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二次函数-【考前20天】2025年中考数学终极冲刺专题
一、选择题
1．（2025·崇州模拟）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列说法不正确的是（　　）
A．对称轴为直线x=1 B．y的最小值为一4
C．x=-2对应的函数值为y=5 D．当02．（2025·萧山模拟）已知二次函数的图象经过点，若，则下列可能成立的是（　　）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
3．（2025·白云模拟）已知二次函数（）与轴交于、两点，与轴交点的纵坐标是，且，则以下结论中不正确的是（　　）
A．
B．
C．抛物线的顶点坐标为
D．若，则或
4．（2025·舟山模拟）对于二次函数，规定函数是它的相关函数．已知点M，N的坐标分别为连接，若线段与二次函数的相关函数的图象有两个公共点，则n的取值范围为（　　）
A．或 B．或
C．或 D．或
5．（2025·泸州模拟）已知函数在时与轴有且仅有一个公共点，则参数的取值范围是（　　）
A．或或 B．或或
C．或 D．或或
6．（2025·江安模拟）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，，，与轴交点的纵坐标在与之间，根据图象判断以下结论：
①；②（为实数）；③；④若且，则；⑤直线与抛物线的一个交点，则．其中正确的结论是（　　）
A．①②③④ B．①③④⑤ C．①②③⑤ D．①②④⑤
二、填空题
7．（2025·成都模拟）已知一次函数：，二次函数：，当时，恒成立，则的取值范围是　 　．
8．（2025·广州模拟）如图：我们规定：形如的函数叫做“型”函数．如图是“型”函数的图象，根据图象，给出以下结论：①图象关于轴对称；②关于的不等式的解是或；③当关于的方程有两个实数解时，．其中正确的是　 　（填出所有正确结论的序号）．
9．（2025·霞山模拟）抛物线过点，与轴交于，两点（点在的左侧），若为轴上的一点，在在平面内且满足，则的最小值为　 　．
10．（2025·临洮模拟）小明进行铅球训练，他尝试利用数学模型来研究铅球的运动情况．他以水平方向为轴方向，为单位长度，建立了如图所示的平面直角坐标系，铅球从轴上的点出手，运动路径可看作抛物线，在点处达到最高位置，落在轴上的点处．则小明此次试投的成绩（线段的长度）是　 　米．
11．（2025·花都模拟）我们定义一种新函数：形如的函数叫做“鹊桥”函数．某数学兴趣小组画出了“鹊桥”函数的图象（如图所示），并写出了下列结论：
①图象与坐标轴的交点为，，；
②当时，函数取得最大值；
③若在函数图象上，则也在函数图象上；
④当直线与函数G的图象有4个交点时，则m的取值范围是．
其中正确的结论有　 　．（填写所有正确结论的序号）
12．（2024·大连模拟）如图，在平面直角坐标系中，将抛物线：绕原点顺时针旋转后得到，向右平移4个单位，向上平移2个单位得到．点为的顶点，作直线．点为平面内一动点，将点向上平移两个单位长度得到点，过点作y轴的垂线交直线于点，以、为边构造矩形．设、、的图象为．当矩形与图象有三个公共点时，的取值范围为　 　．
三、解答题
13．（2025·祁阳模拟）综合与探究：如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．直线l与抛物线交于A，D两点，与y轴交于点E，点D的坐标为．
（1）请直接写出A，B两点的坐标及直线l的函数表达式；
（2）若点P是抛物线上的点，点P的横坐标为m，过点P作轴，垂足为M．与直线l交于点N，当点N是线段的三等分点时，求点P的坐标．
14．（2025·连州模拟）今年春节长假，有各种各样以贺年为主题的小商品大受欢迎，其中就有小夜灯．近几年某商店一直坚持以每个40元的价格出售一款小夜灯．据统计自2022年以来，该店小夜灯的销量持续增长，2022年春节期间销售192个，到2024年春节销量达到了300个．
（1）求2023，2024这两年春节期间小夜灯的销售量的平均增长率；
（2）今年春节，该店现场销售的同时也将小夜灯按原价放到网上销售，一个月网上的销量达到了360个．为进一步打开市场，该店决定在网上采用降价促销方式，据市场调查反映，如果调整价格，每降价1元，月销量将增加60件．已知每个小夜灯成本为30元，当商品降价多少元时，该店网上销售的月利润可达到最大？
15．（2025·罗定模拟）如图1，抛物线与直线在第一象限内相交于点，与轴的正半轴相较于点，连接，
（1）求的值及抛物线的解析式．
（2）点是直线上方的抛物线上的一点，过点作直线交于点，求线段长度的最大值．
（3）在的条件下，点是直线上的一个动点，是的中点，以为斜边按图所示构造等腰直角，点的横坐标为，记与公共部分的面积为，直接写出关于的函数关系式 ．
四、实践探究题
16．（2025九下·南山模拟）如图，是某公园的一种水上娱乐项目，数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究。下面是该小组绘制的水滑道截面图，如图1，人从点A处沿水滑道下滑至点B处腾空飞出后落入水池，以地面所在的水平线为x轴，过腾空点B与x轴垂直的直线为y轴，0为坐标原点，建立平面直角坐标系，他们把水滑道和人腾空飞出后经过的路径都近似看作是抛物线的一部分，根据测量和调查得到的数据和信息，设计了以下三个问题，请你解决.
