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第6章 《反比例函数》 6.2 反比例函数的图象和性质（3）—浙教版数学八（下） 课堂达标测试
一、选择题（每题5分，共25分）
1． 如图， 正方形 的边长为 2 ， 反比例函数 的图象经过点 ， 则 的值是 (　　)
A．2 B．-2 C．4 D．-4
2．如图， 已知 为反比例函数 图象上的一点， 且 轴于点 分别交反比例函数 的图象于 两点， 则 的面积为(　　)
A．1 B．1.5 C．2 D．3
3．如图，两个反比例函数y=和y=在第一象限内 的图象分别是C1和C2，设点P在C1上，PA⊥x轴于A，交C2于点B，则△POB的面积为（　　）
A．1 B．2 C．4 D．无法计算
4．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点A在反比例函数的图象上，点D的坐标为(4，3).若将菱形ABCD沿x轴正方向平移，则当菱形的顶点D落在函数的图象上时，菱形ABCD沿x轴正方向平移的距离为（　　）
A．3 B．5 C． D．8
5．如图，A，B两点在反比例函数的图像上，分别过 A，B两点向坐标轴作垂线段，已知 S阴影=1 ，则 S +S 的值为 （　　）
A．2 B．3 C．4 D．6
二、填空题（每题5分，共25分）
6．（2025八下·宁波期中）如图，在平面直角坐标系中，函数的图象经过的斜边的中点，交于点.若点在轴上，点的坐标为（12，8），则的面积为　 　.
7．（2025八下·宁波开学考）如图，正方形ABCD的顶点A在第二象限的图象上，点B，C分别在轴，轴负半轴上，点在第一象限直线的图象上，若.则的值为　 　.
8．（2023八下·鄞州期末）如图，平面直角坐标系中，反比例函数在第一象限的图象上有一点，过点分别作轴和轴的平行线.若反比例函数的图象分别与交于点的面积为4，则的值是　 　.
9．如图所示，在平面直角坐标系中，菱形OABC的面积为12，点 在 轴上，点 在反比例函数 的图象上，则 的值为　 　.
10．（2024八下·衢州期末） 如图， 若点 在反比例函数 的一支图象上， 轴于点 ，则 的面积为　 　。
三、解答题（共5题，共50分）
11．（2024八下·义乌月考）已知反比例函数，点都在该反比例函数图象上．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）当时，直接写出y的取值范围；
（3）若经过的直线与y轴交于点C，求的面积．
12．（2024八下·西湖期末）在平面直角坐标系中，设反比例函数(为常数，)的图象与一次函数(，为常数，)的图象交于点，．
（1）求的值和一次函数表达式．
（2）当时，直接写出的取值范围．
（3）若点在函数的图象上，点先向左平移1个单位，再向下平移3个单位，得点，点恰好落在函数的图象上，求点的坐标．
13．（2024八下·上虞期末）如图，已知直线和反比例函数 的图象交于第一象限的，两点．
（1）填空∶当时，n=__________；直线的函数表达式为__________．
（2）若把点先向左平移3个单位，再向下平移6个单位后得到的点D也在反比例函数的图象上，试求m和n的值．
（3）直接写出满足 的的取值范围．
14．（2024八下·越城期末）如图， 一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于 两点， 与 轴交于点 .
（1）求反比例函数的表达式；
（2）当 时， 根据图象直接写出 的取值范围；
（3）设点 为第一象限内反比例函数图象上的点， 当 时， 求直线 的函数表达式.
15．（2024八下·北仑期末）如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于点 和点 ．
（1）求 的值；
（2）连结 ，求 的面积；
（3）根据图象，直接写出不等式 的解集．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式
【解析】【解答】解：∵正方形的边长为2，
∴点A的坐标为（-2，2），
将点A（-2，2）代入，
可得：k=-2×2=-4，
故答案为：D.
【分析】先利用正方形的性质及点坐标与象限的关系求出点A的坐标，再将点A的坐标代入求出k的值即可.
2．【答案】A
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：作CD⊥x轴，如图，
∵ PA⊥x轴，
∴ CD∥PA，
∴ △OCD∽△OPA，
∴，
∴，
∵ S△OPA=2，，
∴ S△AOC=1，
∴ S△PAC=S△AOP-S△AOC=2-1=1.
故答案为：A.
