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2024-2025 学年江西省宜春市丰城九中日新班高一（下）期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = {1,2,3,4,5}， = { | = 2 , ∈ }，则 ∩ =( )
A. {2,4} B. {3,4} C. {1,3,5} D. {2,4,6,8,10}
2.已知复数 满足 (1 + ) = 2 ，其中 为虚数单位，则复数 的模| | =( )
A. 1 B. 2 C. 2 D. 2 2
3.已知两个不同的平面 ， 和两条不同的直线 ， 满足 ， ，则“ ， 平行”是“ ， 不相交”
的( )
A.充要条件 B.充分非必要条件 C.必要非充分条件 D.既不充分也不必要条件
4.已知直线 + = 0 与圆 ： 2 + 2 = 2 相交于 ， 两点，且△ 为等腰直角三角形，则实数
的值为( )
A. ± 22 B. ±1 C. ± 2 D. ±2
5.已知 ∈ ( 2 3 , ), sin(

6 ) =
4
5，则 tan( + 3 ) =( )
A. 43 B.
3 4 3
4 C. 3 D. 4
6.如图，在梯形 中， // ， ⊥ ，∠ = 4， = 2 = 4， 为线段
的中点，先将梯形挖去一个以 为直径的半圆，再将所得平面图形以线段 的垂直
平分线为旋转轴旋转一周，则所得几何体的体积为( )
A. 8 B. 22 3 C. 7 D. 6
7.已知 = (1,2,3)， = (2,1,2)， = (1,1,2)， 为坐标原点，点 在直线 上运动，则当 取得
最小值时，点 的坐标为( )
A. ( 1 , 3 , 1 ) B. ( 1 , 3 , 3 ) C. ( 4 , 4 , 8 ) D. ( 4 , 4 , 72 4 3 2 2 4 3 3 3 3 3 3 )
2 2
8.已知点 是双曲线 | |+| |： = 1 上的动点， 1， 2分别是双曲线 的左、右焦点 为坐标原点，则
1 2
8 4 | |
的取值范围是( )
A. [0,6] B. (2, 6]
C. ( 1 , 6 62 2 ] D. [0, 2 ]
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二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9 .如图是函数 ( ) = 2 ( + )( > 0, | | < 2 )的部分图象，下列说法正
确的是( )
A.函数 ( )的周期是
B. ( 5 点 12 , 0)是函数 ( )图象的一个对称中心
C. 2025 直线 = 4 是函数 ( )图象的一条对称轴
D. 将函数 ( )的图象向右平移6个单位长度后，所得图象对应的函数是偶函数
10.关于空间向量，以下说法正确的是( )
A.若对空间中任意一点 ，有 = 1 + 1 + 1 2 3 4 ，则 、 、 、 四点共面
B.已知两个向量 = (1, , 3)， = (5, 1, )，且 // ，则 = 3
C.若 ⊥ ，且 = ( 1, 1, 1)， = ( 2, 2, 2)，则 1 2 + 1 2 + 1 2 = 0
D.点 (3,2,1)关于平面 对称的点的坐标是( 3,2,1)
11.设 为坐标原点，直线 = 3( 1)过抛物线 ： 2 = 2 ( > 0)的焦点，且与 交于 ， 两点，
为 的准线，则( )
A. = 2 B. | | = 83
C.以 为直径的圆与 相切 D. △ 为等腰三角形
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已用 = ( 1,2,1)， = ( 2, 2,4)，则 在 方向上的投影向量为______．
2 2
13 .已知椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)
1
的离心率为2，其左、右焦点分别为 1， 2，上顶点为 ，且△ 1 2
3
内切圆的半径为 3 ，则椭圆 的方程为______．
14.在正方体 1 1 1 1中， 为 1 1的中点， 为底面 上一动点， 与底面 所成的角为 ，
若 = 3 12 ，且该正方体的外接球的体积为 4 3 ，则动点 的轨迹长度为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
如图，在平面四边形 中， ⊥ ， 为线段 的中点， = = 2，∠ = 3．
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(1) ∠ = 2 若 3，求△ 的面积；
(2)若 = 2 2，求 ．
16.(本小题 15 分)
已知抛物线 ： 2 = 2 ( > 0)的焦点为 (2,0)．
(1)求 的方程；
(2) 1 1若过点 (4,0)的直线 与抛物线 交于 ， 两点．| |2 + | |2是否为定值？若为定值，求出此定值；若
不为定值，请说明理由．
17.(本小题 15 分)
如图所示，在四棱锥 中， ⊥平面 ， ⊥ ， // ， = = 2， = 4．
(1)求证：平面 ⊥平面 ；
(2)若异面直线 和 所成角为3，求点 到平面 的距离．
18.(本小题 17 分)
2 2
已知椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)的焦点和短轴顶点构成边长为 2 的正方形．
(1)求椭圆 的标准方程和离心率；
(2)过点(0, 1)的动直线与椭圆 有两个交点 ， .在 轴上是否存在点 使得 ≤ 0 恒成立.若存在，求
出这个 点纵坐标的取值范围，若不存在，请说明理由．
19.(本小题 17 分)
如图，在多面体 中，四边形 为直角梯形，且满足 ⊥ ， / / ， = = = =
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2 = 2， // ， ⊥平面 ．
(1)证明： ⊥平面 ；
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值；
(3)在线段 上是否存在一点 ，使得直线 与平面 8 85 所成角的正弦值为 85 ？若存在，求 的值；若不
存在，说明理由．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.( 1 , 2 , 13 3 3 )
2 2
13. 4 +