（1）如图1，点B与地面的距离为2米，水滑道最低点C与地面的距离为米，点C到点B的水平距离为3米，则水滑道ACB所在抛物线的解析式为　 　；
（2）如图1，腾空点B与对面水池边缘的水平距离OE＝12米，人腾空后的落点D与水池边缘的安全距离DE不少于3米.若某人腾空后的路径形成的抛物线BD恰好与抛物线ACB关于点B成中心对称.
①请直接写出此人腾空后的最大高度和抛物线BD的解析式；
②此人腾空飞出后的落点D是否在安全范围内？请说明理由（水面与地面之间的高度
差忽略不计）；
（3）为消除安全隐患，公园计划对水滑道进行加固，如图2，水滑道已经有两条加固钢架，一条是水滑道距地面4米的点M处竖直支撑的钢架MN，另一条是点M与点B之间连接支撑的钢架BM现在需要在水滑道下方加固一条支撑钢架，为了美观，要求这条钢架与BM平行，且与水滑道有唯一公共点，一端固定在钢架MN上，另一端固定在地面上，请你计算出这条钢架的长度（结果保留根号），
17．（2025·盐田模拟）综合与实践
问题情境】
求方程的解，就是求二次函数的图象与x轴交点的横坐标．为了估计这个方程的解，小亮取了自变量x的4个值，再分别算出相应的y值，列表得：
x的值 0 1 2 3
的值 13 30
小亮通过分析得出结论：方程必有两个解，其中一个解大于1且小于2，设这个解为x，即．
进一步取值，得到下表：
x的值 1.0 1.1 1.2 1.3
的值 0.84 2.29
得出结论：．
【操作判断】
（1）若关于x的一元二次方程在实数范围内有两个解、（其中）．
根据下列表格
x的值 1 1.5 2 2.5
的值 4 10
你能得出　 　的大致范围（填“”或“”）；请你写出这个解的取值范围：　 　．
【实践探究】已知二次函数（n为常数）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧）．
（2）若仅有一个交点的横坐标x满足，求出n的取值范围．
（3）不论n为何值，二次函数必过定点E．
①求E点坐标；
②连结，若，请求出n的值．
五、阅读理解题
18．（2024·安阳模拟）阅读材料：当平行光线照射到抛物线形状的反射镜面上时，经过反射后能够聚集成一点，即焦点．这种特性使得抛物面反射镜在许多应用中发挥重要作用，例如射电望远镜，雷达天线，远光灯和投影仪等．
如图1，某射电望远镜的天线采用了抛物面的设计，当天线竖直对准天顶时，其主视图可以抽象为图2，天线截面为抛物线的一段，天线中心O为抛物线顶点，天线边缘A，B为抛物线的两端．测得A，B距地面高度为5.35米，天线中心O距地面高度为4米， A， B距离为6米．
（1）如图2 ，以点O为坐标原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴，建立平面直角坐标系．求天线截面的抛物线表达式；
（2）距离地面高度4.6米的D，E两个位置安装有支架和，可恰好将天线接收器固定在抛物面的焦点F处，试求D，E两点之间的水平距离．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：由题意，∵抛物线与x轴交于(-1，0)，(3，0)，
∴对称轴是直线，故A正确，不符合题意，
∴可设抛物线为y=a(x-1)2+k.