【分析】作CD⊥x轴，根据反比例函数的k的几何意义和相似三角形的判定与性质可求出，根据求出 S△AOC=1，再根据S△PAC=S△AOP-S△AOC即可求得.
3．【答案】A
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：S△POA==2，
S△BOA==1，
∴S△POB=S△POA-S△BOA=1，
故答案为：A.
【分析】根据反比例函数k的几何意义可知，S=，S△POB=S△POA-S△BOA，代入求解即可.
4．【答案】C
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；平移的性质
【解析】【解答】解：过点D作x轴的垂线，垂足为F，
∵点D的坐标为（4，3），
∴OF=4，DF=3，
∴OD=5，
∴AD=5，
∴点A坐标为（4，8），
∴k=xy=4×8=32，
∴反比例函数的解析式为：，
将菱形ABCD沿x轴正方向平移，使菱形的顶点D落在函数的图象D 处，过D 作D F ⊥x轴，
∵DF=3，∴D F =DF=3，
而点D 在的图象上，
∴，解得：，
∴FF =-4=.
故菱形ABCD沿x轴正方向平移的距离为.
故答案为：C.
【分析】过点D作x轴的垂线，垂足为F，由题意用待定系数法可求得反比例函数的解析式，将菱形ABCD沿x轴正方向平移，使菱形的顶点D落在函数的图象D 处，过D 作D F ⊥x轴，根据平移的性质并结合点在图象上的特征可求解.
5．【答案】D
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：∵ A，B两点在反比例函数的图象上， 分别过 A，B两点向坐标轴作垂线段，
∴S1+S阴影=4，S2+S阴影=4，
∵S阴影=1，
∴S1=3，S2=3，
∴S1+S2=6.
故答案为：D.
【分析】根据反比例函数k的几何意义可得S1+S阴影=4，S2+S阴影=4，进而结合S阴影=1，可求出S1=3，S2=3，从而此题得解.
6．【答案】12
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点A的坐标为(12，8)， 而点D为OA的中点，
∴D点坐标为(6，4)，
把D(6，4)代入 得
∴反比例函数的解析式为
的面积
故答案为： 12.
【分析】由于点A的坐标为(12，8)，而点D为OA的中点，则D点坐标为(6，4)，利用待定系数法可得到 然后利用k的几何意义即可得到 的面积 .
7．【答案】
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数系数k的几何意义；正方形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：如图，作，轴，
设，
，
四边形ABCD是正方形，
，
，
，
，
，
，，
，，
，
，
同理可得，
，
，，
，
.
故答案为：.
【分析】 设，则，先利用正方形的性质通过ASA判定，进而证得，再通过求得，，然后由反比例函数比例系数的几何意义求得k的值.
8．【答案】6或-2
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；三角形的面积
【解析】【解答】解：设点A的坐标为（x0，），
由题意得，点B的坐标为（，），
点C的坐标为（x0，），AB=x0-kx02，AC=2x0-kx0，
∵S ABC=4 ，S ABC=12×AB×AC=12×x0-kx02×2x0-kx0，
∴12×x0-kx02×2x0-kx0=4，
解得k=6或k=-2.
故答案为：6或-2
【分析】先设点A的坐标为（x0，），根据题意，分别列出点B的坐标（，）和点C的坐标（x0，），表示出AB的长度x0-kx02 和AC的长度2x0-kx0 ，根据三角形的面积公式即可求出答案.
9．【答案】-6
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；菱形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接AC交y轴于点D，
∵菱形OABC，
∴AC⊥OB，且CD=AD=AC，BD=OD=BO，
∵菱形OABC面积为12，
∴AC·BO=24，
∴CD·OD=6，
∴=6，
又∵反比例函数图象位于第二象限，
∴k＜0，即k=-6.
故答案为：-6.
【分析】连接AC交y轴于点D，由菱形性质得AC⊥OB，且CD=AD=AC，BD=OD=BO，再由菱形面积为12，可得AC·BO=24，进而推出CD·OD=6，再结合反比例函数k的几何意义及图象位于第二象限，即可求出k的值.
10．【答案】1.5
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：∵|k|=|-3|=3，AM⊥x
∴.
故答案为：1.5.
【分析】】根据过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即，即可求解.
