2,0,2),由(1)知平面 的法向量为 = = ( 2,0,2),设平面 的法向量为 = ( , , ),