又∵抛物线过(0，-3)，
∴
∴
∴抛物线为y=(x-1)2-4.
∴当x=1时，y取最小值为-4，故B正确，不符合题意；
当x=-2时，y=5，故C正确，不合题意，
又∵当x=0时，y=-3；当x=2时，y=-3，
∴当0故答案为：D.
【分析】依据题意，根据图象与x轴交于(-1，0)，(3，0)，与y轴交于(0，-3)，从而逐个判断可以得解.
2．【答案】B
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：
把A（-2，m），B（5，n）代入y=ax2+bx+c中得m=4a-2b+c，n=25a+5b+c，
∵m＜n，
∴4a-2b+c＜25a+5b+c，
∴3a+b＞0，
∴A选项不符合题意；
当a＜0时，b-a＞-4a＞0，a+b＞-2a＞0，
∴C、D选项不符合题意；
当a＞0时，2a+b＞-a，
又∵-a＜0，
∴2a+b=0是可能的．
∴B选项符合题意．
故答案为：B.
【分析】 先把点A、B的坐标分别代入解析式得到m=4a-2b+c，n=25a+5b+c，然后利用m＜n得到4a-2b+c＜25a+5b+c，则3a+b＞0，然后依次对各选项进行判断．
3．【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数与不等式（组）的综合应用
4．【答案】A
【知识点】二次函数与分段函数的综合应用
【解析】【解答】解：①如图所示：
线段MN与二次函数y=x2+4x+n的相关函数的图象恰有1个公共点，
所以当x=2时，y=1，即-4+8+n=1，解得n=-3；
②如图所示：
线段MN与二次函数y=x2+4x+n相关函数的图象恰有3个公共点，
∵抛物线y=x2-4x-n与y轴交点纵坐标为1，
∴-n=1，解得：n=-1，
∴当-3③如图所示：
线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰有3个公共点，
∵抛物线y=x2-4x-n经过点（0，1），
∴n=1；
④如图所示：
线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点，
∵抛物线y=x2-4x-n经过点（，1），
∴+2-n=1，
解得：n=，
∴时，线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点，
综上所述，n的取值范围是或；
故答案为：A.
【分析】首先确定出二次函数y= -x2+ 4x+n的相关函数与线段MN恰好有1个交点、2个交点、 3个交点时n的值，然后结合函数图象可确定出n的取值范围.
5．【答案】A
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
6．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题
7．【答案】且
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；一次函数的性质
8．【答案】①②
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
9．【答案】
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；勾股定理；圆周角定理
10．【答案】
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
11．【答案】①③④
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题
12．【答案】或或
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【解答】解：由题意知，的解析式为，的解析式为；
①当B与原点重合时，，此时矩形不存在；
②当Q在与y轴的交点上时，矩形与图象G有三个公共点，如图：
当时，，即；
故当时，矩形与图象G有三个公共点；
③时，矩形与图象G只有两个公共点，如下图所示；
④由②中可知，当时，矩形与图象G有四个公共点；
⑤如图，当点D在上时，矩形与图象G有三个公共点；
设直线的解析式为，把点A坐标代入得，
即；
∵点Q向上平移两个单位长度得到点B，
，
∴点D的纵坐标为，
即，把点D坐标代入，得：，
解得：（舍去），
；
即点Q的纵坐标为，
故；
⑥当时，矩形与图象G只有三个公共点，如图；
⑦当时，矩形与图象G只有两个公共点，如图；
综上，当或或时，矩形与图象G有三个公共点．
故答案为：或或.
【分析】根据二次函数的性质，分七种情况画图，借助图象得到符合条件的m的取值范围即可．
13．【答案】（1），，直线的函数表达式为：
（2）或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数-线段周长问题
14．【答案】（1）2023，2024这两年春节期间小夜灯的销售量的平均增长率为；
（2）当商品降价2元时，该店网上销售的月利润可达到最大．
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；二次函数的实际应用-销售问题
15．【答案】（1），；
（2）；
（3）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；勾股定理；二次函数-面积问题；二次函数-相似三角形的存在性问题
16．【答案】（1）
（2）解：①此人腾空后的最大高度为米；
抛物线BD的解析式为；
②由①可得，
将y=0代入解析式，可得，
解得：x1=8或x2=-2（舍），
∴OD=8米，
∵OE=12米，
∴DE=12-8=4>3，
∴落点D在安全范围内.