3 = 1
14.4 39
15.解：(1)过点 作 ⊥ ，垂足为 ，
由 ⊥ ，得 / / ，
在四边形 2 中，由∠ = 3 , ∠ = 3，得 / / ，
所以四边形 是平行四边形，

所以 = = 2， = sin =
4 3
3 , =
1 2 3
3 2
= 3 ，
所以△ 的面积为 = 12 sin∠ =
1
2 × 2 ×
2 3 3 ；
3 × 2 = 1
(2)连接 ，
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因为 = = 2， ⊥ ，
所以 = 2 2, ∠ = 4，
在△ 中，由 = = 2 2，得∠ = ∠ =

3，
所以△ 为等边三角形， = = 2 2，
= 12 = 2，∠ = ∠ + ∠ =
7
12，
在△ 中，由余弦定理，
可得 = 2 + 2 2 ∠
= 4 + 2 + 2 × 2 × 2 × 6 2 ．4 = 3 + 1
16. (1) 解： 易知抛物线 的焦点为( 2 , 0)，

所以2 = 2，
解得 = 4，
则抛物线 的方程为 2 = 8 ；
(2)易知直线斜率不为 0，
设直线 的方程为 = + 4， ( 1, 1)， ( 2, 2)，
= + 4
联立 2 = 8 ，消去 并整理得
2 8 32 = 0，
此时 = 64( 2 + 2) > 0，
由韦达定理得 1 + 2 = 8 ， 1 2 = 32，
因为| | = 1 + 2| 1|，| | = 1 + 2| 2|，
1 + 1 1 1 1
2+ 2 1 ( + )2 2
所以 1 2 1 2 1 2| |2 | |2 = + = × = ×(1+ 2) 2 2 2 2 2 2 2 2 21 (1+ ) 2 1+ 1 2 1+ 1 2
1 64(1+ 2= × ) 11+ 2 32×32 = 16．
1 1 1
则| |2 + | |2为定值，定值为16．
17.(1)证明：取 的中点 ，连接 ，
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∵ = 4 1，∴ = = 2 = 2，
∵ / / ， = 2，∴ // 且 = ，
∴四边形 是平行四边形，∴ = = 2， // ，
∵ ⊥ ，∴ ⊥ ， ⊥ ，
∴ = 2 + 2 = 2 2， = 2 + 2 = 2 2，
∴ 2 + 2 = 2，即 ⊥ ，
∵ ⊥平面 ， 平面 ，∴ ⊥ ，
又 ∩ = ， 平面 ， 平面 ，∴ ⊥平面 ，
∵ 平面 ，∴平面 ⊥平面 ．
(2)解：连接 ， ， ，
由(1)可知 // ， = ，∴四边形 是平行四边形，
∴ // ，且 = ，
∴ ∠ 是异面直线 和 所成角，即∠ = 3，
设 = ( > 0)，
∵ = = 2，∴ = = 2 + 4，∴△ 是等边三角形，
而 = = 2 2，
∴ 2 + 4 = 2 2，解得 = 2，即 = 2，
∵ = 2 2， ⊥ ，∴ = 2 + 2 = 2 3，
由(1)知， ⊥平面 ，∴ ⊥ ，
∴ 1 1△ = 2 = 2 2 2 2 3 = 2 6，
△ =
1
2 =
1
2 2 2 = 2，
设点 到平面 的距离为 ，
∴ = ，
∴ 13
1
△ = 3 △ ，
= 所以 △ =
2 2 = 6，
△ 2 6 3
6
即点 到平面 的距离为 3 ．
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18.解：(1)因为椭圆 的焦点和短轴端点构成边长为 2 的正方形，