11．【答案】（1）解：∵点A（-2，a），B（a+9，1）都在该反比例函数图象上，
∴k=-2a=a+9，
解得：a=-3，
∴k=-2a=6，
∴反比例函数的表达式为；
（2）解：∵k=6＞0，
∴当x＞0时，y随x的增大而减小，
∵x=1时，y=6，
∴当x＞1时，y的取值范围是0＜y＜6；
（3）解：由（1）可得，A（-2，-3），B（6，1），
设直线AB的解析式为，
将A（-2，-3），B（6，1），代入得：，
解得：，
∴直线AB的解析式为，
当，，
故，
∴．
【知识点】反比例函数的性质；待定系数法求反比例函数解析式
【解析】【分析】（1）由反比例函数图象上点的坐标特征得到k=-2a=a+9，解得a=-3，求出k=6，即可求解；（1）根据反比例函数的性质得出当x＞0时，y随x的增大而减小，结合x的取值范围即可求解；
（3）由（1）得出点A和点B的坐标，待定系数法求直线AB的解析式为，求出直线AB与y轴的交点C的坐标，根据三角形面积公式即可求解.
12．【答案】（1）解：将点坐标代入反比例函数解析式得，
，
所以反比例函数的解析式为．
将点坐标代入反比例函数解析式得，
，
所以点的坐标为．
将，两点坐标代入一次函数解析式得，
，
解得，
所以一次函数的解析式为．
（2）解：由函数图象可知，当或时，反比例函数的图象在一次函数图象的上方，即，
所以当时，的取值范围是：或．
（3）解：因为点在函数的图象上，
所以令点的坐标为，
则点向左平移个单位，再向下平移个单位后，所得点的坐标可表示为，
即点的坐标为．
因为点在函数的图象上，
所以，
解得，
所以点的坐标为或．
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）先根据待定系数法求出反比例函数的解析式，再将点坐标代入反比例函数解析式，求出m的值，最后根据待定系数法求出一次函数的解析式即可；
（2）结合函数图象以及，两点坐标，即可求解；
（3）设点的坐标为，根据平移的方向的单位可得点的坐标，最后将点坐标代入反比例函数的解析式，求出m的值，即可求解.
（1）解：将点坐标代入反比例函数解析式得，
，
所以反比例函数的解析式为．
将点坐标代入反比例函数解析式得，
，
所以点的坐标为．
将，两点坐标代入一次函数解析式得，
，
解得，
所以一次函数的解析式为．
（2）由函数图象可知，
当或时，反比例函数的图象在一次函数图象的上方，即，
所以当时，的取值范围是：或．
（3）因为点在函数的图象上，
所以令点的坐标为，
则点向左平移个单位，再向下平移个单位后，所得点的坐标可表示为，
即点的坐标为．
因为点在函数的图象上，
所以，
解得，
所以点的坐标为或．
13．【答案】（1），
（2）解：先向左平移3个单位，再向下平移6个单位后得到点D，
∴
由题意，点和点都在在该反比例函数图象上，
∴，
∴．
∴，
∴ ．
（3）解：由可得：
，
设，
则直线与关于原点对称，
∵ 直线和反比例函数 的图象交于第一象限的，两点，
∴直线和反比例函数 的图象交于第三象限的和两点，
∴不等式的的取值范围是或．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：（1）若，则，
把代入得
．
∵也在该反比例函数图象上，
∴，
解得．
再把，代入，
得∶ ，
解得∶ ．
∴．
故答案为：，
【分析】（1）根据题意得，代入得；由也在该反比例函数图象上，得，再把分别代入，利用待定系数法可得结论；
（2）根据题意可得点平移后的点也在该反比例函数图象上，所以，解得.将代入解析式可得n的值；
（3）由题意得，由直线与关于原点对称，可得直线和反比例函数的图象交于第三象限的两点，结合图象可知满足不等式的x的取值范围
（1）解：若，则，
根据题意，把代入得．
∵也在该反比例函数图象上，
∴，
解得．
再把，分别代入，
得∶ ，
解得∶ ．
∴．
（2）解：如图，根据题意可得点平移后的点也在该反比例函数图象上，
∴，
解得．
∴，解得 ．
（3）解：∵，
移项可得，
如图，直线与关于原点对称，
∴直线和反比例函数的图象交于第三象限的两点，
结合图象可知满足不等式的的取值范围是或．
14．【答案】（1）解：（1）把代入中得：K=6
∴反比例函数表达式为 .