（3）解：如图，EF即为所求钢索，
∵ACB所在抛物线为，
∴令y=4，可得，
解得：x1=-8，x2=2（舍），
∴M（-8，4），
∵B为（0，2），
∴直线BM为，
∵EF//BM，
∴设EF的解析式为，
联立方程组，
∴，
∴，
∴△=64-4（-8n+16）=0，
解得：n=0，
∴直线EF的解析式为y=x，
∵M（-8，4），
∴令x=-8，则y=x=×（-8）=2，
∴EN=2米，ON=8米，
∵∠ENO=90°，
∴EF=EO=（米），
答：这条钢架的长度为米.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的其他应用
【解析】【解答】（1）根据题意可得：水滑道ACB所在抛物线的顶点C为（-3，），
∴设抛物线的解析式为，
将点B（0，2）代入，可得：，
解得：a=，
∴抛物线的解析式为；
故答案为：.
（2）①根据题意可得：抛物线BD恰好与抛物线ACB关于点B成中心对称，
∴抛物线BD的顶点与抛物线ACB的顶点C关于点B成中心对称，
∴点B是它们的中心，
∵C（-3，），B（0，2），
∴抛物线BD的顶点为（3，），
∴此人腾空后的最大高度为米，
设抛物线BD为，
将点B（0，2）代入，可得，
解得：m=，
∴抛物线BD的解析式为；
故答案为：.
【分析】（1）设抛物线的解析式为，再将点B（0，2）代入解析式求出a的值即可；
（2）①设抛物线BD为，再将点B（0，2）代入解析式求出抛物线BD的解析式即可；
②将y=0代入解析式，可得，再求出x的值，可得OD的长，再利用线段的和差求出DE的长并比较大小即可；
（3）设EF的解析式为，联立方程组可得，再求出n的值，求出直线直线EF的解析式为y=x，再求出EN=2米，ON=8米，最后利用勾股定理求出EF的长即可.
17．【答案】（1）x1；1.5（2）解：当x=5时，y=-2n+14
当x=6时，y=-3n+22
∵仅有一个交点的横坐标x满足
∴①或②
解①得：
解②得：无解
综上，n的取值范围为
（3）解：①将函数变形为y=(x-3)n+x2-3x+4
由上式可知，当x=3时，不论n取何值，y恒等于4
故点E的坐标为(3，4)
②过点A作AD⊥AD交BE于点D，由∠AEB=45°可得△AED为等腰直角三角形
分别过点E，点D向x轴引垂线，垂足分别为点H，点F
∴∠EHA=∠DFA，∠AEH=∠DAF=90°-∠EAH，AE=AD
∴△EHA≌△AFD
设A(x1，0)，B(x2，0)
由题意可得，x1∵E(3，4)
∴EH=AF=4，HA=DF=x1-3，BF=x2-x1-4
∵∠DBF=∠EBH，∠DFB=∠EHB
∴△BDF∽△BEH
∴，即
整理得：①
对于函数
令y=0，得到方程
方程的判别式
根据题意可得
由求根公式得，，
代入①中，得
解得：，此时满足
【知识点】相似三角形的判定；等腰直角三角形；一元二次方程的求根公式及应用；二次函数y=ax²+bx+c的性质；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：（1）∵a<0
∴当时，y随x的增大而增大
由表格可知，表格给的数据是y随x的增大而增大
∴可得出x1的大致范围
∵
∴1.5故答案为：x1；1.5【分析】（1）根据二次函数的性质即可求出答案.
（2）根据题意建立不等式组，解不等式组即可求出答案.
（3）①①将函数变形为y=(x-3)n+x2-3x+4，根据二次函数的性质即可求出答案.
