江西省宜春市丰城九中日新班2024-2025学年高一下学期期中数学试卷(图片版,含答案)

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江西省宜春市丰城九中日新班2024-2025学年高一下学期期中数学试卷(图片版,含答案)

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2024-2025 学年江西省宜春市丰城九中日新班高一(下)期中考试
数学试卷
一、单选题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = {1,2,3,4,5}, = { | = 2 , ∈ },则 ∩ =( )
A. {2,4} B. {3,4} C. {1,3,5} D. {2,4,6,8,10}
2.已知复数 满足 (1 + ) = 2 ,其中 为虚数单位,则复数 的模| | =( )
A. 1 B. 2 C. 2 D. 2 2
3.已知两个不同的平面 , 和两条不同的直线 , 满足 , ,则“ , 平行”是“ , 不相交”
的( )
A.充要条件 B.充分非必要条件 C.必要非充分条件 D.既不充分也不必要条件
4.已知直线 + = 0 与圆 : 2 + 2 = 2 相交于 , 两点,且△ 为等腰直角三角形,则实数
的值为( )
A. ± 22 B. ±1 C. ± 2 D. ±2
5.已知 ∈ ( 2 3 , ), sin(

6 ) =
4
5,则 tan( + 3 ) =( )
A. 43 B.
3 4 3
4 C. 3 D. 4
6.如图,在梯形 中, // , ⊥ ,∠ = 4, = 2 = 4, 为线段
的中点,先将梯形挖去一个以 为直径的半圆,再将所得平面图形以线段 的垂直
平分线为旋转轴旋转一周,则所得几何体的体积为( )
A. 8 B. 22 3 C. 7 D. 6
7.已知 = (1,2,3), = (2,1,2), = (1,1,2), 为坐标原点,点 在直线 上运动,则当 取得
最小值时,点 的坐标为( )
A. ( 1 , 3 , 1 ) B. ( 1 , 3 , 3 ) C. ( 4 , 4 , 8 ) D. ( 4 , 4 , 72 4 3 2 2 4 3 3 3 3 3 3 )
2 2
8.已知点 是双曲线 | |+| |: = 1 上的动点, 1, 2分别是双曲线 的左、右焦点 为坐标原点,则
1 2
8 4 | |
的取值范围是( )
A. [0,6] B. (2, 6]
C. ( 1 , 6 62 2 ] D. [0, 2 ]
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二、多选题:本题共 3 小题,共 18 分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。
9 .如图是函数 ( ) = 2 ( + )( > 0, | | < 2 )的部分图象,下列说法正
确的是( )
A.函数 ( )的周期是
B. ( 5 点 12 , 0)是函数 ( )图象的一个对称中心
C. 2025 直线 = 4 是函数 ( )图象的一条对称轴
D. 将函数 ( )的图象向右平移6个单位长度后,所得图象对应的函数是偶函数
10.关于空间向量,以下说法正确的是( )
A.若对空间中任意一点 ,有 = 1 + 1 + 1 2 3 4 ,则 、 、 、 四点共面
B.已知两个向量 = (1, , 3), = (5, 1, ),且 // ,则 = 3
C.若 ⊥ ,且 = ( 1, 1, 1), = ( 2, 2, 2),则 1 2 + 1 2 + 1 2 = 0
D.点 (3,2,1)关于平面 对称的点的坐标是( 3,2,1)
11.设 为坐标原点,直线 = 3( 1)过抛物线 : 2 = 2 ( > 0)的焦点,且与 交于 , 两点,
为 的准线,则( )
A. = 2 B. | | = 83
C.以 为直径的圆与 相切 D. △ 为等腰三角形
三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分。
12.已用 = ( 1,2,1), = ( 2, 2,4),则 在 方向上的投影向量为______.
2 2
13 .已知椭圆 : 2 + 2 = 1( > > 0)
1
的离心率为2,其左、右焦点分别为 1, 2,上顶点为 ,且△ 1 2
3
内切圆的半径为 3 ,则椭圆 的方程为______.
14.在正方体 1 1 1 1中, 为 1 1的中点, 为底面 上一动点, 与底面 所成的角为 ,
若 = 3 12 ,且该正方体的外接球的体积为 4 3 ,则动点 的轨迹长度为______.
四、解答题:本题共 5 小题,共 77 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
如图,在平面四边形 中, ⊥ , 为线段 的中点, = = 2,∠ = 3.
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(1) ∠ = 2 若 3,求△ 的面积;
(2)若 = 2 2,求 .
16.(本小题 15 分)
已知抛物线 : 2 = 2 ( > 0)的焦点为 (2,0).
(1)求 的方程;
(2) 1 1若过点 (4,0)的直线 与抛物线 交于 , 两点.| |2 + | |2是否为定值?若为定值,求出此定值;若
不为定值,请说明理由.
17.(本小题 15 分)
如图所示,在四棱锥 中, ⊥平面 , ⊥ , // , = = 2, = 4.
(1)求证:平面 ⊥平面 ;
(2)若异面直线 和 所成角为3,求点 到平面 的距离.
18.(本小题 17 分)
2 2
已知椭圆 : 2 + 2 = 1( > > 0)的焦点和短轴顶点构成边长为 2 的正方形.
(1)求椭圆 的标准方程和离心率;
(2)过点(0, 1)的动直线与椭圆 有两个交点 , .在 轴上是否存在点 使得 ≤ 0 恒成立.若存在,求
出这个 点纵坐标的取值范围,若不存在,请说明理由.
19.(本小题 17 分)
如图,在多面体 中,四边形 为直角梯形,且满足 ⊥ , / / , = = = =
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2 = 2, // , ⊥平面 .
(1)证明: ⊥平面 ;
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值;
(3)在线段 上是否存在一点 ,使得直线 与平面 8 85 所成角的正弦值为 85 ?若存在,求 的值;若不
存在,说明理由.
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.( 1 , 2 , 13 3 3 )
2 2
13. 4 +