（2）
（3）解：如图：过点 作 的延长线于点 H
设点H(x，y)
∵∠EBA=45°
∴△ABH为等腰直角三角形
∴HB=HA
∵∠BHG＋∠HBG=90°
∠BHG＋∠AHN=90°
∴∠AHN==∠HBG
∠G=∠N=90°
∴△BHG≌△HAN(AAS)
∴BG=HN，HG=AN
∵
∴2+y=6-x，3+x=y-1
∴x=0，y=4
∴H(0，4)
设 直线 的表达式为 y=kx+4
把B(-3，-2)代入得：
-3k+4=-2
∴k=2
直线 的表达式为 .
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】
（2）把x=-3代入中得：y=-2
∴点B的坐标为（-3，-2）
由图像可知：当时，.
（3）
【分析】
(1)把点A代入反比例函数中，解出K即可
（2）先把x=-3代入中得：y=-2，得出点B的坐标为（-3，-2），根据图像回答问题
（3）先构造一线三垂直：△BHG≌△HAN(AAS)，得出：BG=HN，HG=AN，列出方程：2+y=6-x，3+x=y-1，解出x=0，y=4，得出点B的坐标，然后根据待定系数法，求出直线BC的解析式即可.
15．【答案】（1）解： 点 和点 在反比例函数的图象上，
解得∶；
（2）解：
将 代入
得 解得
记直线与 轴交于点 ，
令 ，则 ，
解得 ，
，
；
（3） 或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：（3）由图象得， 当 或时，一次函数 的图象在反比例函数 的图象的下方，
∴不等式 的解集为 或．
【分析】（1）把A，B的坐标分别代入，得出关于n的方程，然后求解即可；
（2）先利用待定系数法求出直线解析式，然后求出直线与x的交点C的坐标，最后根据求解即可；
（3）根据A、B的坐标，结合图象可知：当 或时，一次函数 的图象在反比例函数 的图象的下方，据此即得结论.
（1）解∶ 点 和点 在反比例函数的图象上，
解得∶；
（2）解：
将 代入
得 解得
记直线与 轴交于点 ，
令 ，则 ，
解得 ，
，
；
（3）解：由图象得， 当 或时，一次函数 的图象在反比例函数 的图象的下方，
∴不等式 的解集为 或．
1 / 1第6章 《反比例函数》 6.2 反比例函数的图象和性质（3）—浙教版数学八（下） 课堂达标测试
一、选择题（每题5分，共25分）
1． 如图， 正方形 的边长为 2 ， 反比例函数 的图象经过点 ， 则 的值是 (　　)
A．2 B．-2 C．4 D．-4
【答案】D
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式
【解析】【解答】解：∵正方形的边长为2，
∴点A的坐标为（-2，2），
将点A（-2，2）代入，
可得：k=-2×2=-4，
故答案为：D.
【分析】先利用正方形的性质及点坐标与象限的关系求出点A的坐标，再将点A的坐标代入求出k的值即可.
2．如图， 已知 为反比例函数 图象上的一点， 且 轴于点 分别交反比例函数 的图象于 两点， 则 的面积为(　　)
A．1 B．1.5 C．2 D．3
【答案】A
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：作CD⊥x轴，如图，
∵ PA⊥x轴，
∴ CD∥PA，
∴ △OCD∽△OPA，
∴，
∴，
∵ S△OPA=2，，
∴ S△AOC=1，
∴ S△PAC=S△AOP-S△AOC=2-1=1.
故答案为：A.
【分析】作CD⊥x轴，根据反比例函数的k的几何意义和相似三角形的判定与性质可求出，根据求出 S△AOC=1，再根据S△PAC=S△AOP-S△AOC即可求得.
3．如图，两个反比例函数y=和y=在第一象限内 的图象分别是C1和C2，设点P在C1上，PA⊥x轴于A，交C2于点B，则△POB的面积为（　　）
A．1 B．2 C．4 D．无法计算
【答案】A
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：S△POA==2，
S△BOA==1，
∴S△POB=S△POA-S△BOA=1，
故答案为：A.
【分析】根据反比例函数k的几何意义可知，S=，S△POB=S△POA-S△BOA，代入求解即可.