②过点A作AD⊥AD交BE于点D，由∠AEB=45°可得△AED为等腰直角三角形，分别过点E，点D向x轴引垂线，垂足分别为点H，点F，根据全等三角形判定定理可得△EHA≌△AFD，设A(x1，0)，B(x2，0)，由题意可得，x118．【答案】（1）
（2）4米
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
1 / 1二次函数-【考前20天】2025年中考数学终极冲刺专题
一、选择题
1．（2025·崇州模拟）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列说法不正确的是（　　）
A．对称轴为直线x=1 B．y的最小值为一4
C．x=-2对应的函数值为y=5 D．当0【答案】D
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：由题意，∵抛物线与x轴交于(-1，0)，(3，0)，
∴对称轴是直线，故A正确，不符合题意，
∴可设抛物线为y=a(x-1)2+k.
又∵抛物线过(0，-3)，
∴
∴
∴抛物线为y=(x-1)2-4.
∴当x=1时，y取最小值为-4，故B正确，不符合题意；
当x=-2时，y=5，故C正确，不合题意，
又∵当x=0时，y=-3；当x=2时，y=-3，
∴当0故答案为：D.
【分析】依据题意，根据图象与x轴交于(-1，0)，(3，0)，与y轴交于(0，-3)，从而逐个判断可以得解.
2．（2025·萧山模拟）已知二次函数的图象经过点，若，则下列可能成立的是（　　）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
【答案】B
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：
把A（-2，m），B（5，n）代入y=ax2+bx+c中得m=4a-2b+c，n=25a+5b+c，
∵m＜n，
∴4a-2b+c＜25a+5b+c，
∴3a+b＞0，
∴A选项不符合题意；
当a＜0时，b-a＞-4a＞0，a+b＞-2a＞0，
∴C、D选项不符合题意；
当a＞0时，2a+b＞-a，
又∵-a＜0，
∴2a+b=0是可能的．
∴B选项符合题意．
故答案为：B.
【分析】 先把点A、B的坐标分别代入解析式得到m=4a-2b+c，n=25a+5b+c，然后利用m＜n得到4a-2b+c＜25a+5b+c，则3a+b＞0，然后依次对各选项进行判断．
3．（2025·白云模拟）已知二次函数（）与轴交于、两点，与轴交点的纵坐标是，且，则以下结论中不正确的是（　　）
A．
B．
C．抛物线的顶点坐标为
D．若，则或
【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数与不等式（组）的综合应用
4．（2025·舟山模拟）对于二次函数，规定函数是它的相关函数．已知点M，N的坐标分别为连接，若线段与二次函数的相关函数的图象有两个公共点，则n的取值范围为（　　）
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】A
【知识点】二次函数与分段函数的综合应用
【解析】【解答】解：①如图所示：
线段MN与二次函数y=x2+4x+n的相关函数的图象恰有1个公共点，
所以当x=2时，y=1，即-4+8+n=1，解得n=-3；
②如图所示：
线段MN与二次函数y=x2+4x+n相关函数的图象恰有3个公共点，
∵抛物线y=x2-4x-n与y轴交点纵坐标为1，
∴-n=1，解得：n=-1，
∴当-3③如图所示：
线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰有3个公共点，
∵抛物线y=x2-4x-n经过点（0，1），
∴n=1；
④如图所示：
线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点，
∵抛物线y=x2-4x-n经过点（，1），
∴+2-n=1，
解得：n=，
∴时，线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点，
综上所述，n的取值范围是或；
故答案为：A.
【分析】首先确定出二次函数y= -x2+ 4x+n的相关函数与线段MN恰好有1个交点、2个交点、 3个交点时n的值，然后结合函数图象可确定出n的取值范围.