所以 = = 2，
所以 = 2 + 2 = 2，
2 2
因此 的标准方程为 4 + 2 = 1，
= 2所以 = 2 ．
(2)设 点的坐标为(0, )，
①如果过点(0, 1)的动直线的斜率存在，则可设该直线方程为 = 1，
设 ( 1, 1)， ( 2, 2)，
2 + 2 2 = 4
由 = 1 可得(2
2 + 1) 2 4 2 = 0，
所以 = 16 2 + 8(2 2 + 1) > 0，
+ 4 1 2 = 2 2+1 , 1
2
2 = 2 2+1，
而 = ( 1, 1 1 ), = ( 2, 2 1 )，
所以 = 1 2 + ( 1 1 )( 2 1 )，
= (1 + 2) 21 2 ( + 1)( 1 + 2) + ( + 1)
= (1 + 2) ( 2 4 22 2+1 ) ( + 1) 2 2+1 + ( + 1)
= 2(
2 2) 2+( +1)2 2
2 2+1 ，
2
因为 ≤ 0 2 ≤ 0恒成立，故 ( + 1)2 2 ≤ 0，
解得 2 ≤ ≤ 2 1；
②如果过点(0, 1)的动直线的斜率不存在，
那么 (0, 2), (0, 2)或 (0, 2), (0, 2)，
此时只需 2 ≤ ≤ 2．
由①②可知， 2 ≤ ≤ 2 1，
所以存在 (0, )( 2 ≤ ≤ 2 1)，使得 ≤ 0 恒成立．
19.解：(1)证明：因为 / / 且 = ，所以四边形 为平行四边形，
又 = ，所以四边形 为菱形，所以 ⊥ ．
因为 ⊥平面 ， 平面 ，所以 ⊥ ，
又 ⊥ ， ， 平面 ， ∩ = ，
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所以 ⊥平面 ，
又 平面 ，所以 ⊥ ，
又 ⊥ ， ， 平面 ， ∩ = ，
所以 ⊥平面 ．
(2)因为 ⊥平面 ， 平面 ，所以 ⊥ ，
又 ⊥ ， ⊥ ，
以 为原点，分别以 , , 的方向为 轴， 轴， 轴的正方向建立空间直角坐标系如图所示，
则 (0,0,0)， (2,0,0)， (1,2,0)， (0,0,2)， (2,0,2)，
所以 = ( 1,2,0), = (0,0,2), = ( 1,2, 2), = (2,0,2), = ( 2,0,2)，
由(1)知平面 的法向量为 = = ( 2,0,2)，
设平面 的法向量为 = ( , , )，
⊥ = + 2 = 0则 ，则 ，
⊥ = 2 = 0
令 = 1，得 = 2， = 0，所以 = (2,1,0)．
|cos , | = | | = 4 10故 | || | 2 2× 5 = 5 ，
10
平面 与平面 夹角的余弦值为 5 ；
(3) 8 85假设线段 上存在点 ，使得直线 与平面 所成角的正弦值为 85 ，
设 = = ( , 2 , 2 )(0 ≤ ≤ 1), = + = (2 , 2 , 2 2 )，

|cos < , > | = |
| |(2,1,0) (2 ,2 ,2 2 )|
则
| ||
=
| 4+1 (2 )2+4 2+(2 2 )2
= 4 = 8 85，
5 9 2 12 +8 85
= 1 5解得 2或 = 6，
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1 5
所以线段 上存在点 ，当 = 2或 = 6时，
8 85
使得直线 与平面 所成角的正弦值为 85 ．
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