4．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点A在反比例函数的图象上，点D的坐标为(4，3).若将菱形ABCD沿x轴正方向平移，则当菱形的顶点D落在函数的图象上时，菱形ABCD沿x轴正方向平移的距离为（　　）
A．3 B．5 C． D．8
【答案】C
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；平移的性质
【解析】【解答】解：过点D作x轴的垂线，垂足为F，
∵点D的坐标为（4，3），
∴OF=4，DF=3，
∴OD=5，
∴AD=5，
∴点A坐标为（4，8），
∴k=xy=4×8=32，
∴反比例函数的解析式为：，
将菱形ABCD沿x轴正方向平移，使菱形的顶点D落在函数的图象D 处，过D 作D F ⊥x轴，
∵DF=3，∴D F =DF=3，
而点D 在的图象上，
∴，解得：，
∴FF =-4=.
故菱形ABCD沿x轴正方向平移的距离为.
故答案为：C.
【分析】过点D作x轴的垂线，垂足为F，由题意用待定系数法可求得反比例函数的解析式，将菱形ABCD沿x轴正方向平移，使菱形的顶点D落在函数的图象D 处，过D 作D F ⊥x轴，根据平移的性质并结合点在图象上的特征可求解.
5．如图，A，B两点在反比例函数的图像上，分别过 A，B两点向坐标轴作垂线段，已知 S阴影=1 ，则 S +S 的值为 （　　）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】D
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：∵ A，B两点在反比例函数的图象上， 分别过 A，B两点向坐标轴作垂线段，
∴S1+S阴影=4，S2+S阴影=4，
∵S阴影=1，
∴S1=3，S2=3，
∴S1+S2=6.
故答案为：D.
【分析】根据反比例函数k的几何意义可得S1+S阴影=4，S2+S阴影=4，进而结合S阴影=1，可求出S1=3，S2=3，从而此题得解.
二、填空题（每题5分，共25分）
6．（2025八下·宁波期中）如图，在平面直角坐标系中，函数的图象经过的斜边的中点，交于点.若点在轴上，点的坐标为（12，8），则的面积为　 　.
【答案】12
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点A的坐标为(12，8)， 而点D为OA的中点，
∴D点坐标为(6，4)，
把D(6，4)代入 得
∴反比例函数的解析式为
的面积
故答案为： 12.
【分析】由于点A的坐标为(12，8)，而点D为OA的中点，则D点坐标为(6，4)，利用待定系数法可得到 然后利用k的几何意义即可得到 的面积 .
7．（2025八下·宁波开学考）如图，正方形ABCD的顶点A在第二象限的图象上，点B，C分别在轴，轴负半轴上，点在第一象限直线的图象上，若.则的值为　 　.
【答案】
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数系数k的几何意义；正方形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：如图，作，轴，
设，
，
四边形ABCD是正方形，
，
，
，
，
，
，，
，，
，
，
同理可得，
，
，，
，
.
故答案为：.
【分析】 设，则，先利用正方形的性质通过ASA判定，进而证得，再通过求得，，然后由反比例函数比例系数的几何意义求得k的值.
8．（2023八下·鄞州期末）如图，平面直角坐标系中，反比例函数在第一象限的图象上有一点，过点分别作轴和轴的平行线.若反比例函数的图象分别与交于点的面积为4，则的值是　 　.
【答案】6或-2
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；三角形的面积
【解析】【解答】解：设点A的坐标为（x0，），
由题意得，点B的坐标为（，），
点C的坐标为（x0，），AB=x0-kx02，AC=2x0-kx0，
∵S ABC=4 ，S ABC=12×AB×AC=12×x0-kx02×2x0-kx0，
∴12×x0-kx02×2x0-kx0=4，
解得k=6或k=-2.
故答案为：6或-2
【分析】先设点A的坐标为（x0，），根据题意，分别列出点B的坐标（，）和点C的坐标（x0，），表示出AB的长度x0-kx02 和AC的长度2x0-kx0 ，根据三角形的面积公式即可求出答案.
9．如图所示，在平面直角坐标系中，菱形OABC的面积为12，点 在 轴上，点 在反比例函数 的图象上，则 的值为　 　.
【答案】-6
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；菱形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接AC交y轴于点D，
∵菱形OABC，
∴AC⊥OB，且CD=AD=AC，BD=OD=BO，
∵菱形OABC面积为12，
∴AC·BO=24，
∴CD·OD=6，
∴=6，
又∵反比例函数图象位于第二象限，
∴k＜0，即k=-6.
故答案为：-6.