5．（2025·泸州模拟）已知函数在时与轴有且仅有一个公共点，则参数的取值范围是（　　）
A．或或 B．或或
C．或 D．或或
【答案】A
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
6．（2025·江安模拟）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，，，与轴交点的纵坐标在与之间，根据图象判断以下结论：
①；②（为实数）；③；④若且，则；⑤直线与抛物线的一个交点，则．其中正确的结论是（　　）
A．①②③④ B．①③④⑤ C．①②③⑤ D．①②④⑤
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题
二、填空题
7．（2025·成都模拟）已知一次函数：，二次函数：，当时，恒成立，则的取值范围是　 　．
【答案】且
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；一次函数的性质
8．（2025·广州模拟）如图：我们规定：形如的函数叫做“型”函数．如图是“型”函数的图象，根据图象，给出以下结论：①图象关于轴对称；②关于的不等式的解是或；③当关于的方程有两个实数解时，．其中正确的是　 　（填出所有正确结论的序号）．
【答案】①②
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
9．（2025·霞山模拟）抛物线过点，与轴交于，两点（点在的左侧），若为轴上的一点，在在平面内且满足，则的最小值为　 　．
【答案】
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；勾股定理；圆周角定理
10．（2025·临洮模拟）小明进行铅球训练，他尝试利用数学模型来研究铅球的运动情况．他以水平方向为轴方向，为单位长度，建立了如图所示的平面直角坐标系，铅球从轴上的点出手，运动路径可看作抛物线，在点处达到最高位置，落在轴上的点处．则小明此次试投的成绩（线段的长度）是　 　米．
【答案】
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
11．（2025·花都模拟）我们定义一种新函数：形如的函数叫做“鹊桥”函数．某数学兴趣小组画出了“鹊桥”函数的图象（如图所示），并写出了下列结论：
①图象与坐标轴的交点为，，；
②当时，函数取得最大值；
③若在函数图象上，则也在函数图象上；
④当直线与函数G的图象有4个交点时，则m的取值范围是．
其中正确的结论有　 　．（填写所有正确结论的序号）
【答案】①③④
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题
12．（2024·大连模拟）如图，在平面直角坐标系中，将抛物线：绕原点顺时针旋转后得到，向右平移4个单位，向上平移2个单位得到．点为的顶点，作直线．点为平面内一动点，将点向上平移两个单位长度得到点，过点作y轴的垂线交直线于点，以、为边构造矩形．设、、的图象为．当矩形与图象有三个公共点时，的取值范围为　 　．
【答案】或或
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【解答】解：由题意知，的解析式为，的解析式为；
①当B与原点重合时，，此时矩形不存在；
②当Q在与y轴的交点上时，矩形与图象G有三个公共点，如图：
当时，，即；
故当时，矩形与图象G有三个公共点；
③时，矩形与图象G只有两个公共点，如下图所示；
④由②中可知，当时，矩形与图象G有四个公共点；
⑤如图，当点D在上时，矩形与图象G有三个公共点；
设直线的解析式为，把点A坐标代入得，
即；
∵点Q向上平移两个单位长度得到点B，
，
∴点D的纵坐标为，
即，把点D坐标代入，得：，
解得：（舍去），
；
即点Q的纵坐标为，
故；
⑥当时，矩形与图象G只有三个公共点，如图；
⑦当时，矩形与图象G只有两个公共点，如图；
综上，当或或时，矩形与图象G有三个公共点．
故答案为：或或.
【分析】根据二次函数的性质，分七种情况画图，借助图象得到符合条件的m的取值范围即可．
三、解答题
13．（2025·祁阳模拟）综合与探究：如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．直线l与抛物线交于A，D两点，与y轴交于点E，点D的坐标为．
（1）请直接写出A，B两点的坐标及直线l的函数表达式；
（2）若点P是抛物线上的点，点P的横坐标为m，过点P作轴，垂足为M．与直线l交于点N，当点N是线段的三等分点时，求点P的坐标．
【答案】（1），，直线的函数表达式为：
（2）或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数-线段周长问题
14．（2025·连州模拟）今年春节长假，有各种各样以贺年为主题的小商品大受欢迎，其中就有小夜灯．近几年某商店一直坚持以每个40元的价格出售一款小夜灯．据统计自2022年以来，该店小夜灯的销量持续增长，2022年春节期间销售192个，到2024年春节销量达到了300个．
（1）求2023，2024这两年春节期间小夜灯的销售量的平均增长率；
（2）今年春节，该店现场销售的同时也将小夜灯按原价放到网上销售，一个月网上的销量达到了360个．为进一步打开市场，该店决定在网上采用降价促销方式，据市场调查反映，如果调整价格，每降价1元，月销量将增加60件．已知每个小夜灯成本为30元，当商品降价多少元时，该店网上销售的月利润可达到最大？
【答案】（1）2023，2024这两年春节期间小夜灯的销售量的平均增长率为；
（2）当商品降价2元时，该店网上销售的月利润可达到最大．
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；二次函数的实际应用-销售问题
15．（2025·罗定模拟）如图1，抛物线与直线在第一象限内相交于点，与轴的正半轴相较于点，连接，
（1）求的值及抛物线的解析式．
（2）点是直线上方的抛物线上的一点，过点作直线交于点，求线段长度的最大值．
（3）在的条件下，点是直线上的一个动点，是的中点，以为斜边按图所示构造等腰直角，点的横坐标为，记与公共部分的面积为，直接写出关于的函数关系式 ．
【答案】（1），；
（2）；
（3）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；勾股定理；二次函数-面积问题；二次函数-相似三角形的存在性问题
四、实践探究题
16．（2025九下·南山模拟）如图，是某公园的一种水上娱乐项目，数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究。下面是该小组绘制的水滑道截面图，如图1，人从点A处沿水滑道下滑至点B处腾空飞出后落入水池，以地面所在的水平线为x轴，过腾空点B与x轴垂直的直线为y轴，0为坐标原点，建立平面直角坐标系，他们把水滑道和人腾空飞出后经过的路径都近似看作是抛物线的一部分，根据测量和调查得到的数据和信息，设计了以下三个问题，请你解决.