3 = 1
14.4 39
15.解:(1)过点 作 ⊥ ,垂足为 ,
由 ⊥ ,得 / / ,
在四边形 2 中,由∠ = 3 , ∠ = 3,得 / / ,
所以四边形 是平行四边形,

所以 = = 2, = sin =
4 3
3 , =
1 2 3
3 2
= 3 ,
所以△ 的面积为 = 12 sin∠ =
1
2 × 2 ×
2 3 3 ;
3 × 2 = 1
(2)连接 ,
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因为 = = 2, ⊥ ,
所以 = 2 2, ∠ = 4,
在△ 中,由 = = 2 2,得∠ = ∠ =

3,
所以△ 为等边三角形, = = 2 2,
= 12 = 2,∠ = ∠ + ∠ =
7
12,
在△ 中,由余弦定理,
可得 = 2 + 2 2 ∠
= 4 + 2 + 2 × 2 × 2 × 6 2 .4 = 3 + 1
16. (1) 解: 易知抛物线 的焦点为( 2 , 0),

所以2 = 2,
解得 = 4,
则抛物线 的方程为 2 = 8 ;
(2)易知直线斜率不为 0,
设直线 的方程为 = + 4, ( 1, 1), ( 2, 2),
= + 4
联立 2 = 8 ,消去 并整理得
2 8 32 = 0,
此时 = 64( 2 + 2) > 0,
由韦达定理得 1 + 2 = 8 , 1 2 = 32,
因为| | = 1 + 2| 1|,| | = 1 + 2| 2|,
1 + 1 1 1 1
2+ 2 1 ( + )2 2
所以 1 2 1 2 1 2| |2 | |2 = + = × = ×(1+ 2) 2 2 2 2 2 2 2 2 21 (1+ ) 2 1+ 1 2 1+ 1 2
1 64(1+ 2= × ) 11+ 2 32×32 = 16.
1 1 1
则| |2 + | |2为定值,定值为16.
17.(1)证明:取 的中点 ,连接 ,
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∵ = 4 1,∴ = = 2 = 2,
∵ / / , = 2,∴ // 且 = ,
∴四边形 是平行四边形,∴ = = 2, // ,
∵ ⊥ ,∴ ⊥ , ⊥ ,
∴ = 2 + 2 = 2 2, = 2 + 2 = 2 2,
∴ 2 + 2 = 2,即 ⊥ ,
∵ ⊥平面 , 平面 ,∴ ⊥ ,
又 ∩ = , 平面 , 平面 ,∴ ⊥平面 ,
∵ 平面 ,∴平面 ⊥平面 .
(2)解:连接 , , ,
由(1)可知 // , = ,∴四边形 是平行四边形,
∴ // ,且 = ,
∴ ∠ 是异面直线 和 所成角,即∠ = 3,
设 = ( > 0),
∵ = = 2,∴ = = 2 + 4,∴△ 是等边三角形,
而 = = 2 2,
∴ 2 + 4 = 2 2,解得 = 2,即 = 2,
∵ = 2 2, ⊥ ,∴ = 2 + 2 = 2 3,
由(1)知, ⊥平面 ,∴ ⊥ ,
∴ 1 1△ = 2 = 2 2 2 2 3 = 2 6,
△ =
1
2 =
1
2 2 2 = 2,
设点 到平面 的距离为 ,
∴ = ,
∴ 13
1
△ = 3 △ ,
= 所以 △ =
2 2 = 6,
△ 2 6 3
6
即点 到平面 的距离为 3 .
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18.解:(1)因为椭圆 的焦点和短轴端点构成边长为 2 的正方形,