【分析】连接AC交y轴于点D，由菱形性质得AC⊥OB，且CD=AD=AC，BD=OD=BO，再由菱形面积为12，可得AC·BO=24，进而推出CD·OD=6，再结合反比例函数k的几何意义及图象位于第二象限，即可求出k的值.
10．（2024八下·衢州期末） 如图， 若点 在反比例函数 的一支图象上， 轴于点 ，则 的面积为　 　。
【答案】1.5
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：∵|k|=|-3|=3，AM⊥x
∴.
故答案为：1.5.
【分析】】根据过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即，即可求解.
三、解答题（共5题，共50分）
11．（2024八下·义乌月考）已知反比例函数，点都在该反比例函数图象上．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）当时，直接写出y的取值范围；
（3）若经过的直线与y轴交于点C，求的面积．
【答案】（1）解：∵点A（-2，a），B（a+9，1）都在该反比例函数图象上，
∴k=-2a=a+9，
解得：a=-3，
∴k=-2a=6，
∴反比例函数的表达式为；
（2）解：∵k=6＞0，
∴当x＞0时，y随x的增大而减小，
∵x=1时，y=6，
∴当x＞1时，y的取值范围是0＜y＜6；
（3）解：由（1）可得，A（-2，-3），B（6，1），
设直线AB的解析式为，
将A（-2，-3），B（6，1），代入得：，
解得：，
∴直线AB的解析式为，
当，，
故，
∴．
【知识点】反比例函数的性质；待定系数法求反比例函数解析式
【解析】【分析】（1）由反比例函数图象上点的坐标特征得到k=-2a=a+9，解得a=-3，求出k=6，即可求解；（1）根据反比例函数的性质得出当x＞0时，y随x的增大而减小，结合x的取值范围即可求解；
（3）由（1）得出点A和点B的坐标，待定系数法求直线AB的解析式为，求出直线AB与y轴的交点C的坐标，根据三角形面积公式即可求解.
12．（2024八下·西湖期末）在平面直角坐标系中，设反比例函数(为常数，)的图象与一次函数(，为常数，)的图象交于点，．
（1）求的值和一次函数表达式．
（2）当时，直接写出的取值范围．
（3）若点在函数的图象上，点先向左平移1个单位，再向下平移3个单位，得点，点恰好落在函数的图象上，求点的坐标．
【答案】（1）解：将点坐标代入反比例函数解析式得，
，
所以反比例函数的解析式为．
将点坐标代入反比例函数解析式得，
，
所以点的坐标为．
将，两点坐标代入一次函数解析式得，
，
解得，
所以一次函数的解析式为．
（2）解：由函数图象可知，当或时，反比例函数的图象在一次函数图象的上方，即，
所以当时，的取值范围是：或．
（3）解：因为点在函数的图象上，
所以令点的坐标为，
则点向左平移个单位，再向下平移个单位后，所得点的坐标可表示为，
即点的坐标为．
因为点在函数的图象上，
所以，
解得，
所以点的坐标为或．
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）先根据待定系数法求出反比例函数的解析式，再将点坐标代入反比例函数解析式，求出m的值，最后根据待定系数法求出一次函数的解析式即可；
（2）结合函数图象以及，两点坐标，即可求解；
（3）设点的坐标为，根据平移的方向的单位可得点的坐标，最后将点坐标代入反比例函数的解析式，求出m的值，即可求解.