（1）如图1，点B与地面的距离为2米，水滑道最低点C与地面的距离为米，点C到点B的水平距离为3米，则水滑道ACB所在抛物线的解析式为　 　；
（2）如图1，腾空点B与对面水池边缘的水平距离OE＝12米，人腾空后的落点D与水池边缘的安全距离DE不少于3米.若某人腾空后的路径形成的抛物线BD恰好与抛物线ACB关于点B成中心对称.
①请直接写出此人腾空后的最大高度和抛物线BD的解析式；
②此人腾空飞出后的落点D是否在安全范围内？请说明理由（水面与地面之间的高度
差忽略不计）；
（3）为消除安全隐患，公园计划对水滑道进行加固，如图2，水滑道已经有两条加固钢架，一条是水滑道距地面4米的点M处竖直支撑的钢架MN，另一条是点M与点B之间连接支撑的钢架BM现在需要在水滑道下方加固一条支撑钢架，为了美观，要求这条钢架与BM平行，且与水滑道有唯一公共点，一端固定在钢架MN上，另一端固定在地面上，请你计算出这条钢架的长度（结果保留根号），
【答案】（1）
（2）解：①此人腾空后的最大高度为米；
抛物线BD的解析式为；
②由①可得，
将y=0代入解析式，可得，
解得：x1=8或x2=-2（舍），
∴OD=8米，
∵OE=12米，
∴DE=12-8=4>3，
∴落点D在安全范围内.
（3）解：如图，EF即为所求钢索，
∵ACB所在抛物线为，
∴令y=4，可得，
解得：x1=-8，x2=2（舍），
∴M（-8，4），
∵B为（0，2），
∴直线BM为，
∵EF//BM，
∴设EF的解析式为，
联立方程组，
∴，
∴，
∴△=64-4（-8n+16）=0，
解得：n=0，
∴直线EF的解析式为y=x，
∵M（-8，4），
∴令x=-8，则y=x=×（-8）=2，
∴EN=2米，ON=8米，
∵∠ENO=90°，
∴EF=EO=（米），
答：这条钢架的长度为米.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的其他应用
【解析】【解答】（1）根据题意可得：水滑道ACB所在抛物线的顶点C为（-3，），
∴设抛物线的解析式为，
将点B（0，2）代入，可得：，
解得：a=，
∴抛物线的解析式为；
故答案为：.
（2）①根据题意可得：抛物线BD恰好与抛物线ACB关于点B成中心对称，
∴抛物线BD的顶点与抛物线ACB的顶点C关于点B成中心对称，
∴点B是它们的中心，
∵C（-3，），B（0，2），
∴抛物线BD的顶点为（3，），
∴此人腾空后的最大高度为米，
设抛物线BD为，
将点B（0，2）代入，可得，
解得：m=，
∴抛物线BD的解析式为；
故答案为：.
【分析】（1）设抛物线的解析式为，再将点B（0，2）代入解析式求出a的值即可；
（2）①设抛物线BD为，再将点B（0，2）代入解析式求出抛物线BD的解析式即可；
②将y=0代入解析式，可得，再求出x的值，可得OD的长，再利用线段的和差求出DE的长并比较大小即可；
（3）设EF的解析式为，联立方程组可得，再求出n的值，求出直线直线EF的解析式为y=x，再求出EN=2米，ON=8米，最后利用勾股定理求出EF的长即可.