所以 = = 2,
所以 = 2 + 2 = 2,
2 2
因此 的标准方程为 4 + 2 = 1,
= 2所以 = 2 .
(2)设 点的坐标为(0, ),
①如果过点(0, 1)的动直线的斜率存在,则可设该直线方程为 = 1,
设 ( 1, 1), ( 2, 2),
2 + 2 2 = 4
由 = 1 可得(2
2 + 1) 2 4 2 = 0,
所以 = 16 2 + 8(2 2 + 1) > 0,
+ 4 1 2 = 2 2+1 , 1
2
2 = 2 2+1,
而 = ( 1, 1 1 ), = ( 2, 2 1 ),
所以 = 1 2 + ( 1 1 )( 2 1 ),
= (1 + 2) 21 2 ( + 1)( 1 + 2) + ( + 1)
= (1 + 2) ( 2 4 22 2+1 ) ( + 1) 2 2+1 + ( + 1)
= 2(
2 2) 2+( +1)2 2
2 2+1 ,
2
因为 ≤ 0 2 ≤ 0恒成立,故 ( + 1)2 2 ≤ 0,
解得 2 ≤ ≤ 2 1;
②如果过点(0, 1)的动直线的斜率不存在,
那么 (0, 2), (0, 2)或 (0, 2), (0, 2),
此时只需 2 ≤ ≤ 2.
由①②可知, 2 ≤ ≤ 2 1,
所以存在 (0, )( 2 ≤ ≤ 2 1),使得 ≤ 0 恒成立.
19.解:(1)证明:因为 / / 且 = ,所以四边形 为平行四边形,
又 = ,所以四边形 为菱形,所以 ⊥ .
因为 ⊥平面 , 平面 ,所以 ⊥ ,
又 ⊥ , , 平面 , ∩ = ,
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所以 ⊥平面 ,
又 平面 ,所以 ⊥ ,
又 ⊥ , , 平面 , ∩ = ,
所以 ⊥平面 .
(2)因为 ⊥平面 , 平面 ,所以 ⊥ ,
又 ⊥ , ⊥ ,
以 为原点,分别以 , , 的方向为 轴, 轴, 轴的正方向建立空间直角坐标系如图所示,
则 (0,0,0), (2,0,0), (1,2,0), (0,0,2), (2,0,2),
所以 = ( 1,2,0), = (0,0,2), = ( 1,2, 2), = (2,0,2), = ( 2,0,2),
由(1)知平面 的法向量为 = = ( 2,0,2),
设平面 的法向量为 = ( , , ),
⊥ = + 2 = 0则 ,则 ,
⊥ = 2 = 0
令 = 1,得 = 2, = 0,所以 = (2,1,0).
|cos , | = | | = 4 10故 | || | 2 2× 5 = 5 ,
10
平面 与平面 夹角的余弦值为 5 ;
(3) 8 85假设线段 上存在点 ,使得直线 与平面 所成角的正弦值为 85 ,
设 = = ( , 2 , 2 )(0 ≤ ≤ 1), = + = (2 , 2 , 2 2 ),

|cos < , > | = |
| |(2,1,0) (2 ,2 ,2 2 )|

| ||
=
| 4+1 (2 )2+4 2+(2 2 )2
= 4 = 8 85,
5 9 2 12 +8 85
= 1 5解得 2或 = 6,
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1 5
所以线段 上存在点 ,当 = 2或 = 6时,
8 85
使得直线 与平面 所成角的正弦值为 85 .
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