（1）解：将点坐标代入反比例函数解析式得，
，
所以反比例函数的解析式为．
将点坐标代入反比例函数解析式得，
，
所以点的坐标为．
将，两点坐标代入一次函数解析式得，
，
解得，
所以一次函数的解析式为．
（2）由函数图象可知，
当或时，反比例函数的图象在一次函数图象的上方，即，
所以当时，的取值范围是：或．
（3）因为点在函数的图象上，
所以令点的坐标为，
则点向左平移个单位，再向下平移个单位后，所得点的坐标可表示为，
即点的坐标为．
因为点在函数的图象上，
所以，
解得，
所以点的坐标为或．
13．（2024八下·上虞期末）如图，已知直线和反比例函数 的图象交于第一象限的，两点．
（1）填空∶当时，n=__________；直线的函数表达式为__________．
（2）若把点先向左平移3个单位，再向下平移6个单位后得到的点D也在反比例函数的图象上，试求m和n的值．
（3）直接写出满足 的的取值范围．
【答案】（1），
（2）解：先向左平移3个单位，再向下平移6个单位后得到点D，
∴
由题意，点和点都在在该反比例函数图象上，
∴，
∴．
∴，
∴ ．
（3）解：由可得：
，
设，
则直线与关于原点对称，
∵ 直线和反比例函数 的图象交于第一象限的，两点，
∴直线和反比例函数 的图象交于第三象限的和两点，
∴不等式的的取值范围是或．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：（1）若，则，
把代入得
．
∵也在该反比例函数图象上，
∴，
解得．
再把，代入，
得∶ ，
解得∶ ．
∴．
故答案为：，
【分析】（1）根据题意得，代入得；由也在该反比例函数图象上，得，再把分别代入，利用待定系数法可得结论；
（2）根据题意可得点平移后的点也在该反比例函数图象上，所以，解得.将代入解析式可得n的值；
（3）由题意得，由直线与关于原点对称，可得直线和反比例函数的图象交于第三象限的两点，结合图象可知满足不等式的x的取值范围
（1）解：若，则，
根据题意，把代入得．
∵也在该反比例函数图象上，
∴，
解得．
再把，分别代入，
得∶ ，
解得∶ ．
∴．
（2）解：如图，根据题意可得点平移后的点也在该反比例函数图象上，
∴，
解得．
∴，解得 ．
（3）解：∵，
移项可得，
如图，直线与关于原点对称，
∴直线和反比例函数的图象交于第三象限的两点，
结合图象可知满足不等式的的取值范围是或．
14．（2024八下·越城期末）如图， 一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于 两点， 与 轴交于点 .
（1）求反比例函数的表达式；
（2）当 时， 根据图象直接写出 的取值范围；
（3）设点 为第一象限内反比例函数图象上的点， 当 时， 求直线 的函数表达式.
【答案】（1）解：（1）把代入中得：K=6
∴反比例函数表达式为 .
（2）
（3）解：如图：过点 作 的延长线于点 H
设点H(x，y)
∵∠EBA=45°
∴△ABH为等腰直角三角形
∴HB=HA
∵∠BHG＋∠HBG=90°
∠BHG＋∠AHN=90°
∴∠AHN==∠HBG
∠G=∠N=90°
∴△BHG≌△HAN(AAS)
∴BG=HN，HG=AN
∵
∴2+y=6-x，3+x=y-1
∴x=0，y=4
∴H(0，4)
设 直线 的表达式为 y=kx+4
把B(-3，-2)代入得：
-3k+4=-2
∴k=2
直线 的表达式为 .
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】
（2）把x=-3代入中得：y=-2
∴点B的坐标为（-3，-2）
由图像可知：当时，.
（3）
【分析】
(1)把点A代入反比例函数中，解出K即可
（2）先把x=-3代入中得：y=-2，得出点B的坐标为（-3，-2），根据图像回答问题
（3）先构造一线三垂直：△BHG≌△HAN(AAS)，得出：BG=HN，HG=AN，列出方程：2+y=6-x，3+x=y-1，解出x=0，y=4，得出点B的坐标，然后根据待定系数法，求出直线BC的解析式即可.
15．（2024八下·北仑期末）如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于点 和点 ．
（1）求 的值；
（2）连结 ，求 的面积；
（3）根据图象，直接写出不等式 的解集．
【答案】（1）解： 点 和点 在反比例函数的图象上，
解得∶；
（2）解：
将 代入
得 解得
记直线与 轴交于点 ，
令 ，则 ，
解得 ，
，
；
（3） 或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：（3）由图象得， 当 或时，一次函数 的图象在反比例函数 的图象的下方，
∴不等式 的解集为 或．
【分析】（1）把A，B的坐标分别代入，得出关于n的方程，然后求解即可；
（2）先利用待定系数法求出直线解析式，然后求出直线与x的交点C的坐标，最后根据求解即可；
（3）根据A、B的坐标，结合图象可知：当 或时，一次函数 的图象在反比例函数 的图象的下方，据此即得结论.
（1）解∶ 点 和点 在反比例函数的图象上，
解得∶；
（2）解：
将 代入
得 解得
记直线与 轴交于点 ，
令 ，则 ，
解得 ，
，
；
（3）解：由图象得， 当 或时，一次函数 的图象在反比例函数 的图象的下方，
∴不等式 的解集为 或．
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