17．（2025·盐田模拟）综合与实践
问题情境】
求方程的解，就是求二次函数的图象与x轴交点的横坐标．为了估计这个方程的解，小亮取了自变量x的4个值，再分别算出相应的y值，列表得：
x的值 0 1 2 3
的值 13 30
小亮通过分析得出结论：方程必有两个解，其中一个解大于1且小于2，设这个解为x，即．
进一步取值，得到下表：
x的值 1.0 1.1 1.2 1.3
的值 0.84 2.29
得出结论：．
【操作判断】
（1）若关于x的一元二次方程在实数范围内有两个解、（其中）．
根据下列表格
x的值 1 1.5 2 2.5
的值 4 10
你能得出　 　的大致范围（填“”或“”）；请你写出这个解的取值范围：　 　．
【实践探究】已知二次函数（n为常数）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧）．
（2）若仅有一个交点的横坐标x满足，求出n的取值范围．
（3）不论n为何值，二次函数必过定点E．
①求E点坐标；
②连结，若，请求出n的值．
【答案】（1）x1；1.5（2）解：当x=5时，y=-2n+14
当x=6时，y=-3n+22
∵仅有一个交点的横坐标x满足
∴①或②
解①得：
解②得：无解
综上，n的取值范围为
（3）解：①将函数变形为y=(x-3)n+x2-3x+4
由上式可知，当x=3时，不论n取何值，y恒等于4
故点E的坐标为(3，4)
②过点A作AD⊥AD交BE于点D，由∠AEB=45°可得△AED为等腰直角三角形
分别过点E，点D向x轴引垂线，垂足分别为点H，点F
∴∠EHA=∠DFA，∠AEH=∠DAF=90°-∠EAH，AE=AD
∴△EHA≌△AFD
设A(x1，0)，B(x2，0)
由题意可得，x1∵E(3，4)
∴EH=AF=4，HA=DF=x1-3，BF=x2-x1-4
∵∠DBF=∠EBH，∠DFB=∠EHB
∴△BDF∽△BEH
∴，即
整理得：①
对于函数
令y=0，得到方程
方程的判别式
根据题意可得
由求根公式得，，
代入①中，得
解得：，此时满足
【知识点】相似三角形的判定；等腰直角三角形；一元二次方程的求根公式及应用；二次函数y=ax²+bx+c的性质；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：（1）∵a<0
∴当时，y随x的增大而增大
由表格可知，表格给的数据是y随x的增大而增大
∴可得出x1的大致范围
∵
∴1.5故答案为：x1；1.5【分析】（1）根据二次函数的性质即可求出答案.
（2）根据题意建立不等式组，解不等式组即可求出答案.
（3）①①将函数变形为y=(x-3)n+x2-3x+4，根据二次函数的性质即可求出答案.
②过点A作AD⊥AD交BE于点D，由∠AEB=45°可得△AED为等腰直角三角形，分别过点E，点D向x轴引垂线，垂足分别为点H，点F，根据全等三角形判定定理可得△EHA≌△AFD，设A(x1，0)，B(x2，0)，由题意可得，x1五、阅读理解题
18．（2024·安阳模拟）阅读材料：当平行光线照射到抛物线形状的反射镜面上时，经过反射后能够聚集成一点，即焦点．这种特性使得抛物面反射镜在许多应用中发挥重要作用，例如射电望远镜，雷达天线，远光灯和投影仪等．
如图1，某射电望远镜的天线采用了抛物面的设计，当天线竖直对准天顶时，其主视图可以抽象为图2，天线截面为抛物线的一段，天线中心O为抛物线顶点，天线边缘A，B为抛物线的两端．测得A，B距地面高度为5.35米，天线中心O距地面高度为4米， A， B距离为6米．
（1）如图2 ，以点O为坐标原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴，建立平面直角坐标系．求天线截面的抛物线表达式；
（2）距离地面高度4.6米的D，E两个位置安装有支架和，可恰好将天线接收器固定在抛物面的焦点F处，试求D，E两点之间的水平距离．
【答案】（1）
（2）4米
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
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